3.2.1双曲线及其标准方程

2.3.1《双曲线及其标准方程》导学案

【学习目标】

1、使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导；

2、在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力；

3、会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．

【学习重难点】

重点：理解双曲线的定义；会根据已知条件求双曲线的标准方程．

难点：双曲线标准方程的推导．

【知识链接】

1、什么叫椭圆？

2、椭圆的标准方程有哪两种形式?其中的cba,,的关系式是什么?

3、在推导椭圆标准方程时，如何建立直角坐标系？

4、在推导椭圆标准方程过程中，如何处理（去掉）等式中的两个根号？

【预习展示】

阅读教材P52-53,并思考：

1、P49习题2.2A组第7题．题中点Q的轨迹是什么？为什么？

2、若把上题中点A移到圆外，Q为直线PO与l的交点（其他条件均不变），试判断点Q满足什么样的条件？

（说明：点Q的轨迹即为双曲线，试着类比椭圆的定义，给出双曲线的定义）

一、双曲线的定义：

二．椭圆标准方程的推导

建系设点→写出点集→列出方程→化简方程→检验：

双曲线的标准方程：__________________________________________________

思考1：双曲线定义里的常数a2有什么限制吗？

思考2：若焦点在y轴上时，双曲线的标准方程是什么?

思考3：怎样判断焦点的位置？ 推导过程： 【合作探究】

例1.已知两点)0,5(1F，)0,5(2F，曲线上任一点P到1F、2F的距离的差的绝对值等于8，求此曲线的方程.

变式1. 已知两点)0,5(1F，)0,5(2F，曲线上仁一点P到1F的距离减去P到2F的距离所得的差等于8，求此曲线的方程.

变式2. 已知两点)0,5(1F，)0,5(2F，曲线上任一点P到1F、2F的距离的差的绝对值等于10，求此曲线的方程.

例题2.求适合下列条件的双曲线的标准方程：

百度文库

1 《双曲线及其标准方程》教学设计

贵阳39中 李明

新课程教学,更强调学生的主体性,突出学生的主体性,采用“合作、自主、探究”的学习,又要还给学生更大的自主学习空间。所以如何充分利用课堂时间,调动学生的积极性,提高课堂效益是数学教师面临的一个重要问题。我想从我自己的实践来谈谈如何设计一节课，使我的教学更适应时代的发展，使我的课堂更加有效。

双曲线及其标准方程教案

教学目标

知识目标：了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，并能初步应用。

能力目标：通过与椭圆类比获得双曲线的知识，培养学生类比、分析、归纳、推理等能力和善于寻找数学规律的能力。

德育目标：在类比探究过程中激发学生的求知欲，培养他们浓厚的学习兴趣及培养学生认真参与积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和解决问题的态度。

重点：双曲线的定义及其标方程和简单应用。

难点：对双曲线定义的理解，正确运用双曲线定义推导方程。

教学过程：

一.复习提问，引入新课。

问题1.椭圆的定义是什么？

问题2.椭圆的标准方程是怎样的？cba、、关系如何？ 百度文库

2 1 F 2 F

M 问题3. 类比，联想

如果把上述定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？

师：（多媒体演示动点轨迹）。

探究：通过上面的实验，回答下面问题：

问题1：随着M点的移动，|MF1|与|MF2|之间的差是常数吗？为什么？

问题2：|MF1|与|MF2|哪一个大？

问题3：这个常数可以大于或等于

21FF 吗？理由呢？

问题4：你能概括双曲线的定义吗？

二.形成概念，推导方程。

师：双曲线上的点应满足的条件是什么？

生：常数21MFMF（小于21FF）。

师：类比椭圆的定义，请同学概括双曲线的定义。

1.双曲线的定义。（投影）分析讨论双曲线的定义中关键词和条件：

师：定义中的“平面内”，“绝对值”等条件去掉，能否表示双曲线？

课题:2.3.1双曲线的标准方程

【教学重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用

【教学难点】: 双曲线标准方程的推导

一.情境设置

(1)复习提问：(由一位学生口答，教师利用多媒体投影)

问题 1：椭圆的定义是什么？ 问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？

问题3：如果把上述椭圆改在双曲线呢？

(2)探究新知:

1.双曲线的标准方程

现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示）（1）建系(2) 设点（3）列式（4）化简方程

学生得到: 双曲线的标准方程:

思考: 双曲线的焦点F1（0,－c）、F2（0,c）在y轴上的标准方程是什么?

注:(1)双曲线的标准方程的特点：

①双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：

焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：12222byax(0a,0b)；

焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：12222bxay(0a,0b)

②cba,,有关系式222bac成立，且0,0,0cba

其中a与b的大小关系:可以为bababa,,

(2).焦点的位置判断:

三.数学应用

例1已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21FF，，双曲线上一点P到21FF，的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程

变式1:若|PF1|-|PF2|=6呢？

变式2:若||PF1|-|PF2||=8呢？

变式3:若||PF1|-|PF2||=10呢？

例2求适合下列条件的双曲线的标准方程

（1）3,4,abx焦点在轴上；（2）25,25aAy经过点（，），焦点在轴上；

四.课堂小结:

双曲线的两类标准方程是)0,0(12222babyax焦点在x轴上，)0,0(12222babxay焦点在y轴上,cba,,有关系式222bac成立，且0,0,0cba 其中a与b的大小关系:可以为bababa,,

2.3.1 双曲线及其标准方程

学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.

知识点一 双曲线的定义

思考 若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？

答案 如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线.

梳理 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；

(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在.

(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支.

(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线.

知识点二 双曲线的标准方程

思考1 双曲线的标准方程的推导过程是什么？

答案 (1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系. (2)设点：设M(x，y)是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0).

(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，

可得x＋c2＋y2－x－c2＋y2＝±2a. ①

(4)化简：移项，平方后可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2).

令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0). ②

(5)检验：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c，0)，(c，0)的距离之差的绝对值为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程②叫做双曲线的标准方程.(此步骤可省略)