概率论与数理统计应用实验报告

西安交通大学实验报告

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课程：概率论与数理统计应用 实验名称：概率论在实验中的应用 实验日期：2015 年 12 月15 日

系 别：电信 专业班级：电信少41

姓 名：刘星辰 学号：2120406102

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一、实验目的：

1. 了解 matlab 在实现数学问题时如何应用；

2. 加强对 matlab 的操作能力；

3. 对实际问题在概率论中的应用的理解有所加深；

4. 将实际问题进行模拟，提高数学建模能力。

二、实验内容：

本次试验将解决下面 4 个问题：

1. 二项分布的泊松分布与正态分布的逼近；

2. 正态分布的数值计算；

3. 通过计算机模拟已有分布律进行模拟实验；

4. 进行蒲丰投针实验模拟。

三、实验问题分析、解决与思考：

1.二项分布的泊松分布与正态分布的逼近

设 X ~ B(n ，p) ，其中np=2

1) 对n=101,…,104,讨论用泊松分布逼近二项分布的误差。

画处逼近的图形

2) 对n=101,…,104, 计算 )505(≤

1）用二项分布计算

2）用泊松分布计算

3）用正态分布计算

比较用泊松分布逼近与正态分布逼近二项分布的优劣。

解：（1）

x = -10:0.1:10;

y1 = binopdf(x,10,2/10); %此处仅列出n=10时的二项分布语句

y2 = poisspdf(x,2); %泊松分布语句

plot(x,y1,'r') %做出二项分布图像

hold on

plot(x,y2,'b') %做出泊松分布图像

title('泊松分布逼近二项分布图像')

(图中红线为二项分布，蓝线为泊松分布)

n=10，很明显地看出拟合效果不太好，红线与蓝线没有完全重合：

n=100，放大之后可以看出还是有一部分没有很好地拟合（后为局部图）：

n=1000，仅仅只有一部分的拟合程度没有很完美（后为局部图）：

n=10000

可以看出，当n ≥ 100时拟合程度较好。

（2）

i=10; %计算不同分布情况下的P {5 ≤ X ≤ 50}

while i <= 100000

P1 = binocdf(50,i,2/i) - binocdf(5,i,2/i) %二项分布下的计算

P2 = poisscdf(50,2) - poisscdf(5,2)%泊松分布下的计算

P3 = normcdf((50+0.5-2)/(2*(1-2/i))^0.5) - normcdf((5-0.5-2)/(2*(1-2/i))^0.5)%正态分布下的计算

i = i*10;%计算不同分布情况下n=101,…,105下的概率

end

i=10; %计算不同分布情况下的P {20 ≤X ≤90}

while i <= 100000

P1 = binocdf(90,i,2/i) - binocdf(20,i,2/i) %二项分布下的计算

P2 = poisscdf(90,2) - poisscdf(20,2)%泊松分布下的计算

P3 = normcdf((90+0.5-2)/(2*(1-2/i))^0.5) - normcdf((20-0.5-2)/(2*(1-2/i))^0.5)%正态分布下的计算

i = i*10;%计算不同分布情况下n=101,…,105下的概率

end

结果：

（其中P1 对应二项分布，P2 对应泊松分布，P3 对应正态分布）

P {5 ≤X ≤50}

n=10:

P1 =0.0064

P2 =0.0166

P3 =0.0241

n=100:

P1 =0.0155

P2 =0.0166

P3 =0.0371

n=1000:

P1 =0.0165

P2 =0.0166

P3 =0.0384

n=10000:

P1 =0.0166

P2 =0.0166

P3 =0.0384

P {20 ≤X ≤90}

n=10:

P1 =0

P2 =6.1062e-15

P3 =0

n=100:

P1 =8.8818e-16

P2 =6.1062e-15

P3 =0

n=1000:

P1 =5.1070e -15

P2 =6.1062e -15

P3 =0

n=10000:

P1 =5.9952e -15

P2 =6.1062e -15

P3 =0

问题分析及其总结：

对于比较用泊松分布逼近与正态分布逼近二项分布的优劣，由上面的计算结果进行比较得出：二项分布 X ~ B(n, p)，当 n 很大，p 很小，而np = λ大小适中时，二项分布可用参数为λ = np 的泊松分布来近似；当 n 充分大，且 p 既不接近于0也不接近于1 时，二项分布 X ~ B(n, p)可用正态分布X ~ N(np, np(1 − p))来近似。

2.正态分布的数值计算

设～

； 1）当5.0,5.1==σμ时，计算}9.28.1{<

2）当5.0,5.1==σμ时,若95.0}{=

3）分别绘制3,2,1=μ，5.0=σ时的概率密度函数图形。

解：（1）

p1 = normcdf(2.9,1.5,0.5); %绘制均值为1.5，标准差为0.5的x<2.9的正态曲线 p2 = normcdf(1.8,1.5,0.5); %绘制均值为1.5，标准差为0.5的x<1.8的正态曲线 P1 = p1 - p2 %计算 P{1.8 < X < 2.9}

p3 = normcdf(-2.5,1.5,0.5); %绘制均值为1.5，标准差为0.5的x<-2.5的正态曲线 P2 = 1 - p3 %计算 P{−2.5 < X}

结果：P{1.8 < X < 2.9} = 0.2717, P{−2.5 < X} = 1.0000

（2）

x = norminv(0.95,1.5,0.5) %计算 P{X < x} = 0.95 时的x 值

结果：当P{X < x} = 0.95 时的 x 值为 2.3224

（3）

p1=normcdf(2.9,1.5,0.5);

p2=normcdf(1.8,1.5,0.5);

p3=normcdf(-2.5,1.5,0.5);

p1=p1-p2

p2=1-p3

daan=norminv(0.95,1.5,0.5)

n=-10:0.1:10;

y1=normpdf(n,1,0.5);

X ),(2σμN