数系的扩充精品PPT教学课件
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数系的扩充与复数的概念 课件
复数的分类 m 取何实数时，复数 z＝m2m－＋m3－6＋(m2－2m－
15)i. (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？ [分析] 在本题是复数的标准形式下，即 z＝a＋bi(a，b∈
R)，根据复数的概念，只要对实部和虚部分别计算，总体整合 即可．
[解析] (1)由条件得mm＋2－32≠m0－，15＝0， ∴mm＝ ≠5－或3m. ＝－3， ∴当 m＝5 时，z 是实数． (2)由条件得mm＋2－32≠m0－. 15≠0， ∴mm≠ ≠5－且3m. ≠－3， ， ∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
3．复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中 i叫做虚数单位，满足i2＝___－__1___.
这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的 __复__数_集___与__虚_部_____．全体复数构成的集合叫做 实部
复数的相等与复数的分类
4．复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋ di⇔a_＝__c且__b_＝_d_______.
数系的扩充与复数的概念
数系的扩充与复数的概念
我们认识数的过程是先认识了自然数，又扩充到整数集，再扩充到有 理数(分数、有限小数和无限循环小数)，再扩充无理数到实数集，但 在实数集中，我们已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ＝ b2－4ac<0时无实数解，我们能否设想一种方法使得Δ<0时方程也有 解呢？
1．数系扩充的原因、脉络、原则
脉 络 ： 自 然 数 系 → 整 数 系 → 有 理 数 系 → 实 数 系 → _ _ _ _复_ _数_系_
原因：数系的每一次扩充都与实际需求密切相关，实际需求与 数学内部的矛盾在数系扩充中起了主导作用．
7.1.1数系的扩充和复数的概念课件(人教版)
A.2，3
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义
【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义
【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
数系的扩充与复数的概念(ppt)
在物理中的应用
交流电
复数可以用于描述交流电的电压、 电流等物理量，通过将实数表示 的物理量转换为复数形式，可以 方便地分析交流电的特性和规律。
信号处理
复数在信号处理中也有广泛应用， 例如频谱分析、滤波器设计等都 可以通过复数进行表示和计算。
量子力学
在量子力学中，波函数通常被表 示为复数形式，复数在描述微观 粒子状态和行为方面发挥了重要
整数系
整数包括正整数、0和负整数，通常 用Z表示整数集。
整数在数学中用于描述有始无终的量 ，如物体的位置、时间等。
有理数系
有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数和分数。
有理数包括有限小数和循环小数，它们都可以表示为两个整 数的比值。
实数系
实数包括有理数和无理数，是有理数系的扩充。
实数可以用来描述有始有终的量，如长度、面积、体积等。实数系具有完备性， 即实数的四则运算等是封闭的。
共轭复数是实部相等，虚部相反的复 数。
详细描述
在复数平面中，一个复数和它的共轭 复数关于实轴对称。共轭复数在数学 和物理中有广泛的应用，例如在解析 几何和向量分析中。
复数的模
总结词
复数的模是表示该复数在复平面上的 点到原点的距离。
详细描述
复数的模定义为$sqrt{a^2 + b^2}$， 其中$a$和$b$分别是复数的实部和虚 部。模的性质包括非负性、共轭复数 的模相等、模的加法运算性质等。
复数可以用于求解一元二次方程、一 元高次方程等代数方程，通过将方程 转化为复数形式，可以简化计算过程。
复数可以进行加、减、乘、除等基本 运算，而且运算规则相对简单，有助 于简化复杂数学问题的计算过程。
代数变换
复数在代数变换中也有广泛应用，例 如三角函数、指数函数、对数函数等 都可以通过复数进行表示和计算。
数系的扩充ppt课件
2实数可以与实数可以与i进行四则运算在进行四则运进行四则运算在进行四则运算时原有的加法与乘法的运算率算时原有的加法与乘法的运算率包括交换率结包括交换率结合率和分配率合率和分配率仍然成立
复数的概念
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1
3.1 数系的扩充
❖ 从社会生活来看为了满足生活和生产实 践的需要，数的概念在不断地发展.
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23
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
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24
运算法则.
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4
数集扩充到整数集
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5
分数（有理数）
❖ 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类已 经对有理数有了非常 清楚的认识，而且他 们认为有理数就是所 有的数.
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6
数集扩充到有理数集
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7
边长为1的正方形的对角线长 度为多少？
1
（2）当 m 10，即 m1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数
Zm 2m 2(m 21 )i
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
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18
数系的扩充
复数的概念
B
nZ*
i4n 1 i4n1 i
i i4n2 -1 i4n3
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集，
一般用字母C表示 . 精选编辑ppt
14
数系的扩充 表示，即
zabi(aR,bR)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
复数的概念
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1
3.1 数系的扩充
❖ 从社会生活来看为了满足生活和生产实 践的需要，数的概念在不断地发展.
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24
运算法则.
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4
数集扩充到整数集
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5
分数（有理数）
❖ 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类已 经对有理数有了非常 清楚的认识，而且他 们认为有理数就是所 有的数.
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6
数集扩充到有理数集
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7
边长为1的正方形的对角线长 度为多少？
1
（2）当 m 10，即 m1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数
Zm 2m 2(m 21 )i
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
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18
数系的扩充
复数的概念
B
nZ*
i4n 1 i4n1 i
i i4n2 -1 i4n3
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集，
一般用字母C表示 . 精选编辑ppt
14
数系的扩充 表示，即
zabi(aR,bR)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
数系的扩充ppt课件
• 康托尔的超限数
超限数是大于所有有限数（但不必为绝对无限）的基数 或序数，分别叫做超穷基数和超穷序数。
• 罗宾逊的非标准实数系
是罗宾逊推出的超实数R * ，即非标准实数系，他的基本
思青想是将“无限小”和“无限大” 作为R 以外的超实
数衣。
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16
总结中学中涉及到的数系的扩充
• 自然数中减法产生了（
12
实数系R 复数系C
观察方程 x，2 它在1 R中没有解，为此，并i 定义： i2 1
为了让符号 能i 像普通的实数那样进行加、乘，我
们造出形如 a b这i样的符号，这里的 a是, 任b
意两个实数， 称a 为 复bi数， 称为虚数i 单位。
系是具备这样的性质的。
青 衣
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6
数系扩充的原则
• 原则三：旧数系是新数系的一部分，而且把旧数 系的元素看成新数系时，服从同样的运算规律， 及构成一种“嵌入”。
• 例如：自然数系N扩充到整数系Z，旧数系N是新数系Z中 的一部分，而且N中的元素还是符合Z中的运算规律的。
青
衣
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• 例如：自然数系N扩充到整数系Z，整数系Z失去了自然数
系N中任何子集都有最小元素的良序性质，但是获得对减
法封闭的特性。
青 衣
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5
数系扩充的原则
原则二:用旧数系为材料构成一个对 象，称之为新数，定义并验证这些
新数符合扩张的要求，或者具有新
数应具备的性质。
例如：将自然数系扩充到整数系，扩张的 要求是满足减法运算的需要，所以整数
7
自然数系N 整数系Z
青
衣
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3.1数系的扩充PPT优秀课件
m 1 0
1 0
数系的扩充
复数的概念
练习:1.当m为何实数时，复数
Z m m 2 ( m 1 ) i
2 2
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
1 (3)m=-2 (1)m= 1 (2)m
数系的扩充
复数的概念
如果两个复数的实部和虚部分别相
等，那么我们就说这两个复数相等．
R C
数系的扩充
复数的概念
例1 写出下列复数的实部与虚部，并指出
哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯 虚数. 1 4 4, 2－3i, 0, i ,5 2i, 6 i 2 3
数系的扩充
复数的概念
练一练：
说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数， 哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。
2 7 , 0.618,
引入一个新数：
i
满足
i 1
2
数系的扩充
复数的概念
引入一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：
（1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行
四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包
括交换率、结合率和分配率)仍然成立。
复数：形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 复数集：全体复数所形成的集合叫做复 数集，一般用字母C表示 .
2
1 3 , 39 i , i
2 i, 0 7
2i,
5i +8，
数系的扩充
复数的概念
例2: 实数m取什么值时，复数
z m 1 ( m 1 ) i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
1 0 解: （1）当 m ，即
1 0 （2）当 m ，即
7.1.1 数系的扩充和复数的概念课件ppt
(2)当 m2－2m－15≠0 时，复数 z 为虚数，
∴m≠5 且 m≠－3.
m2－2m－15≠0，
(3)当 2
时，复数 z 是纯虚数，∴m＝－2.
m ＋5m＋6＝0
m2－2m－15＝0，
(4)当 2
时，复数 z 是 0，∴m＝－3.
m ＋5m＋6＝0
6.若x,y∈R,且(x-1)+yi>2x,求x,y的取值或取值范围.
1.复数的定义
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.全体复数所构
成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.规定i·i=i2=-1.
2.复数的表示
复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时,复数
z=a+bi都有a,b∈R,其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
不成立,那么a+bi≠c+di(a,b,c,d∈R).
(2)如果两个复数都是实数,则可以比较大小;否则不能比较大小.
(3)复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据,是复数
问题实数化这种数学思想方法的体现.
微练习
已知x,y∈R,若x+3i=(y-2)i,则x+y=
答案 5
解析因为 x+3i=(y-2)i,
们之间的区别与联系;
(2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同;
(3)注意通过列举反例来说明一些命题是假命题.
变式训练1下列说法正确的是(
)
A.1-ai(a∈R)是一个复数
B.形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数
C.两个复数一定不能比较大小
D.若a>b,则a+i>b+i
∴m≠5 且 m≠－3.
m2－2m－15≠0，
(3)当 2
时，复数 z 是纯虚数，∴m＝－2.
m ＋5m＋6＝0
m2－2m－15＝0，
(4)当 2
时，复数 z 是 0，∴m＝－3.
m ＋5m＋6＝0
6.若x,y∈R,且(x-1)+yi>2x,求x,y的取值或取值范围.
1.复数的定义
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.全体复数所构
成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.规定i·i=i2=-1.
2.复数的表示
复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时,复数
z=a+bi都有a,b∈R,其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
不成立,那么a+bi≠c+di(a,b,c,d∈R).
(2)如果两个复数都是实数,则可以比较大小;否则不能比较大小.
(3)复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据,是复数
问题实数化这种数学思想方法的体现.
微练习
已知x,y∈R,若x+3i=(y-2)i,则x+y=
答案 5
解析因为 x+3i=(y-2)i,
们之间的区别与联系;
(2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同;
(3)注意通过列举反例来说明一些命题是假命题.
变式训练1下列说法正确的是(
)
A.1-ai(a∈R)是一个复数
B.形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数
C.两个复数一定不能比较大小
D.若a>b,则a+i>b+i
3.1数系的扩充PPT课件
例3 已知 (x＋y)＋(x－2 y)i＝(2x－5)＋(3x＋y)i ，
其中 x，y∈R，求 x，y.
解：根据复数相等的定义，得方程组
x＋y＝2x－5
x－2
y＝3
x＋y
解得：
x＝3，y＝－2．
练习 3
若(2x2－3x－2)＋(x2－5x+6)i＝0，求x的值.
x＝2
提问与解答环节
Questions And Answers
高中数学 选修2-2
引入新数
数系的扩充
自然数 整数
有理数 无理数
实数
用图形表示包含关系：
RQ Z N
学生活动
我们已经知道：
对于一元二次方程 x2＋1＝0 没有实数根．
x2＝－1
思考
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆 满解决呢？
i 引入一个新数：
满足 i2 ＝－1
知识建构
通常用字母 z 表示，即
z＝a＋b i (a R，b R)
i 实部 虚部 其中 称为R之间有什么关系？
实数b 0
复数a＋bi
虚数b
纯虚数a 0非纯虚数a
0，b 0，b
0
0
例1 写出下列复数的实部与虚部，并指出哪 些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.
(1)m＝ ± 1 (2)m ≠± 1
(3)m＝－2
思考1 的
a ＝ 0 是 z ＝ a ＋ b i(a，bR)为纯虚数 条件.
必要不充分
思考2 例2中,实数m取什么值时,复数 z 是 6＋2i ?
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那 么我们就说这两个复数相等．
若a，b，c，d ∈R，
数学31数系的扩充和复数的概念ppt课件新人教A版选修22
(4) b<0；
例题讲解
例 4．实数 m 取什么值时, 复平面内表示 复数 Z=(m2−8m+15)+(m2−5m−14)i 的点
(1)位于第四象限？ (2)位于第一、三象限？ (3)位于直线 y=x 上？
例题讲解
例 5．在复平面内,O是原点,向量OA对应 的复数是2 i。
(1)如果点A关于实轴的对称点为点B,
复数的代数形式: z a bi (a R, b R) 复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
复数相等 a bi c di
a c
b d
复数的几何意义
例题讲解
例 1．说出图中复平面内各点所表示的复数 (每个小正方格的边长为 1)
y
G
C
A
FO E
x
H
例题讲解
例 2．已知复数2 i,2 4i,2i,4, 3 4i 2
B．第二象限 D．第四象限
课堂练习
2．设复数 z = a + bi (a，b∈R)和复平面上 的点 Z (a，b)对应，a，b 必须满足什么条 件，对能使点 Z 位于： （1）实轴上？（2）虚轴上（不含原点）？ （3）上半平面（含实轴）？ （4）左半平面（不含虚轴）？
把 i 叫做虚数单位，并且规定： （1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行
四则运算时，原有的加法与乘法的运算率 (包括交换率、结合率和分配率)仍然成立.
把 i 叫做虚数单位，并且规定： （1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行
四则运算时，原有的加法与乘法的运算率 (包括交换率、结合率和分配率)仍然成立.
课堂练习
1．复数 z = – 2 (sin100°– icos100°) 在复平
数系的扩充与复数的引入公开课课件
控制工程
在控制工程中，复数用于描述系统的传递函数和稳定性，对于系统分析和设计至关重要。
感谢您的观看
THANKS
微积分中的连续性讨论
在微积分中，连续性是一个重要的概念。在实数范围内，连续性可以通过极限来定义和讨论。但在处理一些涉及无穷大或无 穷小的数学问题时，实数范围的局限性可能会限制讨论的深入。
通过引入复数，可以扩展连续性的定义和讨论范围。例如，在复变函数中，函数在复平面上的连续性和可导性得到了广泛的 研究和应用。这使得复数在处理涉及连续性和无穷大/无穷小的数学问题时更加有效和精确。
无理数是不能表示为两个整数的比的 无限不循环小数。
虽然无理数系能够表示无理数，但它 无法表示某些超越无理数，如某些高 阶无穷小量和高阶无穷大量。
无理数系的作用
无理数系使得数学能够处理所有的无 理数，如常见的圆周率π和自然对数 的底数e。
02
复数的引入
复数的定义
总结词
复数是实数域的扩充，由实部和虚部组成，表示为a+bi的形式，其中a和b是实 数，i是虚数单位。
04
复数在物理中的应用
交流电的分析
交流电的频率和相位分析
复数可以用于表示交流电的电压和电流，通过分析复数的模和辐角，可以得出电压和电流的有效值和 相位信息。
阻抗匹配
在电子和电气工程中，阻抗匹配是非常重要的概念。利用复数表示阻抗，可以方便地分析电路中的电 压和电流关系，实现阻抗匹配。
波动方程的求解
算符和矩阵
在量子力学中，算符和矩阵是非 常重要的概念。利用复数表示算 符和矩阵，可以简化计算过程， 并方便地描述量子态的变化。
05
复数的历史与文化背景
复数在数学史中的地位
数学发展里程碑
在控制工程中，复数用于描述系统的传递函数和稳定性，对于系统分析和设计至关重要。
感谢您的观看
THANKS
微积分中的连续性讨论
在微积分中，连续性是一个重要的概念。在实数范围内，连续性可以通过极限来定义和讨论。但在处理一些涉及无穷大或无 穷小的数学问题时，实数范围的局限性可能会限制讨论的深入。
通过引入复数，可以扩展连续性的定义和讨论范围。例如，在复变函数中，函数在复平面上的连续性和可导性得到了广泛的 研究和应用。这使得复数在处理涉及连续性和无穷大/无穷小的数学问题时更加有效和精确。
无理数是不能表示为两个整数的比的 无限不循环小数。
虽然无理数系能够表示无理数，但它 无法表示某些超越无理数，如某些高 阶无穷小量和高阶无穷大量。
无理数系的作用
无理数系使得数学能够处理所有的无 理数，如常见的圆周率π和自然对数 的底数e。
02
复数的引入
复数的定义
总结词
复数是实数域的扩充，由实部和虚部组成，表示为a+bi的形式，其中a和b是实 数，i是虚数单位。
04
复数在物理中的应用
交流电的分析
交流电的频率和相位分析
复数可以用于表示交流电的电压和电流，通过分析复数的模和辐角，可以得出电压和电流的有效值和 相位信息。
阻抗匹配
在电子和电气工程中，阻抗匹配是非常重要的概念。利用复数表示阻抗，可以方便地分析电路中的电 压和电流关系，实现阻抗匹配。
波动方程的求解
算符和矩阵
在量子力学中，算符和矩阵是非 常重要的概念。利用复数表示算 符和矩阵，可以简化计算过程， 并方便地描述量子态的变化。
05
复数的历史与文化背景
复数在数学史中的地位
数学发展里程碑
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重点难点分析 本节内容的教学重点是了解数系扩充
的过程以及引入复数的必要性．难点是正 确理解各种数集及它们之间的关系． 课前准备 老师：在上本节课前收集数的发展史上一 些重要的、典型的事件，做成幻灯片． 学生：在上课前了解一些数的发展史料．
教学设计 一、寻入新课 (教师活动)复习提问，并点评． (学生活动)回答问题． [问题]1．已学数集主要有哪些? 2．根据自己查阅的数学史料，说出一
[字幕]自然数充满奥秘 人类竞相寻规律
远古的人类，为了统计捕获的野兽和
采集的野果，用手指或石子数个数，历经 漫长的岁月，创造了自然数1、2、3、4、 5、…现在人们把0归入自然数，那不过是 为了方便．其实0并不自然，它是自然数减 法的产品。自然数是现实世界最基本的数 量，是全部数学的发源地．自然数的全体 构成自然数集N．自然数的加法与乘法满足 交换律、结合律以及分配律．
两千多年前，人们发现某些自然很怪 异：6=1+2+3，28=1十2+4+7+14，496= 1+2+4+8+16+31+62+124+248，6、28、
496是各自因素(除本身外)之和，它们如同 人间的全家福，故美其名曰“完全数”．十 八世纪，欧拉证明了所有的偶完全数必为如
下形式：2n-1(2n-1)，其中n和2n一1是质 数．到二十世纪末，人类总共发现了33个 偶完全数．其中最大的一个是 2859432(2859433-1)．
古希腊人说，有些自然数的平方，可以
拆成两个自然数的平方．如52=42+32．他们 还把所有这样的自然数组都找出来了．两千
年之后，费马发现，任何立方数都不能拆成 两个立方数，进而断言，没有正整数x，y，
z满足xn+yn=zn，n≥3．这就是著名的费马大 定理，数学家为证明这个定理奋斗了二百多 年．直到二十世纪末，才被普林斯顿大学教 授怀尔斯所证明．这是二十世纪最伟大的数 学成就之一．
些对数的发展起作重大作用的历史事件和 人物．
设计意图：激发学生学习兴趣，引入新 课．
二、新课讲授
【了解过程，体会作用】
(教师活动)指导学生阅读教材，打出字 幕(介绍一些对数的发展起重大作用的历史 事件和人物)，讲解数系扩充过程．
(学生活动)阅读教材，体会实际需求与 数学内部的矛盾(数的运算规则、方程的理 论)在数系扩充过0的所有因数1、2、4、5、10、11、20、 22、 44、55、110之和等于284，而284的 所有因数之和1+2+4+71+142恰好等于 220．这两个数好像门当户对的亲家，你
中有我，我中有你．人称“亲和数”，过了 两千年，费马发现了另一对亲和数：17296， 18416．他的同时代的同胞笛卡尔发现了第 三对亲和数：2620，2924．百年之后，善 于批量生产的欧拉找到了60对亲和数，又过 了两百年，意大利少年帕加尼尼发现了欧拉 遗漏了一对较小的亲和数：1184，1210．
18世纪，英国数学家华林发现了自然数又 一个重要的内在联系：每一个自然数都是4 个平方数之和，9个立方数之和，19个四方 数之和，百年之后，数学大师希尔伯特证明 了华林的发现是正确的．1965年，陈景润证 明了每一个自然数都是37个五方数之和， 而且37不能再小了．
还是在18世纪，中学教师哥德巴赫猜想， 每一个偶数(大于6)都是两个质数之和．每 一个奇数(大于9)都是三个质数之和．这个 猜想是否正确至今无人知晓．
应了人类两千多年的需要． 在算术中，不讨论负数，但0在讨论之列，
所以分数也包括0/n=0，由于m/n可能是自然 数，这样分数包括自然数以及不是自然数的 纯分数．因此，自然数可视为特殊的分 数．当人类把数的范围从自然数扩充到分数 以后，自然要求分数运算和自然数运算一样， 都要满足加法、乘法的交换律与结合律以及 乘法对加法的分配律，这时，分数运算还是 个新事物必须给出明确的定义，人们习惯的 做法是根据实际意义给出分数运算的所谓法 则．
引进了分数之后，分份和度量问题以及两个 自然数相除(除数不为0)的问题也就解决了， 并且产生了小数．小数与分数既有相同之处， 也有区别，它们之间的差异甚至是
很本质的．分数可以由自然数的除法得到， 而有的小数则不能，分数都是小数，小数不
一定是分数．小数的严格定义如同实数，是 非常艰难的，直到19世纪与20世纪之交， 几 位数学大师从有理数出发，严格定ZT实数， 小数才有了严谨的说法．
[字幕]分数运算有来历理解小数不容易 大约在四千年前，为了公平分配物质，
印度人引进了分数．但无论是分数的确切定 义和科学表示，还是分数算法，最早建立起 来的都是中国，这是中国对世界数学的杰出 贡献之一，如在成书于公元1世纪的《九章 算术》中，已经有约分、通分及分数的四则 运算等知识．分数是两个自然数之比，它适
以上教学目标的确定，主要基于以下 几个方面：
(1)依据教学大纲和教材内容的特点， 由此确定第一个教学目标；
(2)数系扩充的过程体现了数学的发现 和创造过程，有利于发展学生独立获取 数学知识的能力和创新意识，由此确定 第二个教学目标；
(3)数系扩充的过程体现了数学发生发 展的客观需求和背景，学生将在问题情 境中
[字幕]负数出在初世纪 千年之后才普及
为了表示各种具有相反意义的量以及满 足记数法的需要，人类引进了负数．负数概 念最早产生于我国，东汉初期的“九章算术” 中就有负数的说法．公元3世纪，刘徽在注 解“九章算术”时，明确定义了正负数： “两算得失相反，要令正负以名之”，大意 是说：意义相反的两个数，应分别称为正数 与负数．不仅如此，刘徽还给出了正负数的 加减法运算法则．千年之后，负数概念才经 由阿拉伯传人欧洲，那时，欧洲的数学相当 进步，但普遍认可负数还经历了百年之久， 据考证，分数产生于四千多年前，而负数则
4.3数系的扩充 教学目标
1．知识目标：在问题情境中了解数系 的扩充过程，体会实际需求与数学内部的 矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩 充过程中的作用，感受人类理性思维的作 用以及数与现实世界的联系．
2．能力目标：发展学生独立获取数学 知识的能力和创新意识．
3．情感、态度、价值观目标：提高学生 学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精 神，使学生对数学有较为全面的认识．初 步认识数学的应用价值、科学价值和人文 价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态 度，树立辩证唯物主义世界观．