函数图象平移与伸缩的通解

函数图像中的平移变换与伸缩变换一、 函数图像的变换是高考中的热点，掌握变换规律的技巧能帮助我们准确、快速的解题。

本节课我们学习变换中的平移变换与伸缩变换。

现象：⎪⎭⎫⎝⎛+=−−→−=6sin sinπx y x y 规律：现象：⎪⎭⎫⎝⎛+=−−→−=32sin 2sinπx y x y字母x 、y 而言。

（2）变换具有“逆反性”（正向移则减，负向移则加） 注意：x y x y sin 2sin =→=实质上可看作为_________________ 二、例：将x y 2cos =向左平移3π个单位得到 _________________,再将它的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的两倍，得到的解析式为___________________，再将它的横坐标不变，纵坐标缩为原来的1/2,得到的解析式为________________。

练习：1、将y=sinx 的图像纵坐标不变，横坐标伸长为原来的两倍，然后再向左平移6π个单位得到的解析式为：_______________2、为得到函数y=sinx-cosx 的图像，只要将y=sinx+cosx 的图像按向量a 平移,则a等于__________注：右移2个单位→2),0,2(-→=x x a下移3个单位→3),3,0(+→-=y y b()()23-=+→=x f y x f y ，此时()3,2-=+=b a m()x f y =的图像按向量()k h a ,=平移后的解析式为()h x f k y -=-3、如何由x y cos =的图像得到262cos 2+⎪⎭⎫⎝⎛+=πx y 的图像。

三角函数作为函数中的一种，它的变换规律是应适用于一般函数，验证y结论：上述两条也适用于一般函数y=f(x)三、例1：将x y 2log =的图像向左平移两个单位，然后横坐标不变，纵坐标伸长为原来的两倍，其解析式为：______________________例2：作132++=x x y 的草图。

三角函数图象的平移和伸缩函数s i n ()y A x k ωϕ=++的图象与函数s i n y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x kϕ=++的图象．先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x=的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x kωϕ=++的图象．例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πs i n24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2s i n 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2s i n 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数． 解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在πcos 22y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π8a =-．所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象．练习：1、选择题：已知函数)5sin(3π+=x y 的图象为C 。

（ 0,1 ）和（ 0,1 ） （ 2,0 ）和（ 2， 2 ）
三﹑对称变换
y
(-x,y) .
(-x,-y) .
(y,x) . .(x,y)
x
.(x,-y)
函数图象对称变换的规律:
1. y f ( x) y f ( x)
关于x轴对称
2. y f ( x) y f ( x)
函数图象变换的应用:
①作图﹑② 识图﹑ ③用图
(2)方程 f(x)－a＝x 的根的个数等价于 y＝f(x)与 y＝x－a 的交点的个数，所以可以借助图像进行分析．
规范解答 解
2 x－2 －1， x∈－∞，1]∪[3，＋∞ f(x)＝ 2 －x－2 ＋1， x∈1，3
作出图像如图所示．
[2 分]
(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4 分] (2)原方程变形为 |x2－4x＋3|＝x＋a， 于是，设 y＝x＋a，在同一坐标系下再作出 y＝x＋a 的图 像．如图． 则当直线 y＝x＋a 过点(1,0)时，a＝－1； [6 分]
a a
1 x
a

a ax a a a
x

ax a ax
1 y 1
a a a
x

a
x
x
a a
f (1 x)
所以，函数y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称
（2）由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是 指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.

三角函数平移变换及解析式的求法类型一：平移变换1. y ＝2sin(2x －π6)＋1的图像是由y ＝sin x 的图像怎样变换而来的？解 方法一 先伸缩后平移y ＝sin x ――――――――――――――→各点的横坐标缩小为原来的12倍纵坐标不变y ＝sin 2x ――――――――――――→向右平移π12个单位y ＝sin(2x －π6)―――――――――――――――→各点的纵坐标伸长为原来的2倍横坐标不变y ＝2sin(2x －π6)――――――――――――→向上平移1个单位y ＝2sin(2x －π6)＋1.方法二 先平移后伸缩y ＝sin x ――――――――――→向右平移π6个单位y ＝sin(x －π6)――――――――――――――→各点的横坐标缩短为原来的12纵坐标不变y ＝sin(2x －π6)――――――――――→各点纵坐标伸长为原来的2倍横坐标不变y ＝2sin(2x －π6)――――――――――→向上平移1个单位y ＝2sin(2x －π6)＋1.2.试述如何由y ＝13sin(2x ＋π3)的图像得到y ＝sin x 的图像.解 方法一 y ＝13sin(2x ＋π3)――――――――――――――→横坐标扩大为原来的2倍纵坐标不变y ＝13sin(x ＋π3)――――――――――――――→图像向右平移π3个单位纵坐标不变y ＝13sin x――――――――――――――→纵坐标扩大到原来的3倍横坐标不变y ＝sin x .方法二 (1)先将y ＝13sin(2x ＋π3)的图像向右平移π6个单位长度，得y ＝13sin 2x 的图像；(2)再将y ＝13sin 2x 图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，得y ＝13sin x 的图像；(3)最后将y ＝13sin x 的图像上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)得到y ＝sin x 的图像.3.将函数x y sin =的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是() A ．)102sin(π-=x y B ．)102sin(π+=x yC ．)1021sin(π-=x yD ．)1021sin(π+=x y解：将函数sin y =x 的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，得到函数sin()10y x π=-，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数1sin()210y x π=-的图象，故选：C ． 4.把函数)42sin(π+=x y 的图象向左平移8π个单位长度，再将横坐标压缩到原来的21，所得函数的解析式为（ ）A. x y 4sin =B. x y 4cos =C. )84sin(π+=x yD.)324sin(π+=x y解：选B5.要得到)42cos(π-=x y 的图象，只需将x y 2sin =图象()A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8π个单位解：将sin y = 2x 的图象向右平移8π个单位，可得sin(2)4y x π=-的图象， 故选：D ．6.要得到函数x y cos 2=的图象，将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的( )A ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度解：2sin(2)cos(2)cos(2))42444y x x x x πππππ=+=--=-=- 答案为C 故选：C ．7.已知函数)4sin()(πω+=x x f R x ∈(，)0>ω的最小正周期为π，为了得到函数xx g ωcos )(=的图象，只要将)(x f y =的图象()A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度解：由题知2ω=，所以()sin(2)cos[(2)]cos(2)cos2()42448f x x x x x πππππ=+=-+=-=-，故选：A ．类型二：求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的解析式1.已知函数)sin(ϕω+=x A y 0(>A ，0>ω，)0πϕ<<的一段图象如图所示，则此函数解析式为__________.（例10）解：)33sin(2π+=x y2.下图是函数)sin(ϕω+=x A y 0(>A ，0>ω，)20πϕ<<的图象的一部分，试求此函数解析式.解：)438sin(2ππ-=x y3.已知函数)sin(ϕω+=x A y ，在同一周期内，当9π=x 时函数取得最大值2，当94π=x 时取得最小值2-，则该函数的解析式为( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=63sin 2πx yB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+=63sin 2πx yC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+=631sin 2πx yD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=631sin 2πx y解：由题意可知42993T πππ=-=，223T ππω∴==，解得3ω=， 函数的最大值为2，最小值为2-，2A ∴=， 9x π=时函数取得最大值2，2sin(3)29πϕ∴⨯+=，解得6πϕ=．∴函数解析式为2sin(3)6y x π=+．故选：B ．4.若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (其中A >0，ω>0，|φ|<π2)的图像如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求S ＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)的值.解 (1)由图像知A ＝32－122＝12，b ＝32＋122＝1，ω＝2πT ＝2π4＝π2.∴f (x )＝12sin(π2x ＋φ)＋1.又∵点(0,1)在函数图像上，∴f (0)＝1即1＝12sin φ＋1，∴sin φ＝0.又|φ|<π2，故φ＝0，∴f (x )＝12sin π2x ＋1.(2)由(1)知函数f (x )＝12sin π2x ＋1，周期T ＝2ππ2＝4.∴S ＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012) ＝f (0)＋[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]×503.又∵f (0)＝1，f (1)＝32，f (2)＝1，f (3)＝12，f (4)＝1，∴S ＝1＋(32＋1＋12＋1)×503＝2 013.反思与感悟 要求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的解析式，其关键是求参数A 、φ、ω、b 的值.求A 、ω、b 三参数相对容易，设函数的最大值为m ，最小值为n ，则⎩⎨⎧A ＝m －n2，b ＝m ＋n2.已知函数周期为T ，则由T ＝2πω可求出参数ω的值.5.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图像如图所示，(1)求f (x )的解析式；(2)求f (π4)＋f (2π4)＋f (3π4)＋…＋f (2 015π4)的值.解 (1)由图像可知A ＝2， 周期T ＝2(7π12－π12)＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 由图像过点(π12，2)，得2sin(2×π12＋φ)＝2，即sin(π6＋φ)＝1，取π6＋φ＝π2得φ＝π3， 故f (x )＝2sin(2x ＋π3).(2)由(1)可知f (x )的周期为π，因为f (π4)＋f (2π4)＋f (3π4)＋f (4π4)＝1－3－1＋3＝0，所以f (π4)＋f (2π4)＋f (3π4)＋…＋f (2 015π4)＝0×503＋f (2 013π4)＋f (2 014π4)＋f (2 015π4)＝f (π4)＋f (2π4)＋f (3π4)＝1－3－1＝－ 3.6.将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图像向左平移π6个单位，平移后的图像如图所示，则平移后的图像所对应函数的解析式是________.答案 y ＝sin(2x ＋π3)解析 函数y ＝sin ωx (ω>0)的图像向左平移π6个单位得到y ＝sin(ωx ＋ωπ6)，则712πω＋ωπ6＝3π2，解得ω＝2， 故平移后的图像的解析式为y ＝sin(2x ＋π3).7.已知函数)cos(ϕω+=x A y 的图象如图所示，32)2(-=πf ,则=)0(f ( )(例13)A ．32-B ．21-C ．32 D ．21 解：由题意可知，此函数的周期11722()12123T πππ=-=，故223ππω=，3ω∴=，()cos(3)f x A x ϕ=+． 32()cos()sin 223f A A ππϕϕ=+==-． 又由题图可知771()cos(3)cos()12124f A A ππϕϕπ=⨯+=-cos sin )02A A ϕϕ=+=， 2(0)cos 3f A ϕ∴==．故选：C ．。