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22．2.4 一元二次方程根的判别式1．能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证．2．会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围．重点根的判别式的正确理解与应用．难点含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用．一、情境引入教师多媒体展示，回顾已有知识．用公式法解下列一元二次方程：(1)x 2＋5x ＋6＝0；(2)9x 2－6x ＋1＝0；(3)x 2－2x ＋3＝0.解：(1)x 1＝－2，x 2＝－3；(2)x 1＝x 2＝13； (3)无解．二、探究新知教师课件展示，提出问题，引导学生解决问题．观察解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，需先确定a ，b ，c 的值，然后求出b 2－4ac 的值，它能决定方程是否有解，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ＝b 2－4ac.我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现：(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2. 【归纳结论】(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根：x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a； (2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根：x 1＝x 2＝－b 2a； (3)当Δ<0时，方程没有实数根． 例1 利用根的判别式判定下列方程的根的情况：(1)2x 2－3x －32＝0； (2)16x 2－24x ＋9＝0； (3)x 2－42＋9＝0; (4)3x 2＋10x ＝2x 2＋8x.解：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根．三、练习巩固教师多媒体展示问题，引导学生灵活运用知识，学生小组内交流．1．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根2．已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．四、小结与作业小结1．用判别式判定一元二次方程根的情况：(1)Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；(2)Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0时，一元二次方程无实数根．2．运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件．布置作业从教材相应练习和“习题22.2”中选取．本课时创设情境，启发引导，让学生充分感受理解知识的产生和发展过程，在教师适时点拨下，学生在发现归纳的过程中积极主动地去探索，发现数学规律，培养了学生的创新意识、创新精神及思维能力．。
二次根式的有关概念及性质一、二次根式的有关概念：1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。
3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。
4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。
二、二次根式的性质：1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0;2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=·（a≥0,b≥0）。
5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即=（a≥0,b>0）。
三、例题：例1.x为何值时，下列各式在实数X围内才有意义：（1）（2）（3）（4）+（5）（6）+分析：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。
解：（1）∵6-x≥0,∴x≤6时原式有意义。
（2）∵x2≥0, ∴x2+3>0, ∴x取任意实数原式都有意义。
（3）∵∴∴当x<3且x≠-3时，原式有意义。
（4）∵∴∴当-≤x<时，原式有意义。
（5）∵∴∴当x≥0且x≠1时，原式有意义。
（6）∵∴∴x=2∴当x=2时，原式有意义。
用心 爱心 专心 1 初三数学第22章 二次根式复习华东师大版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 第22章 二次根式复习
二. 重点、难点： 本章的重点是二次根式的运算，二次根式的有关概念和性质是进行二次根式运算的基础，正确理解和运用二次根式的有关概念和性质是二次根式运算的关键，深刻理解和运用公
式是本章的难点。 三. 知识梳理： 1. 本章知识提练整理
二次根式 式子)0a(a叫做二次根式，其中“”叫做二次根号，二次根号下的数（式）叫做被开方数（式）。
最简 二次根式
一个二次根式，如果满足两个条件：（1）被开方数的因数是整
数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，那么这个二次根式叫做最简二次根式。 同类 二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
概念
有理化 因式 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
性质
(1) 非负性；（2）0)(aa)a(2；（3）|a|a2；
（3）)0b，0a(baab；（5）ababab(,)00．
加减法 先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。
乘法 abba )0b0a(，
运算结果应该化成最简二次根
式。 运
算 除法 b
abbbbaba
)0b,0a( 把除式写成分式，再化去分母中
的根号——将分母有理化。
2. 学习本章的几个注意点 （1）抓对比，明确概念 本章概念多，容易混淆。学习时要抓住它们各自的特点进行对比，搞清概念间的联系和区别，如画出网络图建立二次根式与同类二次根式的联系和区别；这是获得知识、训练能力 用心 爱心 专心 2
的有效方法。 （2）抓类比，发展联想 美国数学教育学家波利亚说：“类比就是一种相似，相似的对象在某个方面彼此一致，类比的对象则其相应部分在某些关系上相似。”学习二次根式时可以同算术平方根的符号、性质类比，这样学习数学就能逐步提高思维能力。 （3）抓审题，提高素质 由于前面分析过的难点，就使得学习时容易出现错误，特别在解题时，如不仔细审题，就容易用错概念，或挖掘不出隐含在题意或符号、算式中的关系和条件，所以在审题时要细心观察，善于联想，去伪存真，巧妙转化；再有，二次根式运算的题目往往比较繁杂，计算时要学会调控自己的情绪，沉着冷静，切忌浮躁，养成“审题、检查、反思”的学习习惯，培养良好的心理素质，提高自身综合素质。 （4）抓“化简”，落实双基 本章学习要抓住二次根式的运算这条主线，而二次根式的化简又是运算的表现形式，因此，要通过“化简”把算术平方根和二次根式的概念、性质，以至多项式的运算、多项式的因式分解等等知识有机地结合起来，并通过“化简”做到“明白算理，运算熟练，结果正确。”
【典型例题】 例1. 如果23322yxx，则2xy=_______.
分析： 根据二次根式的概念，在a中，a必须是非负数，即a≥0，可以是单项式，也可以是多项式.所以由已知条件，得23x≥0且32x≥0. 解：由题意得23x≥0且32x≥0，∴32x，y=2，∴2xy=5.
例2. 已知数a，b，若2()ab=b－a，则 ( ) A. a>b B. a解析：此题是二次根式2a的性质的应用，根据其性质，即是指|a－b|=b－a，根据绝对值的意义，可得a－b≤0，所以有a≤b，故选D.
例3. 当22aaaa成立时，a的取值范围是___________. 分析：商的算术平方根的性质aabb成立的条件是a≥0，b＞0，不能与二次根式有意义的条件混淆. 解：由a≥0和2－a＞0得0≤a＜2.
例4. 若|1|2b4aba与互为相反数，则2004)ba(_______。 解析：|1|2b4aba与互为相反数， 用心 爱心 专心 3
1|240|1|0,a2b40ababab而
04b2a,01ba 1b2a
20042004200420043)3()12()ba(
点评：绝对值、算术平方根、完全平方数为非负数。即：0|a|，0a，0a2。非负数有一个重要的性质，即若干个非负数的和等于零，那么每一个非负数分别为零。即：0b,0a0b|a|；0c,0a0c|a|2；0c,0b0cb2；
0c,0b,0a0cb|a|2.
例5. 将1aa 根号外的a移到根号内，得 ( ) A. a； B. －a； C. －a； D. a 分析：字母从根号外移到根号内，应特别注意其正负情况，是正数则可以平方后直接移到根号内，与根号内的被开方数相乘，是负数则应整理后再做移动.此题隐含了条件a＜0，所以绝不可直接平方后移动.
解：由已知得a＜0，所以1aa=－(－a)1a=－21()()aa=－a.故选B.
例6. 在实数范围内分解因式。 （1）3x42； （2）4y94
解：（1）原式)3x2)(3x2( （2）原式)2y3)(2y3)(2y3()2y3)(2y3(222
例7. 比较下列数值的大小。（2001） （1）3.4554与； （2）225103与 分析：为了比较两个数的大小，本题要用乘法运算的逆向思维法解决。 用心 爱心 专心 4
解：（1） 由8580，得4.3554 （2）30213103213)103(2 40213225213)225(2 由4021330213，得225103 考点：无理数大小比较的常用方法。
例8. 6的整数部分是_________，小数部分是________。 分析：因为6是无理数，即无限不循环小数，所以把6分成整数部分a和小数部分b，其中a是小于6且最靠近6的整数，而1b0，这样就可以从1a60中先求出a，再求出b。
解：964，即22362， 362，即1260 又6是无限不循环小数。 6的整数部分是2，小数部分是26。
例9. 计算： （1）10)21()2006(|3|12；
（2）3|3|)15(201； （3）2818)212(2； （4）02)36(|221|8)3(； 用心 爱心 专心 5
（5）计算：0)13(8121； （6）计算：21122 （7）计算：)3223)(3223(1313； （8）计算：211)223(23822 （9）计算：11322572767311145 （10）计算：32aa9a3a 分析： 这类二次根式的混合运算计算题一直是中考的重点，要求在计算时，注意题目的特点，确定运算顺序，根据二次根式的性质化简二次根式，特别是正确地进行分母有理化，使运算合理、正确、简便。
解：（1）原式23312
331 （2）原式2333121
（3）原式2
222312
2(32)33122；
（4）原式9111222291； （5）0)13(8121
212212
（6）21122 用心 爱心 专心 6
1122212122 （7）)3223)(3223(1313 ])32()23[(2)13(222 )1218(32 43；
（8）211)223(23822
2112928)12(1229224 11；
（9）
11322572767311145)311(2527)27(2273114 737 （10）由所给算式知0a
a3a2a3a3aaa)32(a3aa3a32aa9a3a2
a3aa3 a
例10. 观察下列各式及其验证过程： 用心 爱心 专心 7
222233， 验证：3322222(22)22(21)22223321213；
333388验证： 3322233(33)33(33)33338831318.
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4415的变形结果，并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程. 分析：这是一道规律探索题，探索某些特殊的二次根式，可以将根号外面的数直接移到根号内与被开方数相加.通过观察不难发现，这类特殊的二次根式其根号外面的数与根号内的数的分子相同，根号内的数的分母是根号外的数的平方与1的差.其验证过程也给我们提供了解题思路.
解：（1）44441515； 验证略
（2）2211nnnnnn
(n≥2，且是整数).
验证： 21nnn321nn3222(1)11nnnnnnnn21nnn.
例11. 已知15a21231321211，则a_________ 分析：把已知式的前三项分母有理化后，解出a。 解：已知式化为
15a21322312
25a21
251a2，
25a2，
5a 点评：因a21之前的各项分母有理化后，“环环相扣，前后相消”，仅留2，就好求a
