函数对称性总结

抽象函数的对称性常用结论知识与方法1.轴对称：如果函数()y f x =满足122x x a +=，就有()()12f x f x =，则()f x 的图象关于直线x a =对称.记法：自变量关于a 对称，函数值相等.例如，()()2f x f x +=-表示()f x 关于1x =对称，()()f m x f n x +=-表示()f x 关于2m n x +=对称.2.中心对称：若函数()y f x =满足122x x a +=，就有()()122f x f x b +=，则()f x 关于点(),a b 对称.记法：自变量关于a 对称，函数值关于b 对称.例如，()()112f x f x ++-=表示()f x 关于()1,1对称，()()f m x f n x a ++-=表示()f x 关于,22m n a +⎛⎫ ⎪⎝⎭对称.3.常用结论（视频中有推导这些结论）：（1）如果函数()f x 有两条对称轴，则()f x 一定是周期函数，周期为对称轴距离的2倍.（2）如果函数()f x 有一条对称轴，一个对称中心，则()f x 一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍.（3）如果函数()f x 有在同一水平线上的两个对称中心，则()f x 一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的2倍.典型例题【例1】已知函数()y f x =满足()()20f x f x --=()x ∈R ，且在[)1,+∞上为增函数，则（）A.()()()112f f f ->> B.()()()121f f f >>-C.()()()121f f f ->> D.()()()211f f f >->【解析】()()()()()202f x f x f x f x f x --=⇒=-⇒的图象关于直线1x =对称，所以()()13f f -=，因为123<<，且()f x 在[)1,+∞上为增函数，所以()()()123f f f <<，从而()()()121f f f ->>【答案】C【例2】己知函数()f x 满足()()2f x f x =-()x ∈R ，若函数()1y x f x =--共有3个不同的零点1x 、2x 、3x ，则123x x x ++=_________.【解析】()()()2f x f x f x =-⇒的图象关于1x =对称，()()101x f x x f x --=⇒-=，由于1y x =-的图象也关于1x =对称，故它们的交点关于1x =对称，设123x x x <<，则必有1312x x +=且21x =，故1233x x x ++=.【答案】3【例3】已知函数()f x 满足()()22f x f x -=-()x ∈R ，若()()104f f -+=，则()()23f f +=_______.【解析】()()()()2222f x f x f x f x -=-⇒-+=，分别取3x =和2x =得：()()()()132022f f f f ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相加得：()()()()13024f f f f -+++=，又()()104f f -+=，所以()()230f f +=.【答案】0【例4】偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，若()33f =，则()1f -=_______.【解析】由题意，()f x 周期为4，故()()133f f -==.【答案】3【反思】对称轴+对称轴=周期，周期为对称轴之间距离的2倍.【例5】（2018·新课标Ⅱ卷）若()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()12f =，则()()()1250f f f +++ =（）A.50- B.0 C.2 D.50【解析】因为()f x 是奇函数，且()()11f x f x -=+，所以()()11f x f x +=--，故()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 是以4为周期的周期函数，故()()()3112f f f =-=-=-，在()()11f x f x -=+中取1x =-知()()200f f ==，又()()400f f ==，所以()()()()()123420200f f f f +++=++-+=，故()()()1250f f f +++ ()()()()()()()()145845484950f f f f f f f f =+++++++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()()4950122f f f f =+=+=.【答案】C【反思】对称轴+对称中心=周期，周期为二者之间距离的4倍，熟悉这一结论，可直接得出本题()f x 的周期为4.【例6】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x ++-=，当[]1,0x ∈-时，()f x x =，则92f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=_______.【解析】由题意，()f x 有对称中心()0,0和()1,0，故其周期为2，所以91112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【答案】12【反思】若()f x 有位于同一水平线上的两个对称中心，则()f x 为周期函数，周期为二者之间距离的2倍.强化训练1.已知函数()y f x =满足()()40f x f x +--=()x ∈R ，且()f x 在[)2,+∞上为减函数，则（）A.()()()22log 3log 5.13f f f >> B.()()()22log 5.1log 33f f f >>C.()()()22log 5.13log 3f f f >> D.()()()22log 33log 5.1f f f >>【解析】()()()40f x f x f x +--=⇒的图象关于2x =对称，结合()f x 在[)2,+∞上为减函数知当自变量与2的距离越大时，函数值越小，如图，而22234log 32log log 43-==，225.1log 5.12log 4-=，321-=，所以225.14log log 143<<，故()()()223log 3log 5.1f f f <<.【答案】B2.函数()y f x =满足()()2f x f x =-，且当[)1,x ∈+∞时，()1122x x f x e e x --=--+，则（）A.()()()121f f f <<- B.()()()211f f f <-<C.()()()121f f f -<< D.()()()112f f f -<<【解析】()()()()213f x f x f f =-⇒-=，当1x ≥时，()11220x x f x e e --'=+-≥-=，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增，故()()()()1231f f f f <<=-.【答案】A3.已知函数()f x 满足()()20f x f x ---+=()x ∈R ，若函数()22y x x f x =+-共有3个零点1x ，2x ，3x ，则123x x x ++=________.【解析】()()()()()202f x f x f x f x f x ---+=⇒-=-+⇒的图象关于1x =-对称，()()22202x x f x x x f x +-=⇔+=，而22y x x =+的图象也关于1x =-对称，故它们的交点也关于1x =-对称，所以1233x x x ++=-.。

抽象函数周期性对称性相关定理全总结1. Fourier级数定理：Fourier级数定理是抽象函数周期性对称性的基本理论定理之一、它表明，任何以L为周期的可积函数f(x)都可以展开成正弦函数与余弦函数的无穷级数形式，即Fourier级数。

这个级数可以表示为：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nπx/L) + bn*sin(nπx/L))其中，L是函数周期，a0是常数项，an和bn分别是系数。

2.奇偶周期性与对称性：奇周期性与对称性是周期性对称性的两种特例。

如果一个函数满足f(x) = -f(-x)，则称其为奇函数。

奇函数可以展开成sin函数的Fourier级数形式。

如果一个函数满足f(x) = f(-x)，则称其为偶函数。

偶函数可以展开成cos函数的Fourier级数形式。

3. 对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理：对称函数的Fourier级数展开是指将一个以L为周期的对称函数展开成cos函数的Fourier级数形式。

傅里叶定理表明，对于一个以L为周期的函数f(x)，如果f(x)是一个对称函数，则其Fourier级数展开只包含cos函数；如果f(x)是一个奇函数，则其Fourier级数展开只包含sin函数。

4. 函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数：函数的周期拓展是指将一个以L为周期的函数f(x)拓展成以2L为周期的函数。

周期拓展后的函数可以用以L为周期的函数的Fourier级数展开。

具体而言，如果将f(x)的周期拓展后的函数记作F(x)，则对于周期拓展后的函数F(x)，存在一个以L为周期的函数g(x)，使得F(x) = g(x)在[-L, L]上成立。

所以，F(x)的Fourier级数展开实际上是以L为周期的函数g(x)的Fourier级数展开。

综上所述，抽象函数周期性对称性相关定理涉及四个方面：Fourier级数定理、奇偶周期性与对称性、对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理、函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数。

高三对称函数知识点函数是数学中的重要概念，而对称函数则是函数中的一种特殊形式。

在高三数学学习中，对称函数是一个重要的知识点。

它具有独特的性质和应用，对于理解和解决数学问题有着重要的作用。

本文将介绍高三数学中对称函数的概念、性质和常见应用。

一、对称函数的概念对称函数是指在数学中，对于自变量的某种变化，函数值也发生相应的对应变化，呈现某种对称性质的函数。

简而言之，就是函数图像关于某一轴线对称。

二、对称函数的性质1. 关于y轴对称：若有函数f(x) = f(-x)，则可以得出函数图像关于y轴对称。

例如，f(x) = x^2就是一个关于y轴对称的函数。

2. 关于x轴对称：若有函数f(x) = -f(-x)，则可以得出函数图像关于x轴对称。

例如，f(x) = sin(x)就是一个关于x轴对称的函数。

3. 关于原点对称：若有函数f(x) = -f(x)，则可以得出函数图像关于原点对称。

例如，f(x) = x^3就是一个关于原点对称的函数。

4. 其他对称形式：还有一些函数的对称性不仅仅表现在对称轴上，具体形式可以是折线对称、旋转对称等。

三、对称函数的应用1. 图像对称性的判断：通过对称性，我们可以判断一个函数的图像是否对称于某一轴。

这在解析几何或图像处理等领域中，具有重要的应用意义。

2. 函数性质的分析：对称函数的性质能够帮助我们更好地理解函数本身的特点。

比如，通过观察对称函数的导数，可以判断函数的凸凹性质。

3. 函数的求解：对称函数在解决一些数学问题时也起到了关键作用。

比如，通过对称性，我们可以简化函数的求导过程，从而快速求得函数的极值点。

四、对称函数的例子1. 指数函数：f(x) = 2^x是一个关于y轴对称的函数。

2. 正弦函数：f(x) = sin(x)是一个关于x轴对称的函数。

3. 偶数次多项式函数：例如f(x) = x^2是一个关于y轴对称的函数。

4. 奇数次多项式函数：例如f(x) = x^3是一个关于原点对称的函数。

函数的对称性：y=f（|x|）是偶函数，它关于y轴对称，y=|f（x）|是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，但无法判断是否具备对称性。

例如，y=|lnx|没有对称性，而y=|sinx|却有对称性。

函数的对称性公式推导1.对称性f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负.就有对称性.至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等.此公式对于那些未知方程,却知道2方程的关系的都通用.你可以去套用,在此不在举例.对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴.如一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴X＝b/2a原函数与反函数的对称轴是y＝x．而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数，它的对称轴就不仅仅是X＝90还有…（2n＋！）90度等等．因为他的定义为R．f（x）＝｜X｜他的对称轴则是X＝0，还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了．如f（x－3）＝x－3。

令t＝x－3，则f（t）＝t。

可见原方程是由初等函数向右移动了3个单位。

同样对称轴也向右移3个单位X＝3（记住平移是左加右减的形式，如本题的X－3说明向由移）2，至于周期性首先也的从一般形式说起f（x）＝f（x＋T）注意此公式里面的X都是同号，而不象对称方程一正一负．此区别也是判断对称性还是周期性的关键．同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数，余弦函数正切函数等．当然它们的最小周期分别是2π，2π，π，当然他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期．如f（x）＝sinX，T＝2π（T＝2π/W）但是如果是f（x）＝｜sinx｜的话它的周期就是T＝π因为加了绝对值之后Y轴下面的图形全被翻到上面去了，由图不难看出起最小对称周T ＝π．y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2上面的2个方程T＝π（T＝2π/W）而对于≥2个周期函数方程的加减复合方程，如果他们的周期相同，则它的周期还是相同的周期．如y=sin2x+cos2x因为他们有一个公共周期T ＝π所以它的周期为T＝π而对于不相同的周期则它的周期为它们各个周期的最小公倍数．如y=sin3πx+cos2πx，T1＝2/3，T2＝1则T＝2/3对称函数在对称函数中，函数的输出值不随输入变数的排列而改变。

函数对称性5个结论的推导1.奇函数的推导：奇函数是指函数关于原点对称。

设函数f(x)是奇函数，那么有f(x)=-f(-x)。

为了推导这个结论，我们考虑将x代替为-x，得到f(-x)=-f(x)。

这表明，当自变量的符号发生变化时，函数值也会发生变化，并保持相反的正负号。

例如，f(2)=-f(-2)，f(3)=-f(-3)等等。

因此，奇函数关于原点对称。

2.偶函数的推导：偶函数是指函数关于y轴对称。

设函数f(x)是偶函数，那么有f(x)=f(-x)。

为了推导这个结论，我们考虑将x代替为-x，得到f(-x)=f(x)。

这表明，当自变量的符号发生变化时，函数值保持不变。

例如，f(2)=f(-2)，f(3)=f(-3)等等。

因此，偶函数关于y轴对称。

3.半个周期对称的推导：半个周期对称是指函数的两个相邻的波峰或波谷关于y轴对称。

设函数f(x)是半个周期对称，那么有f(x)=f(x+T/2)，其中T表示函数的周期。

为了推导这个结论，我们考虑函数的周期性，即f(x+T)=f(x)，代入x=x+T/2得到f(x+T/2)=f(x+T/2+T)=f(x+T)=f(x)，即f(x)=f(x+T/2)。

这表明，函数在每个周期的半个周期上关于y轴对称。

4.四分之一周期对称的推导：四分之一周期对称是指函数的四个相邻的波峰或波谷关于y轴对称。

设函数f(x)是四分之一周期对称，那么有f(x)=f(x+T/4)，其中T表示函数的周期。

为了推导这个结论，我们考虑函数的周期性，即f(x+T)=f(x)，代入x=x+T/4得到f(x+T/4)=f(x+T/4+T)=f(x+T)=f(x)，即f(x)=f(x+T/4)。

这表明，函数在每个周期的四分之一周期上关于y轴对称。

5.中心对称的推导：中心对称是指函数关于一些点对称，该点称为中心。

设函数f(x)是中心对称，那么有f(x)=f(2a-x)，其中a表示中心点的横坐标。

为了推导这个结论，我们考虑将自变量x替换成2a-x，得到f(2a-x)=f(x)。

知识点：函数的对称性总结函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的根底。

函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个根本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分表达了数学之美。

本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来讨论函数与对称有关的性质。

一、函数自身的对称性探究定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b证明：〔必要性〕设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'〔2a－x，2b－y〕也在y = f (x)图像上， 2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

〔充分性〕设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，那么y0 = f (x0)∵ f (x) + f (2a－x) =2bf (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。

故点P'〔2a－x0，2b－y0〕也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) 〔证明留给读者〕推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)定理3. ①假设函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称〔ab〕，那么y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

高一数学《函数的对称性》知识点总结高一数学《函数的对称性》知识点总结一、函数自身的对称性探究定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a－x)=2b证明：（必要性）设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y=f(x)图像上，∴2b－y=f(2a－x)即y+f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)∵f(x)+f(2a－x)=2b∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。

故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)图像上，而点P与点P'关于点A(a,b)对称，充分性得征。

推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(－x)=0 定理2.函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)（证明留给读者）推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(－x)定理 3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2a－b是其一个周期。

②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2a－b是其一个周期。

③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4a－b是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称，∴f(x)+f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：f(2b－x)+f2a－(2b－x)]=2c………………（*）又∵函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称，∴f(2b－x)=f(x)代入（*）得：f(x)=2c－f2(a－b)+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f2(a－b)+x]=2c－f4(a－b)+x]代入（**）得：f(x)=f4(a－b)+x],故y=f(x)是周期函数，且4a－b是其一个周期。

(完整版)函数周期性与对称性常见结论
函数周期性与对称性是数学中一种基本的类型，可以用来描述函数的特征。

这种性质
极大地影响着函数的曲线形状，对于函数研究也是非常重要的。

本文为读者介绍函数周期
性与对称性常见的结论。

一、周期性
1. 可以说函数f(x+T)与f(x)的图像有周期性，T<>0是一个常数，也称为函数的周期，它可以定义一个函数的曲线；
2. 周期性循环是一种规律，表明函数的值随着参数的改变而不断变化，但最终又会
回到原来的状态；
3. 一般情况下，定义域内的函数都具有周期性，当x的取值超出定义域时，函数f(x)也可能有周期性；
4. 一个周期性函数的周期T是其变化模式的重要特征，其变化规律如果舍弃它，函
数f(x)就不再具有周期性；
5. 若函数f(x)具有周期性，那么它的最小正周期Tc就定义了整个函数的曲线，可以视为一种最基本的形状。

二、对称性
1. 当函数f(x)满足f(-x)=f(x)的性质时，称此函数具有对称性；
2. 一个函数的平行四边形对称性表明，函数f(-x)和f(x)的图像是完全一模一样的，而不管x的取值为多少；
3. 一些函数具有点对称性，点对称性表明f(-x0)=f(x0)，即对称中心为x0的函数图像；
4. 如果一个函数的图象可以通过给定的任意角度旋转而不失真，则称其为角度对称性；
5. 对称性可有效描述函数f(x)的特征，常用于应用函数研究中。

函数的性质对称性张磊函数的对称性是函数的重要性质之一,主要包括轴对称和中心对称两种.在解几中,许多问题中都隐含对称性,如角的平分线,线段的中垂线,光的反射等,要注意挖掘,充分利用对称性,中点坐标公式,斜率关系加以解决;在函数中,对称性与函数的奇偶性、周期性又有着内在的联系,解题时常常要进行相互转化,再加以解决.一对称性的有关结论1 y=f(x)关于x=a对称f(2ax) =f(x) f(2a+x) =f(-x)f(ax) =f(x+x) 内反外同轴对称对称f(ax) =f(bx)引申 y=f(x)关于x=a+b22 y=f(x)关于点(a,0)对称f(2ax) =-f(x)f(2a+x) =-f(-x)f(ax) =f(a+x) 内外都反点对称引申 y=f(x)关于点(a,b)对称 f(2ax) =2bf(x)二对称性与奇偶性关系奇函数的图像关于原点(0 ,0)对称;偶函数图像关于y轴对称.奇偶性实际是一种特殊的对称性.三对称性与周期性关系双对称周期性 (联系正余余弦函数对称性与周期性关系) 1 {f (2a +x ) =f (−x )f (2b +x ) =f (−x )f (2a +x ) = f (2b +x ) f(2a-2b+x)= f(x)所以函数f(x)是周期函数,周期为|2a −2b |2 {f (2a +x )=−f (−x )f (2b +x )=−f (−x )f (2a +x ) = f (2b +x ) f(2a-2b+x)= f(x)所以函数f(x)是周期函数,周期为|2a −2b |3 {f (2a +x )=f (−x )f (2b +x )=−f (−x )f (2a +x )=− f (2b +x ) f(2a-2b+x)= -f(x) f(4a-4b+x)= f(x)所以函数f(x)是周期函数,周期为|4a −4b |四 点关于线的对称点点(x 0 ,y 0)关于直线ax+by+c=0的对称点为(x 02a a 2+b 2(a x 0+by 0+c ) , y 02b a 2+b 2(a x 0+by 0+c ))。

高三函数对称性知识点归纳函数对称性是数学中一个重要的概念，通过对函数的变换和图像的观察，可以揭示函数的性质和规律。

在高三数学学习中，函数对称性是一个基础而又重要的知识点。

本文将对高三函数对称性的相关知识进行归纳和总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。

一、函数关于y轴对称当函数图像在y轴上下对称时，称该函数关于y轴对称。

也就是说，当自变量取负值时，函数值与自变量取正值时函数值相等。

在代数表示中，如果函数f(-x) = f(x)，则函数f(x)关于y轴对称。

例如，函数f(x) = x^2就是关于y轴对称的函数，因为 f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)。

函数图像关于y轴对称，也可以通过以下特征来判断：1. 函数是偶函数时，即f(x) = f(-x)。

2. 函数的表达式只含有偶次幂的项且系数都是实数。

二、函数关于x轴对称当函数图像在x轴左右对称时，称该函数关于x轴对称。

也就是说，当自变量取负值时，函数值与自变量取正值时函数值相等。

在代数表示中，如果函数f(x) = f(-x)，则函数f(x)关于x轴对称。

例如，函数f(x) = sin(x)是关于x轴对称的函数，因为 sin(-x) = -sin(x) = f(x)。

函数图像关于x轴对称，也可以通过以下特征来判断：1. 函数是奇函数时，即f(x) = -f(-x)。

2. 函数的表达式只含有奇次幂的项且系数都是实数。

三、函数关于原点对称当函数图像在原点对称时，称该函数关于原点对称。

也就是说，当自变量取负值时，函数值与自变量取正值时函数值相反。

在代数表示中，如果函数f(x) = -f(-x)，则函数f(x)关于原点对称。

例如，函数f(x) = sin(2x)是关于原点对称的函数，因为 sin(2(-x)) = -sin(2x) = -f(x)。

函数图像关于原点对称，也可以通过以下特征来判断：1. 函数的表达式中含有奇数个奇次幂的项，且系数不都为0。

专题四《函数》讲义5.7对称性与周期性知识梳理.对称性与周期性1.轴对称：①f(x)=f(-x)，关于x=0对称②f(a+x)=f(a-x)，关于x=a对称③f(a+x)=f(b-x)，关于x=2b a 对称2.中心对称：①f(x)-f(-x)=0，关于(0,0)对称②f(a+x)-f(a-x)=0，关于(a,0)对称③f(a+x)-f(a-x)=2b，关于(a,b)对称3.周期性：①f(x)=f(x+T)，最小正周期为T，有多个对称轴，有多个对称中心.②f(x+a)=f(x+b)，T=lb-al③f(x+a)=-f(x+b)，T=2lb-al④f(x+a)=±)(f1x，T=l2al题型一.轴对称1．已知函数f（x）＝f（2﹣x），x∈R，当x∈[1，+∞）时，f（x）为增函数．设a＝f（1），b ＝f（2），c＝f（﹣1），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵f（x）＝f（2﹣x），∴函数的图象关于x＝1对称，当x∈[1，+∞）时，f（x）为增函数，∴f（3）＞f（2）＞f（1），a＝f（1），b＝f（2），c＝f（﹣1）＝f（3），则a＜b＜c．故选：D．2．定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x（3﹣2x），则f（312）＝（）A．﹣1B．−12C．12D．1【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则有f（﹣x）＝f（x+2），又由f（x）为奇函数，则f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（312）＝f（−12+16）＝f（−12）＝﹣f（12）＝﹣[12（3﹣2×12）]＝﹣1；故选：A．3．已知定义域为R的函数f（x）在[1，+∞）单调递增，且f（x+1）为偶函数，若f（3）＝1，则不等式f（2x+1）＜1的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：根据题意，函数f（x+1）为偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，又由函数f（x）在[1，+∞）单调递增且f（3）＝1，则f（2x+1）＜1⇒f（2x+1）＜f（3）⇒|2x|＜2，解可得：﹣1＜x＜1，即不等式的解集为（﹣1，1）；故选：A．题型二.中心对称1．已知函数f（2x+1）是奇函数．则函数y＝f（2x）的图象成中心对称的点为（）A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（12，0）D．（−12，0）【解答】解：∵函数f（2x+1）是奇函数，∴f（﹣2x+1）＝﹣f（2x+1）令t＝1﹣2x，代入可得f（t）+f（2﹣t）＝0，∴函数f（x）关于（1，0）对称，则函数y＝f（2x）的图象成中心对称的点为（12，0）．故选：C．2．已知函数f（x﹣1）（x∈R）是偶函数，且函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x﹣1，则f（2019）＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．2【解答】解：根据题意，函数f（x﹣1）（x∈R）是偶函数，则函数f（x）的对称轴为x＝﹣1，则有f（x）＝f（﹣2﹣x），又由函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，则f（x）＝﹣f（2﹣x），则有f（﹣2﹣x）＝﹣f（2﹣x），即f（x+4）＝﹣f（x），变形可得f（x+8）＝f（x），则函数是周期为8的周期函数，f（2019）＝f（3+252×8）＝f（3）＝﹣f（﹣1）＝﹣（﹣1﹣1）＝2；故选：D．3．（2016·全国2）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），若函数y=r1与y ＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则J1 （x i+y i）＝（）A．0B．m C．2m D．4m【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），即为f（x）+f（﹣x）＝2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数y=r1，即y＝1+1的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点，…则有J1 （x i+y i）＝（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）=12[（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（x m+y m）+（﹣x m+2﹣y m）]＝m．故选：B．题型三.周期性1．已知函数f（x）=l0.5(3−p，≤0−1oK4)，＞0，则f（2019）＝（）A．45B．23C．12D．13【解答】解：∵f（x）=l0.5(3−p，≤0−1oK4)，＞0，当x＞0时，f（x+8）＝f（x），则f（2019）＝f（3）=−1o−1)=12．故选：C．2．（2017•山东）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）＝f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）＝6﹣x，则f（919）＝6．【解答】解：由f（x+4）＝f（x﹣2）．则f（x+6）＝f（x），∴f（x）为周期为6的周期函数，f（919）＝f（153×6+1）＝f（1），由f（x）是定义在R上的偶函数，则f（1）＝f（﹣1），当x∈[﹣3，0]时，f（x）＝6﹣x，f（﹣1）＝6﹣（﹣1）＝6，∴f（919）＝6，故答案为：6．3．（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f （1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50B．0C．2D．50【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，故选：C．题型四.对称性与周期性综合1．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称D．y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称【解答】解：f（x）的定义域为（0，2），f（x）＝ln[x（2﹣x）]＝ln（﹣x2+2x），故f（x）在（0，1）上递增，在（1，2）上递减，A，B错．∵f（2﹣x）＝ln（2﹣x）+lnx＝f（x），∴y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误．故选：C．2．（2019•涪城区校级模拟）设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足条件y＝f（x+1）是偶函数，且当x≥1时，f（x）＝（12）x﹣1，则a＝f（log32），b＝f（﹣log，c ＝f（3）的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a【解答】解：∵y＝f（x+1）是偶函数，∴f（﹣x+1）＝f（x+1），即函数f（x）关于x＝1对称．∵当x≥1时，f（x）＝（12）x﹣1为减函数，∵f（log32）＝f（2﹣log32）＝f（log392），且−2=l32＝log34，log34＜log392＜3，∴b＞a＞c，故选：C．3．（2018秋•余姚市校级月考）已知函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x）（x∈R），且对任意x1，x2∈[1，+∞）（x1≠x2）的时，恒有o1)−o2)1−2＜0成立，则当f（2a2+a+2）＜f（2a2﹣2a+4）时，实数a的取值范围为（）A．（23，+∞）B．（−∞，23）C．（23，1）D．（23，1）∪（1，+∞）【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，又由对任意x1，x2∈[1，+∞）（x1≠x2）的时，恒有o1)−o2)1−2＜0成立，则f（x）在[1，+∞）上为减函数，又由2a2+a+2＝2（a+14）2+158＞1，2a2﹣2a+4＝2（a−12）2+72＞1，若f（2a2+a+2）＜f（2a2﹣2a+4），则有2a2+a+2＞2a2﹣2a+4，解可得a＞23，即a的取值范围为（23，+∞）故选：A．4．（2016•湖南校级模拟）已知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，且在[1，+∞）上单调递减，f（0）＝0，则f（x+1）＞0的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：由f（x）的图象关于x＝1对称，f（0）＝0，可得f（2）＝f（0）＝0，当x+1≥1时，f（x+1）＞0，即为f（x+1）＞f（2），由f（x）在[1，+∞）上单调递减，可得：x+1＜2，解得x＜1，即有0≤x＜1①当x+1＜1即x＜0时，f（x+1）＞0，即为f（x+1）＞f（0），由f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，可得：x+1＞0，解得x＞﹣1，即有﹣1＜x＜0②由①②，可得解集为（﹣1，1）．故选：B．5．（2019•新课标Ⅱ）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥−89，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，94]B．（﹣∞，73]C．（﹣∞，52]D．（﹣∞，83]【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[−14，0]，∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[−12，0]；∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，当x∈（2，3]时，由4（x﹣2）（x﹣3）=−89解得x=73或x=83，若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥−89，则m≤73．故选：B．6．（2009•山东）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）＝﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）＝m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝﹣8．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（x﹣4）＝﹣f（x）＝f（﹣x），∴f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，又f（x﹣4）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣f（x+4），∴f（x﹣4）＝f（x+4），∴f（x）周期为8，作出f（x）的大致函数图象如图：由图象可知f（x）＝m的4个根中，两个关于直线x＝﹣6对称，两个关于直线x＝2对称，∴x1+x2+x3+x4＝﹣6×2+2×2＝﹣8．故答案为：﹣8．课后作业.函数性质1．若函数f（x）＝1+2r12+1+sin x在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n等于（）A．0B．1C．2D．4【解答】解：f（x）＝1+2r12+1+sin x＝3−22+1+sin x，f（﹣x）＝3−22−+1+sin（﹣x）＝3−2⋅21+2−sin x∴f（x）+f（﹣x）＝4，所以f（x）是以点（0，2）为对称中心，所以其最大值与最小值的和m+n＝4．故选：D．2．设函数f（x）＝x3−13，则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减【解答】解：因为f（x）＝x3−13，则f（﹣x）＝﹣x3+13=−f（x），即f（x）为奇函数，根据幂函数的性质可知，y＝x3在（0，+∞）为增函数，故y1=13在（0，+∞）为减函数，y2=−13在（0，+∞）为增函数，所以当x＞0时，f（x）＝x3−13单调递增，故选：A．3．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，f（x+1）是偶函数，且当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣x（x﹣2），则（）A．f（x）是周期为2的函数B．f（2019）+f（2020）＝﹣1C．f（x）的值域为[﹣1，1]D．y＝f（x）在[0，2π]上有4个零点【解答】解：对于A，f（x）为R上的奇函数，f（x+1）为偶函数，所以f（x）图象关于x＝1对称，f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x）即f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）则f（x）是周期为4的周期函数，A错误；对于B，f（x）定义域为R的奇函数，则f（0）＝0，f（x）是周期为4的周期函数，则f（2020）＝f（0）＝0；当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣x（x﹣2），则f（1）＝﹣1×（1﹣2）＝1，则f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，则f（2019）+f（2020）＝﹣1，故B正确．对于C，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣x（x﹣2），此时有0＜f（x）≤1，又由f（x）为R上的奇函数，则x∈[﹣1，0）时，﹣1≤f（x）＜0，f（0）＝0，函数关于x＝1对称，所以函数f（x）的值域[﹣1，1]．故C正确．对于D，∵f（0）＝0，且x∈（0，1]时，f（x）＝﹣x（x﹣2），∴x∈[0，1]，f（x）＝﹣x （x﹣2），∴x∈[1，2]，2﹣x∈[0，1]，f（x）＝f（2﹣x）＝﹣x（x﹣2），∴x∈[0，2]，f（x）＝﹣x （x﹣2），∵f（x）是奇函数，∴x∈[﹣2，0]，f（x）＝x（x+2），∵f（x）的周期为4，∴x∈[2，4]，f（x）＝（x﹣2）（x﹣4），∴x∈[4，6]，f（x）＝﹣（x﹣4）（x﹣6），∴x∈[6，2π]，f（x）＝（x﹣6）（x﹣8），根据解析式，可得x∈[0，π]上有4个交点，故D正确．故选：BCD．4．设函数f（x）＝lg（1+|2x|）−11+4，则使得f（3x﹣2）＞f（x﹣4）成立的x的取值范围是（）A．（13，1）B．（﹣1，32）C．（﹣∞，32）D．（﹣∞，﹣1）∪（32，+∞）【解答】解：f（x）＝ln（1+|2x|）−11+4，定义域为R，∵f（﹣x）＝f（x），∴函数f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝ln（1+2x）−11+4值函数单调递增，根据偶函数性质可知：得f（3x﹣2）＞f（x﹣4）成立，∴|3x﹣2|＞|x﹣4|，∴（3x﹣2）2＞（x﹣4）2，解得：x＞32或x＜﹣1，故选：D．5．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则（）高中数学一轮复习讲义A．o6)＜o−7)＜o112)B．o6)＜o112)＜o−7) C．o−7)＜o112)＜o6)D．o112)＜o−7)＜o6)【解答】解：∵f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝f[（x+2）+2]＝﹣f（x+2）＝f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，f（6）＝f（2）＝﹣f（0）＝0，f（112）＝f（32）＝﹣f（−12）＝f（12）=2−1，f（﹣7）＝f（1）＝1，∴o6)＜o112)＜o−7)，故选：B．6．已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝﹣f（x）＝f（4﹣x），当x∈（0，2）时，f（x）＝ln（x2﹣x+b）．若函数f（x）在区间[﹣2，2]上有5个零点，则实数b的取值范围是14＜≤1或=54．【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，即0是函数f（x）的零点，因为f（x）是定义在R上且以4为周期的周期函数，所以f（﹣2）＝f（2），且f（﹣2）＝﹣f（2），则f（﹣2）＝f（2）＝0，即±2也是函数f（x）的零点，因为函数f（x）在区间[﹣2，2]上的零点个数为5，且当x∈（0，2）时，f（x）＝ln（x2﹣x+b），所以当x∈（0，2）时，x2﹣x+b＞0恒成立，且x2﹣x+b＝1在（0，2）有一解，即△=1−4＜0 (12)2−12+=1或△=1−4＜0 02−0+−1≤0 22−2+−1＞0，解得14＜b≤1或b=54，故答案为：14＜≤1或=54．。

函数对称性、周期性记忆特征结论高中函数的对称性、周期性是一个比较重要的知识点，很多同学被纵多的公式弄得不知所措，应如何记住这些结论，现总结如下记忆特征。

一、对称性结论1、函数)(x f 的图像关于点),(b a 中心对称。

若（1）)(2)2(x f b x a f -=-；（2）)(2)(x a f b x a f --=+，则函数)(x f 图像关于点),(b a 中心对称。

记忆特征：（1）关于点),(b a 中心对称的，均为函数值符号相反，即)()(x f x f -=-，为奇函数；（2）关于点),(b a 中心对称的，函数f 的自变量相加均为一常数量，如：①)(2)2(x f b x a f -=-中a x x a 2)2(=+-；②)(2)(x a f b x a f --=+中，a x a x a 2)()(=-++；（3）关于点),(b a 中心对称的，函数f 的两函数值相加一常数量，如：①)2(x a f -=+)(x f b 2；②b x a f x a f 2)()(=-++；（4）关于点),(b a 中心对称的，对称点为常量的21，即 ),()22,2)2((b a b x x a =+-或),()22,2)()((b a b x a x a =-++；（5）当0,0==b a 时，函数)()(x f x f -=-为奇函数，关于原点)0,0(对称。

注意：关于点),(b a 中心对称的是“自变量相加为常量a 2，函数值相加为常量b 2”。

2、函数)(x f 的图像关于轴（直线a x =）对称。

若（1）)2()(x a f x f -=；（2）)()(x a f x a f -=+，则函数)(x f 的图像关于直线a x =对称。

记忆特征：（1）函数)(x f 的图像关于轴（直线a x =）对称的，均为函数值符号相同，即)()(x f x f =-，为偶函数；（2）函数)(x f 的图像关于轴（直线a x =）对称的，函数f 的自变量相加均为一常数量，如：①)2()(x a f x f -=中a x x a 2)2(=+-；②)()(x a f x a f -=+中，a x a x a 2)()(=-++；（3）函数)(x f 的图像关于轴（直线a x =）对称的，对称轴为常量的21，即 a x x a x =+-=2)2(或a x a x a x =-++=2)()(； （4）当0=a 时，函数)()(x f x f =-为偶函数，关于0=x 的y 轴对称。