数系的扩充PPT课件

复数的分类 m 取何实数时，复数 z＝m2m－＋m3－6＋(m2－2m－
15)i. (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？ [分析] 在本题是复数的标准形式下，即 z＝a＋bi(a，b∈
R)，根据复数的概念，只要对实部和虚部分别计算，总体整合 即可．
[解析] (1)由条件得mm＋2－32≠m0－，15＝0， ∴mm＝ ≠5－或3m. ＝－3， ∴当 m＝5 时，z 是实数． (2)由条件得mm＋2－32≠m0－. 15≠0， ∴mm≠ ≠5－且3m. ≠－3， ， ∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
3．复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中 i叫做虚数单位，满足i2＝___－__1___.
这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的 __复__数_集___与__虚_部_____．全体复数构成的集合叫做 实部
复数的相等与复数的分类
4．复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋ di⇔a_＝__c且__b_＝_d_______.
数系的扩充与复数的概念
数系的扩充与复数的概念
我们认识数的过程是先认识了自然数，又扩充到整数集，再扩充到有 理数(分数、有限小数和无限循环小数)，再扩充无理数到实数集，但 在实数集中，我们已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ＝ b2－4ac<0时无实数解，我们能否设想一种方法使得Δ<0时方程也有 解呢？
1．数系扩充的原因、脉络、原则
脉 络 ： 自 然 数 系 → 整 数 系 → 有 理 数 系 → 实 数 系 → _ _ _ _复_ _数_系_
原因：数系的每一次扩充都与实际需求密切相关，实际需求与 数学内部的矛盾在数系扩充中起了主导作用．

A.2，3
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义

【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=

在物理中的应用
交流电
复数可以用于描述交流电的电压、 电流等物理量，通过将实数表示 的物理量转换为复数形式，可以 方便地分析交流电的特性和规律。
信号处理
复数在信号处理中也有广泛应用， 例如频谱分析、滤波器设计等都 可以通过复数进行表示和计算。
量子力学
在量子力学中，波函数通常被表 示为复数形式，复数在描述微观 粒子状态和行为方面发挥了重要
整数系
整数包括正整数、0和负整数，通常 用Z表示整数集。
整数在数学中用于描述有始无终的量 ，如物体的位置、时间等。
有理数系
有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数和分数。
有理数包括有限小数和循环小数，它们都可以表示为两个整 数的比值。
实数系
实数包括有理数和无理数，是有理数系的扩充。
实数可以用来描述有始有终的量，如长度、面积、体积等。实数系具有完备性， 即实数的四则运算等是封闭的。
共轭复数是实部相等，虚部相反的复 数。
详细描述
在复数平面中，一个复数和它的共轭 复数关于实轴对称。共轭复数在数学 和物理中有广泛的应用，例如在解析 几何和向量分析中。
复数的模
总结词
复数的模是表示该复数在复平面上的 点到原点的距离。
详细描述
复数的模定义为$sqrt{a^2 + b^2}$， 其中$a$和$b$分别是复数的实部和虚 部。模的性质包括非负性、共轭复数 的模相等、模的加法运算性质等。
复数可以用于求解一元二次方程、一 元高次方程等代数方程，通过将方程 转化为复数形式，可以简化计算过程。
复数可以进行加、减、乘、除等基本 运算，而且运算规则相对简单，有助 于简化复杂数学问题的计算过程。
代数变换
复数在代数变换中也有广泛应用，例 如三角函数、指数函数、对数函数等 都可以通过复数进行表示和计算。

从数集A出发,希望新引进的数i和实数之间 仍然能像实数系那样进行加法和乘法运算,并希 望加法和乘法都满足交换律、结合律,以及乘法 对加法满足分配律.
把实数 a与新引入的数i相加,结果记作a +i; 把实数b与i相乘,结果记作bi; 把实数a与实数b和i相乘的结果相加,结果 记作a + bi.
加法和乘 法的运算律仍然成立 ,这些运算的结果 都可以写成 a + bi(a,b∈R)的形式,把这些数都添 加到数集 A中去.
数集扩充到有理数集
边长为1的正方形的对角线长度为多少？
？
1Hale Waihona Puke 1无理数是“推”出来 的.公元前六世纪，古希 腊毕达哥拉斯学派利用毕 达哥拉斯定理，发现了 “无理数”. “无理数” 的承认（公元前4世纪） 是数学发展史上的一个里 程碑.
数集扩充到有实数集
毕达哥拉斯 (约公元前560——480年）
数集扩充到实数集
负数是“欠”出来的. 它是由于借贷关系中量的 不同意义而产生的.我国 三国时期数学家刘徽（公 元250年前后）第一给出 了负数的定义、记法和加 减运算法则. 数集扩充到整数集
刘徽（公元250年前后）
分数（有理数）是“分” 出来的.早在古希腊时期， 人类已经对有理数有了非 常清楚的认识，而且他们 认为有理数就是所有的数.
这样的数都可以看作是a + bi(a,b∈R) 的特殊形式,所以实数系经过扩充后
得到的新数集应该是C = a + bi|a,b∈R .
复数的概念
我们把集合 C = a + bi|a,b∈R 中的数,即形
如a + bia,b∈R的数叫做复数(complex number),
其中i叫做虚数单位(imaginary unit).全体复数 所成的集合 C叫做复数集(set of complex numbers).