(中考专题八)数学模型_解决实际问题

初中数学压轴题常见解题模型及套路（自有定理）A ． 代数篇：1．循环小数化分数:设元—扩大——相减（无限变有限）相消法。

例.把0.108108108⋅⋅⋅化为分数。

设S=0.108108108⋅⋅⋅ （1） 两边同乘1000得：1000S=108.108108⋅⋅⋅（2） （2）-（1）得：999S=108 从而：S=108999余例仿此—— 2．对称式计算技巧：“平方差公式—完全平方公式”—整体思想之结合：x+y ；x-y ；xy ；22x y + 中，知二求二。

222222()2()2x y x y xy x y x y xy +=++⇒+=+- 2222()2()4x y x y xy x y xy -=+-=+- 加减配合，灵活变型。

3．特殊公式22112x x x x ±=+±2（）的变型几应用。

4．立方差公式：3322a b a b a ab b ±=±+（）（）5．等差数列求和的三种方法：首尾相加法；梯形大法；倒序相加法。

例.求：1+2+3+···+2017的和。

三种方法举例：略6．等比数列求和法：方法+公式：设元—乘等比—相减—求解。

例.求1+2+4+8+16+32+···2n 令S=1+2+4+8+16+32+···+2n （1）两边同乘2得: 2S=2+4+8+32+64+···+2n +12n + （2） （2）-（1）得：2S-S=12n +- 1 从而求得S 。

7．11n m m n --=mn 的灵活应用：如：111162323==-⨯等。

8．用二次函数的待定系数法求数列（图列）的通项公式f （n ）。

9．韦达定理求关于两根的代数式值的套路：⑴．对称式：变和积。

22221111x y x y x y+++22；；；xy +x y 等（x 、y 为一元二次方程方程的两根）⑵．非对称式：根的定义—降次—变和积（一代二韦）。

专题08 勾股定理与利用378和578模型解题知识对接考点一、勾股定理 １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222c b a =+勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方考点二、勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形专项训练一、单选题1．（2021·南山实验教育集团南海中学九年级三模）如图，已知ABC ，90ACB ∠=，3BC =，4AC =，小红按如下步骤作图：①分别以A 、C 为圆心，以大于12AC 长为半径在 AC 两边作弧，交于两点M 、N ；①连接MN ，分别交AB 、AC 于点D 、O ； ①过点C 作//CE AB 交MN 于点E ，连接AE 、CD ． 则四边形ADCE 的周长为（ ）A．10B．20C．12D．242．（2021·沙坪坝区·重庆八中九年级）在Rt ABC中，①A＝90°，tan①C＝13，E为AC上一点，且CE＝5AE，点D为BC中点，把CDE沿ED翻折到FDE，且EG DF的长度为（）A B C D．3．（2021·杭州市丰潭中学九年级）如图，已知平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为A（4，0），B（﹣6，0）．点C是y轴正半轴上的一点，且满足①ACB＝45°，圆圆得到了以下4个结论：①①ABC的外接圆的圆心在OC上；①①ABC＝60°；①①ABC的外接圆的半径等于①OC＝12．其中正确的是（）A．①①B．①①C．①①D．①①4．（2021·杭州市丰潭中学九年级）如图，点A的坐标为（﹣3，2），①A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切①A于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为（）A．（0，2）B．（0，3）C．（﹣2，0）D．（﹣3，0）5．（2021·珠海市紫荆中学九年级）如图，D 是ABC 内一点，BD CD ⊥，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BD 、CD 、AC 的中点．若10AD =，8BD =，6CD =，则四边形EFGH 的周长是（ ）A ．24B ．20C ．12D ．106．（2021·西宁市教育科学研究院中考真题）如图，ABC 的内切圆О与,,AB BC AC 分别相切于点D ，E ，F ，连接OE ，OF ，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，则阴影部分的面积为（ ）A ．122π-B ．142π-C ．4π-D ．114π-7．（2021·四川绵阳·）如图，在边长为3的正方形ABCD 中，30∠=︒CDE ，DE CF ⊥，则BF 的长是（ ）A ．1BCD ．28．（2021·四川巴中·中考真题）如图，矩形AOBC 的顶点A 、B 在坐标轴上，点C 的坐标是(﹣10，8)，点D 在AC 上，将BCD 沿BD 翻折，点C 恰好落在OA 边上点E 处，则tan①DBE 等于（ ）A ．34B ．35C D ．129．（2021·广西河池·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E ，F 分别在CD ，AC 上，BF EF ⊥，1CE =，则AF 的长是（ ）A．B C D ．5410．（2021·山东滨州·）在Rt ABC 中，若90C ∠=︒，3AC =，4BC =，则点C 到直线AB 的距离为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．2.4二、填空题11．（2021·西宁市教育科学研究院中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，10CD =，2BE =，则O 的半径OC =_______．12．（2021·西宁市教育科学研究院中考真题）如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接CE ，过点E 作CE 的垂线交AB 于点F ，交CD 的延长线于点G ，连接CF ．已知12AF =，5CF =，则EF =_________．13．（2021·西宁市教育科学研究院中考真题）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，连接AE ，DE ，若92DE =，152AE =，则点A 到BC 的距离是________．14．（2021·重庆实验外国语学校九年级三模）如图，在矩形ABCD 中，点E 是线段AB 上的一点，AE AB <，DE CE ⊥，将BCE 沿CE 翻折，得到FCE △，连接DF ，若3AD =，10AB =，则线段DF 的长度为______．15．（2021·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级二模）如图，①ABC 中，AB ＝BC ，AD ①BC 垂足为D ，BE ＝AC ，①EAC ＝3①C ，BD ＝7，AC ﹣2AE ＝8，则AE 的长为 __．三、解答题16．（2021·合肥市第四十五中学九年级）如图，①ABC 中，①ACB ＝90°，CB ＝CA ，CE ①AB 于E ，点F 是CE上一点，连接AF并延长交BC于点D，CG①AD于点G，连接EG．（1）求证：CD2＝DG•DA；（2）如图1，若CF＝2EF，求证：点D是BC中点；（3）如图2，若GC＝2，GE＝，求GD．17．（2021·靖江市靖城中学九年级一模）如图，①ABD中，①ABD＝①ADB．（1）作点A关于BD的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，连接BC、DC，连接AC，交BD于点O．①求证：四边形ABCD是菱形；①取BC的中点E，连接OE，若OE＝132，BD＝10，求点E到AD的距离．18．（2021·日照市新营中学九年级三模）如图，P A，PB分别与①O相切于点A，B．点M在PB上，且OM //AP，MN AP，垂足为N．（1）求证：OM=AN；（2）若①O的半径R=4，P A=8，求OM的长．19．（2021·陕西西安·交大附中分校九年级）问题提出：（1）如图①，在Rt①ABC中，①ACB＝90°，AC＝6，BC＝①A的大小为；问题探究：（2）如图①，在四边形ABCD中，AD①BC，对角线AC与BD相交于O．若AC＝8，BD＝6，①AOD＝60°，求四边形ABCD的面积；问题解决：（3）在西安市“三河一山”生态绿道长廊建设中．规划将某条绿道一侧的四边形区域修建成主题公园．设计要求：如图①，四边形ABCD中，AD＝160m，BC＝CD，①ABC＝①BCD＝120°．求这个主题公园的最大面积．20．（2021·四川省宜宾市第二中学校九年级）如图，CD为O的直径，M是半圆CD的中点，延长DC到P，使OC=CP=AC，连结PA、CM．（1）求证：PA是O的切线；（2）求证：2=⋅；CM MN MAPC=，求CM的长．（3）若221．（2021·西藏中考真题）如图，AB是①O的直径，OC是半径，延长OC至点D．连接AD，AC，BC．使①CAD＝①B．（1）求证：AD是①O的切线；（2）若AD＝4，tan①CAD＝1，求BC的长．222．（2021·广西梧州·中考真题）如图，在Rt①ACD中，①ACD＝90°，点O在CD上，作①O，使①O与AD 相切于点B，①O与CD交于点E，过点D作DF①AC，交AO的延长线于点F，且①OAB＝①F．（1）求证：AC是①O的切线；（2）若OC＝3，DE＝2，求tan①F的值．23．（2021·江苏南通·中考真题）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关∠=．于直线BE的对称点为点F，连接CF，设ABEα∠的大小（用含α的式子表示）；（1）求BCF⊥，垂足为G，连接DG．判断DG与CF的位置关系，并说明理由；（2）过点C作CG AF△为等（3）将ABE△绕点B顺时针旋转90︒得到CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF．当BFH腰三角形时，求sinα的值．9。

中考数学基本几何模型探究【专题综述】许多中考试题都是以教材的例题、习题为背景，经过命题专家巧妙构思编拟而成.中考试题的权威性和导向性是由命题专家独具匠心精心打造的，其思路和方法常具有类比迁移和拓广探索性.因此，教师在教学中若能引导学生提炼出基本几何模型，用基本几何模型解决问题，则能提高学习效率，提升创新创造能力.【方法解读】一、中考试题呈现和探源题目 如图1，正方形ABCD 的边长为3cm, ,P Q 分别从,B A 出发沿,BC AD 方向运动，P 点的运动速度是1cm/秒，Q 点的运动速度是2 cm/秒.连结AP 并过点Q 作QE AP ⊥，垂足为E . (1)求证:ABP QEA ;(2)当运动时间t 为何值时，ABP QEA ≅?(3)设QEA 的面积为y ，用运动时间t 表示QEA 的面积y .(不要求考虑t 的取值范围) (提示:解答(2)(3)时可不分先后)此题动静分明，梯度清晰，较好考察了学生全等、相似、函数的有关知识.仔细观察，不难看出此题由课本题变化而来.课本原题为:如图2，四边形ABCD 是正方形，点G 是边BC 的中点，,//DE AG BF DE ⊥交AG 于点F ，求证: AF BF EF -=.(人教版义务教育教科书八年级数学2013年10月第一版P62页第15题) 将此题的条件“//BF DE 交AG 于点F ”去掉，即可变为上述中考题. 二、探寻基本图形和基本模型由课本习题和中考题不难找出它们蕴含的基本图形和几何模型:如图3，在正方形ABCD 中，点,E F 分别在边,BC CD 上，,AE BF 交于点O .性质1 若AE BF ⊥，则AE BF = (或BE CF =). 性质2 若AE BF = (或BE CF =)，则AE BF ⊥.性质3 若点O 是中心对称图形的对称中心，且AE BF ⊥，则,AE BF 把该图形的面积四等分. 若将线段,AE BF 分别平移到,GH EF 处(如图4)，结论EF GH =仍成立.由于以上主要利用直角和互余的性质，不难猜想到若由正方形变为矩形，会有三角形相似和对应线段成比例.如图5，在矩形ABCD 中，点,E F 分别在,AB AD 上，且DE CF ⊥，则DE ADCF CD=. 若将线段,DE CF 分别平移到,NM HQ 处(如图6)，结论MN ADQH CD=仍成立.由以上图形可提炼出如下模型:模型1 正方形+线段垂直(或线段相等)=线段相等(或线段垂直)模型2 中心对称图形+线段垂直(或面积四等分)=面积四等分(或线段垂直) 模型3 矩形+线段垂直(或线段成比例)=线段成比例(或线段垂直) 三、模型解题提升能力 1、用模型1解决问题例1 已知:如图7，在正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，AQ BE ⊥于点,Q DP AQ ⊥于点P . (1)求证: AP BQ =;(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ 的长.分析 由模型1易得AQ DP =，得本题证明思路是证全等形，进而得AP BQ =，由全等形可得AQ BQ PQ -=或PD AP PQ -=.例2 如图8，正方形ABCD 的面积为3cm 2, E 为BC 边上一点，30BAE ∠=︒,F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与,AB DC 相交于点,M N ，若MN AE =，则AM 的长等于 cm.分析 由模型2可得MN AE ⊥，用勾股定理和30BAE ∠=︒，求得AE =2，则AF =1，所以3AM =2、用模型2解决问题 例3 问题探究(在图9中作出两条直线，使它们将圆的面积四等分.(2)如图10, M 是正方形ABCD 内一定点，在图9中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M )，使正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由.问题解决(3)如图11，在四边形ABCD 中，//,AB CD AB CD BC +=，点P 是AD 的中点.如果,AB a CD b ==，且b a >，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在的直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分?若存在，求出PQ 的长;若不存在，说明理由.分析 (1)据模型2，只要作两条过圆心且互相垂直的直线即可，如图9所示.(2)据模型2，过点M 和正方形ABCD 对角线的交点O 作直线OM ，分别交,AD BC 于,P Q 两点，再过点O 作OM 的垂线，交,AB CD 于,E F 两点，则直线,OM EF 将正方形ABCD 的面积四等分，如图10所示.(3)如图11，延长BA 至点E ，使AE b =,延长CD 至F 点，使DF a =，连结EF .由//,BC CF BC BE CF a b ===+，易证四边形BCEF 是菱形，连结BF 交AD 于点M ，则MAB MDF ≅，得AM DM =，所以点M 与P 重合，点P 是菱形对角线的交点.在BC 上截取BQ CD b ==，则CQ AB a ==.设点P 到菱形一边的距离为d ，则1()2ABP QBP S S AB BQ ∆∆+=+1()2CQ CD d =+ CPQ CPD S S ∆∆=+.所以，当BQ b =时，直线PQ 将四边形ABCD 分成面积相等的两部分. 3、用模型3解题 例3 探究证明(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明.如图12，矩形ABCD 中，,EF GH EF ⊥分别交,AB CD 于点,,E F GH 分别交,AD BC 于点,G H .求证:EF ADGH AB=.结论应用(2)如图13，在满足(1)的条件下，又AM BN ⊥，点,M N 分别在边,BC CD 上，若1115EF GH =,则BNAM的值为 . 联系拓展(3)如图14，四边形ABCD 中，90,10,5,ABC AB AD BC CD AM DN ∠=︒====⊥,点,M N 分别在边,BC AB 上，求DNAM的值.分析 (1)由模型3，过点A 作//AP EF ,交CD 于P ，过点B 作//BQ GH ，交AD 于Q ，如图15，易证,,AP EF GH BQ PDA QAB ==∆∆，然后运用相似三角形的性质就可解决问题.(2)只需运用(1)中的结论,可得到EF AD BNGH AB AM==，就可解决问题.(3)过点D 作平行于AB 的直线，交过点A 平行于BC 的直线于点R ，交BC 的延长线于点S ，如图16，易证四边形ABSR 是矩形，由模型3可得DN ARAM AB=. 设,SC x DS y ==，则5,10AR BS x RD y ==+=-，在Rt CSD 中，根据勾股定理，可得2225x y+=. ①在Rt ARD中，根据勾股定理，可得22(5)(10)100x y++-=.②解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决.【强化训练】1. （2017四川省广元市）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD=2；③DF=DC；④CF=2AF，正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④2．（2017四川省泸州市）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE 的值是（）A．24B．14C．13D．233. （2017湖北省十堰市）如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于M，N．下列结论：①AF⊥BG；②BN=43NF；③38BMMG=；④12CGNF ANGDS S=．其中正确的结论的序号是．4. （2017四川省广安市）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是了AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：A F=BE．5. （2017浙江省宁波市）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为（）A．3B．23C．13D．46. （2017丽水）如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设ADn AE．（1）求证：A E=GE；（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示ADAB的值；（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．7. （2017江苏省南通市）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．（1）求证：四边形BPEQ是菱形；（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．8. （2016内蒙古赤峰市）如图，正方形ABCD的面积为3cm2，E为BC边上一点，∠BAE=30°，F为AE 的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N．若MN=AE，则AM的长等于cm．9. （2016内蒙古包头市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．10. （2016广西贺州市）如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=3，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）。

2024贵阳中考数学二轮中考题型研究题型十一建立函数模型解决实际问题典例精讲例甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m.(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；【思维教练】根据已知得到A、B两点的坐标，设出顶点式，代入即可求解．例题图(2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处．有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由(假设船底与水面齐平)；【思维教练】根据题干条件得到工人到点O的距离为1m，计算出当x＝1时y的值，将该数值与工人的身高进行比较，即可判断工人的头顶是否会触碰到桥拱．(3)如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m(m>0)个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．【思维教练】先画出函数图象，结合二次函数的增减性，找到平移的最大距离及最小距离，即可确定m的取值范围．例题图③针对演练1.2022年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与时间x(分钟)的变化情况，数据如下表：(表中9～15表示9＜x≤15)时间x(分钟)012345人数y(人)0170320450560650时间x(分钟)67899～15人数y(人)720770800810810(1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式；(2)如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？(3)在(2)的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？2．为进一步缓解城市交通压力，贵阳推出公共自行车．公共自行车在任何一个网店都能实现通租通还，某校学生小明统计了周六校门口停车网点各时段的借、还自行车数，以及停车点整点时刻的自行车总数(称为存量)情况，表格中x＝1时的y值表示8：00点时的存量，x ＝2时的y值表示9：00点时的存量，…，以此类推，他发现存量y(辆)与x(x为整数)满足如图所示的一个二次函数关系.时段x还车数借车数存量y7：00～8：00175158：00～9：00287n……………根据所给图表信息，解决下列问题：(1)m＝________，解释m的实际意义：__________________________________________；第2题图(2)求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；(3)已知10：00～11：00这个时段的还车数比借车数的2倍少4，求此时段的借车数．参考答案典例精讲例解：(1)由题意得，水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，结合函数图象可知，顶点B(4，4)，点O(0，0)，设二次函数的表达式为y＝a(x－4)2＋4，将O(0，0)代入函数表达式，解得a＝－1 4，∴二次函数的表达式为y＝－14(x－4)2＋4，即y＝－142＋2x(0≤x≤8)；(3分)(2)工人不会碰到头．理由如下：∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，由题意得，工人距点O的距离为0.4＋12×1.2＝1，∴将x＝1代入y＝－14x2＋2x，解得y＝74 1.75；∵1.75m＞1.68m，∴此时工人不会碰到头；(7分)(3)∵抛物线y＝－14x2＋2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称，如解图①，新函数图象的对称轴也是直线x＝4，此时，当0≤x≤4或x≥8时，y的值随x值的增大而减小，将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象，如解图②，∵平移不改变图形形状和大小，∴平称后函数图象的对称轴是直线x＝4＋m，∴当m≤x≤4＋m或x≥8＋m时，y的值随x值的增大而减小，∴当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，得m的取值范围是：①m≤8且4＋m≥9，得5≤m≤8，②8＋m≤8，得m≤0，由题意得m＞0，∴m ≤0不符合题意，舍去．综上所述，m 的取值范围是5≤m ≤8.(12分)图①图②例题解图针对演练1.解：(1)由表格中数据的变化趋势可知，①当0≤x ≤9时，y 是x 的二次函数，∵当x ＝0时，y ＝0，∴二次函数的关系式可设为y ＝ax 2＋bx ，＝a ＋b ，＝9a ＋3b ，10，＝180.∴二次函数的关系式为y ＝－10x 2＋180x ；②当9<x ≤15时，y ＝810，∴y 与x 之间的函数关系式为y 10x 2＋180x （0≤x ≤9），（9<x ≤15）；(4分)(2)设第x 分钟时的排队人数是W 人，根据题意，得W ＝y －40x 10x 2＋140x （0≤x ≤9），－40x （9<x ≤15），①当0≤x ≤9时，W ＝－10x 2＋140x ＝－10(x －7)2＋490，∴当x ＝7时，W 最大＝490；②当9＜x ≤15时，W ＝810－40x ，W 随x 的增大而减小，∴210≤W ＜450，∴排队人数最多时是490人，要全部考生都完成体温检测，根据题意得810－40x ＝0，解得x ＝20.25，答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；(8分)(3)设从一开始就应该增加m 个检测点，由题意得12×20(m ＋2)≥810，解得m ≥118.∵m 是整数，∴m ≥118的最小整数是2，∴从一开始就应该至少增加2个检测点．(12分)2．解：(1)13，7：00时自行车的存量；【解法提示】m ＋7－5＝15，m ＝13，m 的实际意义是7：00时自行车的存量．(2)由题意得，n ＝15＋8－7＝16，设二次函数的关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，把(0，13)、(1，15)和(2，16)＝13，＋b ＋c ＝15，a ＋2b ＋c ＝16，＝－12，＝52，＝13，∴二次函数关系式为y ＝－122＋52x ＋13；(3)当x ＝3时，y ＝－12×32＋52×3＋13＝16，当x ＝4时，y ＝－12×42＋52×4＋13＝15，设10：00～11：00这个时段的借车数为t ，则还车数为2t －4，根据题意得，16＋2t －4－t ＝15，∴t ＝3，∴10：00～11：00这个时段的借车数为3辆．。