初中中考数学复习第四章图形初步认识与三角形第16节等腰三角形正文课件

特点
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称 轴，即底边的垂直平分线（或底边的中 垂线）。
等腰三角形性质
等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”）。
等腰三角形的顶角的平分线， 底边上的中线，底边上的高的 重合（简写成“三线合一”）。
等腰三角形是轴对称图形，对 称轴是底边的垂直平分线。
判定方法
在一个三角形中，如果一个角的 平分线与它所对边的高重合，那
么这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果一条边上 的中线等于这条边的一半，那么
这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果两个角的 度数相等，那么这两个角所对的 边也相等，即这个三角形是等腰
三角形。
02
等腰三角形面积与 周长计算
面积计算公式
等腰三角形面积公式
01
$S = frac{1}{2} times 底 times 高$
题目2 已知等腰三角形ABC的周长为16cm，AD是底边 BC上的中线，AD∶AB = 3∶5，且△ABD的周长 为12cm，求△ABC的各边长及AD的长．
题目3 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45°，且腰长为6，则其面积为多少？
THANKS
感谢您的观看
善于利用图形中的隐含条件，如公共边、公共角等。
辅助线构造方法
等腰三角形中的高
连接顶点与底边中点，构 造出高，利用高的性质进 行证明。
中位线
连接两腰中点，构造出中 位线，利用中位线的性质 进行证明。
角平分线
若题目中涉及到角的平分， 可以构造角平分线，利用 角平分线的性质进行证明。
典型例题解析
解析
根据等腰三角形的性质， 我们知道∠B=∠C。又因 为AD是BC边上的高， 所以 ∠ADB=∠ADC=90°。 根据三角形的全等判定， 我们可以证明 △ABD≌△ACD，从而得 出∠BAD=∠CAD。

等腰三角形中的塞瓦定理与梅涅劳斯定理
在等腰三角形中，若点P位于底边中线上，则AP、BP、CP分别交BC、AC、AB于点D、E 、F时，满足塞瓦定理和梅涅劳斯定理。
挑战性问题：寻找最大面积等腰三角形
问题描述
给定一条长度为L的线段AB，在 AB的同一侧作两个等边三角形 ABC和ABD，连接CD。在AB上 取一点P，连接CP和DP。试找出 使得△CPD面积最大的点P的位置
05
等腰三角形相关定理证明
勾股定理在等腰三角形中证明
01
勾股定理基本内容
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
02
等腰三角形与勾股定理关系
当等腰三角形为直角三角形时，其两条腰为直角边，底边为斜边，满足
勾股定理。
03
证明过程
设等腰直角三角形的两条腰为a，底边为c，根据勾股定理有a² + a² =
等角对等边
两个底角相等，且每个 底角都等于顶角的补角
。
对称性
等腰三角形是轴对称图 形，对称轴是底边的垂
直平分线。
等腰三角形与等边三角形关系
等边三角形是特殊的等腰三角形
等边三角形的三边都相等，因此它也满足等腰三角形的定义。
等腰三角形不一定是等边三角形
虽然等腰三角形的两腰相等，但它的底边可以与两腰不等，因此不是所有等腰 三角形都是等边三角形。
c²，化简得2a² = c²，从而证明了在等腰直角三角形中，勾股定理成立
。
射影定理在等腰三角形中证明
射影定理基本内容
在直角三角形中，斜边上的垂线 将斜边分为两段，这两段与直角 边的乘积相等。
等腰三角形与射影定 理关系
当等腰三角形为直角三角形时， 其高线即为斜边上的垂线，满足 射影定理。

课堂互动探究
探究(tànjiū)二 等腰三角形和等边三角形的判定
例 2 [2017·内江] 如图 20-8,AD 平分∠BAC,AD⊥BD,垂足 为点 D,DE∥AC. 求证:△BDE 是等腰三角形.
图 20-8
【证明】 ∵DE∥AC,∴∠1=∠3. ∵AD 平分∠BAC,∴∠1=∠2. ∴∠2=∠3. ∵AD⊥BD,∴ ∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°, ∴∠B=∠BDE,∴△BDE 是等腰三角形.
D.10°
图 20-1
第七页，共二十三页。
【答案】D 【解析】由∠C+∠BAC=145°得知 ∠B=35°,由 AB=AC 得知 ∠B=∠C=35°,由等腰直角三角形的 性质可得∠AED=45°, 又∵∠AED=∠EDC+∠C, ∴∠EDC=45°-35°=10°.
课前考点过关
2.如图 20-2,线段 AC 的垂直平分线交线段 AB 于点 D,∠A=50°,则∠BDC=( B )
第二图十页20，-共11二十三页。
课堂互动探究
【答案】(1) EP=EQ (2)成立 (3) 150° 【证明】 (1)EP=EQ.连接 OE.∵∠AOB=90°,E 是 AB 的中点,∴OE=AE. 又∵OP=AP,∴PE 垂直平分 OA.∵C 为 OA 的中点,∴点 C 在 PE 上. ∵∠OPA=90°,∴∠OPE=1∠OPA=45°.同理可证∠OQE=45°. ∴EP=EQ.
(2)等腰三角形的两个底角③
(3)一个等腰三角形的顶角④
相等 (简写为“等边对等角”);
,底边上的⑤
,底边上的⑥
互相重合(简称“三线合一”);
平分线
(4)等腰三角形(底和腰不相等)是轴对称图形,有

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其他领域应用举例
在机械工程中，等腰三角形常被用作机械零件的截面形状，如三角形的钢板、三角 形的支架等，这些零件通常具有较好的刚度和稳定性。
在航空航天领域，等腰三角形也被广泛应用，如飞机机翼的截面形状、火箭燃烧室 的形状等，这些设计通常需要考虑空气动力学和力学性能的平衡。
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02
等腰三角形判定方法
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已知两边相等
定义
有两边相等的三角形是等腰三角形。
性质
推论
等腰三角形是轴对称图形，有一条对 称轴（顶角平分线所在直线、底边上 的中线、底边上的高互相重合）。
等腰三角形的两个底角相等，即等边 对等角。
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已知两角相等
01
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拓展延伸：黄金分割点与等腰三角形
01
黄金分割点定义
把一条线段分割为两部分，使其中一 部分与全长之比等于另一部分与这部 分之比，其比值为(√5-1)/2，取其前 三位数字的近似值是0.618，这个点 就是黄金分割点。
02
等腰三角形与黄金分 割点的关系
在等腰三角形中，可以通过黄金分割 点将底边分为两段，使得这两段长度 之比等于腰与底边之比。这个性质可 以用于美学、设计等领域。
等腰三角形底边上的任意一点 到两腰的距离之和等于一腰上 的高。（错）
等腰三角形是轴对称图形，只 有一条对称轴。（错，等腰三 角形有一条或三条对称轴）
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选择题练习
等腰三角形的一个内角是 50°，则另外两个内角的 度数分别是（C）
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下列命题中，假命题是（ B）