空间向量直角坐运算

空间向量的直角坐标运算目标认知学习目标：1．掌握空间向量的坐标表示、坐标运算、夹角公式、距离公式。

2．能通过坐标运算判断向量的共线与垂直.3．理解直线的方向向量与平面的法向量.会求平面的法向量重点：掌握空间向量的坐标运算，能通过坐标运算判断向量的共线与垂直.难点：向量坐标的确定以及夹角公式，距离公式的应用学习策略：①空间向量的直角坐标运算和平面向量的直角坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。

②对于垂直问题，一般是利用进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．知识要点梳理知识点一：空间向量的基本定理1．共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ2．共面向量定理（平面向量的基本定理）两个向量、不共线，向量与向量、共面的充要条件是存在唯一实数对,使.*推论：P、A、B、C四点共面的充要条件：，其中O为空间任意一点，x、y、z为实数，且x+y+z=1.3．空间向量基本定理如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使。

若三个向量、、不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

知识点二：空间直角坐标系及空间向量的坐标表示（1）单位正交基底若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，常用表示；（2）空间直角坐标在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量。

通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；（3）空间直角坐标系中的坐标在空间直角坐标系中，以为单位正交基底，对空间任一点，对应向量，存在唯一的有序实数组，使，则在空间直角坐标系中，点的坐标为，记作，其中叫点的横坐标，叫点的纵坐标，叫点的竖坐标．向量。

零向量记作注意：空间直角坐标系是在仿平面直角坐标系的基础上，选取空间任意一点O和一个单位正交基底（按右手系排列）建立的坐标系，做题选择坐标系时，应注意点O的任意性，原点O的选择要便于解决问题，既有利于作图直观性，又要尽可能使各点的坐标为正。

知识点三：空间向量的直角坐标运算（1）空间两点的距离公式若，，则①即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

②，或注意：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。

（2）向量加减法、数乘的坐标运算若，，则①；②；③；（3）向量数量积的坐标运算若，，则；即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。

（4）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式若，，则①，．②．注意：（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中θ的范围是（2）（3）用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。

（5）空间向量平行和垂直的条件若，，则①，，②规定：与任意空间向量平行或垂直作用：证明线线平行、线线垂直.知识点四：空间向量的简单应用1.直线的方向向量与直线的向量方程①直线的方向向量：若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量。

②直线的向量方程：A、B在直线上，P为直线上任意点，则；2.平面的法向量：如果直线垂直于平面,那么直线的方向向量就叫做平面的法向量。

设平面的法向量为，A、P为平面内任意两点，则；规律方法指导1．如何用坐标表示空间向量？合理地建立空间直角坐标系，当空间向量的起点移至坐标原点时，终点的坐标就是向量的坐标。

两个向量相等是指两个向量方向相同，长度相等，而与起点的位置无关，因此，向量的坐标表示等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标，而不是一味地将向量的起点移至原点，用终点坐标表示向量坐标。

2．空间任一点P的坐标确定的方法如图所示，过P作面的垂线，垂足为P＇，在面中，过P＇分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、C，求出在平面内的坐标（x，y，0），再求出并确定z的符号，得坐标P（x，y，z）。

3．如何求一个向量在另一个向量上的投影？求向量在向量上的投影，首先计算出向量的模||，再求出两个向量、的夹角，最后计算出在向量上投影，由于两向量的夹角在[0，π]内，故可以是正值，可以是零，也可以是负值。

4．怎样用向量的坐标运算证明平行问题？证明直线平行，只需证明向量共线，而向量的数乘运算可以很快捷地得到向量共线。

判断空间两条直线平行时，可以从两条直线上分别取两个有向线段，建立适当的坐标系后，表示出起点、终点坐标，进而得到向量的坐标，然后判断向量是否共线，最后确定两直线的位置关系。

5．平面的法向量的求法：设n=(x,y,z)为平面的法向量，利用n与平面内的两个不共线的向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。

类型一：空间向量的直角坐标运算1、已知=（2，―1，―2），=（0，―1，4），求+，―，3+2，·。

思路点拨：空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。

解析：∵=（2，―1，―2），=（0，―1，4），∴+=（2，―1，―2）+（0，―1，4）=（2+0，―1+（―1），―2+4）=（2，―2，2）。

―=（2，―1，―2）―（0，―1，4）=（2―0，―1―（―1），―2―4）=（2，0，―6）。

3+2=3（2，―1，―2）+2（0，―1，4）=（3×2，3×（―1），3×（―2））+（2×0，2×（―1），2×4）=（6，―3，―6）+（0，―2，8）=（6，―5，2）。

·=（2，―1，―2）·（0，―1，4）=2×0+（―1）×（―1）+（―2）×4=0+1―8=―7。

总结升华：空间向量的加、减、数乘、数量积运算是今后利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并且能够灵活地应用。

举一反三：【变式1】已知向量=（3，5，-1），=（2，2，3），=（4，-1，-3），则下列向量的坐标是：①=_______；②________；③________；④_________.【答案】①(6,10,-2)；②(1,8,5)；③(16,0,-23)；④(3m+2n,5m+2n,-m+3n)【变式2】已知=（1，0，1），=（1，―2，2），=（―2，3，―1），那么向量等于（）A．（0，1，2）B．（4，―5，5）C．（―4，8，―3）D．（2，―5，4）【答案】C2．已知，（1）求,；（2）求；（3）若，求.解析：（1），（2）（3），∵，∴举一反三：【变式1】已知向量=（4，－2，―4），=（6，―3，2），求：（1）·；（2）||，||；（3）（2+3）·（－2）。

【答案】（1）·=4×6+(―2)×(―3)+(―4)×2=22；（2）；；（3）。

【变式2】，（1）求，；（2）求；（3）若，求.【答案】（1），；（2）（3），∴。

3．已知空间三点A（—2，0，2），B（—1，1，2），C（—3，0，4）。

设（Ⅰ）求（Ⅱ）若向量与互相垂直，求k的值。

思路点拨：（Ⅰ）利用数量积定义求cos，再求；（Ⅱ）先求出与坐标表示，利用数量积为0求k解析：（Ⅰ），（Ⅱ），，总结升华：若，，那么：（1）存在，使，即有，，当时，（2）。

举一反三：【变式1】已知向量，且与互相垂直，则k值是（）A．1 B．C．D．【答案】D，。

∵两向量垂直，∴，∴。

【变式2】已知，（1）若，求实数k的值；（2）若，求实数k的值；（3）若取得最小值，求实数k的值。

【答案】，(1)，，即由，解得；(2)，，即，解得；(3)当时，取得最小值。

【变式3】已知、B、C三点的坐标分别为A(4，1，3)，B（2，－5，1），C（3，7，），且⊥，则的值为（）A.28B.－28C.14D.－14【答案】D；由解得4．已知ΔABC的顶点A(1,1,1),B(2,2,2),C(3,2,4)，求ΔABC的面积.解析：∵，∴，，∴，∴，∴.总结升华：已知三角形三顶点坐标，用向量的方法求经过三点的三角形的面积，是比较简便的一种方法.举一反三：【变式1】已知ΔABC中，A(2,-5,3),,,求其余顶点、向量的坐标及∠A的大小. 【答案】设B（x,y,z），C（x1,y1,z1），∵∴解得∴B(6,-4,5).∵∴解得∴C(9,-6,10).∵=(-7,1,-7).∴∴∴.【变式2】已知空间三点A（0，2，3），B（―2，1，6）C（1，―1，5）。

（1）求以，为边的平行四边形的面积；（2）若，且分别与，垂直，求向量的坐标。

【答案】（1）由题中条件，可知，，∴。

∴。

∴以，为边的平行四边形面积。

（2）设，由题意得，解得或。

∴=（1，1，1）或=（―1，―1，―1）。

【变式3】已知点A（1，―2，11），B（4，2，3），C（6，―1，4），则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】，。

∵，∴，∴∠ACB=90°又∵，∴△ABC为直角三角形。

答案：C5．已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出A、B、C、D、A1、B1、C1、D1各点的坐标，并写出、、、、、、及的坐标表示。

解析：A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1）。

，，，，，，，。

举一反三：【变式1】已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E、F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中E、F点的坐标。

【答案】∵C（0，2，0），D（0，0，0）且F为DC的中点，∴F（0，1，0）。

又∵B（2，2，0），B1（2，2，2），且E为BB1的中点，∴E（2，2，1）。

【变式2】在空间直角坐标系O—xyz中，已知点A的坐标为（—1，2，1），点B的坐标为（1，3，4），则（）A．B．C．D．【答案】C类型二：空间向量基本定理的应用6．已知，求证：A、B、C三点共线.证明：法一：∵，则，∴，又有公共点A∴A、B、C三点共线.法二：(x,y∈R)，则：(2,4,1)=(3x,7x,5x)+(4y,10y,9y)=(3x+4y,7x+10y, 5x+9y)∴且x+y=1,∴A、B、C三点共线.总结升华：在空间直角坐标系下，两向量的共线，可灵活利用向量坐标通过方程求解.举一反三【变式】若空间三点A（1，5，―2），B（2，4，1），C（p，3，q+2）共线，则p=_____，q=_____。