数值分析

数值分析知识点总结一、数值分析的基本概念1. 数值分析的对象数值分析的对象是现实生活中的数字数据和信息。

这些数据和信息可以来自各个领域，包括自然科学、社会科学、技术工程等。

例如，物理实验中测得的实验数据、经济管理中的统计信息、天气观测中的气象数据等，都是数值分析的对象。

2. 数值分析的目的数值分析的主要目的是通过对数值数据和信息的定量分析，发现其中的规律，提取有用的信息，做出科学的预测和决策。

例如，通过对某种药物的临床试验数据进行数值分析，可以得出这种药物的疗效和毒性情况，为临床医生的治疗决策提供依据。

3. 数值分析的方法数值分析采用数学和计算机科学的方法对数值数据和信息进行处理和分析。

它涉及的具体方法包括数值计算、插值与逼近、数值微分和积分、常微分方程数值解、数值线性代数等。

二、数值分析的基本内容1. 数值计算数值计算是数值分析的基本方法之一，它包括离散化、数值稳定性、误差分析等内容。

离散化是将连续问题转化为离散问题，这是数值计算的基本工作方式。

数值稳定性研究的是数值方法对误差的敏感程度，是评价数值方法好坏的重要指标。

误差分析则研究数值计算中产生的误差的成因和大小。

2. 插值与逼近插值与逼近是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过已知的数值数据估计未知函数的值。

插值是通过已知的离散数据点构造一个连续函数，使得这个函数通过这些数据点；逼近则是通过已知的离散数据点构造一个近似函数，使得这个函数与原函数的差尽量小。

3. 数值微分和积分数值微分和积分是数值分析的又一重要内容，它研究如何通过已知的函数值计算函数的导数和定积分值。

数值微分是通过函数值计算函数的导数值；数值积分则是通过函数值计算函数的定积分值。

这两项工作在科学计算中有着广泛的应用。

4. 常微分方程数值解常微分方程数值解也是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过数值方法计算常微分方程的近似解。

常微分方程是自然界和技术工程中经常出现的数学模型，因此其数值解的研究有着广泛的应用价值。

拉格朗日插值公式插值余项牛顿插值公式埃尔米特插值 数值分析课程教学大纲(Numerica1Ana1ysis)学时数: 其中: 学分数:48实验学时：4课外学时：O3适用专业：计算机科学与技术 一、课程的性质、目的和任务本课程是计算机专业学科的基础课程。

它利用计算机使学生将已学的数学和程序设计知识等有关知识有机地结合起来，并应用它解决实际问题。

其主要任务是：介绍数值理论、函数逼近、数值微积分、非线性方程求根、线性代数方程组、特征值问题的常用数值法，要求学生能够评价各种算法的优劣，使用高级语言描述学过的算法并上机调试。

这对于学生从事数值软件的研制与维护是十分有益的。

二、课程教学的基本要求通过本课程的学习，学生应充分理解数值方法的特点，熟练掌握使用各种数值方法解决数学问题的技巧，为今后结合计算机的应用而解决实际问题打下坚实的基础。

三、课程的教学内容、重点和难点引论（4学时）教学内容：引论A 算法B 误差基本要求：了解掌握误差的基本概念，理解数值运算中误差的来源，并掌握误差分析的方法与原则。

重点和难点：误差分析。

第1章插值方法（8学时）I 问题的提法 2 3 5 61.7 分段插值法基本要求：掌握1agrange 插值与牛顿插值这两种形式不同而实质一致的插值的概念及余项估计；掌握分段低次插值及余项估计。

了解这几种插值的联系及区别并能熟练地进行运算。

J⅛,.*拉格朗日插值，牛顿插值。

难点：拉格朗日插值，余项估计。

第2章数值积分（8学时）教学内容：2.1机械求积2.2 牛顿•柯特斯公式 2.3 龙贝格算法 2.4 高斯公式 2.5 数值微分基本要求：了解数值积分的基本思想和代数精度的概念，掌握插值型求积公式与高斯型求积公式，理解等距节点的牛顿•柯特斯公式及余项估计。

掌握数值微分的基本思想与运算。

重点：牛顿-柯特斯求积公式。

难点：龙贝格求积算法，高斯求积公式。

第3章常微分方程的差分方法（4学时）教学内容：3.1欧拉方法3.2 改进的欧拉方法 3.3 龙格-库塔方法基本要求：掌握欧拉方法，特别是改进的欧拉方法的基本思想和计算过程；了解龙格-库塔方法。

数值分析毕业论文数值分析毕业论文数值分析是一门研究利用计算机和数学方法解决实际问题的学科。

在现代科学和工程领域中，数值分析扮演着重要的角色。

数值分析毕业论文是数值分析专业学生完成学业的重要组成部分，也是展示他们研究能力和学术水平的重要机会。

一、选题数值分析毕业论文的选题是非常重要的。

一个好的选题能够体现学生的研究兴趣和专业知识，并且具备一定的研究价值和实际应用意义。

选题应该能够解决实际问题或者填补学术空白，同时也要符合自身的研究能力和时间限制。

二、文献综述在开始撰写毕业论文之前，进行文献综述是必不可少的。

文献综述可以帮助学生了解当前研究的最新进展和研究方向，从而确定自己的研究方向和方法。

通过对相关文献的阅读和分析，学生可以了解前人的研究成果和不足之处，为自己的研究提供借鉴和启示。

三、问题陈述在毕业论文中，学生需要清晰地陈述自己研究的问题和目标。

问题陈述应该明确、简洁，并且具备一定的可行性和独创性。

学生需要解释为什么选择这个问题，并且说明解决这个问题的重要性和意义。

问题陈述是整个毕业论文的基础，也是读者了解研究内容的入口。

四、理论分析在毕业论文中，学生需要对所研究的问题进行理论分析。

理论分析是通过数学模型和方法来解决问题的过程。

学生需要运用数值分析的理论知识和方法，对问题进行建模和分析，并且给出相应的数学推导和证明。

理论分析是毕业论文的核心部分，也是学生研究能力的体现。

五、数值实验除了理论分析，毕业论文还需要进行数值实验。

数值实验是通过计算机模拟和仿真来验证理论分析的结果和方法的有效性。

学生需要编写相应的数值算法和程序，进行计算和分析，并且对结果进行解释和讨论。

数值实验是将理论知识应用到实际问题中的过程，也是毕业论文的重要组成部分。

六、结果讨论在毕业论文中，学生需要对数值实验的结果进行讨论和分析。

学生应该解释结果的意义和影响，并且与前人的研究成果进行比较和对比。

学生还可以提出自己对结果的解释和看法，并且指出研究中存在的不足之处和改进的方向。

成绩评定表课程设计任务书现如今几乎所有学科都走向定量化和精确化，从而产生了一系列计算性的学科分支，如计算物理、计算化学、计算生物学、计算地质学、计算气象学和计算材料学等，计算数学中的数值计算方法则是解决“计算”问题的桥梁和工具。

我们知道，计算能力是计算工具和计算方法的效率的乘积，提高计算方法的效率与提高计算机硬件的效率同样重要。

科学计算已用到科学技术和社会生活的各个领域中。

数值分析也称计算科学，是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及理论与软件实现，用计算机求解科学技术问题通常经历一下步骤：1、根据实际问题建立数学模型2、由数学模型给出数值计算方法3、根据计算方法编制算法程序（数学软件）在计算机上算出结果数值计算方法是一种利用计算机解决数学问题的数值近似解方法，特别是无法用人工过计算器计算的数学问题。

数值计算方法常用于矩阵高次代数方程矩阵特征值与特征向量的数值解法，插值法，线性方程组迭代法，函数逼近，数值积分与微分，常微分方程初值问题数值解等。

通过数值计算方法与实验将有助于我们理解和掌握数值计算方法基本理论和相关软件的掌握，熟练求解一些数学模和运算。

并提高我们的编程能力来解决实际问题，论文用到了LU分解法，拉格朗日数值法求解，龙贝格求积公式，Runge-Kutta方法，最小二乘法。

关键词：数值分析；LU分解法；最小二乘法实验一 LU解法解线性方程组 (1)1.1实验目的与要求 (1)1.2实验基本原理 (1)1.3数据来源与求解 (2)1.4实验结论 (5)实验二拉格朗日插值法数值求解 (5)2.1实验目的与要求 (5)2.2实验的基本原理 (5)2.3数据来源与求解 (6)2.4实验结论 (7)实验三龙贝格求积公式求数值积分 (7)3.1实验目的与要求 (7)3.2实验基本原理 (7)3.3数据来源与求解 (8)3.4实验结论 (10)实验四用Runge-Kutta方法求常微分方程数值解 (11)4.1实验目的与要求 (11)4.2实验基本原理 (11)4.3数据来源与求解 (12)4.4实验结论 (13)实验五最小二乘法拟合温度问题 (14)5.1实验目的 (14)5.2实验原理 (14)5.3数据来源与求解 (15)5.4实验结论 (16)心得体会 (17)参考文献 (18)实验一 LU 解法解线性方程组1.1实验目的与要求1了解LU 解法以及求解线性方程组的基本原理 2了解什么样的问题可以用LU 分解求解 3在MATLAB 软件上实现LU 分解的过程 4能够用LU 分解法求解现实问题1.2实验基本原理1.若一个线性方程组系数矩阵为n 阶方阵A 且各阶顺序主子式均不为0则A 的LU 分解存在且唯一。

第1篇一、实验目的本次实验旨在通过编程实现数值分析中的几种重要算法，包括线性方程组求解、方程求根、插值与曲线拟合等，加深对数值分析理论的理解，提高编程能力和实际应用能力。

二、实验内容1. 线性方程组求解（1）高斯消元法：通过将矩阵化为上三角形式，再进行回代求解。

（2）克劳斯消元法：对矩阵进行逐行归一化处理，逐行消元。

（3）列主元素法：每次选取列主元素进行消元。

2. 方程求根（1）二分法：在给定区间内，通过不断缩小区间，逼近方程的根。

（2）Newton法：利用导数信息，通过迭代计算逼近方程的根。

（3）不动点迭代法：通过迭代过程，将初始值逐步逼近方程的根。

（4）弦截法：利用弦线与x轴的交点，近似求解方程的根。

3. 插值与曲线拟合（1）拉格朗日插值法：通过构造拉格朗日插值多项式，逼近函数在给定点的值。

（2）牛顿插值法：利用差商表，构造牛顿插值多项式，逼近函数在给定点的值。

（3）最小二乘法：通过最小化误差平方和，拟合曲线。

三、实验步骤1. 线性方程组求解（1）设计程序，实现高斯消元法。

（2）设计程序，实现克劳斯消元法。

（3）设计程序，实现列主元素法。

2. 方程求根（1）设计程序，实现二分法。

（2）设计程序，实现Newton法。

（3）设计程序，实现不动点迭代法。

（4）设计程序，实现弦截法。

3. 插值与曲线拟合（1）设计程序，实现拉格朗日插值法。

（2）设计程序，实现牛顿插值法。

（3）设计程序，实现最小二乘法。

四、实验结果与分析1. 线性方程组求解（1）高斯消元法：通过实验，验证高斯消元法可以成功求解线性方程组。

（2）克劳斯消元法：通过实验，验证克劳斯消元法可以成功求解线性方程组。

（3）列主元素法：通过实验，验证列主元素法可以成功求解线性方程组。

2. 方程求根（1）二分法：通过实验，验证二分法可以成功逼近方程的根。

（2）Newton法：通过实验，验证Newton法可以成功逼近方程的根。

（3）不动点迭代法：通过实验，验证不动点迭代法可以成功逼近方程的根。

常用数值分析方法1.插值方法插值是通过已知数据点的近似值，获得未知位置上的函数值。

常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。

插值方法通常用于数据的光滑处理、曲线拟合和函数逼近等问题。

2.数值微分与积分方法数值微分是通过有限差分等方法，对实际问题的函数进行求导。

数值积分则是通过数值方法求解复杂函数的积分。

常用的数值微分与积分方法包括欧拉法、龙格-库塔法和辛算法等。

3.非线性方程求解非线性方程求解是求解形如f(x)=0的方程，其中f(x)是一个非线性函数。

常用的非线性方程求解方法包括二分法、牛顿法和割线法等。

这些方法基于不同的数学原理来逼近方程的根。

4.线性方程组求解线性方程组求解是求解形如Ax=b的方程组，其中A是一个矩阵，b 是一个向量。

常用的线性方程组求解方法包括高斯消元法、LU分解和迭代法等。

这些方法可以高效地求解大规模的线性方程组。

5.最小二乘法最小二乘法是一种用于拟合实验或观测数据的方法。

它通过最小化观测数据与理论模型之间的残差平方和，得到最佳的参数估计。

最小二乘法广泛应用于曲线拟合、回归分析和信号处理等领域。

6.数值优化数值优化是在约束条件下求解最优化问题的方法。

常用的数值优化方法包括梯度下降法、共轭梯度法和拟牛顿法等。

这些方法可以在函数复杂或维度高的情况下，有效地寻找最优解。

7.偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法是用数值方法解决偏微分方程的方法。

常用的数值解法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。

这些方法广泛应用于物理学、工程学和金融学等领域，可以模拟和预测复杂现象。

总之，数值分析方法在科学和工程领域中起着重要的作用。

通过数学和计算机的结合，数值分析使得复杂计算变得简单，从而有效解决各种实际问题。

第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2）迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3）单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：110111i i iii x x x ll x x x lαα+-≤---≤--定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠L （Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'()0,,f x x a b ≠∈；③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <；则Newton 迭代法收敛于根α。

6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：P =7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()()i i i i f x x x rf x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。