范围问题（２0１8·云南第一次统一检测）已知椭圆E的中心在原点，焦点F１，F２在y轴上，离心率等于错误!，P是椭圆E上的点．以线段PF１为直径的圆经过F２，且9错误!·错误!＝１．（１）求椭圆E的方程；（２）作直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N.如果线段MN被直线２x＋１＝0平分，求直线l的倾斜角的取值范围．【解】（１）依题意，设椭圆E的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），半焦距为c.因为椭圆E的离心率等于错误!，所以c＝错误!a，b２＝a２—c２＝错误!.因为以线段PF１为直径的圆经过F２，所以PF２⊥F１F２.所以|PF２|＝错误!.因为9错误!·错误!＝１，所以9|错误!|２＝错误!＝１．由错误!，得错误!，所以椭圆E的方程为错误!＋x２＝１．（２）因为直线x＝—错误!与x轴垂直，且由已知得直线l与直线x＝—错误!相交，所以直线l不可能与x轴垂直，所以设直线l的方程为y＝kx＋m.由错误!，得（k２＋9）x２＋２kmx＋（m２—9）＝0．因为直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N，所以Δ＝４k２m２—４（k２＋9）（m２—9）>0，即m２—k２—9<0．设M（x１，y１），N（x２，y２），则x１＋x２＝错误!.因为线段MN被直线２x＋１＝0平分，所以２×错误!＋１＝0，即错误!＋１＝0．由错误!，得错误!错误!—（k２＋9）<0．因为k２＋9>0，所以错误!—１<0，所以k２>３，解得k>错误!或k<—错误!.所以直线l的倾斜角的取值范围为错误!∪错误!.错误!解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面（１）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（２）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（３）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（４）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；（５）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T 为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为—错误!.（１）求椭圆C的方程；（２）设O为坐标原点，过点M（0，２）的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求错误!·错误!＋错误!·错误!的取值范围．解：（１）设T（x，y），由题意知A（—４，0），B（４，0），设直线TA的斜率为k１，直线TB的斜率为k２，则k１＝错误!，k２＝错误!.由k１k２＝—错误!，得错误!·错误!＝—错误!，整理得错误!＋错误!＝１．故椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．（２）当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋２，点P，Q的坐标分别为（x１，y１），（x，y２），直线PQ与椭圆方程联立，得错误!，消去y，得（４k２＋３）x２＋１6kx—３２＝0．２所以x１＋x２＝—错误!，x１x２＝—错误!.从而，错误!·错误!＋错误!·错误!＝x１x２＋y１y２＋＝２（１＋k２）x１x２＋２k（x１＋x２）＋４＝错误!＝—２0＋错误!.所以—２0<错误!·错误!＋错误!·错误!≤—错误!.当直线PQ的斜率不存在时，错误!·错误!＋错误!·错误!的值为—２0．综上，错误!·错误!＋错误!·错误!的取值范围为错误!.最值问题（高频考点）圆锥曲线中的最值问题是每年高考的热点，常涉及不等式，函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变．主要命题角度有：（１）利用三角函数的有界性求最值；（２）数形结合利用几何性质求最值；（３）建立目标函数求最值；（４）利用基本不等式求最值．角度一利用三角函数的有界性求最值过抛物线y２＝４x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是（）Ａ．２Ｂ．错误!Ｃ．４Ｄ．２错误!【解析】设直线AB的倾斜角为θ，可得|AF|＝错误!，|BF|＝错误!，则|AF|·|BF|＝错误!×错误!＝错误!≥４．【答案】C角度二数形结合利用几何性质求最值已知椭圆C：错误!＋错误!＝１的右焦点为F，P为椭圆C上一动点，定点A（２，４），则|PA|—|PF|的最小值为________．【解析】如图，设椭圆的左焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝４，所以|PF|＝４—|PF′|，所以|PA|—|PF|＝|PA|＋|PF′|—４．当且仅当P，A，F′三点共线时，|PA|＋|PF′|取最小值|AF′|＝错误!＝５，所以|PA|—|PF|的最小值为１．【答案】１角度三建立目标函数求最值（２0１7·高考浙江卷）如图，已知抛物线x２＝y，点A错误!，B错误!，抛物线上的点P（x，y）错误!.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.（１）求直线AP斜率的取值范围；（２）求|PA|·|PQ|的最大值．【解】（１）设直线AP的斜率为k，k＝错误!＝x—错误!，因为—错误!<x<错误!，所以直线AP斜率的取值范围是（—１，１）．（２）联立直线AP与BQ的方程错误!解得点Q的横坐标是x Q＝错误!.因为|PA|＝错误!错误!＝错误!（k＋１），|PQ|＝错误!（x Q—x）＝—错误!，所以|PA|·|PQ|＝—（k—１）（k＋１）３.令f（k）＝—（k—１）（k＋１）３，因为f′（k）＝—（４k—２）（k＋１）２，所以f（k）在区间错误!上单调递增，错误!上单调递减，因此当k＝错误!时，|PA|·|PQ|取得最大值错误!.角度四利用基本不等式求最值（２0１8·太原模拟）已知椭圆M：错误!＋错误!＝１（a>0）的一个焦点为F（—１，0），左、右顶点分别为A，B.经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（１）当直线l的倾斜角为４５°时，求线段CD的长；（２）记△ABD与△ABC的面积分别为S１和S２，求|S１—S２|的最大值．【解】（１）由题意，c＝１，b２＝３，所以a２＝４，所以椭圆M的方程为错误!＋错误!＝１，易求直线方程为y＝x＋１，联立方程，得错误!消去y，得7x２＋8x—8＝0，Δ＝２88，设C（x１，y１），D（x２，y２），x１＋x２＝—错误!，x１x２＝—错误!，所以|CD|＝错误!|x１—x２|＝错误!错误!＝错误!.（２）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝—１，此时△ABD与△ABC面积相等，|S１—S２|＝0；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k（x＋１）（k≠0），联立方程，得错误!消去y，得（３＋４k２）x２＋8k２x＋４k２—１２＝0，Δ>0，且x１＋x２＝—错误!，x１x２＝错误!，此时|S１—S２|＝２||y２|—|y１||＝２|y２＋y１|＝２|k（x２＋１）＋k（x１＋１）|＝２|k（x１＋x２）＋２k|＝错误!，因为k≠0，上式＝错误!≤错误!＝错误!＝错误!错误!，所以|S１—S２|的最大值为错误!.错误!圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆，离心率e＝错误!，且椭圆过点错误!.（１）求该椭圆的方程；（２）椭圆的左、右焦点分别为F１，F２，过F２的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，则△F１AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．解：（１）由题意可设椭圆方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．则错误!解得a２＝４，b２＝３．所以椭圆方程为错误!＋错误!＝１．（２）设A（x１，y１），B（x２，y２），不妨设y１＞0，y２＜0，设△F１AB的内切圆的半径为R，易知△F１AB的周长为４a＝8，则S△F１AB＝错误!（|AB|＋|F１A|＋|F１B|）R＝４R，所以当S△F１AB取得最大值时，R取得最大值，△F１AB的内切圆的面积取得最大值．由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my＋１，由错误!得（３m２＋４）y２＋6my—9＝0，所以y１＋y２＝错误!，y１y２＝—错误!.则S△F１AB＝错误!|F１F２|·（y１—y２）＝错误!，令错误!＝t，则m２＝t２—１（t≥１），所以S△F１AB＝错误!＝错误!（t≥１），令f（t）＝３t＋错误!（t≥１），则f′（t）＝３—错误!，当t≥１时，f′（t）≥0，f（t）在．４．设椭圆M：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的离心率与双曲线x２—y２＝１的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为４．（１）求椭圆M的方程；（２）若直线y＝错误!x＋m交椭圆M于A，B两点，P（１，错误!）为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．解：（１）由题可知，双曲线的离心率为错误!，则椭圆的离心率e＝错误!＝错误!，由２a＝４，错误!＝错误!，b２＝a２—c２，得a＝２，c＝错误!，b＝错误!，故椭圆M的方程为错误!＋错误!＝１．（２）不妨设A（x１，y１），B（x２，y２），联立方程组错误!，得４x２＋２错误!mx＋m２—４＝0，由Δ＝（２错误!m）２—１6（m２—４）>0，得—２错误!<m<２错误!.且错误!，所以|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!.又P到直线AB的距离为d＝错误!，所以S△PAB＝错误!|AB|·d＝错误!·错误!·错误!＝错误!错误!＝错误!错误!≤错误!·错误!＝错误!.当且仅当m＝±２∈（—２错误!，２错误!）时取等号，所以（S△PAB）max＝错误!.１．（２0１8·合肥质量检测（一））已知点F为椭圆E：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线错误!＋错误!＝１与椭圆E有且仅有一个交点M.（１）求椭圆E的方程；（２）设直线错误!＋错误!＝１与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B若λ|PM|２＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．解：（１）由题意，得a＝２c，b＝错误!c，则椭圆E为错误!＋错误!＝１．由错误!，得x２—２x＋４—３c２＝0．因为直线错误!＋错误!＝１与椭圆E有且仅有一个交点M，所以Δ＝４—４（４—３c２）＝0⇒c２＝１，所以椭圆E的方程为错误!＋错误!＝１．（２）由（１）得M（１，错误!），因为直线错误!＋错误!＝１与y轴交于P（0，２），所以|PM|２＝错误!，当直线l与x轴垂直时，|PA|·|PB|＝（２＋错误!）×（２—错误!）＝１，所以λ|PM|２＝|PA|·|PB|⇒λ＝错误!，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋２，A（x１，y１），B（x２，y２），由错误!⇒（３＋４k２）x２＋１6kx＋４＝0，依题意得，x１x２＝错误!，且Δ＝４8（４k２—１）>0，所以|PA|·|PB|＝（１＋k２）x１x２＝（１＋k２）·错误!＝１＋错误!＝错误!λ，所以λ＝错误!（１＋错误!），因为k２>错误!，所以错误!<λ<１．综上所述，λ的取值范围是[错误!，１）．２．（２0１7·高考山东卷）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的离心率为错误!，椭圆C截直线y＝１所得线段的长度为２错误!.（１）求椭圆C的方程；（２）动直线l：y＝kx＋m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．解：（１）由椭圆的离心率为错误!，得a２＝２（a２—b２）．又当y＝１时，x２＝a２—错误!，得a２—错误!＝２，所以a２＝４，b２＝２，因此椭圆方程为错误!＋错误!＝１．（２）设A（x１，y１），B（x２，y２）．联立方程错误!得（２k２＋１）x２＋４kmx＋２m２—４＝0，由Δ>0得m２<４k２＋２．（*）且x１＋x２＝—错误!，因此y１＋y２＝错误!，所以D错误!，又N（0，—m），所以|ND|２＝错误!错误!＋错误!错误!，整理得|ND|２＝错误!，因为|NF|＝|m|，所以错误!＝错误!＝１＋错误!.令t＝8k２＋３，t≥３．故２k２＋１＝错误!，所以错误!＝１＋错误!＝１＋错误!.令y＝t＋错误!，所以y′＝１—错误!.当t≥３时，y′>0，从而y＝t＋错误!在[３，＋∞）上单调递增，因此t＋错误!≥错误!，等号当且仅当t＝３时成立，此时k＝0，所以错误!≤１＋３＝４，由（*）得—错误!<m<错误!且m≠0．故错误!≥错误!，设∠EDF＝２θ，则sin θ＝错误!≥错误!，所以θ的最小值为错误!.从而∠EDF的最小值为错误!，此时直线l的斜率是0．综上所述：当k＝0，m∈（—错误!，0）∪（0，错误!）时，∠EDF取到最小值错误!.。
高考数学第一轮复习：《圆锥曲线中的最值、范围、证明专题》圆锥曲线中的最值、范围问题是高考中的热点问题，常涉及不等式恒成立，求函数的值域问题，综合性比较强，题型可以是选择题、填空题和解答题的形式出现，而证明题多出现在解答题中，难度较大，分值为13分左右，常作为压轴题出现．建立目标函数求最值已知椭圆x 24＋y 22＝1上的两个动点P ，Q ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)且x 1＋x 2＝2.(1)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；(2)设点A 关于原点O 的对称点是B ，求|PB |的最小值及相应的P 点坐标． (1)证明：∵P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1＋x 2＝2.当x 1≠x 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4x 22＋2y 22＝4得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2. 设线段PQ 的中点N (1，n )， ∴k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n ，∴线段PQ 的垂直平分线方程为y －n ＝2n (x －1)， ∴(2x －1)n －y ＝0，该直线恒过一个定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.当x 1＝x 2时，线段PQ 的中垂线也过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.综上，线段PQ 的垂直平分线恒过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.(2)解：由于点B 与点A 关于原点O 对称， 故点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.∵－2≤x 1≤2，－2≤x 2≤2，∴x 1＝2－x 2∈[0,2]， |PB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋122＋y 21＝12(x 1＋1)2＋74≥94， ∴当点P 的坐标为(0，±2)时，|PB |min ＝32.【反思归纳】 (1)本题是圆锥曲线中的综合问题，涉及到了定点问题以及最值问题．求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重要问题，通常是先建立一个目标函数，然后利用函数的单调性、函数的图象、函数的有界性或基本不等式等求最值，本题是建立二次函数、利用二次函数的图象求最值．(2)本题的第一个易错点是，表达不出线段PQ 的中垂线方程，原因是想不到引入参数表示PQ 的中点．第二个易错点是，易忽视P 点坐标的取值范围．实质上是忽视了椭圆的范围．【即时训练】 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12，椭圆E 的一个焦点为(3，0)．(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线过点M (0，2)且与椭圆E 交于A ，B 两点，求|AB |的最大值． 解析：(1)依题意，设椭圆E 的左、右焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)． 则|PF 1|＋|PF 2|＝4＝2a ，∴a ＝2，c ＝3，∴b 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线的斜率存在时是，设l ：y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2＋82kx ＋4＝0.由Δ＞0得4k 2＞1.由x 1＋x 2＝－82k 1＋4k 2，x 1x 2＝41＋4k 2得|AB |＝1＋k2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2－6⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋4k 22＋11＋4k 2＋1. 设t ＝11＋4k2，则0＜t ＜12，∴|AB |＝2－6t 2＋t ＋1＝2－6⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1122＋2524≤566. 当直线的斜率不存在时是，|AB |＝2＜566， ∴|AB |的最大值为566.利用基本不等式求最值已知中心在原点O ，一个焦点为F (3，0)的椭圆被直线y ＝x －1截得的弦的中点的横坐标为45.(1)求此椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ＞0)与椭圆交于P ，Q 两点，且以PQ 为对角线的菱形的一个顶点为M (－1,0)，求△OPQ 面积的最大值及此时直线的方程．解析：(1)设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，由题意知c 2＝a 2－b 2＝3，① 设直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点为E ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得：x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b 2＝0，两边同除以x 21－x 22，得b 2a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0，即b 2a 2＋k OE ·k AB ＝0.因为椭圆被直线y ＝x －1截得的弦的中点E 的横坐标为45，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－15，所以k OE ＝－14，k AB ＝1，所以b 2a 2－14＝0，即a 2＝4b 2，②由①②可得a 2＝4，b 2＝1， 所以所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 的中点为N (x 0，y 0)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 2＝1，消y 可得：(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，此时Δ＝16(4k 2＋1－m 2)＞0，即4k 2＋1＞m 2① 又x 0＝x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 0＝y 1＋y 22＝m1＋4k 2， PQ 为对角线的菱形的一顶点为M (－1,0)，由题意可知MN ⊥PQ ，即y 0－0x 0－(－1)＝－1k ，整理可得：3km ＝1＋4k 2 ②由①②可得k 2＞15，m ＞0，∴k ＞0，∴k ＞55，设O 到直线的距离为d ，则S△OPQ＝12d ·|PQ |＝12·m 1＋k21＋k 216(4k 2＋1－m 2)1＋4k2＝2(4k 2＋1)(5k 2－1)9k 2＝2920＋1k 2－1k 4，当1k 2＝12时，△OPQ 的面积取最大值1，此时k ＝2，m ＝322， ∴直线方程为y ＝2x ＋322.【反思归纳】 (1)基本不等式是几个正数和与积的转化的依据，不但可直接解决和与积的不等问题，而且通过结合不等式性质、函数单调性等还可解决其他形式的不等式．如：和与平方和、和与倒数和、和与根式和、和与两数之积的和等．(2)分析问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数．(3)利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．【即时训练】 过抛物线x 2＝2y 上两点A 、B 分别作切线，若两条切线互相垂直，则线段AB 的中点到抛物线准线的距离的最小值为( )(A)12 (B)1 (C)32(D)2解：抛物线的方程即：y ＝x 22，则y ′＝x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则过A ，B 两点切线的斜率为：k 1＝x 1，k 2＝x 2，由题意可得：x 1x 2＝－1， 由题意可知抛物线的直线方程为x ＝－12， 则线段AB 的中点到抛物线准线的距离为： y 1＋y 22＋12＝14(x 21＋x 22＋2)≥14(2|x 1x 2|＋2)＝1， 当且仅当x 1＝－x 2＝1时等号成立．据此可得线段AB 的中点到抛物线准线的距离的最小值为1. 故选B.利用判别式构造不等关系求范围已知A ，B ，C 是椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的三点，其中点A 的坐标为(23，0)，BC 过椭圆的中心，且AC →·BC→＝0，|BC →|＝2|AC →|.(1)求椭圆M 的方程；(2)过点(0，t )的直线l (斜率存在时)与椭圆M 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆M 与y 轴负半轴的交点，且|DP→|＝|DQ →|，求实数t 的取值范围．解：(1)因为|BC→|＝2|AC →|且BC 过(0,0)，则|OC |＝|AC |.因为AC →·BC →＝0，所以∠OCA ＝90°， 即C (3，3)． 又因为a ＝23，设椭圆的方程为x 212＋y 212－c 2＝1，将C 点坐标代入得312＋312－c2＝1，解得c 2＝8，b 2＝4. 所以椭圆的方程为x 212＋y 24＝1.(2)由条件D (0，－2)，当k ＝0时，显然－2<t <2；当k ≠0时，设l ：y ＝kx ＋t ，⎩⎨⎧x 212＋y 24＝1，y ＝kx ＋t ，消得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－12＝0由Δ>0可得t 2<4＋12k 2，①设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 中点H (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3kt 1＋3k 2，y 0＝kx 0＋t ＝t1＋3k 2， 所以H －3kt 1＋3k 2，t 1＋3k 2，由|DP →|＝|DQ →|，所以DH ⊥PQ ，即k DH＝－1k .所以t1＋3k 2＋2－3kt 1＋3k 2－0＝－1k ， 化简得t ＝1＋3k 2，②所以t>1，将①代入②得，1<t<4.所以t的范围是(1,4)，综合t∈(1,2)．【反思归纳】解决圆锥曲线中的取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等式关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其变量的函数，求其他值域，从而确定参数的取值范围．【即时训练】已知两点F1(－1,0)及F2(1,0)，点P在以F1，F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|构成等差数列．(1)求椭圆C的方程；(2)如图，动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l.求四边形F1MNF2面积S的最大值．解析：(1)依题意，设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1.∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|构成等差数列，∴2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，a＝2.又∵c＝1，∴b2＝3.∴椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)将直线l的方程y＝kx＋m代入椭圆C的方程3x2＋4y2＝12中，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，Δ＝64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得：m2＝4k2＋3，设d1＝|F1M|＝|－k＋m|k2＋1，d2＝|F2M|＝|k＋m|k2＋1，当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1－d2|＝|MN|·|tan θ|，∴|MN|＝|d1－d2k|，S＝12|d1－d2k|(d1＋d2)＝|d21－d222k|＝2|m|k2＋1＝2|m|m2－34＋1＝8|m|＋1|m|，∵m2＝4k2＋3，∴当k≠0时，|m|＞3，|m|＋1|m|＞3＋13＝433，S＜2 3.当k＝0时，四边形F1MNF2是矩形，S＝2 3.所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2 3.利用直接法进行证明已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点A⎝⎛⎭⎪⎫12，354，且两个焦点F1，F2的坐标依次为(－1,0)和(1,0)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设E ，F 是椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，直线OE 的斜率为k 1，直线OF 的斜率为k 2，若k 1·k 2＝－1，证明：直线EF 与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程．解析：(Ⅰ)由椭圆定义得2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫354－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫354－02＝4， 即a ＝2，又c ＝1，所以b 2＝3，得椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1 (Ⅱ)设直线EF 的方程为y ＝kx ＋b ，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，直线EF 的方程与椭圆方程联立，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0， 当判别式Δ＝3＋4k 2－b 2＞0时，得x 1＋x 2＝－8kb3＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－123＋4k 2设k 1·k 2＝m ，因为点E ，F 在直线y ＝kx ＋b 上，得(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝mx 1x 2， 整理得(k 2－m )x 1x 2＋bk (x 1＋x 2)＋b 2＝0，即(k 2－m )4b 2－123＋4k 2＋bk ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8kb 3＋4k 2＋b 2＝0，化简得b 2＝12k 2－12m 3－4m原点O 到直线EF 的距离d ＝|b |1＋k 2，d 2＝b 21＋k 2＝12k 2－12m(3－4m )k 2＋3－4m ， 由已知有d 是定值，所以有13－4m ＝－m 3－4m，解得m ＝－1即当k 1·k 2＝－1时，直线EF 与以原点为圆心的定圆相切，此时d ＝127，定圆的标准方程为x 2＋y 2＝127. 【反思归纳】 圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．【即时训练】 已知抛物线W ：x 2＝y ，曲线l ：y ＝k |x |－2(k ＞0)与抛物线W 相交于A 、B 、C 、D 四点，AB ∥CD ，|AB |＜|CD |，AD 在y 轴右侧．(1)求k 的取值范围；(2)证明：直线AC 与BD 相交于点E ，并求出定点E 的坐标． 解：(1)由题意，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，结合图形由对称知，直线AD ：y ＝kx －2(k ＞0)与抛物线W 有两个交点A 、D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2y ＝x 2得x 2－kx ＋2＝0所以Δ＝k 2－8＞0，k ＞22，(2)由对称知可设该定点为E (0，t )，由韦达定理得：x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝2， 因为直线AC 与BD 相交于E (0，t )，所以k EA ＝k EC ， 又因为k ED ＝－k EC ，所以k EA ＋k ED ＝0 所以k EA ＋k ED ＝y 1－t x 1＋y 2－tx 2＝kx 1－(2＋t )x 1＋kx 2－(2＋t )x 2＝2k －(2＋t )(x 1＋x 2x 1x 2)＝0所以2k －(2＋t )k2＝0，t ＝2所以定点E (0,2)．课时作业1．设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x 2＋y 2＝4.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋m 交椭圆于A ，B 两点，且P (1，2)为椭圆上一点，求△P AB 的面积的最大值．解：(1)由双曲线的离心率为2，得椭圆的离心率e ＝c a ＝22. 易知圆x 2＋y 2＝4的直径为4，所以2a ＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c2得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝2，b ＝2，故椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0.由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)＞0，得－22＜m ＜2 2. ∵x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44， ∴|AB |＝1＋2·|x 1－x 2|＝3·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝3·12m 2－m 2＋4＝3·4－m 22. 又点P 到直线AB 的距离d ＝|m |3，则S△P AB＝12|AB |d ＝12×3×4－m 22·|m |3＝124m 2－m 42＝122m 2(8－m 2)≤122·m 2＋(8－m 2)2＝2，当且仅当m ＝±2∈(－22，22)时取等号．故△P AB 的面积的最大值为 2.2．已知圆G ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 及上顶点B .过椭圆外一点M (m,0)(m ＞a )作倾斜角5π6的直线l 交椭圆于C ，D 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围． 解：(1)∵圆G ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0经过点F ，B ， ∴F (2,0)，B (0，2)，∴c ＝2，b ＝2， ∴a 2＝b 2＋c 2＝6，∴椭圆的方程为x 26＋y 22＝1.(2)由题意知直线l 的方程为y ＝－33(x －m )，m ＞6， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝－33(x －m )，消去y ，得2x 2－2mx ＋(m 2－6)＝0.由Δ＝4m 2－8(m 2－6)＞0，解得－23＜m ＜2 3. ∵m ＞6，∴6＜m ＜2 3.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－62， ∴y 1y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33(x 1－m )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33(x 2－m )＝13x 1x 2－m 3(x 1＋x 2)＋m 23. ∵FC →＝(x 1－2，y 1)，FD →＝(x 2－2，y 2)，∴FC →·FD →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝43x 1x 2－m ＋63(x 1＋x 2)＋m 23＋4＝2m (m －3)3.∵点F 在圆E 的内部，∴FC →·FD →＜0，即2m (m －3)3＜0， 解得0＜m ＜3.又∵6＜m ＜23，∴6＜m ＜3. 故m 的取值范围是(6，3)．3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，过F 1作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于A 、B 两点．(1)若△ABF 2为正三角形，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的离心率满足0＜e ＜5－12，O 为坐标原点，求证：|OA |2＋|OB |2＜|AB 2|. (1)解：由椭圆的定义知|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|，∵|AF 2|＝|BF 2|，∴|AF 1|＝|BF 1|，即F 1F 2为边AB 上的中线，∴F 1F 1⊥AB .在Rt △AF 1F 2中，cos 30°＝2c 4a 3，则c a ＝33，∴椭圆的离心率为33.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵0＜e ＜5－12，c ＝1，∴a ＞1＋52.①当直线AB 与x 轴垂直时，1a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝b 4a 2，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－b 4a 2＝－a 4＋3a 2－1a 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－322＋54a 2，∵a 2＞3＋52，∴OA →·OB →＜0，∴∠AOB 恒为钝角，∴|OA |2＋|OB |2＜|AB |2. ②当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程为：y ＝k (x ＋1)，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得，(b 2＋a 2k 2)x 2＋2k 2a 2x ＋a 2k 2－a 2b 2＝0，∴x 1＋x 2＝－2a 2k 2b 2＋a 2k 2，x 1x 2＝a 2k 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1x 2(1＋k 2)＋k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(a 2k 2－a 2b 2)(1＋k 2)－2a 2k 4＋k 2(b 2＋a 2k 2)b 2＋a 2k 2＝k 2(a 2＋b 2－a 2b 2)－a 2b 2b 2＋a 2k 2＝k 2(－a 4＋3a 2－1)－a 2b 2b 2＋a 2k2令m (a )＝－a 4＋3a 2－1，由①可知m (a )＜0，∴∠AOB 恒为钝角，∴恒有|OA |2＋|OB |2＜|AB |2. 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，F 1，F 2分别为左、右焦点，过F 1的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，且△PQF 2的周长为8.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点M (3,0)的直线交椭圆C 于不同两点A ，B ，N 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tON→(O 为坐标原点)，当|AB |＜3时，求实数t 的取值范围． 解析：(1)∵e 2＝c2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又∵4a ＝8，∴a ＝2，∴b 2＝1， ∴椭圆C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x ，y )，AB 的方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －3)x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0.由△＝242k 4－16(9k 2－1)(1＋4k 2)＞0，得k 2＜15. ∵x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，x 1·x 2＝36k 2－41＋4k 2，∴OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，则x ＝1t (x 1＋x 2)＝24k 2t (1＋4k 2)， y ＝1t (y 1＋y 2)＝1t [k (x 1＋x 2)·6k ]＝－6k t (1＋4k 2). 由点N 在椭圆上，得(24k 2)2t 2(1＋4k 2)2＋144k 2t 2(1＋4k 2)2＝4， 化简得36k 2＝t 2(1＋4k 2)．① 又由|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＜3，即(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＜3，将x 1＋x 2，x 1x 2代入得(1＋k 2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤242k 4(1＋4k 2)2－4(36k 2－4)1＋4k 2＜3， 化简，得(8k 2－1)(16k 2＋13)＞0，则8k 2－1＞0，k 2＞18，∴18＜k 2＜15.②由①，得k2＝t236－4t2，联立②，解得3＜t2＜4.∴－2＜t＜－3或3＜t＜2，即t∈(－2，－3)∪(3，2)．。
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第2课时范围、最值问题题型一范围问题例1 （2015·天津）已知椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的左焦点为F(－c，0),离心率为错误!，点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2＋y2＝错误!截得的线段的长为c,FM＝错误!。
（1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；（3）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于错误!，求直线OP(O为原点）的斜率的取值范围．解（1）由已知，有错误!＝错误!，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2,b2＝2c2.设直线FM的斜率为k（k＞0),F(－c，0），则直线FM的方程为y＝k(x＋c）．由已知，有错误!2＋错误!2＝错误!2，解得k＝错误!.（2)由(1）得椭圆方程为错误!＋错误!＝1，直线FM的方程为y＝错误!（x＋c）,两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－错误!c或x＝c。
因为点M在第一象限，可得M的坐标为错误!.由FM＝错误!＝错误!.解得c＝1,所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝1。
一、知识梳理１．直线与圆锥曲线的位置关系的判定（１）代数法：把圆锥曲线方程C１与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax２＋bx＋c＝0．方程ax２＋bx＋c＝0的解l与C１的交点a＝0b＝0无解（含l是双曲线的渐近线）无公共点b≠0有一解（含l与抛物线的对称轴平行（重合）或与双曲线的渐近线平行）一个交点a≠0Δ＞0两个不相等的解两个交点Δ＝0两个相等的解一个交点Δ＜0无实数解无交点位置关系．２．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k（k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A（x１，y１），B（x２，y２），则|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!错误!＝错误!|y１—y２|＝错误!错误!.常用结论圆锥曲线以P（x0，y0）（y0≠0）为中点的弦所在直线的斜率如下表：圆锥曲线方程直线斜率椭圆：错误!＋错误!＝１（a>b>0）k＝—错误!双曲线：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）k＝错误!抛物线：y２＝２px（p>0）k＝错误!二、习题改编（选修１１P6２例５改编）过点（0，１）作直线，使它与抛物线y２＝４x仅有一个公共点，这样的直线有（）Ａ．１条Ｂ．２条C．３条Ｄ．４条解析：选Ｃ．结合图形分析可知，满足题意的直线共有３条：直线x＝0，过点（0，１）且平行于x 轴的直线以及过点（0，１）且与抛物线相切的直线（非直线x＝0）．一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）直线l与抛物线y２＝２px只有一个公共点，则l与抛物线相切．（）（２）直线y＝kx（k≠0）与双曲线x２—y２＝１一定相交．（）（３）与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．（）（４）直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．（）（５）过点（２，４）的直线与椭圆错误!＋y２＝１只有一条切线．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）×二、易错纠偏错误!（１）没有发现直线过定点，导致运算量偏大；（２）不会用函数法解最值问题．１．直线y＝kx—k＋１与椭圆错误!＋错误!＝１的位置关系为（）Ａ．相交Ｂ．相切Ｃ．相离Ｄ．不确定解析：选Ａ．直线y＝kx—k＋１＝k（x—１）＋１恒过定点（１，１），又点（１，１）在椭圆内部，故直线与椭圆相交．２．抛物线y＝x２上的点到直线x—y—２＝0的最短距离为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!C．２错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．设抛物线上一点的坐标为（x，y），则d＝错误!＝错误!＝错误!，所以x＝错误!时，d min＝错误!.第１课时圆锥曲线中的证明、范围（最值）问题证明问题（师生共研）（２0１8·高考全国卷Ⅲ节选）已知斜率为k的直线l与椭圆C：错误!＋错误!＝１交于A，B 两点，线段AB的中点为M（１，m）（m>0）．（１）证明：k<—错误!；（２）设F为C的右焦点，P为C上的点，且错误!＋错误!＋错误!＝0.证明：|错误!|，|错误!|，|错误! |成等差数列．【证明】（１）设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!＋错误!＝１，错误!＋错误!＝１．两式相减，并由错误!＝k得错误!＋错误!·k＝0．由题设知错误!＝１，错误!＝m，于是k＝—错误!.由题设得0<m<错误!，故k<—错误!.（２）由题意得F（１，0）．设P（x３，y３），则（x３—１，y３）＋（x１—１，y１）＋（x２—１，y２）＝（0，0）．由（１）及题设得x３＝３—（x１＋x２）＝１，y３＝—（y１＋y２）＝—２m<0．又点P在C上，所以m＝错误!，从而P错误!，|错误!|＝错误!.于是|错误!|＝错误!＝错误!＝２—错误!.同理|错误!|＝２—错误!.所以|错误!|＋|错误!|＝４—错误!（x１＋x２）＝３．故２|错误!|＝|错误!|＋|错误!|，即|错误!|，|错误!|，|错误!|成等差数列．错误!圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广，但无论证明什么，其常用方法有直接法和转化法，对于转化法，先是对已知条件进行化简，根据化简后的情况，将证明的问题转化为另一问题．（２0２0·江西七校第一次联考）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）经过点M错误!，其离心率为错误!，设直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点．（１）求椭圆C的方程；（２）已知直线l与圆x２＋y２＝错误!相切，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．解：（１）因为e＝错误!＝错误!，a２＝b２＋c２，所以a２＝２b２，所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．因为错误!在椭圆上，所以错误!＋错误!＝１，b２＝１，a２＝２，所以椭圆C的方程为错误!＋y２＝１．（２）证明：因为直线l与圆x２＋y２＝错误!相切，所以错误!＝错误!，即３m２—２k２—２＝0，由错误!得（１＋２k２）x２＋４kmx＋２m２—２＝0，Δ＝１6k２m２—４（１＋２k２）（２m２—２）>0．设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝—错误!，x１x２＝错误!，所以y１y２＝（kx１＋m）（kx２＋m）＝k２x１x２＋km（x１＋x２）＋m２＝错误!，所以错误!·错误!＝x１x２＋y１y２＝错误!＋错误!＝错误!＝0，所以OA⊥OB.范围问题（师生共研）已知曲线M由抛物线x２＝—y及抛物线x２＝４y组成，直线l：y＝kx—３（k>0）与曲线M 有m（m∈N）个共同点．（１）若m≥３，求k的最小值；（２）若m＝４，自上而下记这４个交点分别为A，B，C，D，求错误!的取值范围．【解】（１）联立x２＝—y与y＝kx—３，得x２＋kx—３＝0，因为Δ１＝k２＋１２>0，所以l与抛物线x２＝—y恒有两个交点．联立x２＝４y与y＝kx—３，得x２—４kx＋１２＝0．因为m≥３，所以Δ２＝１6k２—４8≥0．因为k>0，所以k≥错误!，所以k的最小值为错误!.（２）设A（x１，y１），B（x２，y２），C（x３，y３），D（x４，y４），则A，B两点在抛物线x２＝４y上，C，D两点在抛物线x２＝—y上，因为x１＋x２＝４k，x１x２＝１２，x３＋x４＝—k，x３x４＝—３，且Δ２＝１6k２—４8>0，k>0，所以k>错误!.所以|AB|＝错误!·错误!，|CD|＝错误!·错误!，所以错误!＝错误!＝４错误!＝４错误!.所以k>错误!，所以0<错误!<１，所以错误!∈（0，４）．错误!求解圆锥曲线中有关参数的取值范围问题，关键是构建与参数有关的不等关系，主要方法有：（１）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；（２）建立已知参数与未知参数之间的等量关系，利用已知参数的范围，求新参数的范围；（３）利用隐含的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；（４）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等式，从而确定参数的取值范围；（５）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．若直线l与椭圆错误!＋x２＝１交于不同的两点M，N，如果线段MN被直线２x＋１＝0平分，求直线l的斜率的取值范围．解：因为直线x＝—错误!与x轴垂直，且由已知得直线l与直线x＝—错误!相交，所以直线l不可能与x轴垂直．设直线l的方程为y＝kx＋m，由错误!得（k２＋9）x２＋２kmx＋m２—9＝0．Δ＝４k２m２—４（k２＋9）（m２—9）>0，即m２—k２—9<0，设M（x１，y１），N（x２，y２），则x１＋x２＝错误!.因为线段MN被直线２x＋１＝0平分，所以２×错误!＋１＝0，即错误!＋１＝0．由错误!得错误!错误!—（k２＋9）<0，因为k２＋9>0，所以错误!—１<0，即k２>３，解得k>错误!或k<—错误!.所以直线l的斜率的取值范围为（—∞，—错误!）∪（错误!，＋∞）．最值问题（师生共研）已知椭圆M：错误!＋错误!＝１（a>0）的一个焦点为F（—１，0），左、右顶点分别为A，B.经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（１）当直线l的倾斜角为４５°时，求线段CD的长；（２）记△ABD与△ABC的面积分别为S１和S２，求|S１—S２|的最大值．【解】（１）由题意，c＝１，b２＝３，所以a２＝４，所以椭圆M的方程为错误!＋错误!＝１，易求直线方程为y＝x＋１，联立方程，得错误!消去y，得7x２＋8x—8＝0，Δ＝２88＞0，设C（x１，y１），D（x２，y２），x１＋x２＝—错误!，x１x２＝—错误!，所以|CD|＝错误!|x１—x２|＝错误!错误!＝错误!.（２）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝—１，此时△ABD与△ABC面积相等，|S１—S２|＝0；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k（x＋１）（k≠0），联立方程，得错误!消去y，得（３＋４k２）x２＋8k２x＋４k２—１２＝0，Δ>0，且x１＋x２＝—错误!，x１x２＝错误!，此时|S１—S２|＝２||y２|—|y１||＝２|y２＋y１|＝２|k（x２＋１）＋k（x１＋１）|＝２|k（x１＋x２）＋２k|＝错误!，因为k≠0，上式＝错误!≤错误!＝错误!＝错误!错误!，所以|S１—S２|的最大值为错误!.错误!圆锥曲线中的最值问题常涉及不等式、函数的值域问题，总体上主要有两种方法：（１）几何法利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解．（２）代数法把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数解析式，然后利用函数的思想、不等式的思想等进行求解．（２0２0·河北省九校第二次联考）已知抛物线C：y２＝２px（p>0）的焦点为F，若过点F且斜率为１的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8．（１）求抛物线C的方程；（２）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求错误!·错误!的最小值．解：（１）由题意可知F错误!，则直线MN的方程为y＝x—错误!，代入y２＝２px（p>0）得x２—３px＋错误!＝0，设M（x１，y１），N（x２，y２），则x１＋x２＝３p，因为|MN|＝8，所以x１＋x２＋p＝8，即３p＋p＝8，解得p＝２，所以抛物线C的方程为y２＝４x.（２）设直线l的方程为y＝x＋b，代入y２＝４x，得x２＋（２b—４）x＋b２＝0，因为直线l为抛物线C的切线，所以Δ＝0，解得b＝１，所以l为y＝x＋１．由（１）可知，x１＋x２＝6，x１x２＝１，设P（m，m＋１），则错误!＝（x１—m，y１—（m＋１）），错误!＝（x２—m，y２—（m＋１）），所以错误!·错误!＝（x１—m）（x２—m）＋[y１—（m＋１）][y２—（m＋１）]＝x１x２—m（x１＋x）＋m２＋y１y２—（m＋１）（y１＋y２）＋（m＋１）２，（y１y２）２＝１6x１x２＝１6，２所以y１y２＝—４，y错误!—y错误!＝４（x１—x２），所以y１＋y２＝４×错误!＝４，错误!·错误!＝１—6m＋m２—４—４（m＋１）＋（m＋１）２＝２（m２—４m—３）＝２[（m—２）２—7]≥—１４，当且仅当m＝２，即点P的坐标为（２，３）时，错误!·错误!取得最小值为—１４．[基础题组练]１．过椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的右顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为左焦点F，若错误!<k<错误!，则椭圆离心率的取值范围为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．由题意知B错误!，所以k＝错误!＝错误!＝１—e.又错误!<k<错误!，所以错误!<１—e<错误!，解得错误!<e<错误!.２．已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0），斜率为１的直线与C交于两点A，B，若线段AB的中点为（４，１），则双曲线C的渐近线方程是（）Ａ．２x±y＝0 Ｂ．x±２y＝0Ｃ．错误!x±y＝0 Ｄ．x±错误!y＝0解析：选Ｂ．设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!—错误!＝１１，错误!—错误!＝１２，由１—２得错误!＝错误!，结合题意化简得错误!＝１，即错误!＝错误!，所以双曲线C的渐近线方程为x±２y＝0．３．抛物线C：y２＝２px（p>0）的准线与x轴的交点为M，过点M作C的两条切线，切点分别为P，Q，则∠PMQ＝．解析：由题意得M错误!，设过点M的切线方程为x＝my—错误!，代入y２＝２px得y２—２pmy ＋p２＝0，所以Δ＝４p２m２—４p２＝0，所以m＝±１，则切线斜率k＝±１，所以MQ⊥MP，因此∠PMQ ＝错误!.答案：错误!４．已知椭圆C：错误!＋错误!＝１的右焦点为F，P为椭圆C上一动点，定点A（２，４），则|PA|—|PF|的最小值为．解析：如图，设椭圆的左焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝４，所以|PF|＝４—|PF′|，所以|PA|—|PF|＝|PA|＋|PF′|—４．当且仅当P，A，F′三点共线时，|PA|＋|PF′|取最小值|AF′|＝错误!＝５，所以|PA|—|PF|的最小值为１．答案：１５．（２0２0·长春市质量监测（二））已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的中心是坐标原点O，左、右焦点分别为F１，F２，设P是椭圆C上一点，满足PF２⊥x轴，|PF２|＝错误!，椭圆C的离心率为错误!.（１）求椭圆C的标准方程；（２）过椭圆C的左焦点且倾斜角为４５°的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积．解：（１）由题意知，离心率e＝错误!＝错误!，|PF２|＝错误!＝错误!，得a＝２，b＝１，所以椭圆C的标准方程为错误!＋y２＝１．（２）由条件可知F１（—错误!，0），直线l：y＝x＋错误!，联立直线l和椭圆C的方程，得错误!消去y得５x２＋8错误!x＋8＝0，设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝—错误!，x１·x２＝错误!，所以|y１—y２|＝|x１—x２|＝错误!＝错误!，所以S△AOB＝错误!·|y１—y２|·|OF１|＝错误!.6．设椭圆E的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B 的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|＝２|MA|，直线OM的斜率为错误!.（１）求E的离心率e；（２）设点C的坐标为（0，—b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.解：（１）由题设条件知，点M的坐标为错误!，又k OM＝错误!，从而错误!＝错误!.进而a＝错误!b，c＝错误!＝２b，故e＝错误!＝错误!.（２）证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为错误!，可得错误!＝错误!.又AB＝（—a，b），从而有错误!·错误!＝—错误!a２＋错误!b２＝错误!（５b２—a２）．由（１）的计算结果可知a２＝５b２，所以错误!·错误!＝0，故MN⊥AB.[综合题组练]１．（２0２0·河南阶段性测试）已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）上的点到右焦点F（c，0）的最大距离是错误!＋１，且１，错误!a，４c成等比数列．（１）求椭圆的方程；（２）过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M （m，0），求实数m的取值范围．解：（１）由已知可得错误!解得错误!所以椭圆的方程为错误!＋y２＝１．（２）由题意得F（１，0），设直线AB的方程为y＝k（x—１）．与椭圆方程联立得错误!消去y可得（１＋２k２）x２—４k２x＋２k２—２＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝错误!，y１＋y２＝k（x１＋x２）—２k＝错误!.可得线段AB的中点为N错误!.当k＝0时，直线MN为y轴，此时m＝0．当k≠0时，直线MN的方程为y＋错误!＝—错误!错误!，化简得ky＋x—错误!＝0．令y＝0，得m＝错误!.所以m＝错误!＝错误!∈错误!.综上所述，m的取值范围为错误!.２．（２0２0·广州市综合检测（一））已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线y＝错误!x 与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F２，椭圆C的另一个焦点是F１，且错误!·错误!＝错误!.（１）求椭圆C的方程；（２）若直线l过点（—１，0），且与椭圆C交于P，Q两点，求△F２PQ的内切圆面积的最大值．解：（１）设椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），因为点M在直线y＝错误!x上，且点M 在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F２（c，0），所以点M错误!.因为错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!，所以c＝１．所以错误!解得错误!所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．（２）由（１）知，F１（—１，0），过点F１（—１，0）的直线与椭圆C交于P，Q两点，则△F２PQ的周长为４a＝8，又S△F２PQ＝错误!·４a·r（r为△F２PQ的内切圆半径），所以当△F２PQ的面积最大时，其内切圆面积最大．设直线l的方程为x＝ky—１，P（x１，y１），Q（x２，y２），则错误!消去x得（４＋３k２）y２—6ky—9＝0，所以错误!所以S△F２PQ＝错误!·|F１F２|·|y１—y２|＝错误!.令错误!＝t，则t≥１，所以S△F２PQ＝错误!，令f（t）＝３t＋错误!，则f′（t）＝３—错误!，当t∈[１，＋∞）时，f′（t）>0，f（t）＝３t＋错误!在[１，＋∞）上单调递增，所以S△F２PQ＝错误!≤３，当t＝１时取等号，即当k＝0时，△F２PQ的面积取得最大值３，结合S△F２PQ＝错误!·４a·r，得r的最大值为错误!，所以△F２PQ的内切圆面积的最大值为错误!π.。
