高中数学人教A版选修2-1第二章《2.3.1 双曲线及其标准方程》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,理解双曲线的定义,体会双曲线标准方程的探索推导过程.
2. 使学生在学会知识的过程中,进一步熟练用坐标法建立曲线方程,培养学生等价转化、
数形结合等数学思想,提高学生分析问题、解决问题的能力.
2学情分析
学生刚刚学习了椭圆及其标准方程,在此基础上对于双曲线的标准方程的推导有一定的帮助。
3重点难点
双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点.
定义中“差的绝对值”、a与c的大小关系的理解与标准方程的建立是难点.
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】双曲线及其标准方程
一、课题导入
师:椭圆的定义是什么?
(抽学生口述椭圆的定义.)
师:椭圆定义是由轨迹的问题引出来的,我们把满足几何条件|PF1|+|PF2|=2a(常数)(2a>|F1F2|)的动点P的轨迹叫椭圆.下面,我们来做这样一个实验:
(同学分组实验:利用绳子模仿实验演示双曲线的生成过程,导入课题)
师:通过这个实验,我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线,这是一类什么曲线呢?这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”(板书课题)
活动2【导入】新课探究
2.3.1《双曲线及其标准方程》导学案
【学习目标】
1、使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导；
2、在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力；
3、会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．
【学习重难点】
重点：理解双曲线的定义；会根据已知条件求双曲线的标准方程．
难点：双曲线标准方程的推导．
【知识链接】
1、什么叫椭圆？
2、椭圆的标准方程有哪两种形式?其中的cba,,的关系式是什么?
3、在推导椭圆标准方程时，如何建立直角坐标系？
4、在推导椭圆标准方程过程中，如何处理（去掉）等式中的两个根号？
【预习展示】
阅读教材P52-53,并思考：
1、P49习题2.2A组第7题．题中点Q的轨迹是什么？为什么？
2、若把上题中点A移到圆外，Q为直线PO与l的交点（其他条件均不变），试判断点Q满足什么样的条件？
（说明：点Q的轨迹即为双曲线，试着类比椭圆的定义，给出双曲线的定义）
一、双曲线的定义：
二．椭圆标准方程的推导
建系设点→写出点集→列出方程→化简方程→检验：
双曲线的标准方程：__________________________________________________
思考1：双曲线定义里的常数a2有什么限制吗？
思考2：若焦点在y轴上时，双曲线的标准方程是什么?
思考3：怎样判断焦点的位置？ 推导过程： 【合作探究】
例1.已知两点)0,5(1F，)0,5(2F，曲线上任一点P到1F、2F的距离的差的绝对值等于8，求此曲线的方程.
变式1. 已知两点)0,5(1F，)0,5(2F，曲线上仁一点P到1F的距离减去P到2F的距离所得的差等于8，求此曲线的方程.
变式2. 已知两点)0,5(1F，)0,5(2F，曲线上任一点P到1F、2F的距离的差的绝对值等于10，求此曲线的方程.
例题2.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
学必求其心得，业必贵于专精
- 1 - 2．3。1 双曲线及其标准方程
1．双曲线
（1）定义
错误!平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于｜F1F2|且大于零）的点的轨迹叫做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
（2)双曲线的集合描述
设点M是双曲线上任意一点，点F1，F2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线就是集合错误!P＝{M｜｜|MF1|－｜MF2｜｜＝2a，0〈2a〈|F1F2｜}．
2．双曲线的标准方程 学必求其心得，业必贵于专精
- 2 -
1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×")
（1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离）的点的轨迹是双曲线．( )
（2）在双曲线标准方程错误!－错误!＝1中，a〉0,b>0且a≠b.( )
(3）双曲线的标准方程可以统一为Ax2＋By2＝1(其中AB〈0)．（ ）
答案 （1）× (2)× （3)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上） 学必求其心得，业必贵于专精
- 3 - (1)若双曲线错误!－错误!＝1上一点M到左焦点的距离为8,则点M到右焦点的距离为________．
（2）双曲线x2－4y2＝1的焦距为________．
(3)（教材改编P55T1)已知双曲线a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________．
(4)下列方程表示焦点在y轴上的双曲线的有________(把序号填在横线上)．
①x2－错误!＝1；②错误!＋错误!＝1(a<0)；③y2－3x2＝1；④x2cosα＋y2sinα＝1错误!.
答案 (1)4或12 （2)5 （3）错误!－错误!＝1或错误!－错误!＝1
（4)②③④
解析 (3）∵a＝5，c＝7,∴b＝错误!＝错误!＝2错误!。
当焦点在x轴上时，双曲线方程为错误!－错误!＝1；
当焦点在y轴上时，双曲线方程为错误!－错误!＝1。
1 2.3.1双曲线及其标准方程
【课标要求】
了解双曲线的定义和标准方程。
【学习目标】
1、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程。
2、掌握双曲线的标准方程。
3、会例一双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题。
【自主学习】
1、双曲线是怎样作出来的（作图）？双曲线的定义是什么？
几何画板【百度】/ShowSoftDown.asp?UrlID=1&SoftID=10165
2、若将定义中的2a<21FF改为等于或大于，点的轨迹分别是什么？
3、双曲线的标准方程是什么？怎样判断焦点的位置？
4、求双曲线常用方法有哪些？
【典型例题】
例1．（1） 已知双曲线两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P到
点F1，F2的距离之差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
（2））的双曲线。，有公共焦点，且过点（求与双曲线12214522yx
2 例2 已知,AB两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340/ms，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
【百度文库】/view/52f58125af45b307e87197a7.html
方程。的轨迹求顶点，且满足边长为中，在例CCBAABABC,sinsin2sin28.3
【拓展提高】：
设双曲线在双曲线上。是其两个焦点，点MFFyx2122,,194
的面积。时，求）当（的面积。时，求）当（212121211202901MFFMFFMFFMFF
3 【课堂练习】
表示双曲线”的是方程“则若133"3",.122kykxkRk （ ）
A 充分不必要条件 Ｂ 必要不充分条件
Ｃ 充要条件 D 既不充分又不必要条件
的焦距为双曲线1210.222yx （ ）
A 23 B 24 Ｃ 33 D 34
