2018-2019学年高二数学精选练习选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 章末检测试卷(三)

3.1.3 空间向量基本定理 3.1.4 空间向量的坐标表示学习目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．知识点一 空间向量基本定理思考 只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？答案 不一定，只需三个向量不共面，就可作为空间向量的一组基底，不需要两两垂直． 梳理 空间向量基本定理 (1)定理内容：①条件：三个向量e 1，e 2，e 3不共面．②结论：对空间中任一向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3. (2)基底：(3)推论：①条件：O ，A ，B ，C 是不共面的四点．②结论：对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →.知识点二 空间向量的坐标表示思考 若向量AB →＝(x 1，y 1，z 1)，则点B 的坐标一定为(x 1，y 1，z 1)吗？答案 不一定．由向量的坐标表示知，若向量AB →的起点A 与原点重合，则B 点的坐标为(x 1，y 1，z 1)，若向量AB →的起点A 不与原点重合，则B 点的坐标就不为(x 1，y 1，z 1)． 梳理 (1)空间向量的坐标表示：①向量a 的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量i ，j ，k 作为基向量，对于空间任意一个向量a ，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k ，有序实数组(x ，y ，z )叫做向量a 在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标，记作a ＝(x ，y ，z )．②向量OA →的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A (x ，y ，z )，向量OA →是确定的，即OA →＝(x ，y ，z )． (2)空间中有向线段的坐标表示： 设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，①坐标表示：AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．②语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标． (3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则：(4)空间向量平行的坐标表示：若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，且a ≠0，则a ∥b ⇔b 1＝λa 1，b 2＝λa 2，b 3＝λa 3(λ∈R )．1．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{－a ，b,2c }也可构成空间的一个基底．(√) 2．若向量AP →的坐标为(x ，y ，z )，则点P 的坐标也为(x ，y ，z )．(×)3．在空间直角坐标系O －xyz 中向量AB →的坐标就是B 点坐标减去A 点坐标．(√)类型一 空间向量基本定理及应用 命题角度1 空间基底的概念例1 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－67e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．解 假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ， 使OA →＝xOB →＋yOC →成立． 所以OA →＝e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y ⎝⎛⎭⎫e 1＋e 2－67e 3 ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋⎝⎛⎭⎫2x －67y e 3. 得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －67y ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝14，y ＝74.故OA →，OB →，OC →共面，不可以构成空间的一个基底． 反思与感悟 基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a ＝λb ＋μc ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．跟踪训练1以下四个命题中正确的是________．(填序号)①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．答案②③解析因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以与另外一个向量构成基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确．命题角度2 空间向量基本定理的应用例2 如图，在空间四边形OABC 中，点D 是边BC 的中点，点G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG →和GH →.解 因为OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →)，又点D 为BC 的中点，所以OD →＝12(OB →＋OC →)，所以OG →＝OA →＋23(OD →－OA →)＝OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23OA →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13(a ＋b ＋c )． 而GH →＝OH →－OG →，又因为OH →＝23OD →＝23·12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )，所以GH →＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .所以OG →＝13(a ＋b ＋c )，GH →＝－13a .引申探究若将本例中的“G 是△ABC 的重心”改为“G 是AD 的中点”，其他条件不变，应如何表示OG →，GH →？解 OG →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12×12(OB →＋OC →) ＝12a ＋14b ＋14c . OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )． 所以GH →＝OH →－OG → ＝13(b ＋c )－⎝⎛⎭⎫12a ＋14b ＋14c ＝－12a ＋112b ＋112c .反思与感悟 用空间向量基本定理时，选择合适的基底是解题的关键．跟踪训练2 如图所示，在平行六面体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′—→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量．(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →. 解 连结AC ，AD ′.(1)AP →＝12(AC →＋AA ′—→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′—→)＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12(AC →＋AD ′—→)＝12(a ＋2b ＋c )＝12a ＋b ＋12c . (3)AN →＝12(AC ′—→＋AD ′—→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′—→)＋(AD →＋AA ′—→)]＝12a ＋b ＋c .(4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45CA ′—→＝AC →＋45(AA ′—→－AC →)＝15AC →＋45AA ′—→＝15(AB →＋AD →)＋45AA ′—→＝15a＋15b ＋45c . 类型二 空间向量的坐标表示例3 如图，在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F ，G 分别为棱DD ′，D ′C ′，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA ′—→}为基底，求下列向量的坐标．(1)AE →，AG →，AF →； (2)EF →，EG →，DG →.解 (1)AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12DD ′—→＝AD →＋12AA ′—→＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12AD →＝⎝⎛⎭⎫1，12，0， AF →＝AA ′—→＋A ′D ′—→＋D ′F —→＝12AB →＋AD →＋AA ′—→＝⎝⎛⎭⎫12，1，1. (2)EF →＝AF →－AE →＝⎝⎛⎭⎫AA ′—→＋AD →＋12AB →－⎝⎛⎭⎫AD →＋12AA ′—→ ＝12AB →＋12AA ′—→＝⎝⎛⎭⎫12，0，12， EG →＝AG →－AE →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →－⎝⎛⎭⎫AD →＋12AA ′—→ ＝AB →－12AD →－12AA ′—→＝⎝⎛⎭⎫1，－12，－12， DG →＝AG →－AD →＝AB →＋12AD →－AD →＝AB →－12AD →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0. 引申探究本例中，若以{DA →，DC →，DD ′—→}为基底，试写出AE →，AG →，EF →的坐标．解 AE →＝AD →＋DE →＝－DA →＋12DD ′—→＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12， AG →＝AB →＋BG →＝DC →－12DA →＝－12DA →＋DC →＝⎝⎛⎭⎫－12，1，0， EF →＝12DC →＋12DD ′—→＝⎝⎛⎭⎫0，12，12. 反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练3 如图所示，P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AB ＝1.求向量MN →的坐标．解 ∵P A ＝AB ＝AD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴AB →，AD →，AP →是两两垂直的单位向量．设AB →＝e 1，AD →＝e 2，AP →＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A －xyz . ∵MN →＝MA →＋AP →＋PN → ＝－12AB →＋AP →＋12PC →＝－12AB →＋AP →＋12(P A →＋AC →)＝－12AB →＋AP →＋12(P A →＋AB →＋AD →)＝12AP →＋12AD →＝12e 2＋12e 3，∴MN →＝⎝⎛⎭⎫0，12，12.类型三 空间向量的坐标运算及应用例4 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)． (1)求AB →＋AC →，AB →－AC →；(2)是否存在实数x ，y ，使得AC →＝xAB →＋yBC →成立，若存在，求x ，y 的值；若不存在，请说明理由．解 AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)． (1)AB →＋AC →＝(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(0,1,2)． AB →－AC →＝(1,1,0)－(－1,0,2)＝(2,1，－2)． (2)假设存在x ，y ∈R 满足条件，由已知可得 BC →＝(－2，－1,2)．由题意得 (－1,0,2)＝x (1,1,0)＋y (－2，－1,2)， 所以(－1,0,2)＝(x －2y ，x －y,2y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝x －2y ，0＝x －y ，2＝2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以存在实数x ＝1，y ＝1使得结论成立．反思与感悟 1.向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标．特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标． 2．进行空间向量的加减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算性质．跟踪训练4 已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1,2)，B (1,2，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．证明 ∵AB →＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD →＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，∴－24＝3－6＝－36， ∴AB →与CD →共线，即AB ∥CD ，又∵AD →＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)， BC →＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)， ∴0－2≠－4－1≠1－2，∴AD →与BC →不平行． ∴四边形ABCD 为梯形．1．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是________． 答案 (12,14,10)解析 设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i ＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)． 2．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝________. 答案 (2，－4,2)解析 依题意，得b ＝a －(－1,2，－1) ＝a ＋(1，－2,1)＝2(1，－2,1)＝(2，－4,2)．3．已知向量a ＝(3，－2,1)，b ＝(－2,4,0)，则4a ＋2b ＝________. 答案 (8,0,4)解析 4a ＋2b ＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0) ＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．4.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系．已知AB ＝AD ＝2，BB 1＝1，则AD 1—→的坐标为________，AC 1—→的坐标为________．答案 (0,2,1) (2,2,1)解析 根据已建立的空间直角坐标系知，A (0,0,0)，C 1(2，2,1)，D 1(0,2,1)，则AD 1—→的坐标为(0,2,1)，AC 1—→的坐标为(2,2,1)．5．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示) 答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14×(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .1．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示． 2．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．一、填空题1．有下列三个命题：①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面； ②不两两垂直的三个不共面的向量也可以作为空间向量的一组基底；③若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．其中为真命题的是________．(填序号)答案 ①②解析 ①正确．作为基底的向量必须不共面；②正确；③不正确．a ，b 不共线，当c ＝λa ＋μb 时，a ，b ，c 共面，故只有①②正确．2．若四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为____________． 答案 (5,13，－3)解析 由四边形ABCD 是平行四边形知AD →＝BC →，设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x －4，y －1，z －3)，BC →＝(1,12，－6)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝1，y －1＝12，z －3＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝13，z ＝－3，即D 点坐标为(5,13，－3)．3.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则AB →的坐标为________，DC 1—→的坐标为________，B 1D —→的坐标为________.答案 (1,0,0) (1,0,1) (－1,1，－1)解析 由题图可知，A (0,0,0)，B (1,0,0)，D (0,1,0)，C 1(1,1,1)，B 1(1,0,1)，所以AB →＝(1,0,0)，DC 1—→＝(1,0,1)，B 1D —→＝(－1,1，－1)．4．已知a ＝(3,5,7)，b ＝(6，x ，y )，若a ∥b ，则xy 的值为________． 答案 140解析 显然x ≠0，y ≠0. 因为a ∥b ，所以36＝5x ＝7y ，即x ＝10，y ＝14，所以xy ＝140.5．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α，β，γ的值分别为________． 答案 52，－1，－12解析 ∵d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3＝e 1＋2e 2＋3e 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，∴⎩⎨⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.6．若A (m ＋1，n －1,3)，B (2m ，n ，m －2n )，C (m ＋3，n －3,9)三点共线，则m ＋n ＝________. 答案 0解析 因为AB →＝(m －1,1，m －2n －3)，AC →＝(2，－2,6)， 由题意得AB →∥AC →，所以m －12＝1－2＝m －2n －36，所以m ＝0，n ＝0，所以m ＋n ＝0.7．已知A (2,3－μ，－1＋v )关于x 轴的对称点是A ′(λ，7，－6)，则λ，μ，v 的值分别为________． 答案 2,10,7解析 ∵A 与A ′关于x 轴对称， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，3－μ＝－7，－1＋v ＝6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝10，v ＝7.8．已知向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________. 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 16 －32解析 ∵a ＝(2x,1,3)与b ＝(1，－2y,9)共线， ∴2x 1＝1－2y ＝39(y ≠0)， ∴x ＝16，y ＝－32.9．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是________．考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 ⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85 解析 设点C 的坐标为(x ，y ，z )，则OC →＝(x ，y ，z )． 又AB →＝(－3，－2，－4)，OC →＝25AB →，∴x ＝－65，y ＝－45，z ＝－85.10.如图，点M 为OA 的中点，以{OA →，OC →，OD →}为基底，DM →＝xOA →＋yOC →＋zOD →，则实数组(x ，y ，z )＝________.答案 ⎝⎛⎭⎫12，0，－1 解析 因为DM →＝OM →－OD →＝12OA →＋0OC →－OD →，所以实数组(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫12，0，－1. 11.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则向量OD →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 12a －12b ＋c解析 ∵AB →＝－2CD →， ∴OB →－OA →＝－2(OD →－OC →)， ∴b －a ＝－2(OD →－c )， ∴OD →＝12a －12b ＋c .二、解答题12．已知向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标是(2,3，－1)，求p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标．解 由已知p ＝2a ＋3b －c ，设p ＝x a ＋y (a ＋b )＋z (a ＋b ＋c )＝(x ＋y ＋z )a ＋ (y ＋z )b ＋z c ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝2，y ＋z ＝3，z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，z ＝－1，故p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标为(－1,4，－1)．13．已知O ，A ，B ，C 四点的坐标分别是(0,0,0)，(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求分别满足下列条件的P 点坐标：(1)OP →＝12(AB →－AC →)；(2)AP →＝12(AB →－AC →)．解 AB →＝OB →－OA →＝(2,6，－3)， AC →＝OC →－OA →＝(－4,3,1)． (1)设P 点坐标为(x ，y ，z )，则OP →＝(x ，y ，z )，12(AB →－AC →)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2， 所以OP →＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2，即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫3，32，－2. (2)设P 点坐标为(x ，y ，z )，则AP →＝OP →－OA →＝(x －2，y ＋1，z －2)，由(1)知12(AB →－AC →)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y ＋1＝32，z －2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝12，z ＝0，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫5，12，0. 三、探究与拓展14．已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，下列向量中可以与p ＝2a －b ，q ＝a ＋b 构成空间的另一个基底的是________．(填序号) ①2a ；②－b ；③c ；④a ＋c . 答案 ③④解析 ∵p ＝2a －b ，q ＝a ＋b ， ∴p 与q 共面，a ，b 共面． 而c 与a ，b 不共面，∴c 与p ，q 可以构成另一个基底，同理a ＋c 与p ，q 也可构成一组基底．15．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出AA 1—→，AB 1—→，AC 1—→的坐标．解 分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D －xyz ，如图所示，则A ⎝⎛⎭⎫32，0，0，A 1⎝⎛⎭⎫32，0，2，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，2，C 1⎝⎛⎭⎫0，12，2，所以AA 1—→＝(0,0,2)，AB 1—→＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，2，AC 1—→＝⎝⎛⎭⎫－32，12，2.。

章末复习学习目标 1.梳理知识要点,构建知识网络.2.进一步理解空间向量的概念及运算.3.能熟练应用向量法解决立体几何问题．1．空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为μ,v,则2．用坐标法解决立体几何问题步骤如下：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；(3)进行相关坐标的运算；(4)写出几何意义下的结论．关键点如下：(1)选择恰当的坐标系．坐标系的选取很重要,恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单,简化运算过程．(2)点的坐标、向量的坐标的确定．将几何问题转化为向量的问题,必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量,这是最核心的问题．(3)几何问题与向量问题的转化．平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决,如何转化也是这类问题解决的关键．1．a ·b ＝a ·c (a ≠0)的本质是向量b ,c 在向量a 方向上的投影相等,b 与c 不一定相等．(√) 2．设直线l 与平面α相交,且l 的方向向量为a ,α的法向量为n ,若〈a ,n 〉＝2π3,则l 与α所成的角为π6.(√)3．两异面直线夹角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2,直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2,二面角的范围是[0,π]．(√)4．若空间向量a 平行于平面α,则a 所在直线与平面α平行．(×)类型一 空间向量及其运算例1 如图,在四棱锥S －ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的正方形,S 到A ,B ,C ,D 的距离都等于2.给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0.其中正确结论的序号是________． 答案 ③④解析 容易推出SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0,所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形,SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2,所以SA →·SB →＝2·2·cos ∠ASB ,SC →·SD →＝2·2·cos ∠CSD ,而∠ASB ＝∠CSD ,于是SA →·SB →＝SC →·SD →,因此④正确；其余三个都不正确,故正确结论的序号是③④. 反思与感悟 向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式,理解向量运算法则、运算律及其几何意义．跟踪训练1 如图,在平行六面体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中,M 分AC →成的比为12,N 分A 1D —→成的比为2,设AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1—→＝c ,试用a ,b ,c 表示MN →.解 连结AN , 则MN →＝MA →＋AN →,由已知ABCD 是平行四边形, 故AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b , 又M 分AC →成的比为12,故MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )．又N 分A 1D →成的比为2,故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D —→＝13(c ＋2b )．于是MN →＝MA →＋AN →＝－13(a ＋b )＋13(c ＋2b )＝13(－a ＋b ＋c )． 类型二 利用空间向量解决位置关系问题例2 在四棱锥P －ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,ABCD 是正方形,E 是P A 的中点,求证： (1)PC ∥平面EBD .(2)平面PBC ⊥平面PCD .证明 如图,以D 为坐标原点,分别以DC ,DA ,DP 所在的直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系．设DC ＝a ,PD ＝b ,则D (0,0,0),C (a ,0,0),B (a ,a,0),P (0,0,b ), A (0,a,0)E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，b 2. (1)DE →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，b 2,DB →＝(a ,a,0),PC →＝(a,0,－b )． 设平面EBD 的一个法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧ DE →·n ＝0，DB →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2y ＋b 2z ＝0，ax ＋ay ＝0.令x ＝1,得n ＝⎝⎛⎭⎫1，－1，ab , 因为PC →·n ＝(a,0,－b )·⎝⎛⎭⎫1，－1，a b ＝0, 所以PC →⊥n ,又PC ⊄平面EBD ,故PC ∥平面EBD . (2)由题意得平面PDC 的一个法向量为DA →＝(0,a,0), 又PB →＝(a ,a ,－b ),PC →＝(a,0,－b ),设平面PBC 的一个法向量为m ＝(x 1,y 1,z 1), 则⎩⎪⎨⎪⎧PB →·m ＝0，PC →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1－bz 1＝0，ax 1－bz 1＝0，得y 1＝0,令x 1＝1,则z 1＝ab ,所以m ＝⎝⎛⎭⎫1，0，a b , 因为DA →·m ＝(0,a,0)·⎝⎛⎭⎫1，0，a b ＝0, 所以DA →⊥m ,即平面PBC ⊥平面PCD .反思与感悟 1.证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．2．证明线面平行的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线．(3)利用共面向量定理,即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量． 3．证明面面平行的方法(1)转化为线线平行、线面平行处理． (2)证明这两个平面的法向量是共线向量．4．证明两条直线垂直,只需证明这两条直线的方向向量垂直． 5．证明线面垂直的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量．(2)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 6．证明面面垂直的方法 (1)转化为证明线面垂直．(2)证明两个平面的法向量互相垂直．跟踪训练2 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1,CD 的中点,求证：平面AED ⊥平面A 1FD 1.证明 如图,以点D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系D －xyz .设正方体棱长为1,则E ⎝⎛⎭⎫1，1，12,D 1(0,0,1), A (1,0,0),F ⎝⎛⎭⎫0，12，0.∴DA →＝(1,0,0)＝D 1A 1—→,DE →＝⎝⎛⎭⎫1，1，12,D 1F —→＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1.设m ＝(x 1,y 1,z 1),n ＝(x 2,y 2,z 2)分别是平面AED 和平面A 1FD 1的一个法向量, 由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·DA →＝0，m ·DE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 1＋y 1＋12z 1＝0. 令y 1＝1,得m ＝(0,1,－2)．又由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·D 1A 1—→＝0，n ·D 1F —→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，12y 2－z 2＝0.令z 2＝1,得n ＝(0,2,1)． ∵m ·n ＝(0,1,－2)·(0,2,1)＝0, ∴m ⊥n ,故平面AED ⊥平面A 1FD 1. 类型三 利用空间向量求角例3 已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是棱B 1C 1和C 1D 1的中点．试求： (1)AD 1与EF 所成角的大小； (2)AF 与平面BEB 1所成角的余弦值； (3)二面角C 1－DB －B 1的正切值．解 以点B 1为坐标原点,B 1A 1,B 1C 1,B 1B 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B 1(0,0,0),A (1,0,1),B (0,0,1),D 1(1,1,0),E ⎝⎛⎭⎫0，12，0,F ⎝⎛⎭⎫12，1，0, D (1,1,1)．(1)因为AD 1—→＝(0,1,－1), EF →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0,所以cos 〈AD 1—→,EF —→〉＝(0，1，－1)·⎝⎛⎭⎫12，12，02×22＝12,因为〈AD 1—→,EF →〉∈[0°,180°], 所以AD 1与EF 所成的角为60°.(2)由图可得BA →＝(1,0,0)为平面BEB 1的一个法向量,设AF 与平面BEB 1所成的角为θ,则sin θ＝||cos 〈BA →，F A →〉＝⎪⎪⎪⎪(1，0，0)·⎝⎛⎭⎫12，－1，11× ⎝⎛⎭⎫122＋(－1)2＋12＝13,所以cos θ＝223. (3)设平面D 1DBB 1的一个法向量n 1＝(x ,y ,z ), 因为DB →＝(－1,－1,0),B 1B —→＝(0,0,1), 由n 1⊥DB →,n 1⊥B 1B —→,得⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DB →＝－x －y ＝0，n 1·B 1B —→＝z ＝0，令y ＝1,则n 1＝(－1,1,0)．同理可得平面C 1DB 的一个法向量n 2＝(－1,1,1), 则cos 〈n 1,n 2〉＝(－1，1，0)·(－1，1，1)2×3＝63,tan 〈n 1,n 2〉＝22.即二面角C 1－DB －B 1的正切值为22. 反思与感悟 用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°,需找到两异面直线的方向向量,借助方向向量所成的角求解．(2)直线与平面所成的角：要求直线a 与平面α所成的角θ,先求这个平面α的法向量n 与直线a 的方向向量a 的夹角的余弦cos 〈n ,a 〉,再利用公式sin θ＝|cos 〈n ,a 〉|,求θ. (3)二面角：如图,有两个平面α与β,分别作这两个平面的法向量n 1与n 2,则平面α与β所成的角跟法向量n 1与n 2所成的角相等或互补,所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角．跟踪训练3 如图,在几何体ABCDE 中,四边形ABCD 是矩形,AB ⊥平面BEC ,BE ⊥EC ,AB ＝BE ＝EC ＝2,G ,F 分别是线段BE ,DC 的中点．(1)求证：GF ∥平面ADE ；(2)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值． (1)证明 如图,取AE 的中点H ,连结HG ,HD ,又G 是BE 的中点, 所以GH ∥AB ,且GH ＝12AB .又F 是CD 的中点, 所以DF ＝12CD .由四边形ABCD 是矩形, 得AB ∥CD ,AB ＝CD , 所以GH ∥DF ,且GH ＝DF ,从而四边形HGFD 是平行四边形,所以GF ∥DH . 又DH ⊂平面ADE ,GF ⊄平面ADE , 所以GF ∥平面ADE .(2)解 如图,在平面BEC 内,过B 点作BQ ∥EC .因为BE ⊥CE ,所以BQ ⊥BE .又因为AB ⊥平面BEC ,所以AB ⊥BE ,AB ⊥BQ .以B 为坐标原点,分别以BE →,BQ →,BA →的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 则A (0,0,2),B (0,0,0),E (2,0,0),F (2,2,1)．因为AB ⊥平面BEC ,所以BA →＝(0,0,2)为平面BEC 的法向量．设n ＝(x ,y ,z )为平面AEF 的法向量．又AE →＝(2,0,－2),AF →＝(2,2,－1), 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －2z ＝0，2x ＋2y －z ＝0.取z ＝2,得n ＝(2,－1,2)．从而|cos 〈n ,BA →〉|＝|n ·BA →||n ||BA →|＝42×3＝23,所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23.1．已知空间四边形ABCD ,G 是CD 的中点,则AB →＋12(BD →＋BC →)＝________.答案 AG →解析 在△BCD 中,因为点G 是CD 的中点, 所以BG →＝12(BD →＋BC →),从而AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →.2．若a ＝(0,1,－1),b ＝(1,1,0),且(a ＋λb )⊥a ,则实数λ的值是________．答案 －2解析 a ＋λb ＝(λ,1＋λ,－1)． 由(a ＋λb )⊥a ,知(a ＋λb )·a ＝0,∴λ×0＋(1＋λ)×1＋(－1)×(－1)＝0,解得λ＝－2.3．已知向量a ＝(4－2m ,m －1,m －1)与b ＝(4,2－2m ,2－2m )平行,则m ＝________. 答案 1或3解析 当2－2m ＝0,即m ＝1时, a ＝(2,0,0),b ＝(4,0,0),满足a ∥b ； 当2－2m ≠0,即m ≠1时,∵a ∥b ,∴4－2m 4＝m －12－2m ,解得m ＝3.综上可知,m ＝3或m ＝1.4．已知平面α经过点O (0,0,0),且e ＝(1,1,1)是α的一个法向量,M (x ,y ,z )是平面α内任意一点,则x ,y ,z 满足的关系式是________． 答案 x ＋y ＋z ＝0解析 OM →·e ＝(x ,y ,z )·(1,1,1)＝x ＋y ＋z ＝0.5．已知空间三点A (－2,0,2),B (－1,1,2),C (－3,0,4),设a ＝AB →,b ＝AC →. (1)若|c |＝3,且c ∥BC →,求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值． 解 (1)∵c ∥BC →,∴存在实数m ,使得c ＝mBC →＝m (－2,－1,2)＝(－2m ,－m,2m )． ∵|c |＝3,∴(－2m )2＋(－m )2＋(2m )2＝3|m |＝3, ∴m ＝±1,∴c ＝(－2,－1,2)或c ＝(2,1,－2)． (2)∵a ＝(1,1,0),b ＝(－1,0,2), ∴a ·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1. 又∵|a |＝12＋12＋02＝2, |b |＝(－1)2＋02＋22＝5, ∴cos 〈a ,b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010,即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.解决立体几何中的问题,可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法．几何法以逻辑推理作为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题．坐标方法经常与向量运算结合起来使用．一、填空题1．下列说法中不正确的是________．(填序号) ①若|a |＝|b |,则a ,b 的长度相同,方向相同或相反； ②若向量a 是向量b 的相反向量,则|a |＝|b |； ③空间向量的减法满足结合律；④在四边形ABCD 中,一定有AB →＋AD →＝AC →. 答案 ①③④解析 依据相反向量的定义知,只有②正确．2．已知O 是空间任意一点,A ,B ,C ,D 四点满足任三点均不共线,但四点共面,且OA →＝2x ·BO →＋3y ·CO →＋4z ·DO →,则2x ＋3y ＋4z ＝________. 答案 －1解析 由A ,B ,C ,D 四点共面知OA →＝－2x ·OB →＋(－3y )·OC →＋(－4z )·OD →,所以－2x －3y －4z ＝1,即2x ＋3y ＋4z ＝－1.3．空间中,若向量a ＝(5,9,m ),b ＝(1,－1,2),c ＝(2,5,1)共面,则m ＝________. 答案 4解析 ∵向量a ,b ,c 共面, ∴存在实数α,β,使得a ＝αb ＋βc , 即(5,9,m )＝(α,－α,2α)＋(2β,5β,β) ＝(α＋2β,5β－α,2α＋β)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ α＋2β＝5，5β－α＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝1，β＝2.∴m ＝2α＋β＝4. 4．已知不重合的平面α和平面β的法向量分别为m ＝(3,1,－5),n ＝(－6,－2,10),则平面α,β的位置关系为________．(填“平行”“垂直”) 答案 平行解析 ∵n ＝(－6,－2,10),m ＝(3,1,－5), ∴n ＝－2m .∴m ∥n .∴α与β平行．5．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,若AC 1—→＝aAB →＋2bAD →＋3c A 1A —→,则abc ＝________. 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 答案 －16解析 由平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1,得AC 1—→＝AB →＋AD →＋AA 1—→,又已知AC 1—→＝aAB →＋2bAD →＋3c A 1A —→,可得a ＝1,2b ＝1,3c ＝－1,解得a ＝1,b ＝12,c ＝－13,所以abc ＝－16.6．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,向量D 1A —→用D 1C —→,A 1C 1—→表示为________． 答案 D 1A —→＝D 1C —→－A 1C 1—→解析 因为D 1C —→－D 1A —→＝AC →,且AC →＝A 1C 1—→, 所以D 1C —→－D 1A —→＝A 1C 1—→, 即D 1A —→＝D 1C —→－A 1C 1—→.7．已知向量a ＝(1,2,3),b ＝(x ,x 2＋y －2,y ),并且a ,b 同向,则x ,y 的值分别为________． 答案 1,3解析 由题意知a ∥b ,所以x 1＝x 2＋y －22＝y3,即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ①x 2＋y －2＝2x ②把①代入②得x 2＋x －2＝0,(x ＋2)(x －1)＝0, 解得x ＝－2或x ＝1,当x ＝－2时,y ＝－6；当x ＝1时,y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－6时,b ＝(－2,－4,－6)＝－2a , 向量a ,b 反向,不符合题意,所以舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3时,b ＝(1,2,3)＝a ,a 与b 同向,所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. 8．已知空间四点A (0,3,5),B (2,3,1),C (4,1,5),D (x,5,9)共面,则x ＝________. 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共面向量定理及应用 答案 －6解析 ∵A (0,3,5),B (2,3,1),C (4,1,5),D (x,5,9), ∴AB →＝(2,0,－4),AC →＝(4,－2,0),AD →＝(x,2,4)． ∵四点A ,B ,C ,D 共面,∴存在实数λ,μ使得AD →＝λAB →＋μAC →, ∴(x,2,4)＝λ(2,0,－4)＋μ(4,－2,0), ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2λ＋4μ，2＝－2μ，4＝－4λ，解得x ＝－6.9．已知矩形ABCD 中,AB ＝1,BC ＝3,将矩形ABCD 沿对角线AC 折起,使平面ABC 与平面ACD 垂直,则B 与D 之间的距离为________． 考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 答案102解析 如图,过B ,D 分别向AC 作垂线,垂足分别为M ,N .可求得AM ＝12,BM ＝32,CN ＝12,DN ＝32,MN ＝1.∵BD →＝BM →＋MN →＋ND →,∴|BD →|2＝(BM →＋MN →＋ND →)2＝|BM →|2＋|MN →|2＋|ND →|2＋2(BM →·MN →＋MN →·ND →＋BM →·ND →)＝⎝⎛⎭⎫322＋12＋⎝⎛⎭⎫322＋0＝52,∴|BD →|＝102.10.如图所示,在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,点E 是棱CC 1的中点,则异面直线D 1E 与AC 所成角的余弦值是________．答案 105解析 如图,以点D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则A (4,0,0),C (0,4,0),D 1(0,0,4),E (0,4,2),AC →＝(－4,4,0),D 1E —→＝(0,4,－2), cos 〈AC →,D 1E —→〉＝1632×20＝105, 所以异面直线D 1E 与AC 所成角的余弦值为105. 二、解答题11.如图,在四棱锥P －ABCD 中,底面为直角梯形,AD ∥BC ,∠BAD ＝90°,P A ⊥底面ABCD ,且P A ＝AD ＝AB ＝2BC ,M ,N 分别为PC ,PB 的中点．求BD 与平面ADMN 所成的角θ.解 如图所示,以A 点为坐标原点,AB ,AD ,AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,设BC ＝1,则A (0,0,0),B (2,0,0),D (0,2,0),则N (1,0,1), 所以BD →＝(－2,2,0),AD →＝(0,2,0),AN →＝(1,0,1), 设平面ADMN 的法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AN →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋z ＝0，取x ＝1,则z ＝－1, 所以n ＝(1,0,－1)．因为cos 〈BD →,n 〉＝BD →·n |BD →||n |＝－28×2＝－12,所以sin θ＝|cos 〈BD →,n 〉|＝12.又0°≤θ≤90°,所以θ＝30°.12.如图,已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形,且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°,当CD CC 1的值等于多少时,能使A 1C ⊥平面C 1BD?解 不妨设CDCC 1＝x ,CC 1＝1,使A 1C ⊥平面C 1BD . 则A 1C ⊥C 1B ,A 1C ⊥C 1D ,而C 1D —→＝C 1C —→＋CD →,A 1C —→＝A 1D 1—→＋D 1C 1—→＋C 1C —→ ＝AD →＋DC →＋C 1C —→, 由A 1C —→·C 1D —→＝0,得(AD →＋DC →＋C 1C —→)·(C 1C —→＋CD →)＝C 1C —→2－CD →2＋ C 1C —→·AD →＋CD →·AD →＝0,注意到C 1C —→·AD →＋CD →·AD →＝x 2－x 22,可得方程1－x 2＋x －x 22＝0,解得x ＝1或x ＝－23(舍),所以当CDCC 1＝1时,能使A 1C ⊥平面C 1BD .13．在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,BC ＝2AD ＝2AB ＝22,∠ABC ＝90°,如图(1),把△ABD 沿BD 翻折,使得平面ABD ⊥平面BCD ,如图(2)．(1)求证：CD ⊥AB ；(2)求BC 与平面ACD 所成角的正弦值．(1)证明 由已知条件可得BD ＝2,CD ＝2,CD ⊥BD . ∵平面ABD ⊥平面BCD ,平面ABD ∩平面BCD ＝BD , ∴CD ⊥平面ABD .又∵AB ⊂平面ABD ,∴CD ⊥AB .(2)解 以D 为坐标原点,DB 所在的直线为x 轴,DC 所在的直线为y 轴,建立空间直角坐标系,如图．由已知条件可得D (0,0,0), A (1,0,1),B (2,0,0),C (0,2,0), CD →＝(0,－2,0),AD →＝(－1,0,－1)． 设平面ACD 的一个法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则CD →⊥n ,AD →⊥n ,∴⎩⎪⎨⎪⎧CD →·n ＝0，AD →·n ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋z ＝0.令x ＝1,得平面ACD 的一个法向量为n ＝(1,0,－1)． 设BC 与平面ACD 所成的角为θ, ∵BC →＝(－2,2,0), ∴sin θ＝|cos 〈BC →,n 〉|＝|－2|2×22＝12,∴BC 与平面ACD 所成角的正弦值为12.三、探究与拓展14．正三角形ABC 与正三角形BCD 所在的平面互相垂直,则直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为________．考点 向量法求解直线与平面所成的角 题点 向量法解决直线与平面所成的角 答案155解析 取BC 的中点O ,连结AO ,DO ,以点O 为坐标原点,OD ,OC ,OA 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设BC ＝1,则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32, B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0,C ⎝⎛⎭⎫0，12，0, D ⎝⎛⎭⎫32，0，0, 所以BA →＝⎝⎛⎭⎫0，12，32,BD →＝⎝⎛⎭⎫32，12，0,CD →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，0.设平面ABD 的法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0，n ·BD →＝0，所以⎩⎨⎧12y ＋32z ＝0，32x ＋12y ＝0，取x ＝1,则y ＝－3,z ＝1, 所以n ＝(1,－3,1),所以cos 〈n ,CD →〉＝32＋325×1＝155,又直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2, 因此直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为155. 15．如图,在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AA 1＝AB ＝AC ＝1,E ,F 分别是CC 1,BC 的中点,AE ⊥A 1B 1,D 为棱A 1B 1上的点． (1)证明：DF ⊥AE ；(2)是否存在一点D ,使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414？若存在,说明点D 的位置,若不存在,说明理由．考点 向量法求平面与平面所成的角 题点 向量法求平面与平面所成的角 (1)证明 ∵AE ⊥A 1B 1, A 1B 1∥AB ,∴AB ⊥AE , 又∵AB ⊥AA 1,AE ∩AA 1＝A , AE ,AA 1⊂平面A 1ACC 1, ∴AB ⊥平面A 1ACC 1, 又∵AC ⊂平面A 1ACC 1, ∴AB ⊥AC .以点A 为坐标原点,AB ,AC ,AA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ,则A (0,0,0),E ⎝⎛⎭⎫0，1，12,F ⎝⎛⎭⎫12，12，0, A 1(0,0,1),B 1(1,0,1)．设D (x 1,0,1),则A 1D —→＝λA 1B 1—→,且λ∈[0,1], 即(x 1,0,0)＝λ(1,0,0), ∴D (λ,0,1),∴DF →＝⎝⎛⎭⎫12－λ，12，－1, 又AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12, ∴DF →·AE →＝12－12＝0,∴DF ⊥AE .(2)解 存在一点D ,使得平面DEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为1414.理由如下：设平面DEF 的法向量为n ＝(x 2,y 2,z 2), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE →＝0，n ·DF →＝0，∵FE →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，12,DF →＝⎝⎛⎭⎫12－λ，12，－1, ∴⎩⎨⎧－12x 2＋12y 2＋12z 2＝0，⎝⎛⎭⎫12－λx 2＋12y 2－z 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝32(1－λ)z 2，y 2＝1＋2λ2(1－λ)z 2，令z 2＝2(1－λ),∴n ＝(3,1＋2λ,2(1－λ))．由题意可知平面ABC 的法向量m ＝(0,0,1)． ∵平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414, ∴|cos 〈m ,n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝1414, 即|2(1－λ)|9＋(1＋2λ)2＋4(1－λ)2＝1414,∴λ＝12或λ＝74.∵λ∈[0,1],∴λ＝74舍去．∴点D 为A 1B 1的中点．。

3.2.2 空间线面关系的判定(二)——垂直关系学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系．知识点一 向量法判断线线垂直设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 知识点二 向量法判断线面垂直思考 若直线l 的方向向量为μ1＝⎝⎛⎭⎫2，43，1，平面α的法向量为μ2＝⎝⎛⎭⎫3，2，32，则直线l 与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案 垂直，因为μ1＝23μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l 与平面α垂直．判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l 的方向向量与平面α的法向量共线⇒l ⊥α.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内． (3)直线l 的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直⇒l ⊥α.梳理 设直线l 的方向向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量μ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ(k ∈R )．知识点三 向量法判断面面垂直思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x 1，y 1，z 1)，μ2＝(x 2，y 2，z 2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？ 答案 x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.梳理 若平面α的法向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为ν＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)． 判断下面结论的对错： 1．AP ⊥AB ；(√) 2．AP ⊥AD .(√)3.AP →是平面ABCD 的法向量．(√) 4.AP →∥BD →.(×)类型一 证明线线垂直例1 如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .证明 设AB 的中点为O ，连结OC ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OO 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0，B ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，0， N ⎝⎛⎭⎫0，32，14，B 1⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∵M 为BC 的中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫14，34，0.∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，AB 1—→＝(1,0,1)，∴MN →·AB 1—→＝－14＋0＋14＝0.∴MN →⊥AB 1—→，∴AB 1⊥MN .反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.证明 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC ，AC ，BC ，C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)， ∴AC →＝(－3,0,0)，BC 1—→＝(0，－4,4)， ∴AC →·BC 1—→＝0，∴AC ⊥BC 1.类型二 证明线面垂直例2 如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明 方法一 设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)， E (2,2,1)，F (1,1,2)． ∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1，1)． AB 1—→＝(2,2,2)－(2,0,0) ＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)． 而EF →·AB 1—→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC .又AB 1∩AC ＝A ，AB 1⊂平面B 1AC ，AC ⊂平面B 1AC ， ∴EF ⊥平面B 1AC .方法二 设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1—→＝b ，则EF →＝EB 1—→＋B 1F —→＝12(BB 1—→＋B 1D 1—→)＝12(AA 1—→＋BD →)＝12(AA 1—→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵AB 1—→＝AB →＋AA 1—→＝a ＋b ， ∴EF →·AB 1—→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1—→，即EF ⊥AB 1， 同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1，AB 1⊂平面B 1AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ， ∴EF ⊥平面B 1AC .反思与感悟 用向量法证明线面垂直的方法及步骤 (1)基向量法：①设出基向量，然后表示直线的方向向量； ②找出平面内两条相交直线的向量并用基向量表示； ③利用数量积计算．(2)坐标法：①建立空间直角坐标系，将直线的方向向量用坐标表示； ②求平面内任意两条相交直线的方向向量或平面的法向量；③证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直或与平面的法向量平行． 跟踪训练2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点．求证：直线PB 1⊥平面P AC .证明 如图，以D 为坐标原点，DC →，DA →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (1,0,0)，A (0,1,0)，P (0,0,1)，B 1(1,1,2)，PC →＝(1,0，－1)，P A →＝(0,1，－1)，PB 1—→＝(1,1,1)， B 1C —→＝(0，－1，－2)， B 1A —→＝(－1,0，－2)．PB 1—→·PC →＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0， 所以PB 1—→⊥PC →，即PB 1⊥PC . 又PB 1—→·P A →＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0， 所以PB 1—→⊥P A →，即PB 1⊥P A .又P A ∩PC ＝P ，P A ，PC ⊂平面P AC ， 所以PB 1⊥平面P AC . 类型三 证明面面垂直例3 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明 由题意知直线AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以点B 为坐标原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)， E ⎝⎛⎭⎫0，0，12， 故AA 1—→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1—→＝(－2,2,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫－2，0，12. 设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AA 1—→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0.令x ＝1，得y ＝1，故n 1＝(1,1,0)． 设平面AEC 1的法向量为n 2＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AC 1—→＝0，n 2·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＋c ＝0，－2a ＋12c ＝0. 令c ＝4，得a ＝1，b ＝－1，故n 2＝(1，－1,4)． 因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n 1⊥n 2.所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C . 反思与感悟 证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．跟踪训练3 如图，底面ABCD 是正方形，AS ⊥平面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .证明 设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AS →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则B (1,0,0)，D (0,1,0)，A (0,0,0)，S (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，12，连结AC ，设AC 与BD 相交于点O ，连结OE ，则点O 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，0. 因为AS →＝(0,0,1)，OE →＝⎝⎛⎭⎫0，0，12， 所以OE →＝12AS →，所以OE →∥AS →.又因为AS ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD ， 又OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD .1．若直线l 1的方向向量为a ＝(2，－4,4)，l 2的方向向量为b ＝(4,6,4)，则l 1与l 2的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案 垂直解析 因为a ·b ＝2×4＋(－4)×6＋4×4＝0， 所以l 1⊥l 2.2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则l 与α的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案 垂直解析 ∵a ∥μ，∴l ⊥α.3．平面α的一个法向量为m ＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n ＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案 垂直解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0， ∴两法向量垂直，从而两平面垂直．4．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，ν＝(t,5,1)，则t 的值为________． 答案 5解析 ∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直， ∴μ·ν＝0，即(－1)×t ＋0×5＋5×1＝0，解得t ＝5.5．在菱形ABCD 中，若P A →是平面ABCD 的法向量，则下列等式中可能不成立的是________．(填序号)①P A →⊥AB →；②P A →⊥CD →；③PC →⊥BD →；④PC →⊥AB →. 答案 ④解析 由题意知P A ⊥平面ABCD ，所以P A与平面上的线AB，CD都垂直，①②正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面P AC，故PC⊥BD，③正确．证明垂直问题的方法：(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．一、填空题1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________. 答案10解析因为a⊥b，故a·b＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.2．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．答案－10解析因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.3．已知直线l 的方向向量为e ＝(－1,1,2)，平面α的法向量为n ＝⎝⎛⎭⎫12，λ，－1(λ∈R )．若l ⊥α，则实数λ的值为________． 答案 －12解析 ∵l ⊥α，∴e ∥n ，∴－112＝1λ＝2－1，∴λ＝－12.4．已知点A (0,1,0)，B (－1,0，－1)，C (2,1,1)，P (x,0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为________． 答案 (－1,0,2)解析 由题意知AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，AP →＝(x ，－1，z )，又P A ⊥平面ABC ，所以有AB →·AP →＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0，得－x ＋1－z ＝0，① AC →·AP →＝(2,0,1)·(x ，－1，z )＝0，得2x ＋z ＝0，② 联立①②得x ＝－1，z ＝2，故点P 的坐标为(－1,0,2)．5．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则下列结论成立的是________．(填序号)①CE ⊥BD ；②A 1C 1⊥BD ；③AD ⊥BC 1；④CD ⊥BE . 答案 ①②解析 以D 点为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0，1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0，1)，C 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，∴CE →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1，AC →＝(－1,1,0)， BD →＝(－1，－1,0)，A 1D —→＝(－1,0，－1)，A 1A —→＝(0,0，－1)，∵CE →·BD →＝(－1)×12＋(－1)×⎝⎛⎭⎫－12＋0×1＝0， ∴CE ⊥BD .显然A 1C 1⊥BD ，故只有①②正确．6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，若AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的一个法向量；④AP →∥BD →.其中正确的结论是________．(填序号) 答案 ①②③解析 因为AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0， 则AB →⊥AP →，即AP ⊥AB ； AP →·AD →＝(－1)×4＋2×2＋0＝0， 则AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，又AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ， 故AP →是平面ABCD 的一个法向量．BD →＝AD →－AB →＝(4,2,0)－(2，－1，－4)＝(2,3,4)， 所以AP →与BD →不平行．7.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 的位置关系为________．答案 垂直解析 以D 点为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，依题意可得D (0,0,0)，P (0,1，3)，C (0,2,0)，A (22，0,0)， M (2，2,0)．∴PM →＝(2，2,0)－(0,1，3)＝(2，1，－3)， AM →＝(2，2,0)－(22，0,0)＝(－2，2,0)， ∴PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2,0)＝0， 即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM .8．在空间直角坐标系O －xyz 中，已知点P (2cos x ＋1，2cos2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]．若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________． 答案 π2或π3解析 由题意得OP →⊥OQ →， ∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos2x ＋2)＝0. ∴2cos 2x －cos x ＝0， ∴cos x ＝0或cos x ＝12.又∵x ∈[0，π]， ∴x ＝π2或x ＝π3.9．在△ABC 中，A (1，－2，－1)，B (0，－3,1)，C (2，－2,1)．若向量n 与平面ABC 垂直，且|n |＝21，则n 的坐标为________________． 答案 (－2,4,1)或(2，－4，－1)解析 据题意，得AB →＝(－1，－1,2)，AC →＝(1,0,2)．设n ＝(x ，y ，z )， ∵n 与平面ABC 垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4z ，x ＝－2z .∵|n |＝21，∴x 2＋y 2＋z 2＝21，解得z ＝1或z ＝－1. 当z ＝1时，y ＝4，x ＝－2； 当z ＝－1时，y ＝－4，x ＝2， ∴n ＝(－2,4,1)或n ＝(2，－4，－1)．10．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则(x ，y ，z )＝________. 答案 ⎝⎛⎭⎫407，－157，4 解析 AB →·BC →＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4.BP →·AB →＝x －1＋5y ＋6＝0，且BP →·BC →＝3(x －1)＋y －12＝0，得x ＝407，y ＝－157.所以(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫407，－157，4. 二、解答题11.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是B 1B ，DC 的中点，求证：AE ⊥平面A 1D 1F .证明 设正方体的棱长为1，如图所示，以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，12， A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)， F ⎝⎛⎭⎫0，12，0. ∴AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，A 1D 1—→＝(－1,0,0)，D 1F —→＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1， ∴AE →·A 1D 1—→＝0×(－1)＋1×0＋12×0＝0，AE →·D 1F —→＝12－12＝0，∴AE →⊥A 1D 1—→，AE →⊥D 1F —→，即AE ⊥A 1D 1，AE ⊥D 1F ，又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， A 1D 1，D 1F ⊂平面A 1D 1F ， ∴AE ⊥平面A 1D 1F .12.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，用向量法证明：(1)平面A 1BD ∥平面CB 1D 1； (2)AC 1⊥平面A 1BD .证明 以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标，设正方体的棱长为1.则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，A (1,0,0)，C 1(0,1,1)． (1)∴A 1D —→＝(－1,0，－1)， A 1B —→＝(0,1，－1)， D 1B 1—→＝(1,1,0)， D 1C —→＝(0,1，－1)，设平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1D —→＝0，n 1·A 1B —→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－z 1＝0，y 1－z 1＝0.令z 1＝1，得x 1＝－1，y 1＝1.∴平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(－1,1,1)． 设平面CB 1D 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·D 1B 1—→＝0，n 2·D 1C →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，y 2－z 2＝0.令y 2＝1，得x 2＝－1，z 2＝1， ∴n 2＝(－1,1,1)， ∴n 1＝n 2，即n 1∥n 2. ∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1. (2)又AC 1—→＝(－1,1,1)，∴AC 1—→∥n 1. ∴AC 1—→是平面A 1BD 的法向量， ∴AC 1⊥平面A 1BD .13.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .证明 以A 为坐标原点，AD →，AB →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0,1)，B (0,1,0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D ()3，0，0，设BE ＝x (0≤x ≤3)， 则E (x,1,0)，PE →·AF →＝(x,1，－1)·⎝⎛⎭⎫0，12，12＝0，即PE →⊥AF →. 所以当x ∈[0， 3 ]时都有PE ⊥AF ，即无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF . 三、探究与拓展14．已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是______． 答案 －3或1 解析 ∵|a |＝22＋42＋x 2＝6，∴x ＝±4，又∵a ⊥b ，∴a·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0， ∴y ＝－1－12x ，∴当x ＝4时，y ＝－3，当x ＝－4时，y ＝1，∴x ＋y ＝1或－3.15．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点． (1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．(1)证明 以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )(0≤e ≤a )， A 1E —→＝(－a ，a ，e －a )， BD →＝(－a ，－a ，0)，A 1E —→·BD →＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0， ∴A 1E —→⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)解 设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． ∵DB →＝(a ，a,0)，DA 1—→＝(a,0，a )，DE →＝(0，a ，e )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0.取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝⎝⎛⎭⎫1，－1，ae ， 由平面A 1BD ⊥平面EBD ，得n 1⊥n 2， ∴2－a e ＝0，即e ＝a2.∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。

3.1.2　共面向量定理学习目标　1.了解共面向量等概念.2.理解空间向量共面的充要条件．知识点一　共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量．知识点二　共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在有序实数组(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b ，即向量p 可以由两个不共线的向量a ，b 线性表示．知识点三　空间四点共面的条件若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点O ，存在实数x ，y ，z 使得＝x ＋y OA → OB→ ＋z ，且x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，则A ，B ，C ，D 四点共面．OC → OD→1．实数与向量之间可进行加法、减法运算．(×)2．空间中任意三个向量一定是共面向量．(×)3．若P ，M ，A ，B 共面，则＝x ＋y .(×)MP → MA → MB→类型一　向量共面的判定例1　给出以下命题：①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面；②已知空间四边形ABCD ，则由四条线段AB ，BC ，CD ，DA 分别确定的四个向量之和为零向量；③若存在有序实数组(x ，y )使得＝x ＋y ，则O ，P ，A ，B 四点共面；OP → OA → OB→ ④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；⑤若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量共面．其中正确命题的序号是________．答案　③解析　①错，空间中任意两个向量都是共面的；②错，因为四条线段确定的向量没有强调方向；③正确，因为，，共面，OP→ OA → OB → ∴O ，P ，A ，B 四点共面；④错，没有强调零向量；⑤错，例如三棱柱的三条侧棱表示的向量．反思与感悟　共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．跟踪训练1　下列说法正确的是________．(填序号)①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；②设平行六面体的三条棱是，，，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是AB→ AA 1—→ AD → ＋＋；AB→ AA 1—→ AD → ③若＝(P ＋)成立，则P 点一定是线段AB 的中点；OP → 12A → PB→ ④在空间中，若向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共面；AB→ CD → ⑤若a ，b ，c 三向量共面，则由a ，b 所在直线所确定的平面与由b ，c 所在直线确定的平面是同一个平面．答案　④类型二　向量共面的证明例2　如图所示，若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，点H 为PC 上的点，且＝PHHC ，点G 在AH 上，且＝m ，若G ，B ，P ，D 四点共面，求m 的值．12AGAH考点　空间向量的数乘运算题点　空间共面向量定理及应用解　连结BG .因为＝－，＝，AB → PB → PA → AB → DC → 所以＝－，DC → PB → PA → 因为＝＋，PC → PD → DC → 所以＝＋－＝－＋＋.PC → PD → PB → PA → PA → PB → PD → 因为＝，所以＝，PHHC 12PH → 13PC→ 所以＝(－＋＋)PH → 13PA → PB → PD → ＝－＋＋.13PA → 13PB → 13PD → 又因为＝－，AH → PH → PA → 所以＝－＋＋，AH →43PA → 13PB → 13PD → 因为＝m ，AG AH 所以＝m ＝－＋＋，AG → AH →4m 3PA → m 3PB → m 3PD → 因为＝－＋＝－＋，BG → AB → AG → PA → PB → AG → 所以＝＋＋.BG → (1－4m 3)PA → (m 3－1)PB → m 3PD→ 又因为G ，B ，P ，D 四点共面，所以1－＝0，m ＝.4m334即m 的值是.34反思与感悟　利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系．跟踪训练2　如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量，，是共面向量．A 1B —→ B 1C —→ EF→证明　＝＋＋EF→ EB → BA 1—→ A 1F —→ ＝－＋12B 1B —→ A 1B —→ 12A 1D 1—→ ＝(＋)－12B 1B —→ BC → A 1B —→ ＝－.12B 1C —→ A 1B —→ 又，不共线，B 1C —→ A 1B—→ 由向量共面的充要条件知，，，是共面向量．A 1B —→ B 1C —→ EF→ 类型三　共面向量定理的应用例3　如图，在底面为正三角形的斜棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD .证明　记＝a ，＝b ，＝c ，则＝a ＋c ，AB → AC → AA 1—→ AB 1—→ DB→ ＝－＝a －b ，AB → AD→ 12＝＋＝b ＋c ，DC 1—→ DC → CC 1—→ 12所以＋＝a ＋c ＝，又与不共线，DB → DC 1—→ AB 1—→ DB → DC 1—→所以，，共面．AB 1—→ DB → DC 1—→ 又由于AB 1⊄平面C 1BD ，所以AB 1∥平面C 1BD .反思与感悟　在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化．要熟悉其证明过程和证明步骤．跟踪训练3　如图所示，已知斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1，设＝a ，＝b ，＝c ，在面对AB → AC → AA 1—→ 角线AC 1上和棱BC 上分别取点M ，N ，使＝k ，＝k (0≤k ≤1)．AM → AC 1—→ BN → BC→求证：MN ∥平面ABB 1A 1.证明　＝k ·＝k (＋)＝k b ＋k c ，AM → AC 1—→ AA 1—→ AC→ 又∵＝＋＝a ＋k ＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋k b ，AN → AB → BN → BC→ ∴＝－＝(1－k )a ＋k b －k b －k c MN→ AN → AM → ＝(1－k )a －k c .又a 与c 不共线．∴与向量a ，c 是共面向量．MN→ 又MN ⊄平面ABB 1A 1，∴MN ∥平面ABB 1A 1.1．给出下列几个命题：①向量a ，b ，c 共面，则它们所在的直线共面；②零向量的方向是任意的；③若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb .其中真命题的个数为________．答案　1解析　①假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；②真命题．这是关于零向量的方向的规定；③假命题．当b ＝0时，则有无数多个λ使之成立．2．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，＝x ＋＋，则x 的值为OM → OA → 13OB → 13OC→ ________．答案　13解析　由题意知，x ＋＋＝1，1313所以x ＝.133．下列命题中，正确命题的个数为________．①若a ∥b ，则a 与b 方向相同或相反；②若＝，则A ，B ，C ，D 四点共线；AB→ CD → ③若a ，b 不共线，则空间任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )．答案　0解析　当a ，b 中有零向量时，①不正确；＝时，A ，B ，C ，D 四点共面不一定共线，AB→ CD → 故②不正确；由p ，a ，b 共面的充要条件知，当p ，a ，b 共面时才满足p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，故③不正确．4．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量＝＋＋λ确OP → 15OA → 23OB → OC→ 定的点P 与A ，B ，C 共面，那么λ＝________.答案　215解析　∵P 与A ，B ，C 共面．∴＝α＋β，∴＝α(－)＋β(－)，即＝AP → AB → AC → AP → OB → OA → OC → OA → OP→ ＋α－α＋β－β＝(1－α－β)＋α＋β，OA → OB → OA → OC → OA → OA → OB → OC → ∴1－α－β＋α＋β＝1.因此＋＋λ＝1，解得λ＝.1523215共面向量定理的应用：(1)空间中任意两个向量a ，b 总是共面向量，空间中三个向量a ，b ，c 则不一定共面．(2)空间中四点共面的条件空间点P 位于平面MAB 内，则存在有序实数对x ，y 使得＝x ＋y ，①MP → MA → MB→ 此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理，，实质就是平面MAB 内平MA→ MB → 面向量的一组基底．另外有＝＋x ＋y ，②OP → OM → MA → MB→ 或＝x ＋y ＋z (x ＋y ＋z ＝1)，③OP → OM → OA → OB→ ①②③均可作为证明四点共面的条件，但是①更为常用．一、填空题1．设a ，b 是两个不共线的向量，λ，μ∈R ，若λa ＋μb ＝0，则λ＝________，μ＝________.答案　0　0解析　∵a ，b 是两个不共线的向量，∴a ≠0，b ≠0，∴λ＝μ＝0.2．下列结论中，正确的是________．(填序号)①若a ，b ，c 共面，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ；②若a ，b ，c 不共面，则不存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ；③若a ，b ，c 共面，b ，c 不共线，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c .答案　②③解析　要注意共面向量定理给出的是一个充要条件，所以第②个命题正确；但定理的应用又有一个前提：b ，c 是不共线向量，否则即使三个向量a ，b ，c 共面，也不一定具有线性关系，故①不正确；③正确．3．空间的任意三个向量a ，b,3a －2b ，它们一定是________．答案　共面向量解析　如果a ，b 是不共线的两个向量，由共面向量定理知，a ，b,3a －2b 共面；若a ，b 共线，则a ，b,3a －2b 共线，当然也共面．4.如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝BB 1，DF ＝DD 1，若＝x ＋y ＋z ，则x ＋y ＋z ＝________.1323EF → AB → AD → AA1→答案　13解析　＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋.EF → AF → AE → AD → DF → AB → BE → AD → 23DD 1—→ AB → 13BB 1—→ AD → AB → 13AA 1—→ ∴x ＝－1，y ＝1，z ＝.∴x ＋y ＋z ＝.13135．i ，j ，k 是三个不共面的向量，＝i －2j ＋2k ，＝2i ＋j －3k ，＝λi ＋3j －5k ，且AB → BC → CD→ A ，B ，C ，D 四点共面，则λ的值为________．答案　1解析　若A ，B ，C ，D 四点共面，则向量，，共面，故存在不全为零的实数AB→ BC → CD → a ，b ，c ，使得a ＋b ＋c ＝0.AB → BC → CD → 即a (i －2j ＋2k )＋b (2i ＋j －3k )＋c (λi ＋3j －5k )＝0，∴(a ＋2b ＋λc )i ＋(－2a ＋b ＋3c )j ＋(2a －3b －5c )k ＝0.∵i ，j ，k 不共面，∴Error!∴Error!6.如图，在空间四边形OABC 中，＝a ，＝b ，＝c ，点M 在OA 上，且OA → OB → OC→ OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则＝________.(用a ，b ，c 表示)MN→答案　－a ＋b ＋c231212解析　＝＋＋＝＋(－)＋＝a ＋(b －a )＋(－)MN → MA → AB → BN → 13OA → OB → OA → 12BC → 1312OC→ OB → ＝a ＋(b －a )＋(c －b )1312＝－a ＋b ＋c .2312127．平面α内有五点A ，B ，C ，D ，E ，其中无三点共线，O 为空间一点，满足＝＋x ＋y ，＝2x ＋＋y ，则x ＋3y ＝________.OA → 12OB → OC → OD → OB → OC → 13OD → OE→ 答案　76解析　由点A ，B ，C ，D 共面得x ＋y ＝，又由点B ，C ，D ，E 共面得2x ＋y ＝，联立方1223程组解得x ＝，y ＝，所以x ＋3y ＝.1613768．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(3，－4,2)，c ＝(7，λ，5)，若a ，b ，c 共面，则实数λ的值为________．答案　－12313解析　易得c ＝t a ＋μb ＝(－2t ＋3μ，t －4μ，3t ＋2μ)，所以Error!解得Error!故λ的值为－.123139．已知P ，A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O 都有＝2＋＋λ，则OP → OA → 43OB → OC→ λ＝________.答案　－73解析　因为P ，A ，B ，C 四点共面，所以＝x ＋y ＋z ，且x ＋y ＋z ＝1，所以2＋OP → OA → OB → OC→ ＋λ＝1，得λ＝－.437310．已知i ，j ，k 是不共面向量，a ＝2i －j ＋3k ，b ＝－i ＋4j －2k ，c ＝7i ＋5j ＋λk ，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ＝________.答案　657解析　∵a ，b ，c 三向量共面，∴存在实数m ，n ，使得c ＝m a ＋n b ，即7i ＋5j ＋λk ＝m (2i －j ＋3k )＋n (－i ＋4j －2k )．∴Error!∴λ＝.65711．在以下命题中，不正确的命题的个数为________．①已知A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则＋＋＋＝0；AB→ BC → CD → DA → ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；③若a 与b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若＝x ＋y ＋z (其中OP → OA → OB → OC→ x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面．答案　3解析　＋＋＋＝＋＋＝＋＝0，①正确；AB→ BC → CD → DA → AC → CD → DA → AD → DA → 若a ，b 同向共线，则|a |－|b |<|a ＋b |，故②不正确；由向量平行知③不正确；由空间向量共面知④不正确．故共有3个命题不正确．二、解答题12.如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝BD ，AN ＝AE .1313求证：向量，，共面．MN→ CD → DE →证明　因为M 在BD 上，且BM ＝BD ，13所以＝＝＋.MB → 13DB → 13DA → 13AB → 同理＝＋.AN → 13AD → 13DE → 所以＝＋＋MN → MB → BA → AN →＝＋＋(13DA → ＋13AB → )BA → (13AD → ＋13DE → )＝＋＝＋.23BA → 13DE → 23CD → 13DE → 又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．CD → DE → MN → CD → DE → 13．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果＝e 1＋e 2，＝2e 1＋8e 2，＝3e 1－3e 2，求证：AB → AC → AD → A ，B ，C ，D 共面．证明　方法一　令λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1＋8e 2)＋v (3e 1－3e 2)＝0，则(λ＋2μ＋3v )e 1＋(λ＋8μ－3v )e 2＝0.因为e 1，e 2不共线，所以Error!则Error!是其中一组解，则－5＋＋＝0，AB → AC → AD → 所以A ，B ，C ，D 共面．方法二　观察可得＋＝(2e 1＋8e 2)＋(3e 1－3e 2)＝5e 1＋5e 2＝5(e 1＋e 2)＝5，所以＝AC → AD → AB → AB → ＋.15AC → 15AD → 由共面向量知，，，共面．AB → AC → AD → 又它们有公共点A ，所以A ，B ，C ，D 四点共面．三、探究与拓展14．如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AE ＝3EA 1，AF ＝FD ，AG ＝GB ，过12E ，F ，G 三点的平面与对角线AC 1交于点P ，则AP ∶PC 1＝________.答案　316解析　设＝m ，AP → AC 1—→ 因为＝＋＋AC 1—→ AB → BB 1—→ B 1C 1—→＝＋＋AB → AA 1—→ AD →＝3＋＋2，AG → 43AE → AF → 所以＝3m ＋m ＋2m ，AP → AG → 43AE → AF → 又因为E 、F 、G 、P 四点共面，所以3m ＋m ＋2m ＝1，43所以m ＝，所以AP ∶PC 1＝3∶16.31915.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，求证：，，B 1C —→ OD → 是共面向量．OC 1—→证明　设＝a ，C 1B 1—→ ＝b ，＝c ，C 1D 1—→ C 1C —→ ∵四边形B 1BCC 1为平行四边形，∴＝c －a ，B 1C —→又O 是B 1D 1的中点，∴＝(a ＋b )，C 1O —→ 12∴＝－(a ＋b )，OC 1—→ 12＝－＝b －(a ＋b )＝(b －a )．OD 1—→ C 1D 1—→ C 1O —→ 1212∵D 1D 綊C 1C ，∴＝c ，D 1D —→ ∴＝＋＝(b －a )＋c .OD → OD 1—→ D 1D —→ 12若存在实数x ，y ，使＝x ＋y (x ，y ∈R )成立，则B 1C —→ OD → OC 1—→ c －a ＝x ＋y [12(b －a )＋c ][－12(a ＋b )]＝－(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋x c .1212∵a ，b ，c 不共线，∴Error!得Error!∴＝＋，又与不共线，B 1C → OD → OC 1—→ OD → OC 1—→ ∴，，是共面向量．B 1C → OD → OC 1—→。