高中数学苏教版必修2《空间几何体的体积》(第2课时)word教案

高一数学教学案(137)必修 2 空间几何体的体积（二）班级 姓名目标要求1、 掌握球的表面积公式和体积公式及其应用；2、 了解“积分”、“无穷”、“极限”的思想； 重点难点重点：球的表面积公式和体积公式及其应用； 难点：“积分”、“极限”等思想的感悟； 典例剖析例1、一个空心的钢球，外直径为12cm ，壁厚0.2cm ，问它在水中能浮起来吗（钢的密度是7.8g/3cm ）？和它同样尺寸的空心铅球呢（铅的密度是11.4g/3cm ）？例2例3、已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球体积是多少？例4、左图是一个奖杯的三视图（单位：cm），试画出它的Array cm）直观图，并计算这个奖杯的体积（精确到0.013学习反思1、球的表面积公式是；球的体积公式是；2、球的截面是，若球半径是R，截面圆半径是r，球心到截面的距离为d，则R、r、d之间的关系是；课堂练习1、钢球由于热膨胀而使半径增加千分之一，那么它的体积增加约几分之几？2、 计算地球的表面积（地球的半径约为6370km ，结果保留4位有效数字） .3、半径为R 的球有内接正方体，正方体的内切球半径为r ，则Rr等于____________. 4、如果一个圆柱和一个圆锥的底面直径和高都与球的直径相等，那么圆柱、球、圆锥的体积之比是_______________.5、一个半径为R 的球面积为1S ，它的内接等边圆柱（即轴截面为正方形）的全面积为2S ，内接等边圆锥（即轴截面为等边三角形）的全面积为3S ，则1S ：2S ：3S 之间的关系是________.高一数学作业(137)班级 姓名 得分1、三个大小不等的球，若它们的表面积之比是1：2：3，则它们的体积之比等于 .2、若球的大圆面积扩大到原来的二倍，那么它的体积扩大到原来的 倍.3、一球与边长是a 的正方体的各棱相切，则球的表面积为 .4、一球的外切圆台上、下底面半径为r 、R ，则球面半径为 .5、梯形ABCD 是圆台的轴截面，下底BC=10cm ，底角60C ∠=︒，AB=6cm ，则这个圆台的体积为 .6、已知正方体的棱长为a, 则正方体的外接球的表面积为________________.7、已知长方体的三条棱长分别为a,b,c,则长方体的外接球半径为_________________.8、圆锥底面积和它的内切球的表面积分别为1S 和2S ，且1S ：2S =3：4，则该圆锥侧面展开图扇形的圆心角为______________.9、已知球、正方体和等边圆柱（轴截面是正方形）的体积相等，记它们的表面积为S 球，S 正方体， S 柱，则表面积之间的大小关系是_______________.10、（1）火星的半径约是地球的一半，地球表面积是火星表面积的多少倍？（2）木星的表面积约是地球的120倍，它的体积约是地球的多少倍？11、一几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）（1）试画出它的直观图；（2）求它的体积；12、已知圆锥的母线长为10cm，高为8cm，求此圆锥的内切球的体积.高一数学教学案(133)必修 2 平面与平面的位置关系（5）班级 姓名目标要求1、进一步掌握面面垂直的判定定理及其应用；2、理解两平面垂直的性质定理；3、线面平行、垂直关系的综合应用． 重点难点重点：两平面垂直的性质定理及应用； 难点：线面平行、垂直关系的相互转化． 典例剖析例1、求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．例2、如图，已知平面α平面β＝l ，,αβ同垂直于平面γ．求证：l γ⊥．例3、如图，已知PA ⊥平面,ABCD ABCD 为矩形，M 、N 分别为AB 、PC 的中点． （1）求证：MN AB ⊥；γβlα（2）若平面PDC 与平面ABCD 成045角，求证：平面MND ⊥平面PDC ．学习反思1、两平面垂直的性质定理是 , 其实质是 ．2、领悟转化思想：线⊥线线⊥面面⊥面．课堂练习1、已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，且a α⊥，b β⊥，则下列命题中的真命题的序号是__________________.(1) 若//a b ，则//αβ (2) 若αβ⊥，则a b ⊥ (3) 若,a b 相交，则,αβ相交 (4) 若,αβ相交，则,a b 相交 2、设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥； ②若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥ ； ③若//m α，//n α，则//m n ； ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ． 其中正确命题的序号是__________________．3、E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和CD 的中点，EF 、BD 相交于O , 以EF 为棱将正方形折成直角二面角，则BOD ∠= ．4、如图,αβ⊥ ，l αβ=，,,,,AB AB l BC DE BC DE αββ⊂⊥⊂⊂⊥ ．求证：AC DE ⊥．_ M_ E _ P_ N_ D _ C_ B _ Aαl A B ECDβ高一数学作业(133)班级 姓名 得分1、l 、m 、n 表示直线，,αβ表示平面，则下列命题中正确的序号是________________. (1)若//,,,//l n l n αβαβ⊂⊂则 (2)若,,l l αβαβ⊥⊂⊥则 (3)若,,//l n m n l m ⊥⊥则 (4)若,//,l l αβαβ⊥⊥则2、m 、n 表示直线，,,αβγ表示平面，给出下列四个命题 ①若m αβ=，n α⊂，n m ⊥，则αβ⊥；②若αβ⊥，m αγ=，n βγ=，则m n ⊥ ；③若αβ⊥，αγ⊥，m βγ=，则m α⊥；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥则αβ⊥． 其中正确命题为 ．3、ABCD 是正方形，以BD 为棱把它折成直二面角A BD C --, E 为CD 的中点， 则AED ∠的大小为________．4、三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O ，点P 到三个面的距离分别是3，4， 5， 则OP 的长为 ．5、,αβ是两个不同的平面，,m n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：① m n ⊥；②αβ⊥； ③n β⊥； ④m α⊥ ．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：． 6、在直二面角l αβ--内放置木棒AB ,,A B αβ∈∈．如果AB 与平面β成045的角，AB 在平面β内的射影与棱l 成045的角，求AB 与平面α所成的角．BAαlβ7、如图，在四面体ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，090ABC ∠=,AE CD ⊥,AF DB ⊥．求证：（1）EF DC ⊥；（2）平面DBC ⊥平面AEF ．8、如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 把BCD ∆折起，使C 移到1C 点，且1C 在平面ABD 上的射影O 恰好在AB 上． （1）求证：1AD BC ⊥；（2）求证：面1ADC ⊥面1BDC ．DFECBA c 1ODCBA。

江苏省涟水县第一中学高中数学 空间几何体的体积（一）教学案 苏教版必修2总 课 题 空间几何体的表面积和体积总课时 第16课时 分 课 题分课时第 2 课时教学目标 了解柱、锥、台、球体积的计算公式． 重点难点 柱、锥、台、球体积计算公式的运用．引入新课1．圆锥形烟囱的底面半径是cm 40，高是cm 30．已知每平方米需要油漆g 150，油漆100个这样的烟囱帽的外表面，共需油漆多少千克？（π取14.3，精确到kg 1.0）2．某长方体纸盒的长、宽、高分别为cm 7，cm 5，cm 4，则每层有57⨯个单位正方体，共有4层，因此它的体积为______________________．设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，那么它的体积为________或________． 3．柱体、锥体、台体、球的体积公式：=柱体V ____________________________________________． =锥体V ____________________________________________． =台体V ____________________________________________． =球V _____________________________________________．4．球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球半径．球的表面积公式为______________________；这表明球的表面积是球大圆面积的4倍． 例题剖析例 1 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯（如图）共重kg 6．已知毛坯底面正六边形边长是mm 12，高是mm 10，内孔直径是mm 10．那么这堆毛坯约有多少个？（铁的密度是3/8.7cm g ）例2 （12江苏）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =， 则四棱锥11A BB D D -的体积为 cm 3．巩固练习1． 用一张长cm 12、宽cm 8的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积．2．已知一个铜质的五棱柱的底面积为216cm ，高为cm 4，现将它熔化后铸成一个正方体铜块，那么铸成的铜块的棱长为多少（不计损耗）？3．若一个六棱锥的高为cm 10，底面是边长为cm 6的正六边形，求这个六棱锥的体积．课堂小结柱、锥、台、球体积计算公式的运用．ABC PO班级：高一（____）班 姓名：____________一 基础题1．圆台上下底面直径分别为cm 10，cm 20，高为cm 2，则圆台的体积为_______3cm ．2．已知矩形的长为a 2，宽为a ，将此矩形卷成一个圆柱，则此圆柱的体积为______．3．长方体相邻的三个面的面积分别为2，3和6，则该长方体的体积为_____．4．若一个圆台的下底面面积是上底面面积的4倍，高是cm 3，体积是363cm π， 则圆台的侧面积是____________．5．若一圆锥的轴截面是边长为a 的正三角形，则该圆锥的内切球的体积为_____．6．已知正三棱锥的侧面积为318，高为3，求它的体积．7．若干体积的水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水平面的高度为cm 6， 若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥器皿中，求水面的高度．。

2019苏教版必修二1.3《空间几何体的表面积和体积》word教案一、教学目标1、知识与技能（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。

（2）能运用公式求柱体、锥体和台体的全面积和体积，并且熟悉柱体、锥体与台体之间的转换关系。

（3）培养学生空间想象能力和思维能力。

2、过程与方法（1）让学生经历几何全的侧面展开过程，体验用平面的知识来研究空间几何体的性质的方法。

（2）让学生学会用比较方法，思考柱体、锥体、台体的面积和体积公式之间的关系.3、情感与价值通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的应用价值，增强学习的积极性.二、教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算难点：台体侧面积公式和体积公式的推导三、教学方法与教学用具1、教学方法：启发式，探究.2、教学用具：实物几何体，投影仪四、教学设想（一）创设情境、导入新课（1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？借助媒体投影，引导学生回忆，互相交流，教师归类.（2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入新课.（二）师生互动、探究新知1. 探究棱柱、棱锥、棱台的表面积公式或求法（1）利用多媒体设备向学生投放长方体、椎体、台体的侧面展开图，引导学生得出棱柱、棱锥、棱台的表面积的一般求法.（2）组织学生分组讨论：这三类空间几何体的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？（3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评.2. 探究圆柱、圆锥、圆台的表面积公式或求法（1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式:（其中为母线长，r为底面半径）（其中为母线长，r为底面半径）（其中r1为上底半径 r为下底半径为母线长）（2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系.3. 探究柱体、锥体、台体的体积1）. 引导同学阅读材料，了解转化原理，知道任意一个柱体（棱柱、圆柱）都可以转化为一个等高等底的体积的长方体,知道柱体体积公式的由来.2）.教师引导学生探究：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解.3）教师指导学生思考，一个台体体积可以看成由一个大锥体的体积减去一个小锥体的体积.4）引导学生比较柱体、锥体，台体的体积公式之间存在的关系.(s′,s分别为上下底面面积，h为台柱高)（三）概念辨析，巩固提高例1.已知棱长为a，底面为正方形，各侧面均为等边三角形的四棱锥S-ABCD，求它的表面积.例2.一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm，为了美化花盆的外观，需要涂油漆. 已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（精确到1毫升）？例3.有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？（四）课堂小结本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积和体积的结构和求解方法及公式.用联系的关点看待三者之间的关系，更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握.（五）布置作业P27 练习1,2P28-30习题1.3 A组1，2，3，4，5，6.§1.3.2 球的体积和表面积一. 教学目标１． 知识与技能（1）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题.（2）理解球面距离的概念.２． 过程与方法经历用公式求球的体积和表面积及球面距离的过程.３． 情感与价值观通过学习，使同学感受球的体积和面积公式的使用价值，增强了我们探索问题和解决问题的信心.二. 教学重点、难点重点：会用球的体积公式和表面积公式解决实际问题难点：球面距离的概念及其求法.三. 教学方法和教学用具１． 教学方法：讲练结合２． 教学用具：实物、多媒体投影仪四. 教学设计（一） 创设情景，导入新课⑴教师设问1：球是旋转体，但也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考.⑵教师设问2：球面上任意两点间的距离怎么度量？（二） 师生互动，探究新知1．球的体积公式和表面积公式及其推导简介：教师根据学生情况介绍球的体积公式和表面积公式是用切割求极限思想方法得到的.具体如下：如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行.步骤：第一步：分割如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n 等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n 个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为，底面是“小圆片”的底面. 如图：得)1(])1(1[232n i n i n R n R r V i i ⋯⋯=--=⋅⋅≈、２ ππ 第二步：求和]6)2)(1(1[113321n n n R v v v v ---≈++++π ＝Ｖ半球 第三步：化为准确的和当n →∞时， →0 （同学们讨论得出）所以得到定理：半径是Ｒ的球的体积同理可得球的表面积公式：例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.2. 球面距离球面距离即球面上两点间的最短距离，是指经过这两点和球心的大圆的劣弧的长度.例2. 已知地球的半径为R,在地球的赤道上经度差为1200的两点间距离.（三）概念辨析、巩固提高例3. 长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 .例4．一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3).(四) 小结本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法.（五）作业P28 练习1，2，3P29-30 习题 B组 1,2,3。

棱锥的体积（2）教学目标：1、进一步掌握椎体的体积公式及应用。

2、2、了解割补法在求几何体体积中的作用，能运用割补法对几何体进行简单的拼补或切割以达到求几何体体积的目的。

3、在提供的问题情境及解决问题的提示下，通过独立思考，小组讨论等方法，自主探索问题的答案，提高学生的空间想象能力和分析问题的能力。

教学重点、难点：1、求空间几何体体积的规范解题。

2、割补法的灵活运用。

教学过程：一、典例回顾例题：三棱锥S-ABC中，SA,SB,SC三条侧棱两两垂直，且满足SA=SB=SC=1，求此三棱锥的体积。

“直接代体积公式”“等体积转化”【设计意图】：1、回顾棱锥的体积公式，引出求体积的基本方法——直接代公式。

2、复习正棱锥的基本概念和基本结论，等边三角形中高、面积、重心等基本问题。

3、强化求体积解答题的规范，先找高，再证明，最后才计算。

4、通过转化顶点，重新确定垂线与垂面，引出求棱锥体积的第二种方法——等体积转化。

二、素养提升变式1：三棱锥S-ABC中，各棱长都为，求此三棱锥的体积。

“直接代公式” “补体法”【设计意图】： 1、 在例题的基础上稍做变化，将正三棱锥变为正四面体。

由于正四面体是正三棱锥的一种特殊类型，所以方法一——直接代公式法在本题中依旧可行，让学生体会其中的“变”与“不变”。

2、 转换顶点的方法在这题中就失效了。

3、 回顾之前正方体的研究，在正方体中有一些特殊的三棱锥，我们既要能拿得出来，也要能放得进去。

由此引出求棱锥体积的第三种方法——补体法。

4、 再反思刚才的例题，能不能也用补体法解决呢？还能再次巩固一些正方体中关于点线面的经典结论。

变式2：三棱锥S-ABC ，SA=BC=5，SB=AC =， SC=AB=，求三棱锥的体积。

提示：分别以三组对棱作为一长方体的相对面的对角线，将原三棱锥补成一个长方体，如图，则V S-ABC =V 长方体-4V 。

设长方体长宽高分别为a 、b 、c ，则有： 20543614543543413425222222=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=⇒⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+-ABC S V c b a c b c a b a `ABS S -所以三棱锥S-ABC的体积为2021方单位）。

《空间几何体的表面积和体积》知识要点精析一．学习目标根据新的课程理念的要求，要“用教材教”，而不能一味地“教教材”。

那么，对于《立体几何初步》这一章的第3节《空间几何体的表面积和体积》来说，在学习的过程中，怎样准确地把握教与学的尺度呢？本章内容是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，重点是帮助学生逐步形成空间想象能力。

为了符合学生的认知规律，培养学生对几何学习的兴趣，增进学生对几何本质的理解，本章在内容的选编及内容的呈现方式上，与以往相比有较大的变化。

首先，通过观察和操作，使学生了解空间简单几何体（柱、锥、台、球）的结构特征，以此作为发展空间想象能力的基本模型；然后，通过归纳和分析，使学生进一步认识和理解空间的点、线、面之间的位置关系，作为思维辨证的基础。

由于几何图形的面积和体积的计算需要应用垂直的概念，因而这一部分内容放入本章最后一节。

本章内容的设计遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，强调借助实物模型，通过整体观察、直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算，引导学生多角度、多层次地揭示空间图形的本质；重视合情推理和逻辑推理的结合，注意适度形式化；倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，帮助学生完善思维结构，发展空间想象能力。

二．知识点拨《空间几何体的表面积和体积》这一节，新教材没有像以往那样重在介绍公式的推导过程，而是侧重介绍了公式推导的思想方法，采用了“阅读”的形式介绍了祖恒原理，让学生体会祖恒原理和积分思想。

为了增强学生的数学应用意识，教材还通过“问题与建模”栏目介绍了两种体积计算的近似方法，既有利于提高学生的建模能力，又为学生解决生产、实践中的实际问题提供了知识基础和基本思想。

教材内容突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索、研究空间几何图形的过程，涉及的数学思想主要有数形结合思想、符号化与形式化思想、化归思想等，涉及的一般科学方法主要有观察、实验、归纳、类比、分析、综合、抽象等。

课题：空间几何体的体积
一、教学目标：
⒈知识目标：掌握棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积的推导方法，理解祖暅原理，会应用棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式。

⒉能力目标：通过学习祖暅原理，理解祖暅原理的内涵，体验空间与平面问题互相转化的方法，体会到复杂的体积问题怎样转化为简单的体积问题而得到解决，从而提高学生的数学思维能力。

⒊德育目标：学生通过学习祖暅原理，了解我国古代数学家在这方面作出的突出成就，受到爱国主义教育，提高学习数学的兴趣。

二、教学重点与难点：
重点是棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式的推导方法。

难点是对祖暅原理的理解和棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式的应用。

三、教学方法与教学手段：
教学方法：本节课的课型为“新授课”。

虽然学生初中已经学习了圆柱、圆锥的体积的公式，但用的是实验验证的方法，并没有从根本上理解圆柱、圆锥的体积公式的由来，本课采用推导的方法，以长方体的体积公式和祖暅原理为基础推导出几种几何体的体积公式，通过不同形式的探究过程，让学生积极参与到教学活动中来，并且始终处于积极的问题探究和辨析思考的学习气氛中。

教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率。

四、教学过程：。

课时15 空间几何体的体积（2）【课标展示】1．理解球的表面积公式的推导。

2．会求一些球的组合体中的面积与体积的问题.【课前预习】（一）学点：1．球没有底面,也不能像柱体、锥体、台体那样展成平面图形，它的体积和表面积的求法涉及极限思想(一种很重要的数学方法).经过推导证明：2．球的体积公式3．球的表面积公式其中，R为球的半径.显然，球的体积和表面积的大小只与有关.（二）练习：1．火星的半径大约是地球的一半，地球表面积是火星表面积的倍。

2．木星的表面积大约是地球的120倍，它的体积约是地球的倍。

3．三个球的半径之比是1：2；3，则其中最大的一个球的体积是另外两个球的体积之和的倍。

4．一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm ,则球的体积为。

5．设P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1 cm ,求球O的体积与表面积。

【课堂探究】例1． 若圆柱的底面积是29cm ，其侧面展开图是正方形，求该圆柱的体积。

例2.一个正方体内接于半径为R 的球内,求正方体的体积.例3、 已知正四面体的棱长为a ，四个顶点都在同一个球面上，试求这个球的表面积和体积。

【课时作业15】1．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 .2．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则rR= . 3.已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于 .4.一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3则此球的表面积为__________.5. 已知球的两个平行截面的面积分别为25cm π和28cm π，且截面位于球心的同一侧，它们相距1cm ，则该球的球面面积为 ．6.把边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D 四点所在的球面上，则该球的球面积为 .7. 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并向容器内注水，使球浸入水中且水面恰好与铁球面相切，将球取出后，容器内的水深是多少？8. 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.9．（探究创新题）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体.ASCB10．已知三棱锥S ABC-的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=，求球的体积与三棱锥体积之比是多少?【疑点反馈】（通过本课时的学习、作业之后，还有哪些没有搞懂的知识，请记录下来）课时15 空间几何体的体积（2）（二）练习：1、4倍2、120120倍3、34、π35005、)(233m V π=，)(32m S π= 【课堂探究】例1、解：设圆柱的底面半径为rcm ，母线长为l cm ，则ππ92=r ，即3=r ，又圆柱的侧面展开图是正方形，故,62ππ==r l 所以该圆柱的体积为).(546932cm πππ=⨯ 例2、解：因为正方体内接于球内，所以正方体的8个定点均在球面上，又正方体和球体都为 a , 则所以,正方体的体积为:例3、解：设正四面体PABC 的高为1PO ，球心为O ，半径为R ，则a AB AO 33331==， 在A PO Rt 1∆中，a a a AO PA PO 36)33(222121=-=-=， 在A OO Rt 1∆中，21212OO AO AO +=，即222)36()33(R a a R -+=，解得a R 46=， 所以球的表面积22223)46(44a a R S πππ===， 体积.86)46(3434333a a R V πππ===【课时作业15】1． 50π2．332解析：水面高度升高r ，则圆柱体积增加πR 2·r 。

第19课时 空间几何体的体积（2)一、【学习导航】学习要求１．理解球的表面积公式的推导。

2.会求一些球的组合体中的面积与体积的问题。

【课堂互动】自学评价球的表面积公式：24R S π=．【精典范例】例1：已知一个正四面体内接在一个表面积为36π的球内，求这个四面体的表面积和体积.【解】设球半径为Ｒ，正四面体棱长为a ．则Ｒ＝３,且222)36()33(R a a R -+=得62362==R a所以表面积＝４324432=⨯a 体积＝383643312=⨯⨯a a ． 注：棱长为a 的正四面体的外接球的半径Ｒ＝a 46，内切球的半径r=a 46.例2:已知上、下底半径分别为r 、R 的圆台有一内切球,(1） 求这圆台的侧面积S 1 ;(2） 求这圆台的体积V .(3) 求球的表面积与体积．【解】(1） S 1=2)(R r +π（2）由于圆台高Rr r R r R h 2)()(22=--+= 所以体积＝)(3222r Rr R Rr ++π(３）球的表面积＝Rr π4 球的体积＝Rr Rr π34．思维点拨一些重要结论要是能记住那将是非常好的事情．如正四面体外接球半径、内切球半径与正四面体棱长的关系式。

追踪训练1。

P 、A 、B 、C 为球面上的四个点, 若PA 、PB 、PC 两两互相垂直, 且PA=3cm 、PB=4cm 、PC=6cm ， 求这个球的表面积.答案:球半径Ｒ＝π261所以球的表面积为261cm π2.正方体， 等边圆柱(底面直径和高相等的圆柱),球的体积相等， 则哪一个表面积最小?思路：设三种几何体的体积为Ｖ．则正方体棱长a=3V所以正方体的表面积＝62a =323216V • 等边圆柱的底面半径32πV r =。

等边圆柱的表面积＝32354V •π球半径R=343πV r = 球的表面积＝32336V •π所以：正方体的表面积>等边圆柱的表面积>球的表面积.第19课 空间几何体的体积（2）分层训练１．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（ ）(A ）π28 (B ）π8 （C ）π24 （D ）π4２．（06四川） 如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上,如果163P ABCD V-=,则球O 的表面积是（ ）（A)4π（B ）8π(C ）12π（D）16π３．在正三棱锥S—ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM,若侧棱SA=32,则此正三棱锥S-ABC外接球的表面积是（）A。

高中数学：1.3《空间几何体的体积2》教案（苏教版必修2）总课题空间几何体的表面积和体积总课时第17课时分课题空间几何体的体积(二)分课时第 2 课时教学目标初步掌握求体积的常规方法，例如割补法，等积转换等．重点难点割补法，等积转换等方法的运用．?引入新课1．如图，在三棱锥中，已知，，，，且．求证：三棱锥的体积为．2．一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果将冰淇淋全部放入杯中，能放下吗？?例题剖析例1 将半径分别为、、的三个锡球熔成一个大锡球，求这个大锡球的表面积．?巩固练习1．两个球的体积之比为，则这两个球的表面积之比是_____________________．2．若两个球的表面积之差为，两球面上两个大圆周长之和为，则这两球的半径之差为_____________________________．3．如果一个圆柱和一个圆锥的底面直径和高都与球的直径相等．求证：圆柱、球、圆锥体积的比是．?课堂小结割补法，等积转换等方法的运用．?课后训练一基础题1．一个圆锥的底面半径和一个球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为______．2．球面面积膨胀为原来的两倍，其体积变为原来的______________________倍．3．正方体的全面积为，一个球内切于该正方体，那么球的体积是________．4．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则这个球的表面积为_______．5．已知：是棱长为的正方体，，分别为棱与的中点，求四棱锥的体积．二提高题6．一个长、宽、高分别为、、的水槽中有水．现放入一个直径为的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中流出？三能力题7．设，，，分别为四面体中，，，的中点．求证：四面体被平面分成等积的两部分．。

高二年级数学教学案（2010年9月29日）
想一想：从球的表面积公式和体积公式看，球的表面积和体积是关于半径的函数吗？
（2）体积公式之间的关系：
．如何理解锥体的体积公式？
）可理解为“锥体的体积是与它底面积相同、高相等的柱体体积的
）三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，因此求三棱锥的体积时可更换三棱锥的顶点和底面，寻求底面积与高易求的三棱锥。

，从中间挖去一个直径为10cm的
6cm，高为3cm，下面是正六
2cm的圆柱，求此几何体的体
⊥CD，PA＝1，PD
AC
）的两部分，
，求三棱锥A1－ABC，B－
．如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等。

相传这个圆形表达了阿基米德最引以为豪的发现，我们来
2
）球的表面积等于圆柱表面积的
3
所在直线为轴，旋转一周得到
．求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形或四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的射影组成的直角三角形，进而求解。

需用到线面垂直的判定方法，．球的表面积公式和体积公式揭示出球的表面积和体积只与球的半径有关，因此，在解决此。