两角差的余弦公式【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件

= ×
答案:


+
+




×=
+

.


5.设 α,β 都是锐角,且 cos α= ,sin(α+β)= ,求 cos β 的值.






解:∵α,β 都是锐角,且 cos α= < ,∴<α<.



又 sin(α+β)= > ,∴<α+β<π.
∴cos(α+β)=-
=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)




= ×
+

又 0<β<,

故 β=.


×



= .

易 错 辨 析
忽略三角形内角之间的关系致错


【典例】 已知 A,B,C 是△ABC 的内角,cos A=,sin B=,
求 cos(A-B).

错解:由 cos A= >0,可知 A 为锐角,
可得 cos - = × + ×



当 α 是第四象限角时,sin α=-,

可得 cos - =
-

.
=
+

.
2.把例 2(1)改编为:若 cos +









=- ,且 α∈ ,
解:∵cos + =-,且 α∈ , ,

＝2 5 5×3 1010＋55Βιβλιοθήκη －1100＝2 2.
由 0<α<2π，－π2<β<0 得，0<α－β<π，
又 cos(α－β)>0，所以 α－β 为锐角，所以 α－β＝4π.
课堂归纳小结 1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函 数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值， 关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知 角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角 等技巧．
＝cos90°＝0.
利用公式 C(α－β)求值的思路方法 (1)求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差，正用公 式直接求值． (2)如果函数名称不满足公式特点，可利用诱导公式调整角和 函数名称，构造公式的结构形式然后逆用公式求值．
[针对训练]
1．cos15°cos45°＋cos75°sin45°的值为( )
[答案] A
4．已知 sinπ3＋α＝1123，α∈π6，23π，则 cosα 的值为________．
[解析] 因为 sin3π＋α＝1123，α∈6π，23π，
所以π3＋α∈π2，π，cosπ3＋α＝－153.
所以 cosα＝cosπ3＋α－π3
＝cos3π＋αcos3π＋sin3π＋αsinπ3
1 A.2
3 B. 2
C．－12
D．－
3 2
[解析] 原式＝cos15°cos45°＋sin15°sin45°＝cos(15°－45°) ＝cos30°＝ 23，故选 B.
[答案] B
2．化简 cos(α＋45°)cosα＋sin(α＋45°)sinα＝________.
[解析] cos(α＋45°)cosα＋sin(α＋45°)sinα＝cos(α＋45°－α)

所以
cosα－π4＝cos
αcos
π4＋sin
αsin
π 4
＝1132× 22＋－153× 22＝7262.
1234
4.若 cos(α－β)＝ 55，cos 2α＝ 1100，且 α，β 均为锐角，α<β，则 α＋β 3π
＝4 .
1234
因为 0<α<π2，0<β<π2，α<β.
所以－π2<α－β<0.
问题3 你还记得初中所学两点间的距离公式吗？ 提示 平面上任意两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 P1P2＝
x2－x12＋y2－y12， 由此可得[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2.
知识梳理
两角差的余弦公式 cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β ，其中α，β为任意角，简记作C(α－β).
例2 (1)已知 sinπ6＋α＝14，则 cos α＋ 3sin α 的值为
A.－14
√B.12
C.2 D.－1
cos α＋
3sin
α＝212cos
α＋
3 2 sin
α
＝2cos
π 3cos
α＋sin
π 3sin
α
＝2cosπ3－α＝2sinπ2－π3－α
＝2sinπ6＋α＝12.
(2)已知 sinα＋π4＝45，且π4<α<34π，则 cos α＝
∵cos β＝－35，π2＜β＜π，∴sin β＝45， ∵0＜α＜π2＜β＜π，sin(α＋β)＝153， ∴π2＜α＋β＜π，∴cos(α＋β)＝－ 1－12659＝－1123， ∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－1123×－35＋ 153×45＝5665.

1、利用公式C 证明：
−
3
（1）cos
− = −;
2
（2）cos − = .
证明：（1） cos
3
2
− =
3

2
+
3

2
= 0 −
(2) cos − = cos 0 − = 0 − 0 = − 0

(1) cos （ 2
− ） = sin
(2)cos （ − ） = − cos

解:cos （
2
− ）

= cos cos
2
+

sin sin =sin
2
cos （ − ） = cos cos + sin sin =−cos
4
例2.已知 = ，
3
=4 × −
=
2 7−3 5
12
5
3
+（−
7
）
4
2
× （ − 3）
∈
3
, 2
2
, 求cos − 的值.
PART 04
小结
小结
差角的余弦公式： （ − ）= +
思考探究：现在我们已经掌握了差角的余弦公式，
如何利用变式得到和角的余弦公式
整理得：
（ − ）= +
（ − ）= +
此公式给出了任意角，的正弦、余弦与其差角 − 的余弦
的关系，称为差角的余弦公式，简记作：C（ − ）
例1.利用差角的余弦公式证明下列诱导公式
利用差角余弦公式求值
2、利用公式C

微判断
(1)cos(60°-30°)=cos 60°-cos 30°.(
)
(2)当α,β∈R时,cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β.(
)
(3)对于任意实数α,β,cos(α-β)=cos α-cos β都不成立.(
(4)cos 30°cos 120°+sin 30°sin 120°=0.(
5π
π
π
√2
.
2
5π
π
2
π
=cos12 cos6 +sin 12 sin 6 =cos
=cos =
4
1
(3) cos
2
√3
105°+ sin
2
π
5π
− 12 sin 6
5π
π
−
12
6
105°
=cos 60°cos 105°+sin 60°sin 105°
√2
=cos(60°-105°)=cos(-45°)= .
答案 (1)× (2)×
(3)×
(4)√
)
)
微练习
(1)cos 15°=
.
(2)cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=
答案
√6+√2
(1) 4
.
1
(2)2
解析 (1)cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°
√2
=
2
×
(1)简记符号:C(α-β).
(2)适用条件:公式中的角α,β是任意角.
名师点析 1.公式可简记为:余余正正、符号反.

第 两五 角章 差的余5.弦5.公1 式第【1新课教时材两】角人差教的A余版弦高公中式数-学【必新修教 第材一】册人 课教件A版2 （ 优2秀01p9pt）课高件中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT) 第 两五 角章 差的余5.弦5.公1 式第【1新课教时材两】角人差教的A余版弦高公中式数-学【必新修教 第材一】册人 课教件A版2 （ 优2秀01p9pt）课高件中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT)
第五章 5.5.1 第1课时两角差的余弦公式-【新教 材】人 教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT) 第五章 5.5.1 第1课时两角差的余弦公式-【新教 材】人 教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT)
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第 两五 角章 差的余5.弦5.公1 式第【1新课教时材两】角人差教的A余版弦高公中式数-学【必新修教 第材一】册人 课教件A版2 （ 优2秀01p9pt）课高件中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT) 第 两五 角章 差的余5.弦5.公1 式第【1新课教时材两】角人差教的A余版弦高公中式数-学【必新修教 第材一】册人 课教件A版2 （ 优2秀01p9pt）课高件中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT)

来的圆重合,这一性质叫做圆的旋转对称性．
连接1 1 ,．若把扇形,绕着点旋转角,则点,
෢
分别与点1 , 1 重合．根据圆的旋转对称性可知,与
෣

1 1 重合,从而, 所以＝1 1
ห้องสมุดไป่ตู้究新知
根据两点间的距离公式,得
cos − − 1 2 + s −
复习引入
不用计算器,求cos −375° 的值.
−° = ° = ° + ° = °
1. 15 °能否写成两个特殊角的和或差的形式?
2. 15 ° = (45 ° − 30 °) = 45 ° − 30 °成立吗?
3. (45 ° − 30 °)能否用45 °和30 °的角的三角函数来表示?
−

=

，求的值


−



=



由0＜β＜α＜ ，得0＜α－β＜ .

又cos(α－β)＝ ， ∴

( − ) =

− (
− ) =
−


由 = − ( − )得
= [ − ( − )] = ( − ) + ( − )
不妨令 ≠ 2kπ＋β, ∈ ． 如图,设单位圆与轴的正半轴相交于点(1,0),
以轴非负半轴为始边作角, , — , 它们的终边分别与单位圆相交于
1 (, ), 1 (, ),((－), (－))．
任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原
＝(－ ＝(－
)×(－ )×
)＋(－
＋
×)×
＝＝ －
. .


方法归纳

＝sin（72°－42°）＝sin 30°＝ 1 ； 2
（2）由公式C（α＋β），得cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70° ＝cos（20°＋70°）＝cos 90°＝0；
新知探究
立德树人 和谐发展
例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（3） sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°；
如果α是第四象限角，则所求的三个三角函数值依次是
72 10
，7 2 10
，7．
头脑风暴
立德树人 和谐发展
思考：由以上解答可以看到，在本题的条件下有sin( ) cos( ),
4
4
那么对于任意角，此等式都成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？
解：方法一、sin( ) cos[ ( )] cos( )
解：（3）方法一：sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°
＝cos24°cos 36°－sin 36°sin 24°，
由公式C（α＋β），原式＝cos（36°＋24°）＝cos60°＝
1 2
．
方法二：sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°
＝sin 66°cos36°－cos 66°sin 36°，
所以 sin
+π
π
π
=sinθcos +cosθsin
4
4
4
= 2× 2 2 + 1 =4+ 2,
2
3
3
6
sin - π =sinθcosπ-cosθsinπ
6
66Leabharlann =2 2× 3-1×1=2 . 6-1
3
23 2 6

[解]∵sinα＋π4＝45，且π4<α<34π， ∴π2<α＋π4<π，
∴cosα＋π4＝－ 1－542＝－35，
∴cos α＝cosα＋π4－π4
＝cosα＋π4cos
π4＋sinα＋π4sin
π 4
＝－35× 22＋45× 22＝102.
16
巩固练习 3．将例 2(2)的条件改为“sinπ3－α＝－1123，α∈π6，56π”， 求 cosα－1π2的值． [解] ∵π6＜α＜56π，∴－π2＜π3－α＜π6，
即：(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)
单位圆与x轴–非1 负半 轴交于A(1,0), P1(cos α，sin α). A1(cos β，sin β)， P(cos(α－β)，sin(α－β))，
化简后得到：cos(α－β)＝cosαcosβ+ sinαsinβ.
A1(cos β,sin β).
α-β
α β α-β
O
P(cos (α-β),sin (α-β)).
.
A1(1,0)
x
【问题3】已知角α-β的终边 与单位圆的交点为P，请写 出点P的坐标
–1
连接AP，A1P1，根据圆的旋转对称性， 容易发现AP＝A1P1.
y
1
P1 (cos α , sin α).
巩固练习 1．化简下列各式：(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
[解] (1)原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°

π
0<β<α<2,
=
2
.
2
变式探究
π
本例中,若将条件“α,β均为锐角”改为“α,β∈ 2 ,π
”,再求α-β的值.
解因为 α,β∈
π
,π
2
,sin
2 5
α= 5 ,sin
β=
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β= 又因为 sin α>sin
π
β,所以2<α<β<π,
π
因此-2<α-β<0,故
(cosα,sinα)
(cosβ,sinβ)
(cos(α-β),sin(α-β))
y
单位圆与x轴非负半轴交于A(1,0)

α
O

β

α-β

x
新课内容
(cosα,sinα)
(cosβ,sinβ)
P1OA1 POA
(SAS)
(cos(α-β),sin(α-β))根据圆的旋转对称性，容易发现AP＝A P
例1.利用公式C(α-β)证明:
cos(α − β) = cosαcosβ + sinαsinβ

（1） cos( ) sin ；
2
（2） cos( ) cos .
例1.利用公式C(α-β)证明:

（1） cos( ) sin ；
2
y
证明：
(, )
新课内容
sinα=y
cosα=x
问题1:已知 为角α的终边，
用α的三角函数来表示单位圆上点 的坐标
y
问题2:已知 为角β的终边，