- 1 - 等腰三角形性质
【基础知识精讲】
等腰三角形是一种特殊的三角形,是我们重点研究的几种三角形之一.它具有一些特殊
性质:
1.两个底角相等(简写为“等边对等角”)
2.底边的中线、高及顶角平分线三线合一.
3.等边三角形各内角都等于60°.
利用这些性质，可以解决有关三角形的边、角的证明及计算问题，也可以利用性质来进
行有关线段、角的证明及计算问题.
【重难点解析】
本节重难点均在对等腰三角形性质的掌握与灵活应用上，利用性质，结合三角形有关知
识及全等三角形判定及性质解决相关问题是本节研究的重点.
例1 求证：等腰三角形两腰的中线相等.
已知△ABC中AB=AC，BD、CE为中线，求证BD=CE.
分析 要证BD=CE，可考虑证△ABD≌△ACE，而∠A为公共角，
AB=AC，所以只需证明AD=AE即能达到证明目的.
证 ∵AB=AC, AE=EB, AD=DC
∴AE=AD.在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠A=∠A AD=AE
∴△ABD≌△ACE ∴BD=CE.
例2 等腰三角形一个外角为100°,求三内角度数.
分析 本题利用三角形内角和及等腰三角形性质等边对等角，但要注意本题中外角是顶
角的外角，还是底角的外角，在两种不同位置时，求得的结果不一样，本题有两解.
解 ∵等腰三角形
∴两底角相等，设顶角为x，底角为y，则x+2y=180°
(1)当顶角的外角为100°时，顶角的外角等于两底角之和
∴2y=100°求得
5080
yx
(2)当底角的外角为100°时，底角y=180°-100°=80°求得
8020
yx
- 2 - ∴三内角为80°,50°,50°或20°，80°，80°
* 例3 △ABC中，AC＞AB.求证：∠B＞∠C.
证 ∵AC＞AB ∴在AC上取AD=AB，连BD，
∵∠ADB＞∠C.
且∠ABD=∠ADB
又∵∠ABC＞∠ABD
∴∠ABC＞∠C.
性质
1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7.一般的等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。但等边三角形（特殊的等腰三角形）有三条对称轴。每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。
8.等腰三角形中腰长的平方等于底边上高的平方加底的一半的平方（勾股定理）。
9.等腰三角形的腰与它的高的关系：腰大于高；腰的平方等于高的平方加底的一半的平方 。
判定的方式
定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理：在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
除了以上两种基本方法以外，还有如下判定的方式：
在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。
显然，以上三条定理是“三线合一”的逆定理。
有两条角平分线（或中线，或高）相等的三角形是等腰三角形。
等腰三角形的性质
——霍州市白龙镇中成文平
教学目标:
知识与能力
1.了解等腰三角形的有关概念。
2.探索并证明等腰三角形的两个性质。
3.运用等腰三角形的性质进行计算和证明。
过程与方法
让学生经历折叠，观察发现证明等过程得出等腰三角形的性质，发展归纳推理和演绎推理的能力。
情感态度与价值观
通过本节课的学习使同学们在活动中体会成功的快乐，培养学生合作交流的意识和大胆猜想，乐于探究的思维习惯。
教学重点
证明等腰三角形的性质
教学难点
证明等腰三角形的性质时作辅助线
教学过程
活动一:
1、阅读教材第78-79页的内容填空
两边_______的三角形是等腰三角形,在等腰三角形中,相等的两边叫做_____,另一边叫作_______，两腰的夹角叫做_______，腰和底边的夹角叫做__________。
2、请完成教材78页云图的问题.
阅读教材78页"做一做"和79页的例1部分。
请按教材78页中的"做一做"的要求进行操作。
等腰三角形的两个________相等。
教材79页中的“例1”用到了三角形有关的两个性质
1、____________________________
2、____________________________
活动二：
教师点拨：
1，引导学生分清“等腰三角形两底角相等”这个命题的条件和结论，并写成已知，求证的形式。
2，引导学生做出辅助线并进行证明。
3，得出等腰三角形的性质是：已知等腰三角形时就要想到两底角相等。用几何语言表示：
在ΔABC中如果AB=AC，那么∠B=∠C。
A
活动三：
自主测评
1.在△DEF中，如果DE=DF，那么这个三角形中，腰是_________，底边是_______，顶角是___________，底角是_________。
2.已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（ ）.
等腰三角形的性质 第 1 页 共 7 页 等腰三角形的性质
1、在△ABC中，AB=AC。
(1)若∠A=50°，则∠B= °，∠C=
°；
(2)若∠B=45°，则∠A= °，∠C= °；
(3)若∠C=60°，则∠A= °，∠B= °；
(4)若∠A=B，则∠A= °，∠C= °。
2、等腰三角形的一个角是30°，则它的底角是 。
3、等腰三角形的周长是24cm，一边长是6cm，则其他两边的长分别是 。
4、等腰三角形中的一个角等于100°，则另两个角的度数分别为 ( )
A.40°、40° B.100°、20° C.50°、50° D.40°、40°或20°、100°
5、等腰三角形中的一个角是50°，则另两个角的度数分别是 ( )
A.65°、65° B.50°、80° C.65°、65°或50°、80° D.50°、50°
6、等腰三角形的一边长是10cm，另一边长是6cm，则它的周长是 ( )
A.26cm B.22cm C.16cm D.22cm或26cm
7、已知：如图，AD∥BC，点E在AB的延长线上，且CE=CB。
求证：∠A=∠E。
8、已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是外角∠CAE的平分线。
求证：AD∥BC。
9、已知：如图，AB=AC，DB=DC，AD交BC于O。
求证：AD⊥BC，OB=OC。
等腰三角形的性质 第 2 页 共 7 页 10、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的高，AE分别交CB、CD于E、F，且CE=CF。
求证：AE平分∠BAC。
11、如图，D、E在BC上，AD=BD，AE=CE，∠ADE=45°，∠AED=110°，则∠B=
°，∠C= °。
