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中考数学 第4讲 根式复习讲义 苏科版

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第4讲根式
1、二次根式的概念：式子叫做二次根式。

（1）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。

（2）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。

（3）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。

（4）有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：
与；与）
2、二次根式的性质：
（1）；（2）；
（3）（a≥0，b≥0）；（4）
3、运算：
（1）二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。

（2）二次根式的乘法：（a≥0，b≥0）。

（3）二次根式的除法：
二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。

知识点1：二次根式的概念及条件
知识点2：二次根式的性质
1.若实数满足，则的值是．
2.已知：。

3.若，则与3的大小关系是()A． B．C．D．
4.方程，当时，m的取值范围是
知识点3：二次根式的化简______；=_____；。

例1：已知mn﹤0,化简已知为实数，化简
知识点3：二次根式的运算
巩固练习一、选择题
1下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．
2．下列式子中二次根式的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺.
3．当有意义时，a的取值范围是（）A．a≥2 B．a＞2 C．a≠2 D．a≠－2 4．若（）A. B. C. D.
5．估计的运算结果应在（）
A．1到2之间B．2到3之间 C．3到4之间D．4到5之间
6．对于二次根式，以下说法不正确的是（）
A．它是一个正数 B．是一个无理数 C．是最简二次根式 D．它的最小值是3 7．若，则x－y的值为（）A．－1 B．1 C．2 D．3
8．若，，则的值是（）A.B. C. D.
9．下列各式中，运算正确的是（）
A．B．C．D．
二、填空题
10．设5-的整数部分是a,小数部分是b,则a-b=
11．已知最简二次根式和的和是一个二次根式，那么b= ，和是。

12. 若无理数a满足不等式，请写出两个符合条件的无理数_____________.
三、解答题
15.计算：
⑴；⑵；（3）
（4）计算：
16.若三角形的三边、、满足，若第三边为奇数，求的值.
17.先化简，再求值：，其中
18．如图，实数、在数轴上的位置，化简.。

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第4讲 +数的开方与二次根式+课件++2025年九年级中考数学专题复习(湖南)

第4讲 +数的开方与二次根式+课件++2025年九年级中考数学专题复习(湖南)


加减运算
4
−

≈0.618
先化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次
根式进行合并
· ＝ （ a ≥0， b ≥0）；


＝


（ a ≥0， b ＞0）
03
重难精讲
变式探究
第一单元 第4讲
考点 ❶ 数的开方
下列说法正确的是（
D ）
A. －27的立方根是3
B. 16 ＝±4
－3
4
④确定这个二次根式的值在这两个相邻整数之间，如2< <3.
确定离哪个整数
最近
①先确定这个二次根式在哪两个相邻整数之间，如2< <3；
2+3
②求这两个整数的平均数，如
＝2.5；
2
③用平方法比较二次根式和平均数的大小，若二次根式的平方
大于平均数的平方，则离较大的整数近，否则离较小的整数近，
如2.52＝6.25<8，则 离3最近．
6. 计算：（ 27 － 12 ）×
1
3
＋（ 3 －1）2.
解：原式＝3－2＋3－2 3 ＋1＝5－2 3 .
5
⁠
.
方法总结
①先对二次根式平方，如( )2＝8；
确定在哪两个相 ② 找出与平方后所得的数相邻的两个开得尽方的整数，如4和9；
③对以上两个整数开方，得到两个整数，
邻整数之间
如 ＝2， ＝3；
[注意：若要继续确定 8离2.5近还是离3近，则可比较2.752 和7的大
小，方法同上]
易错点·创新点
7. 81 的平方根是（
A. 9
B. ±9
D ）
C. 3
苏科版八年级数学上册4.1 平方根 课件

苏科版八年级数学上册4.1 平方根 课件

2 的平方根是± 2，其中 2叫做 2 的算术平方根.
4 . 1 平方根
特别解读：
(1) 算术平方根 具有双重非负性：
① 被开方数a 是非负数，即a ≥ 0；
② 算术平方根 是非负数，即 ≥0.
(2) 算术平方根是它本身的数只有0 和1.
4 . 1 平方根
易错警示
1. 区分清楚算术平方根是平方根中的一个；
(1)开平方是求平方根的运算；
(2)平方根是开平方运算的结果.
4 . 1 平方根
4. 求一个非负数的平方根的方法：
① 求一个非负数a的平方根，就是要把平方后等于a的
数找出来，从而求出a的所有平方根；
② 求带分数的平方根时，应先将带分数化为假分数，
这也是常出错的地方.
注意：正数的平方根有两个，前面必定有“±”号.
当 x2＝100 时，因为 102＝100，(－10)2＝100，所以
x＝±10；
当 x2＝169 时，因为132＝169，(－13)2＝169，所以
x＝±13.
可以看出，使 x2＝a (a＞0) 成立的数有两个，它们互
为相反数.
4 . 1 平方根
知识点 1 平方根
定义
如果 x2＝a (a ＞0) 那么叫做 a 的平方根，也称为
( 0.01)2＝(0.1)2 ＝ 0.01.
( 5)2＝5.
4 . 1 平方根
2. 162 等于多少? (－16)2 等于多少?
162＝16.
(－16)2＝16.
4 . 1 平方根
练习
1. 写出下列各数的算术平方根：
25
0.01，
16
，0，10，
1 2
(－ ) .
数学二次根式复习苏科版九年级上省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件

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长时间注视粉白旳墙壁会有目眩旳感觉，像是从光线非常强烈旳地方忽然进入黑暗之中，眼睛不能适应会短暂失明。有时候会怀疑为 何永远人满为患，好像每个人都有 病症一般。有人从离开，有人却永远停在那里。
D
C
E
A
B
气胎由壬 气胎由壬 气胎由壬，简称气胎，又称由壬气胎，广泛应用于低压力、大通径、错位大、需经常装卸旳管线
大约也是因为几年前旳那场病，疼痛让人无法再专注工作。只能辞职，现实残酷，你一旦不能在你所处旳位置给企业带来至少等价匹 配旳效益，便只能被淘汰出局。
后来有段时间住在，每天不得不面对多种疾病、疼痛、死亡……虽然发生在别人身上，也会有种钝痛感。是虽然有诸多人，虽然非常 拥挤，也一直会觉得很冷旳地方。
有人对疾病怀疑，似乎不能相信那是发生在自己肉体旳毁坏，那多半是刚被发觉疾病旳人。而长久被疾病所困扰旳人，脸上旳表情只 剩麻木，虽然对这世间留有眷恋，但是假如每天都在疼痛中入睡又在疼痛中醒来，全部旳眷恋便会一点点被消磨殆尽。你能够清楚辨 别出他们旳区别，是咋闻噩耗还是久经折磨。一种人假如他旳意志比肉体更快被摧毁，他将不久死去。然后被送往太平间，等待被他 曾眷恋旳世间清除，空下来旳床位会有另外旳患者入住。空缺被弥补，产生新旳空缺，再弥补，如此不断往复。
(7 ) a2 b2 2ab(a b);
(8) a a 2 (a 0).
二次根式化简成果旳要求： （1）根号内不具有开旳尽方旳因式； （2）根号内不具有分母.
例5 设a、b、c为△ABC旳三边，试化简：
(a b c)2 (a b c)2 (b a c)2 (c a b)2
x 3、 x 2
4、 x2 2x 2
例3 填空： 1、当x＝－8时，9 2x 旳值等于 2、若 y x 2 2 x 6,则x y 3、若二次根式 x2的值等于2，则x＝
苏科版八年级上册数学 第4章 平方根

苏科版八年级上册数学 第4章 平方根


互为相反数，因而这两个数均为这个正数的平方根.
如果一个数为带分数，一般先将其化为假分数，再求平
方根；如果有平方运算，那么先用平方运算求出结果，
针对结果再求平方根；如果这个正数a不能写成有理数的
平方的形式，那么可以将a的平方根表示成±
a
感悟新知
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
平方
开平方
知1－讲
+1 1
-1
+2 4
-2
+3 9
-3
+1 1
-1
+2 4
-2
+3 9
-3
感悟新知
例1 下列说法中正确的是( D ) A．9的平方根是±3，应表示为92＝±3 B．±3是9的平方根，应表示为±＝3
C．9开平方能得到9的平方根，即＝9±3 D．9的算术平方根是3，应表示为＝93
9
知1－练
导引：正确把握并准确运用平方根、算术平方根的定义．
归纳
知2－讲
求一个式子的值，先分析式子的意义，特别是看 清它表示的是算术平方根还是平方根，就是看清符号， 最后的结果不改变它的正负性．
感悟新知
1 判断下列说法是否正确： (1) 0的平方根是0； (2) 1的平方根是1； (3) －1的平方根是－1； (4) 0.01是0.1的一个平方根.
知2－练
课堂小结
平方根
求一个非负数的平方根的方法： ①求一个非负数a的平方根，就是要把平方后等于a的 数找出来，从而求出a的所有平方根； ②求带分数的平方根时，应先将带分数化为假分数， 这也是常出错的地方. 注意：正数的平方根有两个，前面必定有“±”号.
课后作业
作业1 必做:请完成教材课后习题 补充: