函数的定义域与值域 知识点与题型归纳

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●高考明方向

了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.

★备考知考情

定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，三种题型都有，难度中等.

一、知识梳理《名师一号》P13

知识点一 常见基本初等函数的定义域

注意：

1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则！！！

2、定义域必须写成集合或区间的形式！！！

(1)分式函数中分母不等于零

(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R

(4)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R

(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)

(6)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0} .

部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ (7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意

义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约.

（补充）

三角函数中的正切函数y＝tanx定义域为

{|,,}2xxRxkkZ

如果函数是由几个部分的数学式子构成的，

那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．

知识点二 基本初等函数的值域

注意：

值域必须写成集合或区间的形式！！！

(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.

(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：

当a＞0时，值域为{y|y≥4ac－b24a}；

当a＜0时，值域为{y|y≤4ac－b24a}

(3)y＝kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}

(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是{y|y＞0}

(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R.

（补充）三角函数中

正弦函数y＝sinx，余弦函数y＝cosx的值域均为1,1

正切函数y＝tanx值域为R .

部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ 《名师一号》P15

知识点二 函数的最值

注意：《名师一号》P16 问题探究 问题3

函数最值与函数值域有何关系？

函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在．

1、温故知新P11 知识辨析1（2）

函数21xyx的值域为11,,22（ ）

答案：正确

2、温故知新P11 第4题 .

部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ 函数1122,,222,,2xxxyx的值域为（ ）

3.,2A .,0B 3.,2C .2,0D

答案：D

注意：牢记基本函数的值域

3、温故知新P11 第6题

函数yfx的值域是1,3，则函数123Fxfx的值域是（ ）

.5,1A .2,0B .6,2C .1,3D

答案：A

注意：图像左右平移没有改变函数的值域

二、例题分析：

（一)函数的定义域

1．据解析式求定义域

例1. （1）《名师一号》P13 对点自测1 .

部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ (2014·山东) 函数221log1fxx的定义域

为( )

A.0，12 B．(2，＋∞)

C.0，12∪(2，＋∞) D.0，12∪[2，＋∞)

解析 要使函数有意义，应有(log2x)2>1，且x>0，

即log2x>1或log2x<－1，

解得x>2或0

所以函数f(x)的定义域为0，12∪(2，＋∞)．

例1. （2）《名师一号》P14 高频考点 例1（1）

函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为( )

A．(－3,0] B．(－3,1]

C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]

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部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ 解析：由题意得 1－2x≥0，x＋3>0，解得－3

注意：

《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（1）

求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．

函数的定义域一定要用集合或区间表示

例2. (补充)

若函数2()lg(21)fxaxx的定义域为R

则实数a的取值范围是 ；

答案：1,

变式：2()lg(21)fxaxax?

练习：(补充)

若函数27()43kxfxkxkx的定义域为R .

部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ 则实数k的取值范围是 ；

答案：30,4

2．求复合函数的定义域

例3.（1）《名师一号》P14 高频考点 例1（2）

(2015·北京模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为[0,4]，则函数y＝f(2x)－ln(x－1)的定义域为( )

A．[1,2] B．(1,2] C．[1,8] D．(1,8]

解析：由已知函数y＝f(x)的定义域为[0,4]．

则使函数y＝f(2x)－ln(x－1)有意义，需

 0≤2x≤4，x－1>0，解得1

例3. （2）《名师一号》P13 对点自测2

已知函数f(x)＝1x＋1，则函数f(f(x))的定义域是( )

A．{x|x≠－1} B．{x|x≠－2}

C．{x|x≠－1且x≠－2} D．{x|x≠－1或x≠－2} .

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解析

 x≠－1，1x＋1＋1≠0，解得x≠－1且x≠－2.

注意：

《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（2）

（P13 问题探究 问题1 类型二）

已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，

是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，

而已知f[g(x)]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]．

例4．(补充)已知2(1)fx的定义域是0,1，求()fx

的定义域。

答案：1,2

注意： 《名师一号》P13 问题探究 问题1 类型三

若已知fgx的定义域为,ab，求()fx的 .

部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ 定义域相当于当,xab时，求gx的值域

（即()fx的定义域）

练习：(补充)

已知()fx的定义域是0,1，求函数2()()gxfx的定义域。

已知2()()gxfx的定义域是1,1，求函数()fx的定义域。

如: ()1fxxx的定义域是0,1,

222()()1gxfxxx的定义域1,1

练习：(补充)

1、设函数1()ln1xfxx，

求函数1()2xgxffx的定义域。

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部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ 答案：112111xx得2,11,2

2、设函数2(23)fxx的定义域为0,3，求函数

fx的定义域。

答案：0,3x得2234,0xx

3．实际问题中函数定义域的确定

注意：

实际问题中函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义

（二）求函数值域

注意：求函数的值域先求定义域！

(1)确定函数值域的原则

①当函数y＝f(x)用表格给出时，

函数的值域是指表格中y的值的集合．

②当函数y＝f(x)的图象给出时，

函数的值域是指图象在y轴上的投影对应的y的

值的集合． .

部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ ③当函数y＝f(x)用解析式给出时，

函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定．

④当函数由实际问题给出时，

函数的值域应结合问题的实际意义确定．

(2)基本初等函数的值域

(3)求函数值域的方法

求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式．常用的方法有：

《名师一号》P14 问题探究 问题2

怎样求解函数的值域？

求函数值域的基本方法

(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．

(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．

(3)换元法：形如y＝ax＋b±cx＋d(a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋a－bx2的函数用三角函数代换求值域．

(4)分离常数法：形如y＝cx＋dax＋b(a≠0)的函数可用此法求值域．

(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．

(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围．

《名师一号》P17 高频考点 例3 规律方法 (3)、（4）

基本不等式、导数法