湘教版数学七年级下册：2.2《乘法公式》课件(共17张)

（2）完全平方公式： (a+b)2 = a²+2ab+b² (a-b)² = a²-2ab+b²
注意： 公式中的 a 与 b 既可以是数，又 可以是单项式 和 多项式.
课堂小结
如何运用乘法公式进行计算： 1. 先观察式子的特点，选取适当的乘法公式； 2. 有时会结合其它运算法则； 3. 灵活运用公式进行求值计算.
把 x+y 看做一个整体
遇到多项式的乘法时，我 们要先观察式子的特征， 看能否运用乘法公式，以
达到简化运算的目的.
典例精析
【例8】运用乘法公式计算：
（1）[(a+3)(a-3)]2;
（2）(a-b+c)(a+b-c).
解:（1）[(a+3)(a-3)]2 = (a2-9)2 = (a2)2-2·a2·9 + 92 = a4-18a2+81
2.2.3 运用乘法公式进行计算
湘教版数学七年级下册
教学目标
1.熟练地运用乘法公式进行计算. 2.能正确地根据题目的要求选择不同的乘法公式进行运算. 3.提高学生对乘法公式综合运用的能力，分析、解决问题的能力. 4.培养学生实事求是、科学严谨的学习态度. 【教学重点】 正确选择乘法公式进行运算. 【教学难点】 综合运用平方差和完全平方公式进行多项式的计算.
巩固练习
4. 解方程：
5x + 6(3x + 2)(-2 + 3x) - 54 (x-
1 3
)(x+
1) = 2
3
解: 5x + 6(9x2 - 4 ) – 54 (x2-
1
9) = 2
5x+54x2-24-54x2+6 = 2

39204
1.运用完全平方公式计算：
1x 42
2 a 32
x2 8x 16
a2 6a 9
33a2b2
9a2 12ab 4b2
44x3y2
16x2 24xy 9 y2
2. 运用完全平方公式计算：
1ab2
a2 2ab b2
2
1 2
x
4
y
2
1 x2 4 y 16 y2 4
(a b)2
a 2 + a b + a b + b 2
ab
b2 b
a2
ab a
a
b
例1
运用完全平方公式计算：
1 3a b2 解 13ab2
3a2 2 3a b b2
9a2 6ab b2
2
x
1 2
2
2
x1 22 来自x22x
1 2
1 2
2
x2 x 1 4
例2 运用完全平方公式计算：
第2章 整式的乘法 2.2.2 完全平方公式
怎样快速地计算 2x y 2，你能从上节中的方法得到启示吗？
可以这样算! 我们已经计算过：
ab2a22abb2
把 2x 与y 分别看成上式的 a 与 b，也就是把它们按下面 的方法对应起来，就可以直接得到结果.
2x y2 2x2 2 2x y y2 4x2 4xy y2
（1）(a－b)2与(b－a)2有什么关系？
( a b ) 2 a 2 2 a ( b ) ( b ) 2 a 2 2 a b b 2 ( b a ) 2 b 2 2 b ( a ) ( a ) 2 a 2 2 a b b 2
（2）(a+b)2与(－a－b)2有什么关系？

2 2
2、 若x y 44, x y 4, 则x y 11
3、若（-7m＋A）(4n＋B)=16n2－49m2
则 A= 4n B= 7m
2
4
4、a2＋b2－ab＋ 3ab =(a＋b )2
5、(a＋b)2=(a－b)2＋
4ab
6、已知(a＋b)2=9， (a－b)2=5 则 a2＋b2=
4 x,4 x
4x
4
类型三：待定系数
1、已知(x＋a)2 =x2－8x＋b,则（C
A、a=4 b=16 B、a=4 b=－16
）
C、a=-4 b=16
D、a=-4 b=-16
2、如果x2+ax+121是一个完全平方 式，则a的值是( D )
A、11 B、±11 C、22 D、±22
3、已知多项式x2-bx+24可分解成
=m8-32m4n4+256n8
7、请你好好想一想：
1 （1） 8 2
7
2
22
简便计 算
2011 （2） 2010 2012 1
(a+b)2=a2+b2+2ab
(a-b)2=a2+b2-2ab
再 回 首
常用的变形公式:
a2+b2=
(a+b)2-2ab =(a-b)2+2ab
∴ (a+1)2=0 (b-4)2=0 ∴ a= -1 b= 4
把a= -1 b= 4 代入得，
3(a-b)=3(-1-4)=-15
9、已知 ( x y 3)2 xy 2 0， 求x3y+2x2y2+xy3的值 10、已知a2+b2+4a-6b+13=0，求a2+b2的 值

例4 一个正方形花圃的边长增加到原来2倍还多1m， 它的面积就增加到原来的4倍还多21m2 ,求这个正方 形花圃原来的边长. 解 ：设正方形花圃原来的边长为 x m.
由数量关系 得： （2x +1）2= 4x 2+21
化简得: 4x 2+4x +1= 4x 2 +21 即 4x = 20
解得 x = 5. 答: 这个正方形花圃原来的边长为 5 m.
2.一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加 16cm2，求这个正方形原来的边长.
3.先化简，再求值：
2b2+(a+b)(a-b)-(a-b)2，其中a=-3，b=
1 2
.
解：原式=2b2+a2-b2-a2+2ab-b2=2ab.
当a=-3，b=
1 2
时，
原式=2×(-3)×12 = -3.
课堂小结
添括号时注意符号
1.要根据具体情况灵活运乘法公式、幂的运算性质 （正用与逆用）.
2.式子变形添括号时注意符号的变化.
怎样才能用完全 平方公式呢？
= [(a+b)+c]2 = (a+b)2+2(a+b)c+c2
解：(a+b-c)2 = [(a+b)-c]2 = (a+b)2-2(a+b)c+c2
= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
怎样计算下列各题： （1）(x+1)(x2+1)(x-1)； （2）(a+3)2(a-3)2； （3）(x+y+1)(x+y-1).
讨论：选择什么 方法呢？

用自己的语言叙述上面的公式 语言表述: 两数和 (或差的)平方，等于它们的平方和， 加 (或减)它们的积的2倍.
【例1】利用完全平方公式计算： (2x−3)2
注意： 完全平方公式的使用与平方差公式的使用一样, 先把要计算的式子与完全平方公式对照,
明确哪个是a , 哪个是b. 【解析】 (2x −3)2
你能继续做下去吗?
【解析】(1)(a+b)2 =
(a+b) (a+b)
=a2+2ab+b2.
=a2+ab+ab+b2
(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2.
(2)(a−b)2 =
[a+ ___(_−_b])2
利用两数和的 完全平方公式
推证公式
= 2a + 2 a (+−_b_)___2 (−b) = a2 − 2ab + b2.
=(x y)2 = x 2 2 x y y 2 ,故选项D正确.
2.用完全平方公式计算: (1)1012;(2)982.
2ab
a2+ ab+
ab+ b2.
a
b
公式: (a+b)2= a2 + 2 ab + b2.
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; (a−b)2= a2 −2ab+b2.
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它们成立吗?
(2) 小颖写出了如下的算式:
(a−b)2= [a+(−b)]2
她是怎么想的?
2.2.2 完全平方公式 2.2.3 运用乘法公式进行计算
1.经历探索完全平方公式的过程，进一步增强符号感和推理能力. 2.会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算. 3.了解完全平方公式的几何背景. 4.能够用乘法公式进行计算.

(3)(1+n)(1-n)=_1_2_-n_2_ (4)(10+5)(10-5)=_1_0_2-_5_2_
例题解学析一学
例1 利用平方差公式计算： (1) (2x+1)(2x−1)；(2) (x+2y)(x−2y); (3) (−m+n)(−m−n).
第一数a
平方
解: (1) (2x+11)(2x−11)=( 2x )2 − 12
第二项符号相反[互为相反数(式)];
(2) 公式右边是这两个数的平方差； 即右边是左边括号内的第一项的 平方减去第二项的平方.
(3) 公式中的 a和b 可以代表数， 也可以是代数式．
练习：
参照平方差公式“(a+b)(a-b)=a2-b2”判断下 列各式能否套用公式并填空。
(1)(t+s)(t-s)=_t_2-_s_2 (2)(3m+2n)(3m-2n)=_(_3_m_)_2_-(_2_n_)2
观察 & 发现 观察以上算
式及其运算结果，你发现了什么规律？
用式子表示，即：
(a+b)(a−b)= a2−b2.
两数和与这两数差的积, 等于 这两数的平方的差.
初识平方差公式
特征 结构
(a+b)(a−b)=a2−b
2
(1) 公式左边两个二项式必须是 相同两数的和与差相乘； 且左边两括号内的第一项相等、
《数学》(湘教版.七年级 下册)
2.1
回顾与思考
多项式乘法 法则是:
回顾 & 思考☞
用一个多项式的每一项 乘另一个多项式的每一项
再把所得的积相加.
利用多项式与多项式的乘法法则说出 (a＋b)(a-b)的结果.

6.(5x2-4y2)(-5x2+4y2)运算的结果是( )
(A)-25x4-16y4
(B)-25x4+40x2y2-16y4
(C)25x4-16y4
(D)25x4-40x2y2+16y4
【解析】选B.(5x2-4y2)(-5x2+4y2)
=-(5x2-4y2)(5x2-4y2)=-(5x2-4y2)2
(A)m+3 (B)m+6 (C)2m+3 (D)2m+6
【解析】选C.由题意知，长方形面积为(m+3)2m2=m2+6m+9-m2 =6m+9=3(2m+3)，因为长方形一边长为3，故另一边长为 2m+3.
2.下列选项中，与(x+y)2相等的是( )
(A)(-x+y)2 (B)(-x-y)2
(C)(x-y)2
【预习思考】 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里各项的符号应如何 处理？ 提示：各项都变号.
完全平方公式的应用 【例1】计算:(1)1972.(2)(x-2y+z)2. 【解题探究】(1)完全平方公式适用的前提是两数和(或差)的平 方，应把197看作哪两个数的和(或差)计算比较方便？ 答：200与3的差, 所以1972=(200-3)2
4.计算：(1)592=_____.(2)712=_____. 【解析】(1)592=(60-1)2=3 600-120+1=3 481. (2)712=(70+=5 041. 答案：(1)3 481 (2)5 041
乘法公式的综合运用 【例2】(6分)计算:(m-2n+3t)(m+2n-3t). 【规范解答】原式=［m-(2n-3t)］［m+(2n-3t)］ ……………………………………………………………………1分 =m2-(2n-3t)2 ……………………………………………………4 分 =m2-(4n212nt+9t2) ……………………………………………5分 =m2-4n2+12nt-9t2. ……………………………………………6

随堂练习
3.如图，将边长为（a+b）的正方形的面积分成四部分， 能验证的乘法公式是（ A ）
A.（a+b）2=a2+2ab+b2 B.（a-b）2=a2-2ab+b2 C.（a+b）（a-b）=a2-b2 D.a（a+b）=a2+ab
随堂练习
4.利用完全平方公式计算： （1）(5+3p)2;
解：(5+3p)2=9p2+30p+25.
第2章 整式的乘法
2.2 乘法公式
2.2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
完全平方公式
新知导入
看一看：观察下图中图形的构成，试着用多种方法表示 出中间小正方形的面积.
a
b
方法一：
b
(a-b)2
a
方法二：
(a+b)2-4ab a
b
b
a
课程讲授
1 完全平方公式
(a+b)2= a2+2ab+b2 . (a-b)2= a2-2ab+b2 .
课程讲授
1 完全平方公式
想一想： 你能根据图中图形的面积说明完全平方公式吗？
方法一：
b
(a+b)2
方法二：
a
2ab+a2+b2
(a+b)2 =2ab+a2+b2
a
b
课程讲授
1 完全平方公式
想一想： 你能根据图中图形的面积说明完全平方公式吗？
（2）(7x-2)2; 解：(7x-2)2=49x2-28x+4.

（2）(a+b)2与(－a－b)2有什么关系？
(ab)2a22abb2
( a b ) 2 ( a b ) 2 ( a b ) 2 a 2 2 a b b 2
例3 运用完全平方公式计算：
1 1 0 4 2
2 1982
1104210042
2198220022
1002 2100 4 42 40000 800 4
1 x2 4 y 16 y2 4
3.下面各式的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
1x22x24 不对
x 22 x2 2 2 x 22
x2 4x 4
2ab2a22abb2 不对
(a b)2 (a b)2 (a b)2
a2 2ab b2
❖不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月3日星期日2022/4/32022/4/32022/4/3 ❖书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/32022/4/32022/4/34/3/2022 ❖正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/32022/4/3April 3, 2022 ❖书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
1 x12
解 1x12
x2 2x 112
x2 2x 1
22x32
22x32
2x 32
或 x 12
2x 32
1 x2
4x2 12x 9
12 2 1 x x2
1 2x x2
（1）(a－b)2与(b－a)2有什么关系？
( a b ) 2 a 2 2 a ( b ) ( b ) 2 a 2 2 a b b 2 ( b a ) 2 b 2 2 b ( a ) ( a ) 2 a 2 2 a b b 2

（1）(x+1)(x2+1)(x-1) 交换律 解：原式=(x+1)(x-1)(x2+1)
平方差 公式
= (x2-1)(x2 +1 )
= x4-1
平方差公式
逆用积的乘方
（2）(a+3)2(a-3)2
解：原式=[(a+3)(a-3)]2 = (a2-9)2 平方差公式 = a4-18a+81
完全平方公式
2.一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加 16cm2，求这个正方形原来的边长.
解: 设正方形原来的边长为x cm. 列方程，得 (x +2)2 = x2+16 ， x2+4x+4= x2+16 4x=12 解得 x = 3.
答：这个正方形原来的边长为3cm.
3.先化简，再求值：
2b2+(a+b)(a-b)-(a-b)2，其中a=-3，b=
运用了何运算律？
= x4-81
(2) (2x+3)2(2x-3)2= 16a4-72a+81
（3）(a - b + c)(a + b - c)= a2-b2+2bc-c2
添括号时注意符号
1.要根据具体情况灵活运乘法公式、幂的运算性质 （正用与逆用）. 2.式子变形添括号时注意符号的变化.
例2 运用乘法公式计算：
怎样才能用完全
（1）(a+b+c)2；
平方公式呢？
（2）(a+b-c)2.
解：(a+b+c)2
解：(a+b-c)2
= [(a+b)+c]2
= [(a+b)-c]2