河海大学高等数学

高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案一、1、当10<<a 时，1022≤+<y x ；当1>a 时，122≥+y x ；2、负号；3、23;110⎰⎰⎰⎰-+=Dy e eydx dy d σ； 4、dt t t )()(22ψϕ'+'； 5、180π； 6、Cx xy=sin； 7、xxe C e C x C x C y 2423212sin 2cos -+++=； 8、1；二、1、D ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、B ； 7、A ； 8、C ； 三、1、21f y f x u '+'=∂∂；)(xy x g x yu +'=∂∂； 2、)()(t x f t x f x u --+=∂∂；)()(t x f t x f t u -++=∂∂； 四、1、)1(21420200220222-----===⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dx e dy dy e dx y y y x y ；2、⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=πππθθ2020212022132233142rdz r dr d dz r dr d I柱面坐标； 五、令2222,y x xQ y x y P +=+-=则xQy x x y y P ∂∂=+-=∂∂22222)(，)0,0(),(≠y x ； 于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0，0）时，xQy P ∂∂∂∂,在D 内连续。

所以由Green 公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0，0）时，xQy P ∂∂∂∂,在D 内除O （0，0）外都连续，此时作曲线+l 为)10(222<<=+εεy x ，逆时针方向，并假设*D 为+L 及-l 所围成区域，则πε2)(222*=+∂∂-∂∂+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+++-++++y x D ll L llL dxdy y Px Q Green I 公式六、由所给条件易得： 0)0()0(1)0(2)0(2=⇒-=f f f f又xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 =x x f x f x f x f x f x ∆-∆-∆+→∆)()()(1)()(lim 0xf x f x f x f x f x ∆-∆⋅∆-+=→∆)0()()()(1)(1lim 20 )](1)[0(2x f f +'= 即)0()(1)(2f x f x f '=+' c x f x f +⋅'=∴)0()(a r c t a n 即 ])0(tan[)(c x f x f +'= 又 0)0(=f 即Z k k c ∈=,π ))0(t a n ()(x f x f '=∴七、令t x =-2，考虑级数∑∞=++-11212)1(n n nn t212321232l i m t n t n t n n n =++++∞→ ∴当12<t 即1<t 时，亦即31<<x 时所给级数绝对收敛；当1<t 即3>x 或1<x 时，原级数发散；当1-=t 即1=x 时，级数∑∞=++-11121)1(n n n 收敛； 当1=t 即3=x 时，级数∑∞=+-1121)1(n nn 收敛； ∴级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。

高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案一、1、当10<<a 时，1022≤+<y x ；当1>a 时，122≥+y x ；2、负号；3、23;110⎰⎰⎰⎰-+=Dy e eydx dy d σ； 4、dt t t )()(22ψϕ'+'；5、180π；6、Cx xy =sin ；7、xxeC eC x C x C y 2423212sin 2cos-+++=； 8、1；二、1、D ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、B ； 7、A ； 8、C ； 三、1、21f y f x u '+'=∂∂；)(xy x g x yu +'=∂∂；2、)()(t x f t x f xu --+=∂∂；)()(t x f t x f tu -++=∂∂；四、1、)1(2142020220222-----===⎰⎰⎰⎰⎰edy yedx edy dy edx yyyxy；2、⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=πππθθ202212022132233142rdz r dr d dz r dr d I 柱面坐标；五、令2222,yx x Q yx y P +=+-=则xQ y x xy yP ∂∂=+-=∂∂22222)(，)0,0(),(≠y x ；于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0，0）时，xQy P ∂∂∂∂,在D 内连续。

所以由Green公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0，0）时，xQy P ∂∂∂∂,在D 内除O （0，0）外都连续，此时作曲线+l 为)10(222<<=+εεy x ，逆时针方向，并假设*D 为+L 及-l 所围成区域，则 πε2)(222*=+∂∂-∂∂+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+++-++++y x DllL llLdxdy yP xQ Green I 公式六、由所给条件易得： 0)0()0(1)0(2)0(2=⇒-=f f f f又xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0=xx f x f x f x f x f x ∆-∆-∆+→∆)()()(1)()(limxf x f x f x f x f x ∆-∆⋅∆-+=→∆)0()()()(1)(1lim2)](1)[0(2x f f +'=即)0()(1)(2f x f x f '=+'c x f x f +⋅'=∴)0()(a r c t a n 即 ])0(tan[)(c x f x f +'= 又 0)0(=f 即Z k k c ∈=,π ))0(t a n ()(x f x f '=∴七、令t x =-2，考虑级数∑∞=++-11212)1(n n nn t212321232lim t n t n tn n n =++++∞→ ∴当12<t 即1<t 时，亦即31<<x 时所给级数绝对收敛；当1<t 即3>x 或1<x 时，原级数发散；当1-=t 即1=x 时，级数∑∞=++-11121)1(n n n 收敛；当1=t 即3=x 时，级数∑∞=+-1121)1(n nn 收敛；∴级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。

第一章 函数、极限与连续Ex1 函数一、1．× 2. √ 3.√二、1．（－∞，＋∞），a a f =)( 2．f （x ）与h （x ）3．（1）[－1，1]（2）[1, 10]（3）[－2，－1]4．,2)1(+-=+x xx f x x f f =)]([ 5．65)(2+-=x x x f 6．2)(2-=x x f 7．x x x f -=-1log )(21，其定义域为（0，1）8．偶函数 9．⎩⎨⎧=≠=0001sgn 2x x x⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈--∈-=]2,1(1]1,1[)1,2[1)(x x xx x F 三、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤-+-≤<-≤≤=4643108311210)(22x x x x x x x x x S 四、⎩⎨⎧>-≤≤=50525.050015.0x x x xy 五、 ⎩⎨⎧+<≤<≤--=ππππππ)12(20222)(n x n n x n n x x f 六、⎪⎩⎪⎨⎧-<---=>-=-110111x x x x x x f ）（七、八、将x 换成x1，可解方程组得⎪⎭⎫⎝⎛--=bcx x ac b a x f 221)(，是奇函数。

Ex2 数列极限的概念一、1、,N ∃ 当n ＞N 时， 记为 )(lim ∞→→=∞→n A u A u n n n 或 2、只要ε21>n ， 取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε21N ， 13．只要ε999.0log >n ，取[]ε999.0log =N ， 即有极限 = 0 二、1． C 2. C 3. B三、1.证：要 n n n n 1)13((31341314222<+=-++ <ε, 取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1N , 则当n > N 时,就有 ε<-++34131422n n .2. 证：要επ<<-++n n n 20)1(2cos1 , 取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε2N ,3、证：{}n x Θ有界，M x N n M n ≤∈∀>∃∴|,,0都有对；又0lim =∞→n n y ，My N n N n εε<>∃>∀∴都有当对,,,0因此，对上述N ，当n ＞N 时，就有ε<n n y x ，0lim =∴∞→n n n y x .Ex3 函数极限的概念一、1．证：.sin ,,01,1,1sin ,022εεεεε<>>=><<>∀xxX x X x x x x 就有时则当故取则有要使得对 0sin lim =∴+∞→xxx 2．证：.1,,01,1,1111,022εεεεε<-+>>=><<++=-+>∀x x X x X x xx x x x 就有时则当故取则有要使得对0)1(lim 3=-+∴→x x x3. 证：.1153,20,03,32,231153,0εδεδεεε<-+<-<>=<-<-=-+>∀x x x x x 就有时则当故取则有要使得对 11)53(lim 2=+∴→x x .9,30,01,7min ,79,13,3,339,0:.4222εδεδεεε<-<-<<>⎭⎬⎫⎩⎨⎧=<-<-∴→<+-=->∀x x x x x x x x 就有时 则当故取因此可以限制 要使得　对证Θ9lim 23=∴→x x ,1lim 0=+→xx x Θ二、证： ,1lim 0-=-→x xxx x x 0lim→∴不存在。

高等数学河海大学教材高等数学是河海大学数学系的一门重要课程，它是一门理论性较强，内容较为深入的数学学科。

作为一所著名的工科院校，河海大学的高等数学教材承载了培养优秀工程技术人才的使命和责任。

本文将对河海大学高等数学教材的特点、内容以及其对学生的重要性等方面进行探讨。

一、河海大学高等数学教材的特点河海大学高等数学教材的编写经过深入研究和反复修改，具有以下几个特点：1. 强调理论联系：河海大学高等数学教材注重理论与实际的联系，力求将抽象的数学概念与工程技术实际相结合，使学生能够更好地应用所学知识解决实际问题。

2. 突出问题解决能力培养：教材中注重培养学生的问题解决能力，通过大量的例题和习题，锻炼学生的推理和分析能力，培养学生发现问题、解决问题的能力。

3. 增强应用意识：河海大学高等数学教材注重培养学生的应用意识，通过实例和案例的引入，让学生了解数学在工程技术中的重要性，激发学生学习的兴趣和动力。

二、河海大学高等数学教材的内容河海大学高等数学教材内容丰富，全面覆盖了高等数学的基本理论和方法。

主要包括以下几个方面：1. 数列与函数：介绍了数列的概念和性质，以及一元函数的极限、连续性和可导性等基本概念和定理。

2. 一元函数的微积分学：涵盖了一元函数的微分学和积分学，包括导数和微分、不定积分、定积分和反常积分等内容。

3. 多元函数与偏导数：介绍了多元函数的概念和性质，以及多元函数的偏导数、方向导数和全微分等内容。

4. 微分方程：讲解了一阶和高阶微分方程的基本理论和解法，包括常微分方程和偏微分方程等。

5. 无穷级数与幂级数：介绍了无穷级数和幂级数的概念、性质和求和等问题。

三、河海大学高等数学教材的重要性河海大学高等数学教材对学生的学习具有重要的影响和意义：1. 培养扎实的数学基础：高等数学是工科专业的基础课程，良好的高等数学基础对于学生的后续学习和研究具有重要的作用。

河海大学的高等数学教材通过系统的理论讲解和大量的例题习题，能够帮助学生建立起扎实的数学基础。