2017-2018学年广东省广州市海珠区高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

第1页（共13页） 2017-2018学年广东省广州市海珠区高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）若复数Z满足（1+i）z＝1﹣2i，则复数Z的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．（5分）设x＞0，由不等式x+＞2，x+≥3，x+≥4，…，类比推广到x+≥n+1，则a＝（ ） A．nn B．n2 C．2n D．n 3．（5分）若曲线C的参数方程为（t为参数），则下列说法正确的是（ ） A．曲线C是直线且过点（﹣1，2） B．曲线C是直线且斜率为 C．曲线C是圆且圆心为（﹣1，2） D．曲线C是圆且半径为|t| 4．（5分）设双曲线的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（5分）命题“有理数是无限不循环小数，整数是有理数，所以整数是无限不循环小数”是假命题，推理错误的原因是（ ） A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理 C．使用了“三段论”，但大前提错误 D．使用了“三段论”，但小前提错误 6．（5分）已知p：成立，q：函数f（x）＝﹣（a﹣1）x（a＞1且a≠2）是减函数，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

第2页（共13页） C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（5分）函数y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f'（x）的图象可能是（ ） A． B． C． D． 8．（5分）下列命题中正确的是（ ） A．命题“∃x0∈R，sinx0＞1”的否定是“∀x∈R，sinx＞1” B．“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0，则xy≠0” C．在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充分不必要条件 D．若p∧（￢q）为假，p∨（￢q）为真，则p，q同真或同假 9．（5分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ） A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

第3页（共13页） D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 10．（5分）设a∈R，若函数y＝ex+ax，x∈R有小于零的极值点，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，0） 11．（5分）如图，椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 12．（5分）已知函数f（x）＝﹣x2+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是（ ） A．（0，1）∪（2，3） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，1]∪[2，3） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上. 13．（5分）已知x和y之间的一组数据，若x、y具有线性相关关系，且回归方程为＝x+a，则a的值为 ． x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 14．（5分）若a10＝，am＝，则m＝ ． 15．（5分）若曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为 ． 16．（5分）已知抛物线y2＝2px的焦点F与椭圆＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C1的方程为（x﹣2）2+y2＝4．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2，射线C3的极坐标

第4页（共13页） 方程为． （1）将曲线C1的直角坐标方程化为极坐标方程； （2）若射线C3与曲线C1、C2分别交于点A、B，求|AB|． 18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知． （Ⅰ）求B； （Ⅱ）若，求sinC的值． 19．（12分）某校计划向高一年级1240名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，按性别进行分层抽样，现抽取124名学生对社会科学类、自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有64人，在这124名学生中选修社会科学类的男生有22人、女生有40人 （Ⅰ）根据以上数据完成下列列联表 选修社会科学类 选修自然科学类 合计 男生 女生 合计 （Ⅱ）判断能否有99.9%的把握认为科学的选修与性别有关？ 附：K2＝，其中n＝a+b+c+d． P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD是正三角形，CB＝CD，SC⊥BD． （1）求证：SA⊥BD； （2）若∠BCD＝120°，M为棱SA的中点，求证：DM∥平面SBC． 21．（12分）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（﹣1，0）．

第5页（共13页） （Ⅰ）当直线l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （Ⅱ）证明：∠AMF＝∠BMF． 22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1（a∈R）． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若x＞1，求证：lnx＜x﹣1．

第6页（共13页） 2017-2018学年广东省广州市海珠区高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【解答】解：由（1+i）z＝1﹣2i，得z＝， ∴复数z的虚部为﹣． 故选：B． 2．【解答】解：由已知中不等式：x+＞2，x+≥3，x+≥4，…，类比推广到x+≥n+1， … 归纳可得：不等式左边第一项为x．第二项为，右边为n+1， 故第n个不等式为：x+≥n+1， 故a＝nn， 故选：A． 3．【解答】解：曲线C的参数方程为（t为参数）， 消去参数t得曲线C的普通方程为＝0． 把（﹣1，2）代入，成立，斜率是． ∴曲线C是直线且过点（﹣1，2），斜率是． 故选：A． 4．【解答】解：由题意，， ∴a＝2， 故选：C． 5．【解答】解：根据题意，由演绎推理的形式：

第7页（共13页） 大前提是：有理数是无限不循环小数，而有理数包含有限小数，无限不循环小数，以及整数， 故大前提是错误的， 在以上三段论推理中，大前提错误； 故选：C． 6．【解答】解：p：成立，可得0＜a﹣2≤2，解得2＜a≤4． q：函数f（x）＝﹣（a﹣1）x（a＞1且a≠2）是减函数，∴a﹣1＞1，解得a＞2． 则p是q的充分不必要条件， 故选：A． 7．【解答】解：由函数图象可知函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为减函数， 所以函数的导数值f′（x）＜0，因此D正确， 故选：D． 8．【解答】解：A．命题“∃x0∈R，sinx0＞1”的否定是“∀x∈R，sinx≤1”，故A错误， B．“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0，则xy≠0”，故B错误， C．在△ABC中，A＞B等价为a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，则在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要条件，故C错误， D．若p∧（￢q）为假，则p，￢q至少有一个为假命题， 若p∨（￢q）为真，则p，￢q至少有一个为真命题， 则p，￢q一个为真命题，一个为假命题，即p，q同真或同假，故D正确， 故选：D． 9．【解答】解：对于 A，由图象可知当速度大于 40km/h 时，乙车的燃油效率大于 5km/L，∴当速度大于 40km/h 时，消耗 1 升汽油，乙车的行驶距离大于 5km，故 A 错误； 对于 B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗 1 升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故 B 错误； 对于 C，由图象可知当速度为 80km/h 时，甲车的燃油效率为 10km/L，即甲车行驶 10km 时，耗油 1 升，故行驶 1 小时，路程为 80km，燃油为 8 升，故C 错误； 对于 D，由图象可知当速度小于 80km/h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故 D 正确；

第8页（共13页） 故选：D． 10．【解答】解：∵y＝ex+ax， ∴y'＝ex+a． 由题意知ex+a＝0有小于0的实根， 由ex＝﹣a，得a＝﹣ex， ∵x＜0， ∴0＜ex＜1，即﹣1＜﹣ex＜0， ∴﹣1＜a＜0． 故选：C． 11．【解答】解：∵椭圆，（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2 设椭圆的半焦距为c， 则|AF1|＝a﹣c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a+c， ∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列， ∴（a﹣c）（a+c）＝4c2， 即a2＝5c2， ∴e＝． 故选：C． 12．【解答】解：∵f′（x）＝﹣x+4﹣且函数f（x）在[t，t+1]不单调， ∴f′（x）在[t，t+1]有解， ∴＝0在[t，t+1]有解， ∴x2﹣4x+3＝0在[t，t+1]有解， 令g（x）＝x2﹣4x+3， ∴g（t）g（t+1）≤0或， ∴0＜t＜1，或2＜t＜3，

第9页（共13页） 故选：A． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上. 13．【解答】解：根据表中数据，计算＝×（0+1+2+3）＝1.5， ＝×（1+3+5+7）＝4， 代回归方程＝x+a中， 计算a＝﹣＝4﹣1.5＝2.5． 故答案为：2.5． 14．【解答】解：a10＝，am＝＝， 可得＝a2m．即2m＝10，解得m＝5． 故答案为：5． 15．【解答】解：设切点坐标为（a，lna）， ∵y＝lnx，∴y′＝， 切线的斜率是， 切线的方程为y﹣lna＝（x﹣a）， 将（0，0）代入可得lna＝1，∴a＝e， ∴切线的斜率是＝． 故答案为：． 16．【解答】解：由椭圆＝1得右焦点为（4，0）即为抛物线y2＝2px的焦点，∴＝4，解得p＝8． ∴抛物线的方程为y2＝16x． 其准线方程为x＝﹣4，∴K（﹣4，0）． 过点A作AM⊥准线，垂足为点M．则|AM|＝|AF|． ∴|AK|＝|AM|． ∴∠MAK＝45°． ∴|KF|＝|AF|．

第10页（共13页） ∴＝＝32． 故答案为：32． 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．【解答】解：（1）∵曲线C1的方程为（x﹣2）2+y2＝4，即x2+y2﹣4x＝0， 将x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入上式， 得曲线C1的极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ＝0，即ρ＝4cosθ．…（6分） （2）设点A、B对应的极径分别为ρA、ρB， ∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝2，射线C3的极坐标方程为． 射线C3与曲线C1、C2分别交于点A、B，∴ρB＝2， 将代入ρ＝4cosθ，得：， ∴．…（12分） 18．【解答】解：（Ⅰ）∵． 由正弦定理，可得sinAsin2B＝sinBsinA ∵0＜A＜π，0＜B＜π， ∴sinB≠0，sinA≠0 ∴2cosB＝ 即cosB＝． ∴B＝． （Ⅱ）由（Ⅰ）B＝，， ∴sinB＝，sinA＝ 那么：sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝+＝． 19．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，男生64人，选修社会科学类有22人，自然科学类有42人， 女生有60人，选修社会科学类有40人，自然科学类有20人， 填写列联表如下； 选修社会科学类 选修自然科学类 合计