数系的扩充ppt课件
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数系的扩充与复数的概念 课件
复数的分类 m 取何实数时，复数 z＝m2m－＋m3－6＋(m2－2m－
15)i. (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？ [分析] 在本题是复数的标准形式下，即 z＝a＋bi(a，b∈
R)，根据复数的概念，只要对实部和虚部分别计算，总体整合 即可．
[解析] (1)由条件得mm＋2－32≠m0－，15＝0， ∴mm＝ ≠5－或3m. ＝－3， ∴当 m＝5 时，z 是实数． (2)由条件得mm＋2－32≠m0－. 15≠0， ∴mm≠ ≠5－且3m. ≠－3， ， ∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
3．复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中 i叫做虚数单位，满足i2＝___－__1___.
这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的 __复__数_集___与__虚_部_____．全体复数构成的集合叫做 实部
复数的相等与复数的分类
4．复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋ di⇔a_＝__c且__b_＝_d_______.
数系的扩充与复数的概念
数系的扩充与复数的概念
我们认识数的过程是先认识了自然数，又扩充到整数集，再扩充到有 理数(分数、有限小数和无限循环小数)，再扩充无理数到实数集，但 在实数集中，我们已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ＝ b2－4ac<0时无实数解，我们能否设想一种方法使得Δ<0时方程也有 解呢？
1．数系扩充的原因、脉络、原则
脉 络 ： 自 然 数 系 → 整 数 系 → 有 理 数 系 → 实 数 系 → _ _ _ _复_ _数_系_
原因：数系的每一次扩充都与实际需求密切相关，实际需求与 数学内部的矛盾在数系扩充中起了主导作用．
( 人教A版)数系的扩充和复数的概念课件 (共29张PPT)
(3)要使 z 为纯虚数，必须有 m2－4≠0， m2－3m＋2＝0. 所以mm≠ ＝－1或2m且＝m≠ 2，2， 所以 m＝1，即 m＝1 时，z 为纯虚数．
探究三 复数相等
[典例 3] 根据下列条件，分别求实数 x，y 的值． (1)x2－y2＋2xyi＝2i； (2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i. [解析] (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，x，y∈R， ∴2xx2－y＝y22＝，0， 解得xy＝＝11，， 或xy＝＝－－11.， (2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且 x，y∈R，
－2i. 答案：A
3．下列命题： ①若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数； ②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则 x＝±1； ③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________． 解析：当 a＝－1 时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对； 若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，则xx22－ ＋13＝ x＋0， 2≠0， 即 x＝1，故②错． 答案：③
解析：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为 b，故选 B.
答案：B
2．下列复数中，和复数－1＋i 相等的复数为( )
A．－1－i
B．1－i
C．1＋i
D．i2＋i
解析：∵i2＝－1，∴i2＋i＝－1＋i，故选 D.
答案：D
3．z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则有( )
A．m＝±1
A．0
B．1
C．
D．3
解析：27i，(1－ 3)i 是纯虚数，2＋ 7，0,0.618 是实数，8＋5i 是虚数． 答案：C
2．以－ 5＋2i 的虚部为实部，以 5i＋2i2 的实部为虚部的复数是( )
数系的扩充和复数的概念课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
实数a与数i相加记为：a+i 实数b与数i相乘记为：bi ，并规定0• i =0 实数a与 bi相加记为：a+bi （3）实数与i进行四则运算时，原有的加法、乘法运算 律仍然成立。
新知研学 2、复数的概念
我们把形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数。 通常用字母 z 表示。
全体复数组成的集合叫做复数集，记作C。
z= a + bi（a∈R，b∈R）
实部 虚部 其中 i 为虚数单位。
Байду номын сангаас
新知研学
即学即练 说出下列复数的实部和虚部：
1 3i 2
2 3i
5i - 2
2 i - 3i 0 2
虚部为0
实数
虚部不为0
虚数
纯虚数 虚部不为0，实部为0
新知研学
思考:复数集C和实数集R之间有什么关系？ 实数集R是复数集C的真子集
若在复数集中任取两个数a bi, c di(a,b,c, d R)
a bi c di
注意：一般对两个虚数只能说相等或不相等； 不能比较大小。
学以致用
例1. 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 m 1时，复数z是实数； （2）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z是虚数；
虚数集
纯虚数集
实数集
新知研学
即学即练 说出下列各数中，哪些是实数，哪些是
虚数，哪些是纯虚数：
2 7
实数
0.618
2i
实数 纯虚7 数
0
i
实数 纯虚数
i2 5i+8 3 9 2i i 1 3
新知研学 2、复数的概念
我们把形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数。 通常用字母 z 表示。
全体复数组成的集合叫做复数集，记作C。
z= a + bi（a∈R，b∈R）
实部 虚部 其中 i 为虚数单位。
Байду номын сангаас
新知研学
即学即练 说出下列复数的实部和虚部：
1 3i 2
2 3i
5i - 2
2 i - 3i 0 2
虚部为0
实数
虚部不为0
虚数
纯虚数 虚部不为0，实部为0
新知研学
思考:复数集C和实数集R之间有什么关系？ 实数集R是复数集C的真子集
若在复数集中任取两个数a bi, c di(a,b,c, d R)
a bi c di
注意：一般对两个虚数只能说相等或不相等； 不能比较大小。
学以致用
例1. 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 m 1时，复数z是实数； （2）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z是虚数；
虚数集
纯虚数集
实数集
新知研学
即学即练 说出下列各数中，哪些是实数，哪些是
虚数，哪些是纯虚数：
2 7
实数
0.618
2i
实数 纯虚7 数
0
i
实数 纯虚数
i2 5i+8 3 9 2i i 1 3
7.1.1数系的扩充和复数的概念课件(人教版)
A.2，3
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义
【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义
【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件高一下学期数学 人教A版(2019)必修第二册
例4，下列命题中
1.复数 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫 做 虚数单位，a叫做复数的 实部，b叫做复数的 虚部. (2)表示方法：复数通常用 字母z 表示， 即 z＝a＋bi(a，b∈R) ，这一表示形式叫做复数的代数形式. 2.复数集 (1)定义：全体复数 所成的集合叫做复数集. (2)表示方法：通常用 C 表示.
7.1.1 数系的扩充与复数的概念
引入：
数系的发展史
自然数
整数
负数
有理数
分数
实数
无理数
?
?
可以看到，数系的每一次扩充都与实际需求密切相关。
我们知道，在实数集内，像x2+1=0这样的 方程是没有根的。因此在研究代数方程的过程 中，如果仅限于实数系，有些问题就无法解决。 一个自然的想法是，能否像引进无理数而把有 理数系扩充到实数系那样，通过引进新的数而 使实数系得到进一步扩充，从而使问题变得可 以解决呢？复数概念的引入与这种想法直接相 关。
复数的定义
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R,b R)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
思考 复数集C和实数集R之间有什么关系呢？
复数z a bi(a, b R)
解 （1）当m -1 = 0,即m = 1时,复数z是实数; （2）当m -1≠ 0,即m ≠1时,复数z是虚数; （3）当m +1 = 0 ,且m -1≠ 0 ,即m = -1时,复数 z 是纯虚数 .
例2 已知（x+y）+（x-2y）i=（2x-5）+（3x+y）i， 求实数x,y的值.
数系的扩充和复数的概念公开课ppt课件
abi
RQZ N
扩
b0虚数
集
特别地，a0 纯虚数
复数集C和实数集R之间有什么关系？
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7
数
系 充
的
虚数 复？数
无理数 实数
扩
分数 有理数
负数
整数
自然数
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8
练习：说明下列数是否是虚数，
并说明各数的实部与虚部.
1 3i
1i
1 3
7
(1)i 5i 8
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9
在复数集 C a b|a i,b R 任
求实x数 , y的值 .
固题
巩 变：已知 x2 y2 2xyi00,
求 实x数 , y的 值 .
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13
1.若复数(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i
(mR) 表示纯虚数的充要条件是_____
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14
2.以2i－5的虚部为实部，以 5 2i
的实部为虚部的复数是______
等 复 取两个数 a b与 ic d（ a i,b ,c,d R )
数 a b c i d ia c,b d
相 特别地，abi0 a0,b0
作用
1.判断两个复数是否相等； 2.求复数值的依据.
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10
例 例1 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1 )i
固 题 是（1）实数？
的i
引 （1）i2 1
入
（2）可以和实数一起进行的四 则运算,原有的加法乘法运算律
仍成立
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5
念复 数 的 概
定义：把形如a+bi的数叫做复数 （a,b 是实数）
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• 康托尔的超限数
超限数是大于所有有限数（但不必为绝对无限）的基数 或序数，分别叫做超穷基数和超穷序数。
• 罗宾逊的非标准实数系
是罗宾逊推出的超实数R * ，即非标准实数系，他的基本
思青想是将“无限小”和“无限大” 作为R 以外的超实
数衣。
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16
总结中学中涉及到的数系的扩充
• 自然数中减法产生了（
12
实数系R 复数系C
观察方程 x，2 它在1 R中没有解，为此，并i 定义： i2 1
为了让符号 能i 像普通的实数那样进行加、乘，我
们造出形如 a b这i样的符号，这里的 a是, 任b
意两个实数， 称a 为 复bi数， 称为虚数i 单位。
系是具备这样的性质的。
青 衣
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6
数系扩充的原则
• 原则三：旧数系是新数系的一部分，而且把旧数 系的元素看成新数系时，服从同样的运算规律， 及构成一种“嵌入”。
• 例如：自然数系N扩充到整数系Z，旧数系N是新数系Z中 的一部分，而且N中的元素还是符合Z中的运算规律的。
青
衣
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• 例如：自然数系N扩充到整数系Z，整数系Z失去了自然数
系N中任何子集都有最小元素的良序性质，但是获得对减
法封闭的特性。
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5
数系扩充的原则
原则二:用旧数系为材料构成一个对 象，称之为新数，定义并验证这些
新数符合扩张的要求，或者具有新
数应具备的性质。
例如：将自然数系扩充到整数系，扩张的 要求是满足减法运算的需要，所以整数
7
自然数系N 整数系Z
青
衣
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数系的扩充PPT优秀课件
数系的扩充___复数
章
4.3 数系的扩充
二新课－数系的扩 1. 数的发展充过程(经历):
计数的需要 自然数(正整数和零)
—表—示相—反—意—义—的—量负数 —测量—、—分—配—中—的—等分—分数
解方程x+3=1
解方程3 x=5
(分数集有理数集 循环小数集 )
度量
__循_环__小__数___
的虚数根，x=
-b±
4ac - b2i .
2a
在有两个虚数根的情况下，韦达定理仍
然成立，即 x1+x2=
-
b a
；
x1x2=
c a
.
二新课－例题剖 例1:设方析程x2-2x+2=0的两根为x1,x2,求
x14+x24的值.
解: x1,21i,
x 4 x 4 ( 1 i)4 ( 1 i)4 12
对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a, b, c∈R)，
当△=b2－4ac>0时, 方程有两个不同的实根，
x=
-b± b2 ；- 4当a△c =b2－4ac=0时, 方程
2a
有两个相同的实根，x1=x2=
；- b 2a
二新课－数系的扩 4.实系数充一元二次方程的根
当△=b2－4ac<0时, 方程有两个共轭
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
章
4.3 数系的扩充
二新课－数系的扩 1. 数的发展充过程(经历):
计数的需要 自然数(正整数和零)
—表—示相—反—意—义—的—量负数 —测量—、—分—配—中—的—等分—分数
解方程x+3=1
解方程3 x=5
(分数集有理数集 循环小数集 )
度量
__循_环__小__数___
的虚数根，x=
-b±
4ac - b2i .
2a
在有两个虚数根的情况下，韦达定理仍
然成立，即 x1+x2=
-
b a
；
x1x2=
c a
.
二新课－例题剖 例1:设方析程x2-2x+2=0的两根为x1,x2,求
x14+x24的值.
解: x1,21i,
x 4 x 4 ( 1 i)4 ( 1 i)4 12
对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a, b, c∈R)，
当△=b2－4ac>0时, 方程有两个不同的实根，
x=
-b± b2 ；- 4当a△c =b2－4ac=0时, 方程
2a
有两个相同的实根，x1=x2=
；- b 2a
二新课－数系的扩 4.实系数充一元二次方程的根
当△=b2－4ac<0时, 方程有两个共轭
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
数系的扩充
4、求满足下列条件的������, ������的值
(1) ������ − 3������ + 2������ + 3������ ������ = 5 + ������ 2 ������2 − ������2 + 2������������������ = 6������ − 8 3 2������2 − 5������ + 3 + ������2 + ������ − 6 ������ = 0
练习2 当m为何实数时，复数 Z＝m 2＋m－2＋(m 2－1) i 是
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数．
实部 ������������ + ������ − ������
虚部 ������������ − ������
(1)m＝ ± 1 (2)m ≠± 1
(3)m＝－2
【思考】复数 ������ = ������ ������ − 1 + ������ − 1 ������，当m取何值时，复数������是6 + 2������
2.复数有关概念：
复数的代数形式: z＝a＋bi (a∈R，b∈R)
复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
3.自然数复集数N相等整数a集＋Z bi＝ 有理c数＋集dQi实数ba集＝＝Rdc 复数集C
课堂练习
1、再复数1 − 2������, 2 +
3,
1 2
�பைடு நூலகம்����,
−5
+
2������, ������ sin ������ , ������2, 7 +
������ ������ ������ ������ ������
人教版数学 选修1-2 1 数系的扩充和复数的概念(共14张ppt)教育课件
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
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复数集
复数集，虚数集，实数集， 虚数集 纯虚数集之间的关系？
纯虚数集
实数集
精品ppt
16
数系的扩充
复数的概念
1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数， 哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。
2 7 0.618 2 i 0
7
i 2 i1 3 5 i+8， 39 2i
2、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
复数的概念
------数系的扩充 洩湖中学：王艳
精品ppt
1
3.1 数系的扩充
❖ 从社会生活来看为了满足生活和生产实 践的需要，数的概念在不断地发展.
❖ 从数学内部来看，数集是在按某种 “规 则”不断扩充的.
精品ppt
2
自然数
❖ 自然数是“数”出来的，其历史最早可以追 溯到五万年前.
精品ppt
3
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定：
（1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运
算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 合率和分配率)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集，
一般用字母C表示 . 精品ppt
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数
Zm 2m 2(m 21 )i
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
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数系的扩充
复数的概念
B
nZ*
i4n 1 i4n1 i
i iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn2 -1 i4n3
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数系的扩充
复数的概念
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
笛卡尔
(R.Descartes,1596--
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1661)
数系的扩充
复数的概念
知识引入
我们已知知道：
对于一元二次方程 x2 10没有实数根．
x2 1
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数 集中，该问题能得到圆满解决呢？
i 引入一个新数：
满足
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i2 1 13
数系的扩充
复数的概念
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数集扩充到实数集
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正数与负数， 有理数与无理数， 都是具有“实际意义的量”， 称之为“实数”，构成实数系统. 实数系统是一个没有缝隙的连续系统.
实数集能否继续扩充呢?
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虚数
虚数是“算”出来
的. 1637年，法国数学
家笛卡尔把这样的
数叫做“虚数”
（“想象中
(imaginary)的数”）.
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z= 精a品一ppt 定不是虚数
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数系的扩充
复数的概念
例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1 )i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 10，即 m1时，复数z 是实数．
（2）当 m 10，即 m1时，复数z 是虚数．
负数
负数是“欠”出来
的.它是由于借贷关
系中量的不同意义
而产生的.我国三国
时期数学家刘徽
（公元250年前后）
首先给出了负数的
定义、记法和加减
刘徽（公元250年前后）
运算法则.
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数集扩充到整数集
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分数（有理数）
❖ 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类已 经对有理数有了非常 清楚的认识，而且他 们认为有理数就是所 有的数.
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数系的扩充
复数的概念
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
zabi(aR,bR)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数 b0
R C
复数a+bi虚数 b0精品p非 纯 pt 纯 虚a虚 数 a0数 ， 0b，b1500
数系的扩充
复数的概念
思 考？
复数的代数形式 复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
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数系的扩充
数集再次扩充
复数的概念
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数系的扩充
复数的概念
数系扩充的科学道理
从数学内部来看，数集是在按某种 “规则”不断扩充的。
自然数中减法产生 负数 ；
， 整数系统
整数中除法产生 分数 ， 有理数系统；
自然数中开方产生 无理数 ， 实数系统；
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6
数集扩充到有理数集
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边长为1的正方形的对角线长 度为多少？
1
？
1精品ppt
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无理数
无理数是“推”出来
的.公元前六世纪，古
希腊毕达哥拉斯学派
利用毕达哥拉斯定理，
发现了“无理数”.
“无理数”的承认
（公元前4世纪）是数
学发展史上的一个里
程碑.
毕达哥拉斯(约公元前
精品ppt 560——480年）
负数中开方产生 虚数 ， 新的系统.
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数系的扩充
复数的概念
数系扩充的科学道理
逆运算在数系的扩充中扮演着极为 重要的角色；
逆运算的运算法则来源于正运算， 因此比正运算困难，以致可能出现 无法进行的现象，从而必须引进新 东西，使数系得以扩展.
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