高考数学二轮复习 专题七 导数及其应用课件 理
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高考理科数学二轮课件专题导数及其应用
最优化决策
结合边际分析和弹性分析的结果， 确定经济变量的最优取值范围，为 制定经济政策提供科学依据。
05 微分方程初步知识及其应用
微分方程基本概念和分类
微分方程定义
微分方程是描述自变量、未知函数及其导数之间关系的数学方程。可分为一阶、二阶等微分方程；根据方程形式，可分为线性、非线 性微分方程。
函数能够满足问题的需求。
利用构造函数法证明不等式的步骤
03
首先构造函数，然后求导并判断函数的单调性或最值，最后根
据函数的性质证明不等式。
04 导数在优化问题中的应用
最值问题求解策略
一阶导数测试法
闭区间上连续函数的性质
通过求一阶导数并判断其符号变化来 确定函数的单调性，进而找到函数的 极值点。
对于闭区间上的连续函数，通过比较 区间端点和驻点的函数值来确定函数 的最值。
优化方法的选择
针对不同类型的优化问题 ，选择合适的优化方法， 如梯度下降法、牛顿法等 ，进行求解。
经济学中边际分析和弹性分析
边际分析
利用导数研究经济变量之间的边 际关系，如边际成本、边际收益 等，为经济决策提供定量依据。
弹性分析
通过导数研究经济变量之间的相对 变化率，如需求弹性、供给弹性等 ，揭示经济变量之间的相互影响程 度。
02
01
电路分析问题
电路中的电压、电流等物理量的变化可以通 过电路微分方程进行分析和计算。
04
03
06 总结与提高
知识体系回顾与总结
A
导数的定义与计算
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，可以 通过极限的定义进行计算。
导数的几何意义与应用
导数在几何上表示切线斜率，可以用于求 曲线的切线方程和法线方程。
结合边际分析和弹性分析的结果， 确定经济变量的最优取值范围，为 制定经济政策提供科学依据。
05 微分方程初步知识及其应用
微分方程基本概念和分类
微分方程定义
微分方程是描述自变量、未知函数及其导数之间关系的数学方程。可分为一阶、二阶等微分方程；根据方程形式，可分为线性、非线 性微分方程。
函数能够满足问题的需求。
利用构造函数法证明不等式的步骤
03
首先构造函数，然后求导并判断函数的单调性或最值，最后根
据函数的性质证明不等式。
04 导数在优化问题中的应用
最值问题求解策略
一阶导数测试法
闭区间上连续函数的性质
通过求一阶导数并判断其符号变化来 确定函数的单调性，进而找到函数的 极值点。
对于闭区间上的连续函数，通过比较 区间端点和驻点的函数值来确定函数 的最值。
优化方法的选择
针对不同类型的优化问题 ，选择合适的优化方法， 如梯度下降法、牛顿法等 ，进行求解。
经济学中边际分析和弹性分析
边际分析
利用导数研究经济变量之间的边 际关系，如边际成本、边际收益 等，为经济决策提供定量依据。
弹性分析
通过导数研究经济变量之间的相对 变化率，如需求弹性、供给弹性等 ，揭示经济变量之间的相互影响程 度。
02
01
电路分析问题
电路中的电压、电流等物理量的变化可以通 过电路微分方程进行分析和计算。
04
03
06 总结与提高
知识体系回顾与总结
A
导数的定义与计算
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，可以 通过极限的定义进行计算。
导数的几何意义与应用
导数在几何上表示切线斜率，可以用于求 曲线的切线方程和法线方程。
2021高考数学二轮专题复习7.3导数的简单应用ppt课件
当 a≤1 时，函数单调递增，不成立；
当 a>1 时，函数在0，a－1 1上单调递增，在a－1 1，＋∞上单 调递减；
有且只有两个整数 x1，x2 使得 f(x1)>0，且 f(x2)>0，故 f(2)>0 且 f(3)≤0，
即 ln 2＋2－ 2a＋a>0，∴a<ln 2＋2；ln 3＋3－3a＋a≤0， ∴a≥ln 32＋3，故选 C.
π π
又
gπ6>gπ3，所以cfo6sπ6>cfo3sπ3，即
π f6>
3fπ3，故 C 正确；
π π
又
gπ4>gπ3，所以cfo4sπ4>cfo3sπ3，即
π f4>
2fπ3，故 D 正确；故选
CD. 【答案】 (2)CD
(3)[2020·山东济宁质量检测]已知函数 f(x)＝ln x＋(1－a)x＋
∴切线的方程为：y－31x30－x20＋53＝(x20－2x0)(x－x0)，
又直线过定点－1，13，
∴13－31x30－x02＋53＝(x20－2x0)(－1－x0)， 得 x30－3x0－2＝0，(x30－x0)－2(x0＋1)＝0， 即(x0＋1)(x02－x0－2)＝0，解得：x0＝2 或－1， 故可做两条切线，故选 C.
x <0
在0，π2上恒成立，
因此函数 g(x)＝cfoxsx在0，π2上单调递减，
π π
因此
g6π>g4π，即cfo6sπ6>cfo4sπ4，即
π f6>
26fπ4，故
A
错；
又 f(0)＝0，所以 g(0)＝cfo0s0＝0，所以 g(x)＝cfoxsx≤0 在0，π2上 恒成立，
当 a>1 时，函数在0，a－1 1上单调递增，在a－1 1，＋∞上单 调递减；
有且只有两个整数 x1，x2 使得 f(x1)>0，且 f(x2)>0，故 f(2)>0 且 f(3)≤0，
即 ln 2＋2－ 2a＋a>0，∴a<ln 2＋2；ln 3＋3－3a＋a≤0， ∴a≥ln 32＋3，故选 C.
π π
又
gπ6>gπ3，所以cfo6sπ6>cfo3sπ3，即
π f6>
3fπ3，故 C 正确；
π π
又
gπ4>gπ3，所以cfo4sπ4>cfo3sπ3，即
π f4>
2fπ3，故 D 正确；故选
CD. 【答案】 (2)CD
(3)[2020·山东济宁质量检测]已知函数 f(x)＝ln x＋(1－a)x＋
∴切线的方程为：y－31x30－x20＋53＝(x20－2x0)(x－x0)，
又直线过定点－1，13，
∴13－31x30－x02＋53＝(x20－2x0)(－1－x0)， 得 x30－3x0－2＝0，(x30－x0)－2(x0＋1)＝0， 即(x0＋1)(x02－x0－2)＝0，解得：x0＝2 或－1， 故可做两条切线，故选 C.
x <0
在0，π2上恒成立，
因此函数 g(x)＝cfoxsx在0，π2上单调递减，
π π
因此
g6π>g4π，即cfo6sπ6>cfo4sπ4，即
π f6>
26fπ4，故
A
错；
又 f(0)＝0，所以 g(0)＝cfo0s0＝0，所以 g(x)＝cfoxsx≤0 在0，π2上 恒成立，
专题七 数学建模 2023高考数学二轮复习课件
目录
角度一 指数、对数运算模型
【例1】 某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8 mg/mL，此
时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，经过n小
时后他血液中的酒精含量在0.2 mg/mL以下，则n的最小整数值为(参考数
据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
(B )
cos 45°＝22ar＝22ab＝ 22，即ba＝ 22，故离心率 e＝ac＝ 故选 B.
1－ba2＝
1－12＝
2 2.
目录
02
类型2 构造新模型求解
目录
角度一 构造函数模型
【例4】 f(x)在(0，＋∞)上的导函数为f′(x)，xf′(x)＞2f(x)，则下列不等式成
立的是
(A)
A．2 0212f(2 022)＞2 0222f(2 021)
以下，所以 n 的最小值为 7，故选 B.
目录
|技法点拨| 先计算出100 mL血液中酒精含量，再构建指数型函数模型，根据 n小时后血液中酒精含量列出不等式即可求解．
目录
在流行病学中，基本传染数是指每个感染者平均可传染的人数．当基本传染
数高于 1 时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病
B．2 0212f(2 022)＜2 0222f(2 021)
C．2 021f(2 022)＞2 022f(2 021)
D．2 021f(2 022)＜2 022f(2 021)
目录
解析
令
g(x)
＝
f（x） x2
(x>0)
，
则
g′(x)
＝
x2f′（x）－2xf（x） x4
＝
角度一 指数、对数运算模型
【例1】 某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8 mg/mL，此
时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，经过n小
时后他血液中的酒精含量在0.2 mg/mL以下，则n的最小整数值为(参考数
据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
(B )
cos 45°＝22ar＝22ab＝ 22，即ba＝ 22，故离心率 e＝ac＝ 故选 B.
1－ba2＝
1－12＝
2 2.
目录
02
类型2 构造新模型求解
目录
角度一 构造函数模型
【例4】 f(x)在(0，＋∞)上的导函数为f′(x)，xf′(x)＞2f(x)，则下列不等式成
立的是
(A)
A．2 0212f(2 022)＞2 0222f(2 021)
以下，所以 n 的最小值为 7，故选 B.
目录
|技法点拨| 先计算出100 mL血液中酒精含量，再构建指数型函数模型，根据 n小时后血液中酒精含量列出不等式即可求解．
目录
在流行病学中，基本传染数是指每个感染者平均可传染的人数．当基本传染
数高于 1 时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病
B．2 0212f(2 022)＜2 0222f(2 021)
C．2 021f(2 022)＞2 022f(2 021)
D．2 021f(2 022)＜2 022f(2 021)
目录
解析
令
g(x)
＝
f（x） x2
(x>0)
，
则
g′(x)
＝
x2f′（x）－2xf（x） x4
＝
高三数学总复习导数的应用ppt
第二模块 函数、导数及其应用
数学
高考总复习人教A版 ·(理)
3．函数的最值与导数 函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 连续不断 的曲线，那么它必有最大值和最小值．
第二模块 函数、导数及其应用
数学
高考总复习人教A版 ·(理)
4．生活中的优化问题 解决优化问题的基本思想是：
数学
高考总复习人教A版 ·(理)
第二模块 函数、导数及其应用
数学
高考总复习人教A版 ·(理)
1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数 的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般 考 不超过三次)． 纲 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 要 会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一 求 般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值( 其中多项式函数一般不超过阿三次)． 3．会利用导数解决某些实际问题.
第二模块 函数、导数及其应用
数学
高考总复习人教A版 ·(理)
(2)由(1)知a＝－3，因此f(x)＝x3－3x2－9x－1， f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)， 令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－1)上为 增函数； 当x∈(－1,3)时，f′(x)<0， 故f(x)在(－1,3)上为减函数； 当x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，
第二模块 函数、导数及其应用
数学
高考总复习人教A版 ·(理)
变式迁移 1 已知函数y＝f(x)，
y＝g(x)的导函数的图象如右图，那
么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是下
专题二第2讲导数及其应用课件(共92张PPT)山东省高考数学大二轮专题复习讲义(新高考)
|1－1－2| 2 ＝ 2，故选 B．
解析 答案
3．(2020·湖南省雅礼中学高三 5 月质检)已知奇函数 f(x)的定义域为 R， 且当 x<0 时，f(x)＝ln (1－3x)，则曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为 ________.
答案 －34 解析 由题意得，奇函数 f(x)的图象关于原点对称，∴f′(1)＝f′(－ 1)．当 x<0 时，f′(－1)＝－34，则 f′(1)＝－34.即曲线 y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线斜率为－34.
解析
3．设 f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax.若 f(x)在23，＋∞上存在单调递增区间，
则 a 的取值范围为________.
答案 解析
a＞－19 由 f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－x－122＋14＋2a，当 x∈23，＋∞时，
f′(x)的最大值为 f′23＝29＋2a；令29＋2a＞0，得 a＞－19，所以，当 a＞－19
exx－1 (0<x≤1)，可得 g′(x)＝ x2 ，
解析
在 x∈(0,1]，g′(x)≤0，可得 g(x)在(0,1]上单调递减，可得 g(x)有最小 值 g(1)＝e，故 C 正确；x1x2＝x1ex1，设 h(x)＝xex(0<x≤1)，可得 h′(x)＝(x ＋1)ex>0，即 h(x)在(0,1]上单调递增，可得 h(x)有最大值 e，故 D 正确．故 选 CD．
第二编 讲专题
专题二 函数与导数 第2讲 导数及其应用
「考情研析」 1.导数的几何意义和运算是导数应用的基础，是高考的 一个热点． 2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见 题型.
1
PART ONE
高考复习课件高考二轮·理科数学专题7第23讲导数及其应用
－3x2＋（6－a）x＋a (2)由(1)知 f′(x)＝ ， ex 令 g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a， 6－a－ a2＋36 由 g(x)＝0 解得 x1＝ ， 6 6－a＋ a2＋36 x2＝ . 6 当 x＜x1 时，g(x)＜0，即 f′(x)＜0，故 f(x)为减函数； 当 x1＜x＜x2 时，g(x)＞0，即 f′(x)＞0，故 f(x)为增 函数； 当 x＞x2 时，g(x)＜0，即 f′(x)＜0，故 f(x)为减函数． 由 f(x) 在 [3 ， ＋ ∞) 上 为 减 函 数 ， 知 x2 ＝ 6－a＋ a2＋36 9 ≤3 ， 解得 a≥ － . 故 a 的取值范围为 6 2 9 － ，＋∞. 2
2．导数的运算：求导公式与求导法则． 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公 式： ①C′＝0(其中 C 为常数)；②(xn)′＝nxn 1(n∈Q)； 1 ③(sin x)′＝cos x；④(cos x)′＝－sin x；⑤(ln x)′＝x， 1 (logax)′＝xlogae；⑥(ex)′＝ex，(ax)′＝axln a. 常用导数运算公式： u ① (u± v)′ ＝ u′±v′ ；②(uv)′ ＝ u′v ＋ uv′ ；③ v ′ ＝ u′v－uv′ (v≠0)；④y＝f[φ(x)]的导数 y′x＝y′u·u′x(其 v2 中 u＝φ(x))．
【命题立意】 本题考查应用导数研究函数的极值， 曲线的切线与函数的单调性，考查分类讨论思想和数 学的应用意识．
1．导数的定义、几何意义及物理意义 Δy 函 数 f(x) 在 x ＝ x0 处 的 导 数 f′(x0) ＝ ＝ Δx f（x0＋Δ x）－f（x0） . Δx 如果函数 f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，其 导数值在(a，b)内构成一个新的函数，叫做 f(x)在开区 间(a，b)内的导函数．记作 f′(x)或 y′. f ′ (x0) 的几何意义是曲线 y ＝ f(x) 在点 (x0， f(x0)) 处的切线的斜率． 瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数． 瞬时 加速度就是速度函数 v(t)对时间 t 的导数．
高考数学导数的应用专题复习精品PPT课件
第3讲 │ 导数的应用
第3讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
第3讲 │ 主干知识整合
第3讲 │ 主干知识整合
第3讲 │ 主干知识整合
第3讲 │ │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
第3讲 │ 规律技巧提炼
第3讲 │ 规律技巧提炼
第3讲 │ 江苏真题剖析
江苏真题剖析
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End 演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
第3讲 │ 主干知识整合
第3讲 │ 主干知识整合
第3讲 │ 主干知识整合
第3讲 │ │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
第3讲 │ 规律技巧提炼
第3讲 │ 规律技巧提炼
第3讲 │ 江苏真题剖析
江苏真题剖析
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End 演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
函数导数及其应用PPT课件
记 法 y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映 射
[思考探究1] 映射与函数有什么区别？
提示：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个 集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须 是非空数集.
2.函数的相关概念 (1)函数的三要素是 定义域 、值域 和 对应关系 . (2)相等函数
[思路点拨] A中不存在元素与k对应⇔方程－x2＋2x＝k无解， 利用判别式可以求k的范围.
[课堂笔记] 由题意，方程－x2＋2x＝k无实数根，也就是x2 －2x＋k＝0无实数根. ∴Δ＝(－2)2－4k＝4(1－k)＜0，∴k＞1. ∴当k＞1时，集合A中不存在元素与实数k∈B对应. [答案] A
分段函数是高考的热点内容，以考查求分段函数的 函数值为主，属容易题，但09年山东高考将函数的周 期性应用到求分段函数函数值的过程中，使试题难度 陡然增加，这也代表了一种新的考查方向.
[考题印证] (2009·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝
则f(2 009)的值为 ( ) A.－
设函数f(x)＝
若f(－4)＝f(0)，f(－2)
＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为
()
[思路点拨] 求b，c 求f(x)的解析式
解方程f(x)＝x
[课堂笔记] 法一：若x≤0，f(x)＝x2＋bx＋c. ∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴
解得
∴f(x)＝
当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x，
的对应关系f，使对
对应关系
于集合A中的 任意
应关系f，使对于集合A 中的任意 一个元素x，
f：A→B
一个数x，在集合B 中都有唯一确定的
导数应用ppt课件
工具
第二章 函数、导数及其应用
x
(－3，－2) －2
－2，23
2 3
23，1
f′(x)
＋0－0 Nhomakorabea＋
f(x)
极大值
极小值
工具
第二章 函数、导数及其应用
∴f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝13，在x＝ 23 处取得极小值 f32＝9257，又f(－3)＝8，f(1)＝4，
∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9257.
令1－2sin x＝0，且x∈0，π2时，x＝π6，
当x∈0，π6时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈π6，π2时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，
∴f(x)max＝fπ6.故选B.
答案： B
工具
第二章 函数、导数及其应用
4．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数， 则a的最大值是________． 解析： f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0， 则f′(1)＝0⇒a＝3. 答案： 3
由原点到切线 l 的距离为 1100，则 3|m2＋| 1＝ 1100，
工具
第二章 函数、导数及其应用
解得m＝±1. ∵切线l不过第四象限，∴m＝1. 由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4.∴1＋a＋b＋c＝4， ∴c＝5. (2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4. 令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝ . 当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下表：
因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，
即对任意实数x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－
高考数学(文)名师指导精讲课件：7-2 导数的简单应用(78张ppt)
又函数 g(x)的图象连续不断，由零点存在性定理，可知 g(x) ＝0 在 R 上至少有一解，与“方程 g(x)＝0 在 R 上没有实数解” 矛盾，故 k≤1.
又 k＝1 时，g(x)＝e1x＞0，知方程 g(x)＝0 在 R 上没有实数解． 所以 k 的最大值为 1.
解法二：当 a＝1 时，f(x)＝x－1＋e1x. 直线 l：y＝kx－1 与曲线 y＝f(x)没有公共点， 等价于关于 x 的方程 kx－1＝x－1＋e1x在 R 上没有实数解， 即关于 x 的方程(k－1)x＝e1x(*)在 R 上没有实数解． ①当 k＝1 时，方程(*)可化为e1x＝0，在 R 上没有实数解．
x∈(－∞，ln a)，f′(x)＜0； x∈(ln a，＋∞)，f′(x)＞0， 所以 f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递 增， 故 f(x)在 x＝ln a 处取得极小值，且极小值为 f(ln a)＝ln a， 无极大值． 综上，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值； 当 a＞0 时，f(x)在 x＝ln a 处取得极小值 ln a，无极大值．
(2)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点x， 都有f(x)＜f(x0)，那么f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值＝ f(x0)；如果对x0附近的所有的点都有f(x)＞f(x0)，那么f(x0)是函数 的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．
(3)将函数y＝f(x)在(a，b)内的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小 值.
在导数的几何意义、导数的运算以及导数的简单应用等 知识中，一般的命题形式是切线方程、导数研究单调性和极、 最值，难度在中档或中档以下，最容易出现的交汇命题是导 数运算、单调性、极值与不等式的结合考查恒成立等问题．在 备考时，主要抓住主干知识，如利用导数的几何意义求切线 方程，利用导数研究函数的单调性，求极值的步骤等.
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第7讲 导数及其应用
核 心
2．[2014·新课标全国卷Ⅱ改编] 设曲线 y＝ax－ln(x＋
知
1)在点(0，0)处的切线方程为 y＝2x，则 a＝________．
识
聚
焦
[答案] 3
[解析] y′＝a－x＋1 1，根据已知得，当 x＝0 时 y′＝2，代入 解得 a＝3.
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第7讲 导数及其应用
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第7讲 导数及其应用
—— 教师知识必备 ——
知识必备 导数及其应用
概念 与几 何意
义
概念
几何 意义
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)＝limΔx→0
f（x0＋Δx）－f（x0） Δx
f′(x0)为曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率，切线方程是 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
＝2cos 2x，令 y′＝1，则 cos 2x＝12，解得 x＝π6或56π，即曲线
考 y＝sin 2x－ 23上与直线 y＝x＋3 平行的切线的切点坐标为
点 考
π6，0或56π，－ 3.点π6，0到直线 y＝x＋3 的距离的平方为
向 探 究
3 2
2
＝（π＋7218）2；点56π，－
上，点(x2，y2)在直线 y＝x＋3 上，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2 的最小值为( )
A． 122π
B．（π＋7218）2
考 点
C．（π＋128）2
D．（π－3
3＋15）2 72
考
向
探
[答案] B
究
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第7讲 导数及其应用
[解析] 由题意可知，所求问题即为曲线 y＝sin 2x－ 23， x∈[0，π]上的点到直线 y＝x＋3 上的点的最小距离的平方．y′
知
识 聚
[答案] 4（1－e－2）
焦
[解析] ∵f′（x）＝4ex（x＋2）－2x－4＝4（x＋2）·ex－12.
令 f′（x）＝0 得，x1＝－ln 2，x2＝－2.从而当 x∈（－∞， －2）∪（－ln 2，＋∞）时，f′（x）>0；当 x∈（－2，－ln 2）时，f′（x）<0.故 f（x）在（－∞，－2），（－ln 2，＋∞） 上单调递增，在（－2，－ln 2）上单调递减.当 x＝－2 时， 函数 f（x）取得极大值，极大值为 f（－2）＝4（1－e－2）.
核 心 知
3．[2015·北京卷改编] 已知函数 f(x)＝ln11＋ －xx，则曲线 y
识
＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为________．
聚
焦
[答案] y＝2x
[解析] 因为 f（x）＝ln（1＋x）－ln（1－x），所以 f′（x） ＝1＋1 x＋1－1 x，f′（0）＝2. 又因为 f（0）＝0，所以曲线 y＝f（x）在点（0，f（0）） 处的切线方程为 y＝2x.
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第7讲 导数及其应用
► 考点一 导数的几何意义
导数的概念 和运算
———概念的理解和应用、导数的计算
导数的几何意义———1.求切线方程；2.求参数值
考
题型：选择、填空
分值：5 分
难度：中等
点 考
热点：利用导数的几何意义求切线方程
向
探
究
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第7讲 导数及其应用
例 1 若点(x1，y1)在曲线 y＝sin 2x－ 23(x∈[0，π])
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第7讲 导数及其应用
核 5．[2015·全国卷Ⅱ] 已知曲线 y＝x＋ln x 在点(1，1)处的
心 切线与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切，则 a＝________．
知
识 聚
[答案] 8
焦
[解析] 对函数 y＝x＋ln x 求导得 y′＝1＋1x，函数在点（1，
1）处的切线的斜率 k＝y′|x＝1＝2，所以在点（1，1）处的切 线方程为 y＝2x－1，又该切线也为曲线 y＝ax2＋（a＋2）x
＋1 的切线，所以由yy＝＝2axx2－＋1（，a＋2）x＋1得 ax2＋ax＋2＝
0，此方程应有唯一解，所以 Δ＝a2－8a＝0，得 a＝8 或 a＝ 0（舍）.
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第7讲 导数及其应用
核
6．[2013·新课标全国卷Ⅰ改编] 函数 f(x)＝4ex(x＋1)－x2－
心 4x 的极大值是________．
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第7讲 导数及其应用
核 心
4．[2014·湖北卷改编] 函数 f(x)＝lnxx的单调递增区间是
知
________．
识
聚
焦
[答案] （0，e）
[解析] f（x）的定义域为（0，＋∞），又 f′（x）＝1－xl2n x， 由 f′（x）>0 解得 0<x<e，所以函数 f（x）的单调递增区 间是（0，e）.
研究 函数
性质
单调 性
使 f′(x)＞0 的区间为单调递增区间；使 f′(x)＜0 的区间为单调递减区间
极值
f′(x0)＝0，且 f′(x)在 x0 附近左负(正)右正(负)，则 x0 为极小(大)值点
最值
区间[a，b]上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值为区间端点值和区间内的极大值 中的最大者，最小值为区间端点值和区间内的极小值中的最小者
基本 公式
导
数 及 运算 运算
其
法则
应
用
复合
函数
求导
c′＝0(c 为常数)；(xn)′＝nxn－1(n∈N*)；1x′＝－x12； (sin x)′＝cos x；(cos x)′＝－sin x；(ex)′＝ex；(ax)′＝axln a(a＞0，且 a≠1)；
(ln x)′＝1x；(logax)′＝xln1 a(a＞0，且 a≠1) [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
核
心
知
识
聚 焦
专题七 导数及其应用
考 点 考 向 探 究
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第7讲 导数及其应用
核 1．[2015·天津卷] 已知函数 f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)， 心 其中 a 为实数，f′(x)为 f(x)的导函数．若 f′(1)＝3，则 a 知 的值为________．
识 聚 焦
[答案] 3 [解析] f′(x)＝aln x＋a.因为 f′(1)＝3，所以 a＝3.
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；[cf(x)]′＝cf′(x)； gf（（xx））′＝f′（x）g（[xg）（－x）g′（]2 x）f（x）(g(x)≠0)；g（1x）′＝－[gg（′（xx））]2
y＝[f(g(x))]′＝f′[g(x)]g′(x)，特别地，[f(ax＋b)]′＝af′(ax＋b)
第7讲 导数及其应用
核 心
2．[2014·新课标全国卷Ⅱ改编] 设曲线 y＝ax－ln(x＋
知
1)在点(0，0)处的切线方程为 y＝2x，则 a＝________．
识
聚
焦
[答案] 3
[解析] y′＝a－x＋1 1，根据已知得，当 x＝0 时 y′＝2，代入 解得 a＝3.
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—— 教师知识必备 ——
知识必备 导数及其应用
概念 与几 何意
义
概念
几何 意义
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)＝limΔx→0
f（x0＋Δx）－f（x0） Δx
f′(x0)为曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率，切线方程是 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
＝2cos 2x，令 y′＝1，则 cos 2x＝12，解得 x＝π6或56π，即曲线
考 y＝sin 2x－ 23上与直线 y＝x＋3 平行的切线的切点坐标为
点 考
π6，0或56π，－ 3.点π6，0到直线 y＝x＋3 的距离的平方为
向 探 究
3 2
2
＝（π＋7218）2；点56π，－
上，点(x2，y2)在直线 y＝x＋3 上，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2 的最小值为( )
A． 122π
B．（π＋7218）2
考 点
C．（π＋128）2
D．（π－3
3＋15）2 72
考
向
探
[答案] B
究
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第7讲 导数及其应用
[解析] 由题意可知，所求问题即为曲线 y＝sin 2x－ 23， x∈[0，π]上的点到直线 y＝x＋3 上的点的最小距离的平方．y′
知
识 聚
[答案] 4（1－e－2）
焦
[解析] ∵f′（x）＝4ex（x＋2）－2x－4＝4（x＋2）·ex－12.
令 f′（x）＝0 得，x1＝－ln 2，x2＝－2.从而当 x∈（－∞， －2）∪（－ln 2，＋∞）时，f′（x）>0；当 x∈（－2，－ln 2）时，f′（x）<0.故 f（x）在（－∞，－2），（－ln 2，＋∞） 上单调递增，在（－2，－ln 2）上单调递减.当 x＝－2 时， 函数 f（x）取得极大值，极大值为 f（－2）＝4（1－e－2）.
核 心 知
3．[2015·北京卷改编] 已知函数 f(x)＝ln11＋ －xx，则曲线 y
识
＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为________．
聚
焦
[答案] y＝2x
[解析] 因为 f（x）＝ln（1＋x）－ln（1－x），所以 f′（x） ＝1＋1 x＋1－1 x，f′（0）＝2. 又因为 f（0）＝0，所以曲线 y＝f（x）在点（0，f（0）） 处的切线方程为 y＝2x.
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► 考点一 导数的几何意义
导数的概念 和运算
———概念的理解和应用、导数的计算
导数的几何意义———1.求切线方程；2.求参数值
考
题型：选择、填空
分值：5 分
难度：中等
点 考
热点：利用导数的几何意义求切线方程
向
探
究
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例 1 若点(x1，y1)在曲线 y＝sin 2x－ 23(x∈[0，π])
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核 5．[2015·全国卷Ⅱ] 已知曲线 y＝x＋ln x 在点(1，1)处的
心 切线与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切，则 a＝________．
知
识 聚
[答案] 8
焦
[解析] 对函数 y＝x＋ln x 求导得 y′＝1＋1x，函数在点（1，
1）处的切线的斜率 k＝y′|x＝1＝2，所以在点（1，1）处的切 线方程为 y＝2x－1，又该切线也为曲线 y＝ax2＋（a＋2）x
＋1 的切线，所以由yy＝＝2axx2－＋1（，a＋2）x＋1得 ax2＋ax＋2＝
0，此方程应有唯一解，所以 Δ＝a2－8a＝0，得 a＝8 或 a＝ 0（舍）.
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6．[2013·新课标全国卷Ⅰ改编] 函数 f(x)＝4ex(x＋1)－x2－
心 4x 的极大值是________．
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核 心
4．[2014·湖北卷改编] 函数 f(x)＝lnxx的单调递增区间是
知
________．
识
聚
焦
[答案] （0，e）
[解析] f（x）的定义域为（0，＋∞），又 f′（x）＝1－xl2n x， 由 f′（x）>0 解得 0<x<e，所以函数 f（x）的单调递增区 间是（0，e）.
研究 函数
性质
单调 性
使 f′(x)＞0 的区间为单调递增区间；使 f′(x)＜0 的区间为单调递减区间
极值
f′(x0)＝0，且 f′(x)在 x0 附近左负(正)右正(负)，则 x0 为极小(大)值点
最值
区间[a，b]上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值为区间端点值和区间内的极大值 中的最大者，最小值为区间端点值和区间内的极小值中的最小者
基本 公式
导
数 及 运算 运算
其
法则
应
用
复合
函数
求导
c′＝0(c 为常数)；(xn)′＝nxn－1(n∈N*)；1x′＝－x12； (sin x)′＝cos x；(cos x)′＝－sin x；(ex)′＝ex；(ax)′＝axln a(a＞0，且 a≠1)；
(ln x)′＝1x；(logax)′＝xln1 a(a＞0，且 a≠1) [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
核
心
知
识
聚 焦
专题七 导数及其应用
考 点 考 向 探 究
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核 1．[2015·天津卷] 已知函数 f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)， 心 其中 a 为实数，f′(x)为 f(x)的导函数．若 f′(1)＝3，则 a 知 的值为________．
识 聚 焦
[答案] 3 [解析] f′(x)＝aln x＋a.因为 f′(1)＝3，所以 a＝3.
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；[cf(x)]′＝cf′(x)； gf（（xx））′＝f′（x）g（[xg）（－x）g′（]2 x）f（x）(g(x)≠0)；g（1x）′＝－[gg（′（xx））]2
y＝[f(g(x))]′＝f′[g(x)]g′(x)，特别地，[f(ax＋b)]′＝af′(ax＋b)