函数的对称性知识点讲解及典型习题分析

函数的对称性知识点讲解及典型习题分析
新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连
续性、凹凸性的考查。

尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角
函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。

对称性的概念及常见函数的对称性
1、对称性的概念：
①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，
该直线称为该函数的对称轴。

②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的
中心对称，该点称为该函数的对称中心。

常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）
①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为 a b x2。

④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。

⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。

⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0 ）是它的对称中心，2kx是它的对称轴。

⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不
会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。

⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，) 0,2 (k是它的对称中心。

（11 ）正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中)0,2 ( k是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对
称中心只是（kπ,0）。

对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。

但容易犯错误的是同学们可能
误以为最值处是它的对称轴。

三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。

绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。

前者显然是偶函数，它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如y=│lnx│就没有对称性，而y=│sinx│却仍然是轴对称。

二、函数的对称性猜测：
具体函数特殊的对称性猜测
①一个函数一般是不会关于x轴对称，这是由函数定义决定的，因为一个x不会对应两个y的值。

但一个曲线是可能关于x 轴对称的。

例1、判断曲线xy42
②函数关于y轴对称例2、判断函数y=cos(sinx)的对称性。

③函数关于原点对称例3、判断函数xxysin3
④函数关于y=x对称例4 、判断函数x y1
⑤函数关于y=-x对称例5 、判断函数x y4
总结为：设（x,y）为原曲线图像上任一点，如果（x,-y）也在图像上，则该曲线关于x轴对称；如果（-x,y）也在图像上，则该曲线关于y轴对称；如果（-x,-y）也在图像上，则该曲线关于原点对称；如果（y,x）也在图像上，则该曲线关
于y=x对称；如果（-y,-x）也在图像上，则该曲线关于y=-x轴对称。

2、抽象函数的对称性猜测①轴对称
例6、如果函数y=f(x)满足f(x+1)=f(4-x)，求该函数的所有对称轴。

（任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4)，正中间 2.5，从而该函数关于x=2.5对称）
例7、如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x)，求该函数的所有对称轴。

（按上例一样的方法可以猜出对称轴为x=0，可见偶函数是特殊的轴对称）
例8、如果f(x)为偶函数，并且f(x+1)=f(x+3)，求该函数的所有对称轴。

（因为f(x+1)=f(-x-3)，按上例可以猜出对称轴x=-1，又因为它以2为周期，所以x=k是它所有的对称轴，k∈Z）②中心对称
例9、如果函数y=f(x)满足f(3+x)+f(4-x)=6，求该函数的对称中心。

（因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心）
例10、如果函数y=f(x)满足f(-x)+f(x)=0，求该函数的所有对称中心。

（按上例一样的方法可以猜出对称中心为（0，0），可见
奇函数是特殊的中心对称）
例11、如果f(x)为奇函数，并且f(x+1)+f(x+3)=0，求该函数的所有对称中心和对称轴。

（由周期性定义知周期为4，又f(x+1)=-f(x+3)，从而f(x+1)=f(-x-3)，按上例知x=-1为对称轴，所以x=-1+2n为对称轴，（2k，0）为对称中心，其中k∈Z）
总结为：①当括号里面x前面的符号一正一负时就是对称性,其中的对称轴为多少可以用特殊值代入来猜测,这里并不主张
记结论，因为很容易与后面的结论相混淆。

②而当x前面的符号相同时就是周期性。

例如f(x+1)=f(x-5)是告诉我们它以6为周期。

③当x前面的符号相同，同时告诉奇偶性时也可以推出对称性，因为奇偶性有制造负号的能力。

3、两个抽象函数之间的
对称性猜测
例12、求y=f(x+2)与y=f(1-x)的对称轴方程。

（当第一个函数的x取0时，值为f(2),这时第二个函数的x必须取-1才也对应那
么多，他们的正中间为-1.5，因而猜测对称轴为x=-1.5）
总结为：①当括号里面x前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性，其中的对称为多少仍然可以用特殊值代入来猜
测,仍然不主张记结论，因为很容易与前面的结论相混淆。

②而当x前面的符号相同时告诉的是图像平移。

例如y=f(x+2)与y=f(x-1)，前者是由后者向左移三个单位得到。

三、对称性的证明如果在解答大题时仅仅猜测出结论是不够的，我们要辅以完整的证明才行。

1、一个函数的对称性证明
例13、证明若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x) ，则函数关于直线 2 b ax证明：在y=f(x)上任取点（m，n），则n=f(m)，而点（m，n ）关于 2 b ax对称点为（a+b-m，n）,又因为f（a+b-m）=f（a+（b-m））=f（b-（b-m））=f （m）=n,这正表明（a+b-m，n）也在原函数图像上，从而原函数关于直线 2 b ax对称。

总结为：核心是相关点法，即在函数上任取一点，对称点如果仍在函数图像上，就可以下结论该函数关于它对称。

2、两
个函数之间的对称性的证明
例13、证明函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x) 关于直线 2 a bx对称。

（注意不是 2 bax,证明的方法类似于上例方法）总结为：仍是相关点法，但是多一次，需在函数上任取一点，对称点如果在对方函数图像上，同时在对方函数上任取一点，对
称点又在该函数图像上，才可以下结论该函数关于它对称。

取两次的原因是以免两个图像一个只是另一个对称过来图像的一
部分。

3、特别地关于y=x对称性的证明
例15 、证明 2 31 2xxy关于y=x对称。

（只需求出它的反函数是自己即可）
总结为：①一个函数自身关于y=x对称不需要用上面的相关点法，只需要证明它的反函数是自己就可以了。

②两个函数关于y=x对称性证明也不需要用上面那么繁琐的方法，只需证明两个函数互为反函数，即求一个的反函数为另
外一个就可以了。

③反过来这句话也成立，如果需要证明两个函数互为反函数，只需要证明它们的图像关于y=x对称即可。

四、对称性的运用
1、求值
例16、已知1 44)(xx xf,f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4) 的值。

（只需要考虑当两个自变量加起来为0时函数
值的和是否为定值，验证果然。

而这里显然隐含的是函数的对称性）
总结为：“配对”，对称性主要是考查一对函数值之间的关系。

2、“对称性+对称性”可以推导出周期性
例17、如果函数y=f(x)满足f(x+3)=f(2-x)和f(4+x)=f(5-x)，求该函数的最小正周期。

（因为
f(x+3)=f(2-x)=f(4+(-2-x))=f(5-(-2-x))=f(7+x)所以周期为4）
总结为：两个对称性拼起来就可以将里面的符号化为同号，从而得出周期性。

3、“奇偶性+对称性”可以推导出周期性这在前面已经提到，还是因为奇偶性有制造负号的能力。

4、三角函数的奇偶性
例18 、如果函数)4 2sin(3xy（其中0<θ<π）是奇函数，求θ的值。

(2x+θ+π/4=kπ,而x=0，所以θ+π/4=kπ，在要求
的范围上只有θ=3π/4)总结为：几乎所有的三角函数的奇偶性都是当对称性来使用，先求出所有的对称轴，然后y轴是
其中的一条（或者先求出所有的对称中心，然后原点是其中的一个）。

5、关于y=x对称的应用例19、求函数1)(xexf与函数g(x)=ln(x+1)的对称轴方程。

（因为f(x)=e^x与g(x)=lnx互为反函数，关于y=x对称，而f(x)=e^(x+1)是由f(x)=e^x向左移一个单位得到，g(x)=ln(x+1)也是由g(x)=lnx向左移一个单位得到，因而对
称轴也跟着左移一个单位，即y=x+1）
6、对称性的本义
例20、如果y=asinx+bcosx关于x=π/4对称，求直线ax+by+3=0的直线的斜率。

（既然关于x=π/4对称，则f(0)=f(π/2)代入求出a和b的关系即可）总结为：对称性的本义就是关于对称中心（或对称轴）对称的两个自变量的函数值的紧密关系。