2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题57 二项式定理(解析版)

考点57 二项式定理

1．(2-x)(1+2x)5展开式中,含x2项的系数为( )

A.30 B.70

C.90 D.-150

【答案】B

【解析】∵展开式的通项公式为Tr+1=·,∴展开式中,含x2项的系数为2××22-×2=70,故选B.

2．(1－3x)7的展开式的第4项的系数为( )

A．－27C37 B．－81C47

C．27C37 D．81C47

【答案】A

【解析】(1－3x)7的展开式的第4项为T3＋1＝C37×17－3×(－3x)3＝－27C37x3，其系数为－27C37，选A.

3．设n为正整数,展开式中存在常数项,则n的一个可能取值为( )

A.16 B.10 C.4 D.2

【答案】B

【解析】∵展开式的通项公式为=·=(-1)k,令=0,得k=,∴n可取10.

4．(x－y)(x＋2y＋z)6的展开式中，x2y3z2的系数为( )

A．－30 B．120

C．240 D．420

【答案】B

【解析】 [(x＋2y)＋z]6的展开式中含z2的项为C26(x＋2y)4z2，(x＋2y)4的展开式中xy3项的系数为C34×23，x2y2项的系数为C24×22，∴(x－y)(x＋2y＋z)6的展开式中x2y3z2的系数为C26C34×23－C26C24×22＝480－360＝120，故选B.

5．设a=sin xdx,则的展开式中常数项是( )

A.160 B.-160

C.-20 D.20

【答案】B

【解析】由题意得a=sin xdx=(-cos x)=2.∴二项式为,

其展开式的通项为Tr+1=·=(-1)r·26-r·x3-r,

令r=3,则得常数项为T4=-23·=-160.故选B.

6．(x＋y＋z)4的展开式的项数为( )

A．10 B．15

C．20 D．21

【答案】B

【解析】(x＋y＋z)4＝[(x＋y)＋z]4＝C04(x＋y)4＋C14(x＋y)3z＋C24(x＋y)2z2＋C34(x＋y)z3＋C44z4，运用二项式定理展开共有5＋4＋3＋2＋1＝15项，选B.

7．(x2+3y-y2)7展开式中x12y2的系数为( )

A.7 B.-7 C.42 D.-42

【答案】B

【解析】将(x2+3y-y2)7看作7个因式相乘,要得到x12y2项,需要7个因式中有6个因式取x2,1个因式取-y2,故x12y2的系数为×(-1)=-7.

8．1-90+902-903+…+(-1)k90k+…+9010除以88的余数是( )

A.-1 B.1

C.-87 D.87

【答案】B

【解析】1-90+902-903+…+(-1)k90k+…+9010=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+889+…+88+1.∵前10项均能被88整除,

∴余数是1.

9．x2－3x＋4x1－1x5的展开式中常数项为( )

A．－30 B．30

C．－25 D．25

【答案】C

【解析】x2－3x＋4x1－1x5＝x21－1x5－3x1－1x5＋4x1－1x5，1－1x5的展开式的通项Tr＋1＝Cr5(－1)r1xr，易知当r＝4或r＝2时原式有常数项，令r＝4，T5＝C45(－1)41x4，令r＝2，T3＝C25(－1)21x2，故所求常数项为C45－3×C25＝5－30＝－25，故选C.

10．在二项式x＋3xn的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中的常数项为( )

A．6 B．9

C．12 D．18

【答案】B

【解析】在二项式x＋3xn的展开式中，令x＝1得各项系数之和为4n，∴A＝4n，该二项展开式的二项式

系数之和为2n，∴B＝2n，∴4n＋2n＝72，解得n＝3，∴x＋3xn＝x＋3x3的展开式的通项Tr＋1＝Cr3(x)3－r3xr＝3rCr3x3－3r2，令3－3r2＝0得r＝1，故展开式的常数项为T2＝3C13＝9，故选B.

11．(x-y)(x+2y+z)6的展开式中,含x2y3z2的项的系数为( )

A.-30 B.120

C.240 D.420

【答案】B

【解析】由(x-y)(x+2y+z)6=(x-y)[(x+2y)+z]6,得含z2的项为(x-y)(x+2y)4z2=z2[x(x+2y)4-y(x+2y)4],

∵x(x+2y)4-y(x+2y)4中含x2y3的项为xx(2y)3-yx2(2y)2=8x2y3,

∴含x2y3z2的项的系数为×8=15×8=120,故选B.

12．若a0x2 016+a1x2 015(1-x)+a2x2 014(1-x)2+…+a2 016(1-x)2 016=1,则a0+a1+a2+…+a2 016的值为( )

A.1 B.0

C.22 016 D.22 015

【答案】C

【解析】1=[x+(1-x)]2 016=x2 016+x2 015(1-x)+…+(1-x)2 016,

∴a0+a1+…+a2 016=++…+=22 016,故选C.

13．在二项式ax2＋1x5的展开式中，若常数项为－10，则a＝________.

【答案】－2

【解析】ax2＋1x5的展开式的通项Tr＋1＝Cr5(ax2)5－r×1xr＝Cr5a5－rx10－5r2，令10－5r2＝0，得r＝4，所以C45a5－4＝－10，解得a＝－2.

14．(1+2x)3(1-x)4展开式中x2的系数为 .

【答案】-6

【解析】∵展开式中x2项为13(2x)0·12(-x)2+12(2x)1·13(-x)1+11(2x)2·14(-x)0,

∴所求系数为·+·2··(-1)+·22·=6-24+12=-6.

15．若(x－1)5＝a5(x＋1)5＋a4(x＋1)4＋a3(x＋1)3＋a2(x＋1)2＋a1(x＋1)＋a0，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.

【答案】31

【解析】令x＝－1可得a0＝－32.令x＝0可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－a0＝－1＋32＝31.

16．x＋1x＋25的展开式中x2的系数是________．

【答案】120

【解析】在x＋1x＋25的展开式中，含x2的项为2C15x＋1x4,23C35x＋1x2，所以在这几项的展开式中x2的系数和为2C15C14＋23C35C02＝40＋80＝120.

17．在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)= .

【答案】120

【解析】∵(1+x)6展开式的通项公式为=xr,(1+y)4展开式的通项公式为=yh,

∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为xryh.

∴f(m,n)=.

∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=+++=20+60+36+4=120.

18．若x＋12xn(n≥4，n∈N*)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n＝________.

【答案】8

【解析】x＋12xn的展开式的通项Tr＋1＝Crnxn－r12xr＝Crn2－rxn－2r，则前三项的系数分别为1，n2，nn－18，由其依次成等差数列，得n＝1＋nn－18，解得n＝8或n＝1(舍去)，故n＝8.

19．二项式x－2x6的展开式中，含x2项的系数是________．

【答案】60

【解析】由二项展开式的通项公式得Tr＋1＝Cr6x6－r·－2xr＝Cr6x6－2r(－2)r，令6－2r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C26(－2)2＝60.

20．x＋ax210展开式中的常数项为180，则a＝________.

【答案】±2

【解析】x＋ax210展开式的通项为Cr10(x)10－r·ax2r＝arCr10x5－52r，令5－52r＝0，得r＝2，又a2C210＝180，故a＝±2.

21．设1x＋x24的展开式中x2的系数为m，则直线y＝m3x与曲线y＝x2所围成的图形的面积为________．

【答案】43

【解析】1x＋x24的展开式的通项为Tr＋1＝Cr4xr－4·x2r＝Cr4x3r－4，令3r－4＝2，得r＝2，则m＝C24＝6.又直线y＝2x与曲线y＝x2的交点坐标为(0,0)和(2,4)，则它们所围成的图形的面积S＝20(2x－x2)dx＝x2－13x320＝43.,

22．已知二项式3x＋1xn的展开式中各项的系数和为256.

(1)求n的值；

(2)求展开式中的常数项．

【答案】(1) 8 (2) 8

【解析】(1)由题意得C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝256，

∴2n＝256，解得n＝8.

(2)该二项展开式中的第r＋1项为

Tr＋1＝Cr8(3x)8－r·1xr＝Cr8·x8－4r3，

令8－4r3＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C28＝28.

23．已知12＋2xn.

(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；

(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

【答案】(1) 3 432 (2) 16 896x10

【解析】(1)∵C4n＋C6n＝2C5n，∴n2－21n＋98＝0.

∴n＝7或n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.∴T4的系数为C37124·23＝352，

T5的系数为C47123·24＝70，

当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.

∴T8的系数为C714127·27＝3 432.

(2)∵C0n＋C1n＋C2n＝79，∴n2＋n－156＝0.

∴n＝12或n＝－13(舍去)．设第r＋1项的系数最大，

∵12＋2x12＝1212(1＋4x)12，

∴ Cr124r≥Cr－1124r－1，Cr124r≥Cr＋1124r＋1.

∴9.4≤r≤10.4，又r∈N*，∴r＝10.

∴展开式中系数最大的项为第11项，T11＝C1012·122·210·x10＝16 896x10.