北京市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练导数及其应用一、填空、选择题1、（2016年全国I 卷高考）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦2、（2016年天津高考）已知函数()(2+1),()x f x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________.3、（东城区2016届高三上学期期中）若曲线f （x ）＝在点（1，a ）处的切线平行于x轴，则a ＝4、（东城区2016届高三上学期期中）已知函数f （x ）＝为实数，若f（x ）在x ＝－1处取得极值，则a ＝5、（海淀区2016届高三上学期期末）直线l 经过点(,0)A t ，且与曲线2y x =相切，若直线l 的倾斜角为45，则___.t =6、（广州市2015届高三一模）已知e 为自然对数的底数，则曲线2y =e x在点()1,2e 处的切线斜率为7、（华南师大附中2015届高三三模）函数2ln 2)(x x x f +=在1=x 处的切线方程是 *** 8、（惠州市2015届高三4月模拟）函数32()34f x x x =-+在x = 处取得极小值.二、解答题1、（2016年北京高考）设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围；（III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.2、（2015年北京高考）设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >． （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,e ⎤⎦上仅有一个零点．3、（2014年北京高考）已知函数3()23f x x x =-. （Ⅰ）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（Ⅱ）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（Ⅲ）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）4、（海淀区2016届高三上学期期末）已知函数1()ln ,0.f x k x k x=+≠ （Ⅰ）当1k =时，求函数()f x 单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x 的方程()f x k =有解，求实数k 的取值范围.5、（海淀区2016届高三上学期期中）已知函数()32113f x x x ax =+++. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点（0,1）处切线的斜率为-3，求函数()f x 的单调区间；6、（石景山区2016届高三上学期期末）已知函数mx x g x m x x f -=+-=31)(,2131)(23,R m ∈. （Ⅰ）若)(x f 在1=x 处取得极小值,求m 的值； （Ⅱ）若)(x f 在区间()+∞,2为增函数,求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数)()()(x g x f x h -=有三个零点,求m 的取值范围．7、（顺义区2016届高三上学期期末）已知函数()ln f x x mx =-. （Ⅰ）若2m =，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在[1,]e 上的最大值；（Ⅲ）若()0f x m +≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数m 的值.8、（昌平区2016届高三二模）已知函数32()3 1 (0)f x ax x a =-+>,()ln =g x x （I ）求函数()f x 的极值；（II ）用{}max ,m n 表示,m n 中的最大值.设函数{()max (),()}(0)=>h x f x g x x ，讨论()h x 零点的个数.9、（朝阳区2016届高三二模）已知函数1()(1)ln ,f x ax a x a x=--+∈R . (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a ≥时，若()1f x >在区间1[,e]e上恒成立，求a 的取值范围.10、（东城区2016届高三二模）设函数()af x x x=-，a ∈R ． （Ⅰ）若1a =-，求()f x 在区间1[,3]2上的最大值；（Ⅱ）设0b ≠，求证：当1a =-时，过点(,)P b b -有且只有一条直线与曲线()y f x =相切； （Ⅲ）若对任意的1[,2]2x ∈，均有()11f x x -≤成立，求a 的取值范围．11、（丰台区2016届高三一模）已知函数2()ln 2m f x x x x =--． （Ⅰ）求曲线:()C y f x =在1x =处的切线l 的方程；（Ⅱ）若函数()f x 在定义域内是单调函数，求m 的取值范围；（Ⅲ）当1m >-时，（Ⅰ）中的直线l 与曲线:()C y f x =有且只有一个公共点，求m 的取值范围.12、（海淀区2016届高三二模）已知322()1f x x ax a x =+--,0a >. （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的不等式()0f x ≤在[1,)+∞上有解，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)若存在0x 既是函数()f x 的零点，又是函数()f x 的极值点，请写出此时a 的值. (只需写出结论)13、（石景山区2016届高三一模）已知函数()2xf x e x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）证明：当0x >时，2x e x >；（Ⅲ）当0x >时，方程2()2f x kx x =-无解，求k 的取值范围．14、（西城区2016届高三二模）已知函数2()()x af x x a -=+．（Ⅰ）若()1f a '=，求a 的值；（Ⅱ）设0a ≤，若对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <，求a 的取值范围.参考答案一、填空、选择题 1、C 2、33、12 4、1 5、14 6、2e7、4x －y －3＝08、2 【解析】 由2()360f x x x '=-=得：02x x ==或，列表得：x (,0)-∞0 (0,2)2(2,)+∞()f x ' + 0_+ ()f x↗极大值↘极小值↗所以在=2x 处取得极小值.二、解答题1、解：（I ）由()32f x x ax bx c =+++，得()232f x x ax b '=++．因为()0f c =，()0f b '=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+． （II ）当4a b ==时，()3244f x x x x c =+++，所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-．()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：x (),2-∞-2-22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭23-2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()f x ' +-0 +()f xc3227c -所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点． （III ）当24120a b ∆=-<时，()2320f x x ax b '=++>，(),x ∈-∞+∞，此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点． 当24120a b ∆=-=时，()232f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x ．当()0,x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x -∞上单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x +∞上单调递增． 所以()f x 不可能有三个不同零点．综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ∆=->． 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．当4a b ==，0c =时，230a b ->，()()232442f x x x x x x =++=+只有两个不同零点， 所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．2、所以，()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k +∞；()f x 在x k =处取得极小值(1ln )()2k k f k -=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )()2k k f k -=. 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥. 当k e =时，()f x 在区间(1,)e 上单调递减，且()0f e =， 所以x e =是()f x 在区间(1,]e 上的唯一零点.当k e >时，()f x 在区间(0,)e 上单调递减，且1(1)02f =>，()02e kf e -=<， 所以()f x 在区间(1,]e 上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,]e 上仅有一个零点. 3、解：（Ⅰ） 由()323f x x x =-得()263f x x '=-.令()0f x '=，得22x =-或22x =.因为()210f -=-，222f ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，()22112f f ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()f x 在区间[]21-，上的最大值为222f ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.（Ⅱ） 设过点()1P t ，的直线与曲线()y f x =相切于点()00x y ，， 则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-， 所以切线方程为()20063y y x -=-()0x x -，因此()()2000631t y x x -=-- .整理得3204630x x t -++=. 设()32463g x x x t =-++，则“过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”. ()()21212121g x x x x x '=-=-.()g x 与()g x '的情况如下：x (0)-∞， 0(01)，1(1)+∞，()g x ' +-+()g x ↗3t + ↘ 1t + ↗所以，(0)3g t =+是()g x 的极大值，(1)1g t =+是()g x 的极小值．当(0)30g t =+≤，即3t -≤时，此时()g x 在区间(]1-∞，和(1)+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当(1)10g t =+≥，即1t -≥时，此时()g x 在区间(0)-∞，和[)0+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当()00g >且()10g <，即31t -<<-时，因为()()1702110g t g t -=-<=+>，，所以()g x分别在区间[)10-，，[)01，和[)12，上恰有1个零点.由于()g x 在区间()0-∞，和()1+∞，上单调，所以()g x 分别在区间()0-∞，和[)1-∞，上恰有1个零点. 综上可知，当过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是()31--， . （Ⅲ） 过点()12A -， 存在3条直线与曲线()y f x =相切；过点()210B ，存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点()02C ，存在1条直线与曲线()y f x =相切.： 4、解：（Ⅰ）函数1()ln f x k x x=+的定义域为(0)+∞，. …………………………….1分 21'()kf x x x=-+. …………………………….3分 当1k =时，22111'()x f x x x x-=-+=,令'()0f x =，得1x =， …………………………….4分 所以'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：x (0,1)1(1,)+∞'()f x -+()f x极小值…………………………….6分所以()f x 在1x =处取得极小值(1)1f =, 无极大值. ………………….7分()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞. ……………….8分（Ⅱ）因为关于x 的方程()f x k =有解,令()()g x f x k =-，则问题等价于函数()g x 存在零点, …………………….9分 所以2211'()k kx g x x x x-=-+=. …………………………….10分令'()0g x =，得1x k=. 当0k <时，'()0g x <对(0,)+∞成立，函数()g x 在(0,)+∞上单调递减， 而(1)10g k =->，1111111111()(1)110e ee kk kg ek k k ---=+--=-<-<，所以函数()g x 存在零点. …………………………….11分 当0k >时，'(),()g x g x 随x 的变化情况如下表：x1(0,)k1k1(,)k+∞ '()g x - 0 +()g x↘极小值 ↗所以11()lnln g k k k k k kk=-+=-为函数()g x 的最小值, 当1()0g k >时，即01k <<时，函数()g x 没有零点,当1()0g k ≤时，即1k ≥时，注意到1()0g k k =+->e e, 所以函数()g x 存在零点.综上，当0k <或1k ≥时，关于x 的方程()f x k =有解. ………………….13分 法二：因为关于x 的方程()f x k =有解，所以问题等价于方程1(ln 1)0kx x +-=有解， ………………………….9分 令g()(ln 1)1x kx x =-+，所以'()ln g x k x =, ………………………….10分 令'()0g x =，得1x =当0k <时，'(),()g x g x 随x 的变化情况如下表：x(0,1)1(1,)+∞'()g x +0 -()g x↗极大值↘所以函数g()x 在1x =处取得最大值，而g(1)(1)10k =-+>.1111111(e)1e(11)1e 0kkk g k k---=+--=-<，所以函数()g x 存在零点. …………………………….11分 当0k >时，'(),()g x g x 随x 的变化情况如下表：x(0,1)1 (1,)+∞'()g x -+()g x↘极小值↗所以函数g()x 在1x =处取得最小值，而g(1)(1)11k k =-+=-. 当g(1)(1)110k k =-+=->时，即01k <<时，函数()g x 不存在零点.当g(1)(1)110k k =-+=-≤，即1k ≥时， g (e )e (l n e 1)11k =-+=> 所以函数()g x 存在零点. …………………………….13分 综上，当0k <或1k ≥时，关于x 的方程()f x k =有解. 法三：因为关于x 的方程()f x k =有解，所以问题等价于方程1(1ln )x x k=-有解， …………………………….9分 设函数()(1ln )g x x x =-，所以'()ln g x x =-. …………………………….10分令'()0g x =，得1x =，'(),()g x g x 随x 的变化情况如下表：x(0,1)1(1,)+∞'()g x +0 -()g x↗极大值↘所以函数g()x 在1x =处取得最大值，而g(1)1=， …………………….11分 又当1x >时，1ln 0x -<, 所以(1ln )1ln x x x -<-,所以函数g()x 的值域为(,1]-∞, …………………………….12分 所以当1(,1]k∈-∞时，关于x 的方程()f x k =有解，所以(,0)[1,)k ∈-∞+∞. …………………………….13分5、解（Ⅰ）因为(0)1f =，所以曲线()y f x =经过点(0,1)， 又2'()2f x x x a =++，---------------------------2分 所以'(0)3f a ==-，---------------------------3分 所以2'()23f x x x =+-.当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表---------------------------5分所以函数()f x 的单调递增区间为(,3)-∞-，(1,+)∞， 单调递减区间为(3,1)- . ---------------------------7分 （Ⅱ）因为函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增， 所以'()0f x ≥对[2,]x a ∈-成立，只要2'()2f x x x a =++在[2,]a -上的最小值大于等于0即可. ---------------------------9分因为函数2'()20f x x x a =++≥的对称轴为1x =-，当21a -<≤-时，'()f x 在[2,]a -上的最小值为'()f a ，解2'()=30f a a a +≥，得0a ≥或3a ≤-，所以此种情形不成立--------------------------11分当1a -<时，'()f x 在[2,]a -上的最小值为'(1)f -， 解'(1)120f a -=-+≥得1a ≥，所以1a ≥，综上，实数a 的取值范围是1a ≥. ---------------------------13分6、解: （Ⅰ）2()(1)f x x m x '=-+ ………1分由()f x 在1x =处取得极大值,得(1)1(1)0f m '=-+=, ………3分x(,3)-∞-3-(3,1)-1(1+)∞，'()f x +0 -0 +()f x极大值极小值所以0m =(经检验适合题意) ………4分（Ⅱ）2()(1)f x x m x '=-+,因为()f x 在区间(2,)+∞为增函数,所以2(1)(1)0x m x x x m -+=--≥在区间(2,)+∞恒成立, ………5分所以(1)0x x m --≥恒成立,即1m x ≤-恒成立,由于2x >,得1m ≤.所以m 的取值范围是1m ≤. ………8分 （Ⅲ）32111()()()323m h x f x g x x x mx +=-=-+-, 故2()(1)(1)()0h x x m x m x x m '=-++=--=,得x m =或1x =当1m =时, 2()(1)0h x x '=-≥,()h x 在R 上是增函数,显然不合题意. ……9分当1m <时, (),()f x f x '随x 的变化情况如下表:x(,)m -∞m(,1)m1(1,)+∞()h x+0 -+()h x '↗极大值32111623m m -+-↘ 极小值12m -↗………10分要使()()f x g x -有三个零点,故需321110623102m m m ⎧-+->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩, ………12分即2(1)(22)01m m m m ⎧---<⎨<⎩, 解得31-<m所以m 的取值范围是31-<m . ………14分 7、解：（Ⅰ）时切线方程为：，即 【4分】（Ⅱ）当时，在恒成立，在上单调递增，故在上单调递增，【6分】当时，令得，在上，在上在上递增，在上递减.①若，即时，②若，即时，③若，即时，综上：当时，当时，当时，【9分】（Ⅲ）由得设，要在上恒成立，只需当时，在上，，在递增；时，不可能；当时，令得在上，，在递增；在上，，在递减；【12分】只需令，（*），在（0,1）递减，在递增；，在上成立.（**） 由（*）和（**）知，即而在（0,1上递减，在上递增，，【14分】8、解：（I ）因为函数32()31=-+f x ax x ， 所以2'()363(2)=-=-f x ax x x ax . 令'()0=f x ,得 10=x ，或22=x a. 因为0>a ，所以12<x x ， 所以'()f x 及()f x 符号变化如下，x(,0)-∞0 2(0,)a2a 2(,)+∞a'()f x + 0- 0+ ()f x↗极大值↘极小值↗所以()f x 的极大值为(0)1=f ，极小值为22228124()11=-+=-+f a a a a .……….6分 （II ）令()ln 0==g x x ，则1=x .当01<<x 时，()0<g x ；1=x 时，()0=g x ；当1>x 时，()0>g x . （1）当1>x 时，()0>g x ，()g x 在(1,)+∞上无零点.所以{()max (),()}=h x f x g x 在(1,)+∞上无零点. （2）当1=x 时，(1)0=g ， 所以1为()g x 的一个零点. (1)2=-f a ，①当2=a 时，1是()f x 的一个零点.所以当2=a 时， {()max (),()}=h x f x g x 有一个零点. ②当02a <<时， {()max (),()}=h x f x g x 有一个零点. ③当2a >时， {()max (),()}=h x f x g x 无零点. （3）当01<<x 时，()0<g x ，()g x 在(0,1)上无零点.所以{()max (),()}=h x f x g x 在(0,1)上的零点个数就是()f x 在(0,1)上的零点个数. 当0>a 时，由（I ）可知()f x 在2(0,)a 上为减函数，在2(,)+∞a上为增函数，且(0)1=f ，(1)2=-f a ，222244()1-=-+=a f a a a .① 当21a>，即02a <<时，()f x 在(0,1)上为减函数，且(1)20,(0)10.f a f =-<=> 所以()f x 在(0,1)上有1个零点，即()h x 有1个零点. ② 当21a=，即2a =时，()f x 在(0,1)上为减函数，且(1)20.f a =-=所以()f x 在(0,1)上无零点，即()h x 无零点. ③ 当21<a ，即2>a 时，()f x 在2(0,)a 上为减函数，在2(,1)a上为增函数，222244()10a f a a a-=-+=>，所以()f x 在(0,1)上无零点.即()h x 无零点. 综上，当02a <<时，()h x 有2个零点，当2a =时，()h x 有1个零点，当2a >时，()h x 无零点. ………….13分9、解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为{}0x x >,222(1)1(1)(1)()=ax a x ax x f x x x-++--'=. （1） 当0a ≤时，1ax -<0,令()0f x '>，解得01x <<，则函数()f x 的单调递增区间为(01)，令()0f x '<，解得1x >，函数()f x 单调递减区间为1+∞（，）. 所以函数()f x 的单调递增区间为(01)，，单调递减区间为1+∞（，）. （2） 当01a <<时，11a>, 令()0f x '>，解得01x <<或1x a>，则函数()f x 的单调递增区间为 (01)，；令()0f x '<，解得11x a <<，函数()f x 单调递减区间为11)a（，. 所以函数()f x 的单调递增区间为(01)，，1+)a ∞（，，单调递减区间为11)a（，. （3） 当1a =时，22(1)()=0x f x x -'≥恒成立， 所以函数()f x 的单调递增区间为0+)∞（，. （4） 当1a >时，101a<<, 令()0f x '>，解得10x a<<或1x >，则函数()f x 的单调递增区间为 10)a（，，1+)∞（，；令()0f x '<，解得11x a <<，则函数()f x 的单调递减区间为1(1)a，. 所以函数()f x 的单调递增区间为10)a （，，1+)∞（，，单调递减区间为1(1)a，. …………………………………………………………………………………7分 （Ⅱ）依题意，在区间1[,e]e上min ()1f x >.222(1)1(1)(1)()ax a x ax x f x x x -++--'==，1a ≥.令()0f x '=得，1x =或1x a=. 若e a ≥，则由()0f x '>得，1e x <≤，函数()f x 在(1,e )上单调递增.由()0f x '<得，11e x ≤<,函数()f x 在(1,1e)上单调递减.所以min ()(1)11f x f a ==->，满足条件； 若1e a <<，则由()0f x '>得，11e x a<<或1e x <<； 由()0f x '<得，11x a <<. 函数()f x 在(1,e ),11(,)e a上单调递增,在1(,1)a上单调递减. min 1()min{(),(1)}ef x f f =，依题意1()1e (1)1f f ⎧>⎪⎨⎪>⎩ ，即2e e 12a a ⎧>⎪+⎨⎪>⎩，所以2e a <<；若1a =，则()0f x '≥.所以()f x 在区间1[,e]e 上单调递增，min 1()()1ef x f =>，不满足条件；综上，2a >. ……………………………………………13分10、解：（Ⅰ）当1a =-时，1()f x x x=--．221(1)(1)()1x x f x x x --+'=-=．令()0f x '=，得1x =-或1x =．当1[,1)2x ∈，有()0f x '>，所以()f x 在区间1[,1)2上是增函数； 当(1,3]x ∈时，有()0f x '<，所以()f x 在区间(1,3]上是减函数；所以()f x 在区间1[,3]2上的最大值为(1)2f =-． …………………5分（Ⅱ）设过点(,)P b b -的直线与曲线()y f x =相切于点00(,)Q x y ，则0001y x x =--，且切线斜率为0201()1k f x x '==-． 所以000()()y b f x x b--'=-，即00200111x b x x b x --+=--．所以 22000001()(1)()x b x x x b x --+=--，解得02b x =．即存在唯一的切点2(,)22b bb --． 所以过点(,)P b b -有且只有一条直线与曲线()y f x =相切． ………………… 9分 （Ⅲ）当1x =时，对任意a ∈R ，不等式显然成立；当1x ≠时，不等式等价于21xa x x ≤+-． 当1[,1)2x ∈时，不等式等价于21xa x x≤+-恒成立． 令2()1x g x x x =+-， 1[,1)2x ∈， 则21()2(1)g x x x '=+-，当1[,1)2x ∈时，显然()0g x '>， 所以()g x 在区间1[,1)2上单调递增，所以()g x 在区间1[,1)2上有最小值15()24g =．所以54a ≤．当(1,2]x ∈时，不等式等价于21x a x x ≤+-恒成立．令2()1x h x x x =+-，(1,2]x ∈，当(1,2]x ∈时，2221()=11211x h x x x x x x =+++>+>--， 所以，当54a ≤时，不等式21x a x x ≤+-对(1,2]x ∈恒成立．综上，实数a 的取值范围是5(,]4-∞． ………………… 14分11、解：（Ⅰ）1'()1f x mx x=--，0x > ……………1分因为(1)12m f =-，所以切点为（1，12m-）． 又'(1)2k f m ==-， ……………2分 所以切线l :(1)(2)(1)2my m x --=--，即l 2:(2)2m y m x -=--. ……………3分（Ⅱ）①当0m ≤时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，符合题意． ……………5分 ②当0m >时，设21y mx x =--，该抛物线开口向上，且140m ∆=+>，过(0,1)-点，所以该抛物线与x 轴相交，交点位于原点两侧，()f x 不单调，不符合题意，舍去． ……………6分综上0m ≤． ……………7分 （Ⅲ）因为直线l 与C 有且只有一个公共点， 所以方程22ln (2)022m m x x x m x -----+=， 即22(1)ln 022m m x m x x ----+=有且只有一个根． ……………8分 设22()(1)ln ,022m m g x x m x x x -=---+>， 则21(1)1(1)(1)'()(1)mx m x mx x g x mx m x x x ---+-=---==，……………10分 ①当0m ≥时，因为0x >，所以10mx +>，令'()0g x >，解得1x >； 令'()0g x <，解得01x <<；所以()g x 在(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)0g x g ==，所以符合条件． ……………11分 ②当10m -<<时，则11m-> 令'()0g x >，解得11x m<<-； 令'()0g x <，解得01x <<或1x m>-； 所以()g x 在1(1,)m-上单调递增，在(0,1)，1(,)m -+∞上单调递减，………12分2232323232()()(1)()ln()22m m m m m m g m m m m m -----=---+2(23)2(1)(23)232ln()22m m m m m m m ------=-+23232ln()22m m m m m ---=--+ 因为10m -<<，所以2302m m --<，202m -<．又231m m ->，所以23ln()0m m->，即23ln()0m m --<，所以23()0m g m-<． 所以()g x 在1(1,)m -上有一个零点，且(1)0g =，所以()g x 有两个零点，不符合题意．综上0m ≥． ……………14分12、解：（Ⅰ）当2a =时，32()241f x x x x =+--， 所以2'()344(32)(2)f x x x x x =+-=-+,…………………2分 令'()0,f x =得122,23x x ==-， 则'()f x 及()f x 的情况如下：x(,2)-∞-2-2(2,)3-232(,)3+∞ '()f x +-0 +()f x极大值极小值…………………4分所以函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-，2(,)3+∞,函数()f x 的单调递减区间为2(,2)3-. …………………6分 （Ⅱ）要使()0f x ≤在[1,)+∞上有解，只要()f x 在[1,)+∞上的最小值小于等于0. 因为22'()32(3)()f x x ax a x a x a =+-=-+， 令'()0f x =，得到120,03ax x a =>=-<.…………………7分 当13a≤时，即3a ≤时， ()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，(1)f 为[1,)+∞上最小值 所以有(1)0f ≤，即2110a a +--≤，解得1a ≥或0a ≤，所以有13a ≤≤；…………………9分 当13a>时，即3a >时，()f x 在区间[1,)3a 上单调递减，在[,)3a +∞上单调递增，所以()3af 为[1,)+∞上最小值，所以有()03af ≤，即333()1032793a a a a f =+--≤， 解得3275a ≥-，所以3a >. …………………11分综上，得1a ≥.法二：（Ⅱ）要使()0f x ≤在[1,)+∞上有解，只要()f x 在[1,)+∞上的最小值小于等于0. 因为22(1)11f a a a a =+--=-，所以当20a a -≤，即1a ≥时 满足题意，…………………8分当1a <时，因为22'()32(3)()f x x ax a x a x a =+-=-+，令'()0f x =，得到12,3a x x a ==-， 因为1a <，所以()f x 在区间[1,)+∞上的单调递增，所以()f x 在区间[1,)+∞上的最小值为(1)f ，所以(1)0f ≤，根据上面得到1a ≥，矛盾. …………………11分 综上，1a ≥.（Ⅲ）1a =…………………13分13、解：（Ⅰ）()2xf x e '=-，令()0f x '=解得ln 2x =， 易知()f x 在(ln 2)-∞，上单调递减，在(ln 2+)∞，上单调递增， 故当ln 2x =时，()f x 有极小值(ln 2)22ln 2f =- ...……………4分 （Ⅱ）令2()x g x e x =-，则()2xg x e x '=-， ...……………5分 由（Ⅰ）知()2()22ln 20x g x e x f x '=-=≥->， 所以()g x 在(0)+∞，上单调递增， 所以()(0)10g x g >=>，所以2x e x >. ..……………8分 （Ⅲ）方程2()22x f x e x kx x =-=-，整理得2x e kx =，当0x >时，2xe k x=. ...……………9分 令2()xe h x x=， 则2432(2)()x x x e x e x e x h x x x⋅-⋅-'==， ...……………10分 令()0h x '=，解得2x =，易得()h x 在(02)，上单调递减，在(2)+∞，上单调递增， 所以2x =时，()x ϕ有最小值2(2)4e ϕ=， ...……………12分 而当x 越来越靠近0时，()x ϕ的值越来越大，又当0x >，方程2()2f x kx x =-无解， 所以24e k <. ...……………14分 14、（Ⅰ）证明：函数()yf x =的定义域{|}D x x x a =∈≠-R 且，由题意，()f a '有意义，所以0a ≠. 求导，得244()()2()()(3)()()()x a x a x a x a x a f x x a x a +--⋅++⋅-'==-++. ………………3分 所以24241()1164a f a a a'===， 解得12a =±. ………………5分 （Ⅱ）解：“对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <”等价于“()f x 不存在最小值”． ………………6分① 当0a =时， 由1()f x x=，得()f x 无最小值，符合题意． ………………8分② 当0a <时，令4()(3)()0()x a x a f x x a +⋅-'=-=+，得x a =- 或 3x a =. ………………9分 随着x 的变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表： x (,3)a -∞ 3a (3,)a a - a - (,)a -+∞()f x '- 0 + 不存在 - ()f x ↘ 极小 ↗ 不存在 ↘………………11分 所以函数()f x 的单调递减区间为(,3)a -∞，(,)a -+∞，单调递增区间为(3,)a a -．因为当x a >时，2()0()x a f x x a -=>+，当x a <时，()0f x <， 所以min ()(3)f x f a =．所以当13x a =时，不存在2x 使得21()()f x f x <．综上所述，a 的取值范围为{0}a ∈. ………………13分。
