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机械能守恒定律专题练习姓名：分数：专项练习题第一类问题：双物体系统的机械能守恒问题例1. （2007·江苏南京）如图所示，A 物体用板托着，位于离地面处，轻质细绳通过光滑定滑轮与A、B相连，绳子处于绷直状态，已知A 物体质量，B 物体质量，现将板抽走，A将拉动B上升，设A与地面碰后不反弹，B上升过程中不会碰到定滑轮，问：B 物体在上升过程中离地的最大高度为多大？（取）（例1）（例2）例2. 如图所示，质量分别为2m、m的两个物体A、B可视为质点，用轻质细线连接跨过光滑圆柱体，B着地A恰好与圆心等高，若无初速度地释放，则B上升的最大高度为多少？第二类问题：单一物体的机械能守恒问题例3. （2005年北京卷）是竖直平面内的四分之一圆弧形轨道，在下端B点与水平直轨道相切，如图所示，一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑，已知圆轨道半径，不计各处摩擦，求：为R，小球的质量为m（1）小球运动到B点时的动能；（2）小球下滑到距水平轨道的高度为R时速度的大小和方向；（3）小球经过圆弧形轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力各是多大。
例4. （2007·南昌调考）如图所示，O点离地面高度为H，以O点为圆心，制作点等高的圆弧最高点滚下后水平抛出，试求：四分之一光滑圆弧轨道，小球从与O（1）小球落地点到O点的水平距离；（2）要使这一距离最大，R应满足何条件？最大距离为多少？第三类问题：机械能守恒与圆周运动的综合问题例5. 把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆（如图所示），摆长为l ，最大偏角为，小球运动到最低位置时的速度是多大？（例5）（例6）例6. （2005·沙市）如图所示，用一根长为L 的细绳，一端固定在天花板上的O点，另一端系一小球A ，在O 点的正下方钉一钉子B ，当质量为m 的小球由水平位置静止释放后，小球运动到最低点时，细线遇到钉子B ，小球开始以B 为圆心做圆周运动，恰能过B 点正上方C ，求OB 的距离。
专题17 机械能守恒定律及其应用(限时：45min)一、选择题（共11小题）1．(2024·天津高考)滑雪运动深受人民群众宠爱。
某滑雪运动员(可视为质点)由坡道进入竖直面内的圆弧形滑道AB ，从滑道的A 点滑行到最低点B 的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变，则运动员沿AB 下滑过程中( )A ．所受合外力始终为零B ．所受摩擦力大小不变C ．合外力做功肯定为零D ．机械能始终保持不变【答案】C【解析】运动员从A 点滑到B 点的过程做匀速圆周运动，合外力指向圆心，不做功，故A 错误，C 正确。
如图所示，沿圆弧切线方向运动员受到的合力为零，即F f ＝mg sin α，下滑过程中α减小，sin α变小，故摩擦力F f 变小，故B 错误。
运动员下滑过程中动能不变，重力势能减小，则机械能减小，故D 错误。
2.如图所示，在水平桌面上的A 点有一个质量为m 的物体，以初速度v 0被抛出，不计空气阻力，当它到达B 点时，其动能为( )A.12mv 02＋mgHB.12mv 02＋mgh 1 C ．mgH －mgh 2 D.12mv 02＋mgh 2 【答案】B【解析】由机械能守恒，mgh 1＝12mv 2－12mv 02，到达B 点的动能12mv 2＝mgh 1＋12mv 02，B 正确。
3.如图所示，具有肯定初速度的物块，沿倾角为30°的粗糙斜面对上运动的过程中，受一个恒定的沿斜面对上的拉力F 作用，这时物块的加速度大小为4 m/s 2，方向沿斜面对下，那么，在物块向上运动的过程中，下列说法正确的是( )A ．物块的机械能肯定增加B ．物块的机械能肯定减小C ．物块的机械能可能不变D ．物块的机械能可能增加也可能减小 【答案】A【解析】机械能改变的缘由是非重力、弹力做功，题中除重力外，有拉力F 和摩擦力F f 做功，则机械能的改变取决于F 与F f 做功大小关系。
由mg sin α＋F f －F ＝ma 知：F －F f ＝mg sin 30°－ma ＞0，即F ＞F f ，故F 做正功多于克服摩擦力做功，故机械能增加，A 项正确。
机械能守恒定律一、机械能守恒的判断条件1．对守恒条件理解的三个角度2．判断机械能守恒的三种方法二、单个物体的机械能守恒问题2.应用机械能守恒定律解题的基本思路三、三类连接体的机械能守恒问题1.轻绳连接的物体系统2.轻杆连接的物体系统3.轻弹簧连接的物体系统题型特点由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
两点提醒(1)对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，无论弹簧伸长还是压缩。
(2)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。
四、非质点类机械能守恒问题1.物体虽然不能看成质点，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。
2.在确定物体重力势能的变化量时，要根据情况，将物体分段处理，确定好各部分重心及重心高度的变化量。
3.非质点类物体各部分是否都在运动，运动的速度大小是否相同，若相同，则物体的动能才可表示为12mv 2。
五、针对练习1、(多选)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)．现让一小球自左端槽口A 点的正上方由静止开始下落，从A 点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )A ．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功B ．小球从A 点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒C ．小球从A 点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒D ．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒2、如图所示，P 、Q 两球质量相等，开始两球静止，将P 上方的细绳烧断，在Q 落地之前，下列说法正确的是(不计空气阻力)( )A ．在任一时刻，两球动能相等B ．在任一时刻，两球加速度相等C ．在任一时刻，系统动能与重力势能之和保持不变D ．在任一时刻，系统机械能是不变的3、（多选）如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（ ）A ．甲图中，物体A 将弹簧压缩的过程中，A 机械能守恒B ．乙图中，在大小等于摩擦力的拉力作用下沿斜面下滑时，物体B 机械能守恒C ．丙图中，不计任何阻力时，A 加速下落，B 加速上升过程中，A 、B 机械能守恒D ．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒4、（多选）如图甲所示，轻绳的一端固定在O 点，另一端系一小球。
机械能守恒定律20个经典例题1. 一个自由下落的物体从高度为h的位置落下，求其落地时的速度。
2. 一个滑轮系统由两个具有质量m1和m2的物体组成，当重物体从高处下降时，轻物体向上移动，求两物体的速度。
3. 一个弹簧的质量为m，常数为k，以速度v0压缩然后释放，求弹簧完全恢复到原始长度时的速度。
4. 一个小球从高处以速度v0斜抛，求其在达到最高点时的势能和动能之比。
5. 一个车从高处滑下，求其到达底部时的速度，考虑摩擦力。
6. 一个物体通过一个光滑的圆环，从高度为h的位置滑下，求运动到底部时的速度。
7. 一个铅球从离地面h高度自由落下，碰到地面后反弹，求其在反弹过程中的最大速度。
8. 一个摆球从一端释放，沿着弧形轨道下落，求其到达底部时的速度。
9. 一个滑雪者从高处滑下，当他到达平地时，速度增加了多少？10. 一个人从高处跳下，同时手中还握着一个小球，求小球离地面的最高点的高度。
11. 一个汽车从静止开始加速，当它以速度v通过某个点时，它的动能是多少？12. 一个小球沿着一个弯曲的竖直轨道滑下，求它到达底部时的速度。
13. 一个手摇的发电机通过人工劳动产生机械能，当手摇的速度加快时，机械能会增加还是减少？14. 一个步行者从A点向B点走一段距离，再从B点向A点折回，最终回到A点，求他在整个过程中消耗的机械能。
15. 一个台球从静止开始撞击另一个台球，求第二个台球的速度。
16. 一个物体在竖直弹簧下方的静止球面上滚下，求它离开球面时的动能。
17. 一个重物体和一个轻物体通过一个有摩擦的斜面下滑，求它们到达底部时的速度。
18. 一个子弹以速度v穿过一个质量为M的物块，物块开始以速度V向前滑动，求子弹的速度。
19. 一个人用带有质量m的活塞上下移动，带动一个无摩擦的活塞，求人的努力和活塞的速度之间的关系。
20. 一个滚动大理石从山坡上滚下，求与水平面接触时的速度。
系统机械能守恒问题（杆连接）一. 知识点分析:1.通过杆连接的物体系统，杆对两个物体都施加力的作用，物体各自的机械能不守恒， 但杆只使机械能在物体间转移，并不把机械能转化为其他形式的能，所以系统的机械 能守恒。
2.机械能守恒定律的表达方式，①物体在初状态的机械能E 1等于其末状态的机械能E 2，即E 2=E 1或E k2+E p2=E k1+E p1 ②减少(或增加)的势能△E p 等于增加(或减少)的总动能△E k ,即△E P =△E k .③系统内一物体机械能的增加(或减少)等于另一物体机械能的减少(或增加)，即 △E 1=-△E 2二．例题分析：【例1】如图所示，质量分别为2 m 和3m 的两个小球固定在一根直角尺的两端A 、B ，直角尺的顶点O 处有光滑的固定转动轴。
AO 、BO 的长分别为2L 和L 。
开始时直角 尺的AO 部分处于水平位置而B 在O 的正下方。
让该系统由静止开始自由转动， 求：⑴当A 到达最低点时，A 小球的速度大小v ；⑵ B 球能上升的最大高度h ； ⑶开始转动后B 球可能达到的最大速度v m 。
【例2】一根质量不计的细杆长为2 L , 一端固定在光滑的水平转轴O 上, 在杆的另一端和杆的中点各固定一个质量为m 的小球, 然后使杆从水平位置由静止开始, 在竖直 平面内自由下摆, 如图所示, 试求:⑴ 杆向下摆至竖直位置时, 两球的速度.⑵ 杆从水平位置向下摆至竖直位置的过程中, 杆对球B 所做的功. ⑶ 摆至竖直位置时, 杆OA 和AB 的张力T 1、T 2之比.BAO【例3】如右图所示，轻质细杆的两端分别固定质量均为m 的两个小球A 和B ，细杆可绕O 轴在竖直 平面内无摩擦地自由转动，BO ＝2AO ，将细杆从水平静止状态自由释放， 求:(1)细杆转到竖直位置时A 和B 的速度？ （2）杆对O 轴作用力的大小和方向。
【例4】半径为R 的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m 和2m 的 小球A 和B ，A ，B 之间用一长为R 的轻杆相连，如图所示，开始时， A ，B 都静止，且A 在圆环的最高点，现将A,B 释放，求： （1）A 到最低点时的速度大小？（2）在第一问所述过程中杆对B 球做的功？【例5】如图所示，倾角为θ光滑斜面上放有两个质量均为m 的小球A 和B ， 两球之间用一根长为L 的轻杆相连，下面的小球B 离斜面底端的高度 为h ，两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：（1）两球在光滑水平面上运动时的速度大小；（2）此过程中杆对A 球所做的功；A Bθh AB机械能守恒定律 应用4-----系统机械能守恒问题分析（杆连接类）参考答案例1：解：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。
04专题：机械能守恒专题应用机械能守恒定律解题的基本思路考法1 单个物体的机械能守恒1、如图所示，竖直平面内的一半径R＝0.5 m的光滑圆弧槽BCD，B点与圆心O等高，质量m＝0.1 kg的小球(可看作质点)从B点正上方H＝0.75 m高处的A点自由下落，由B点进入圆弧轨道，从D点飞出，不计空气阻力，(取g＝10 m/s2)求：（1）小球经过B点时的动能；（2）小球经过最低点C时的速度大小v C；（3）小球经过最低点C时对轨道的压力大小．考法2 多个物体的机械能守恒2、如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C放在水平地面上。
现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。
已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。
开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。
求：(1)斜面的倾角α；(2)A获得的最大速度v m。
3、如图所示，固定在水平面上的光滑斜面倾角为30，质量分别为M 、m 的两个物体A 、B 通过细绳及轻弹簧连接于光滑轻滑轮两侧，斜面底端有一与斜面垂直的挡板.开始时用手按住物体A ，此时A 与挡板的距离为s ，B 静止于地面，滑轮两边的细绳恰好伸直，且弹簧处于原长状态.已知2M m ，空气阻力不计.松开手后，关于二者的运动下列说法中正确的是（ ）A ．A 和B 组成的系统机械能守恒B ．当A 的速度最大时，B 与地面间的作用力为零C ．若A 恰好能到达挡板处，则此时B 的速度为零D ．若A 恰好能到达挡板处，则此过程中重力对A 做的功等于弹簧弹性势能的增加量4、如图所示，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m 的小球A 和B ，它们可以绕光滑轴O 在竖直面内自由转动。
已知OA ＝2OB ＝2l ，将杆从水平位置由静止释放。
专题知识点机械能守恒定律机械能守恒的理解与判断1．机械能守恒判断的三种方法利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否变化，若不定义法变，则机械能守恒若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力做功的代做功法数和为零，则机械能守恒若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则转化法机械能守恒2.机械能守恒条件的理解及判断(1)机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”．(2)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒．(3)对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断．严格地讲，机械能守恒定律的条件应该是对一个系统而言，外力对系统不做功(表明系统与外界之间无能量交换)，系统内除了重力和弹力以外，无其他摩擦和介质阻力做功(表明系统内不存在机械能与其他形式之间的转换)，则系统的机械能守恒．单个物体的机械能守恒问题1．机械能守恒定律的表达式2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路多物体关联的机械能守恒问题1．多物体机械能守恒问题的解题思路2．多个物体的机械能守恒问题，往往涉及“轻绳模型”“轻杆模型”以及“轻弹簧模型”．轻绳模型三点提醒①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等．②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系．③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒．轻杆模型三大特点①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等．②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒．轻弹簧模型轻弹簧模型“四点”注意①含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体和弹簧机械能都不守恒．②含弹簧的物体系统机械能守恒问题，符合一般的运动学解题规律，同时还要注意弹簧弹力和弹性势能的特点．③弹簧弹力做的功等于弹簧弹性势能的减少量，而弹簧弹力做功与路径无关，只取决于初、末状态弹簧形变量的大小．④由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小(为零)．。
物理一轮复习案学生姓名年级学科物理专题12机械能守恒定律【知识要点】一、重力势能1．定义：物体的重力势能等于它所受重力与高度的乘积．2．公式：E p＝mgh.3．矢标性：重力势能是标量，正负表示其大小．4．特点(1)系统性：重力势能是地球和物体共有的．(2)相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关．重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关．5．重力做功与重力势能变化的关系重力做正功时，重力势能减小；重力做负功时，重力势能增大；重力做多少正(负)功，重力势能就减小(增大)多少，即W G＝E p1－E p2.二、弹性势能1．定义：物体由于发生弹性形变而具有的能．2．大小：弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大．3．弹力做功与弹性势能变化的关系弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增大．三、机械能守恒定律1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变．2．表达式(1)守恒观点：E k1＋E p1＝E k2＋E p2(要选零势能参考平面)．(2)转化观点：ΔE k＝－ΔE p(不用选零势能参考平面)．(3)转移观点：ΔE A增＝ΔE B减(不用选零势能参考平面)．3．机械能守恒的条件只有重力(或弹力)做功或虽有其他外力做功但其他力做功的代数和为零．考点一 做功和功率【典例归纳】功率【例1】如图所示，质量为2 kg 的物体以10 m/s 的初速度水平抛出，经过2 s 落地.取g ＝10 m/s 2.关于重力做功的功率，下列说法正确的是( )A.下落过程中重力的平均功率是400 WB.下落过程中重力的平均功率是100 WC.落地前的瞬间重力的瞬时功率是400 WD.落地前的瞬间重力的瞬时功率是200 W练习1.如图所示是小孩滑滑梯的情景，假设滑梯是固定光滑斜面，倾角为30°，小孩质量为m ，由静止开始沿滑梯下滑，滑行距离为s 时，重力的瞬时功率为( )A.mg gsB.12mg gsC.mg 2gsD.12mg 6gs机车的两种启动方式：【例1】在水平路面上运动的汽车的额定功率为100 kW ，质量为10 t ，设阻力恒定，且为车重的0.1倍(g 取10 m/s 2)，求：(1)若汽车以不变的额定功率从静止启动，汽车的加速度如何变化？(2)当汽车的加速度为2 m/s 2时，速度为多大？(3)汽车在运动过程中所能达到的最大速度的大小.练习1.一种以氢气为燃料的汽车，质量为m＝2.0×103 kg，发动机的额定输出功率为80 kW，行驶在平直公路上时所受阻力恒为车重的110.若汽车从静止开始先匀加速启动，加速度的大小为a＝1.0 m/s2.达到额定输出功率后，汽车保持功率不变又加速行驶了800 m，直到获得最大速度后才匀速行驶.试求：(g取10 m/s2)(1)汽车的最大行驶速度.(2)汽车匀加速启动阶段结束时的速度大小.(3)汽车从静止到获得最大行驶速度时阻力做的功.练习2.汽车发动机的额定功率P＝60 kW，若其总质量为m＝5 t，在水平路面上行驶时，所受阻力恒为F＝5.0×103 N，若汽车启动时保持额定功率不变，则：(1)求汽车所能达到的最大速度v max.(2)当汽车加速度为2 m/s2时，速度是多大？(3)当汽车速度是6 m/s时，加速度是多大？考点二单个物体的机械能守恒机械能守恒：【例1】(多选)如图，轻弹簧竖立在地面上，正上方有一钢球，从A处自由下落，落到B处时开始与弹簧接触，此时向下压缩弹簧．小球运动到C处时，弹簧对小球的弹力与小球的重力平衡．小球运动到D处时，到达最低点．不计空气阻力，以下描述正确的有 ( )A．小球由A向B运动的过程中，处于完全失重状态，小球的机械能减少B．小球由B向C运动的过程中，处于失重状态，小球的机械能减少C．小球由B向C运动的过程中，处于超重状态，小球的动能增加D．小球由C向D运动的过程中，处于超重状态，小球的机械能减少【变式1】如图所示是上海“明珠线”某轻轨车站的预设方案，与站台连接的轨道有一个小坡度，电车进站时要上坡，出站要下坡，如果坡高2m，电车到a点时速度是25.2km/h，此时便切断电动机的电源，不考虑电车所受的摩擦力。
高中物理《机械能守恒定律》专题训练1.(2022全国乙,16,6分)固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环。
小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑,在下滑过程中,小环的速率正比于 ( )A.它滑过的弧长B.它下降的高度C.它到P点的距离D.它与P点的连线扫过的面积答案 C 如图所示,x为PA间的距离,其所对的圆心角为θ,小环由P点运动到A点,由动能定理得mgh=12mv2,由几何关系得h=R-R cos θ,所以v=√2gR(1−cosθ)。
由于1-cos θ=2 sin2θ2,sinθ2=x2R,所以v=√2gR(1−cosθ)=√2gR×2×x24R2=x√gR,故v正比于它到P点的距离,C正确。
2.(2022全国甲,14,6分)北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。
运动员从a处由静止自由滑下,到b处起跳,c点为a、b之间的最低点,a、c两处的高度差为h。
要求运动员经过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍,运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力,则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于 ( )A.ℎk+1B.ℎkC.2ℎkD.2ℎk−1第1页共70页答案 D 运动员从a处滑至c处,mgh=12m v c2-0,在c点,N-mg=m v c2R,联立得N=mg(1+2ℎR ),由题意,结合牛顿第三定律可知,N=F压≤kmg,得R≥2ℎk−1,故D项正确。
3.(2022北京,8,3分)我国航天员在“天宫课堂”中演示了多种有趣的实验,提高了青少年科学探索的兴趣。
某同学设计了如下实验:细绳一端固定,另一端系一小球,给小球一初速度使其在竖直平面内做圆周运动。
无论在“天宫”还是在地面做此实验, ( )A.小球的速度大小均发生变化B.小球的向心加速度大小均发生变化C.细绳的拉力对小球均不做功D.细绳的拉力大小均发生变化答案 C 在“天宫”中是完全失重的环境,小球在竖直平面内做匀速圆周运动,细绳拉力提供小球做圆周运动所需的向心力,小球的线速度大小、向心加速度大小、向心力(细绳的拉力)大小均不变,无论在“天宫”还是在地面,细绳的拉力始终与速度垂直而不做功,故只有C正确。
机械能守恒定律专题1. 简介机械能守恒定律是物理学中的一条重要定律，它描述了在特定条件下，机械能在系统中的守恒性质。
机械能守恒定律是基于能量守恒原理的推论，可以应用于各种物理现象和问题的分析和解决。
2. 机械能的定义机械能是指一个物体由于位置和速度而具有的能量。
简单地说，机械能包括了动能和势能两个部分。
•动能（Kinetic Energy）是物体由于运动而具有的能量，它与物体的质量和速度有关。
动能的数学表达式为$E_k =\\frac{1}{2}mv^2$，其中m是物体的质量，v是物体的速度。
•势能（Potential Energy）是物体由于位置而具有的能量，它与物体的高度和受力有关。
常见的势能有重力势能和弹性势能等。
重力势能的数学表达式为E p=mgℎ，其中m是物体的质量，g是重力加速度，ℎ是物体的高度。
机械能守恒定律指出，一个系统中的机械能总量在没有外力做功的情况下保持不变。
3. 机械能守恒定律的表述根据机械能的定义和能量守恒原理，可以得出机械能守恒定律的表述如下：在一个封闭的系统中，在无外力做功的情况下，系统的机械能总量保持不变。
即初始机械能等于末尾机械能。
这个定律可以用数学方程表示为：E k1+E p1=E k2+E p2其中，E k1和E p1是系统的初始动能和势能，E k2和E p2是系统的末尾动能和势能。
4. 应用案例机械能守恒定律可以应用于各种物理现象和问题的分析和解决。
下面以一些典型案例来说明：4.1 自由落体考虑一个物体从高处自由落下的情况。
假设物体的初始高度为ℎ1，速度为0。
根据机械能守恒定律，可以得到：E k1+E p1=E k2+E p2因为初始时速度为0，所以初始动能E k1=0。
另外，初始时的势能E p1=mgℎ1，末尾时的动能$E_{k2} = \\frac{1}{2}mv^2$，末尾时的势能E p2=0。
代入上述方程可得：$0 + mgh_1 = \\frac{1}{2}mv^2 + 0$化简后可得：$v = \\sqrt{2gh_1}$这就是自由落体中物体的末尾速度与初始高度之间的关系。
机械能守恒定律1. 在只有重力和弹簧的弹力做功的情况下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变.2. 对机械能守恒定律的理解：（1）系统在初状态的总机械能等于末状态的总机械能.即 E 1 = E 2 或 1/2mv 12 + mgh 1= 1/2mv 22 + mgh 2（2）物体（或系统）减少的势能等于物体(或系统)增加的动能，反之亦然。
即 -ΔE P = ΔE K（3）若系统内只有A 、B 两个物体，则A 减少的机械能E A 等于B 增加的机械能ΔE B 即 -ΔE A = ΔE B 二、例题导航：例1、如图示，长为l 的轻质硬棒的底端和中点各固定一个质量为m 的小球，为使轻质硬棒能绕转轴O 转到最高点，则底端小球在如图示位置应具有的最小速度v= 。
解：系统的机械能守恒，ΔE P +ΔE K =0因为小球转到最高点的最小速度可以为0 ，所以，例 2. 如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。
一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A 和B 连结，A 的质量为4m ，B 的质量为m ，开始时将B 按在地面上不动，然后放开手，让A 沿斜面下滑而B 上升。
物块A 与斜面间无摩擦。
设当A 沿斜面下滑S 距离后，细线突然断了。
求物块B 上升离地的最大高度H.解：对系统由机械能守恒定律 4mgSsin θ – mgS = 1/2× 5 mv 2 ∴ v 2=2gS/5细线断后，B 做竖直上抛运动，由机械能守恒定律 mgH= mgS+1/2× mv 2 ∴ H = 1.2 S例 3. 如图所示，半径为R 、圆心为O 的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上．一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为m 的重物，忽略小圆环的大小。
lmg l mg v m mv22212122⋅+⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+gl gl v 8.4524==∴（1）将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ=30°的位置上(如图)．在 两个小圆环间绳子的中点C 处，挂上一个质量M = m 的重物，使两个小圆环间的绳子水平，然后无初速释放重物M ．设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物M 下降的最大距离．（2）若不挂重物M ．小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平衡状态?解：(1)重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重物速度 为零时，下降的距离最大．设下降的最大距离为h ，由机械能守恒定律得 解得 （另解h=0舍去）(2)系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为 a ． 两小环同时位于大圆环的底端． b ．两小环同时位于大圆环的顶端．c ．两小环一个位于大圆环的顶端，另一个位于大圆环的底端．d ．除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能平衡，则两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称．设平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧α角的位置上(如图所示)．对于重物，受绳子拉力与重力作用， 有T=mg对于小圆环，受到三个力的作用，水平绳的拉力T 、 竖直绳子的拉力T 、大圆环的支持力N.两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反得α=α′, 而α+α′=90°，所以α=45 °例 4. 如图质量为m 1的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m 2的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k ，A 、B 都处于静止状态。
机械能、能量守恒定律专题一．不定项选择题1．一个质量为m 的物体以某一速度从固定斜面底端冲上倾角030=α的斜面，其加速度为g 43,这物体在斜面上上升的最大高度为h ，则此过程中正确的是（ ）A ．动能增加mgh 23 B ．重力做负功mghC ．机械能损失了mgh 21 D ．物体克服摩擦力做功mgh 212．下列说法中正确的是（ )A ．满足能量守恒定律的物理过程都能自发进行B ．知道阿伏加德罗常数、该气体摩尔质量和质量，就可以估算气体中分子间的平均距离C ．做加速运动的物体，由于速度越来越大，因此物体分子的平均动能也越来越大D ．气体分子的速率分布规律遵从统计规律，在一定温度下，某种气体的分子速率分布是确的3．如图所示,小球以初速度为v 0从光滑斜面底部向上滑，恰能到达最大高度为h 的斜面顶部。
右图中A 是内轨半径大于h 的光滑轨道、B 是内轨半径小于h 的光滑轨道、C 是内轨半径等于h 光滑轨道、D 是长为h 21的轻棒，其下端固定一个可随棒绕O 点向上转动的小球。
小球在底端时的初速度都为v0,则小球在以上四种情况中能到达高度h的有（）OD二．填空、实验题1．人的体温是由下丘脑中特殊神经细胞监察和控制的，它们对人体血液温度很敏感，当下丘脑温度高于37℃时，人体散热机制（如血管舒张、出汗等）就活跃起来，已知在37℃时蒸发18g汗水所需能量E=4300J。
现有一中年人慢步行走时肌体新陈代谢功率为35W，而此时人体通过传导辐射等方式（不包括出汗）产生散热功率只有33W，因此人体要通过出汗来保持散热和代谢的平衡,即保持体温为37℃，那么此人慢步行走1h通过出汗所消耗的能量为J，约出汗g.2．用测力探头和计算机组成的实验装置来测定单摆摆动过程中摆线受到的拉力（单摆摆角小于5º），计算机屏幕上得到如图a所示的F–t图像.然后将单摆挂在测力探头上,使单摆保持静止，得到如图b所示的F–t图像。
系统的机械能守恒定律专题由两个或两个以上的物体所构成的系统，其机械能能否守恒，就看除了重力、弹力以外，系统内的各个物体所遇到的各个力做功之和能否为零，为零，则系统的机械能守恒；做正功，系统的机械能就增添，做做多少正功，系统的机械能就增添多少；做负功，系统的机械能就减少，做多少负功，系统的机械能就减少多少。
系统间的互相作使劲分为三类：1、刚体产生的弹力：比方轻绳的弹力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力等2、弹簧产生的弹力：系统中包含有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能参加机械能的变换。
3、其余力做功：比方炸药爆炸产生的冲击力，摩擦力对系统对功等。
在前两种状况中，轻绳的拉力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力做功，使机械能在互相作用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能仍是守恒的。
固然弹簧的弹力也做功，但包含弹性势能在内的机械能也守恒。
但在第三种状况下，因为其它形式的能参加了机械能的变换，系统的机械能就不再守恒了。
概括起来，系统的机械能守恒问题有以下四个题型：（1）轻绳连体类（2）轻杆连体类（3）在水平面上能够自由挪动的圆滑圆弧类。
（4）悬点在水平面上能够自由挪动的摇动类。
（1）轻绳连体类这一类题目，系统除重力以外的其余力对系统不做功，系统内部的互相作用力是轻绳的拉力，而拉力不过使系统内部的机械能在互相作用的两个物体之间进行等量的变换，并无其余形式的能参加机械能的变换，所以系统的机械能守恒。
例：如图，倾角为的圆滑斜面上有一质量为M 的物体，经过一根越过定滑轮的细绳与质量为m 的物体相连，开始时两物体均处于静止状态，且m 离地面的高度为 h，求它们开始运动后m 着地时的速度？剖析：对 M 、m 和细绳所构成的系统，遇到外界四个力的作用。
它们分别是：M 所受的重力Mg，m 所受的重力 mg，斜面对 M 的支持力 N，滑轮对细绳的作使劲F。
M、 m 的重力做功不会改变系统的机械能，支持力N 垂直于 M 的运动方向对系统不做功，滑轮对细绳的作使劲因为作用点没有位移也对系统不做功，所以知足系统机械能守恒的外面条件，系统内部的互相作使劲是细绳的拉力，拉力做功只好使机械能在系统内部进行等量的变换也不会改变系统的机械能，故知足系统机械能守恒的外面条件。
在能量转变中， m 的重力势能减小，动能增添， M 的重力势能和动能都增添，用机械能的减少许等于增添量是解决为一类题的重点mgh Mgh sin1Mv 21mv 2可得 v2gh(m M sin )22M m需要提示的是，这一类的题目常常需要利用绳连物体的速度关系来确立两个物体的速度关系例：如图，圆滑斜面的倾角为，竖直的光滑细杆到定滑轮的距离为a，斜面上的物体 M和穿过细杆的 m 经过越过定滑轮的轻绳相连，开始保持两物体静止，连结 m 的轻绳处于水平状态，松手后两物体从静止开始运动，求m下降 b 时两物体的速度大小？（ 2）轻杆连体类这一类题目，系统除重力以外的其余力对系统不做功，物体的重力做功不会改变系统的机械能，系统内部的互相作使劲是轻杆的弹力，而弹力不过使系统内部的机械能在互相作用的两个物体之间进行等量的变换，并无其余形式的能参加机械能的变换，所以系统的机械能守恒。
例：如图，质量均为 m 的两个小球固定在轻杆的端，轻杆可绕水平转轴在竖直平面内自由转动，两小球到轴的距离分别为L、2L，开始杆处于水沉静止状态，松手后两球开始运动，求杆转动到竖直状态时，两球的速度大小剖析：由轻杆和两个小球所构成的系统遇到外界三个力的作用，即 A 球遇到的重力、 B 球遇到的重力、轴对杆的作使劲。
两球遇到的重力做功不会改变系统的机械能，轴对杆的作使劲因为作用点没有位移而对系统不做功，所以知足系统机械能守恒的外面条件，系统内部的互相作用力是轻杆的弹力，弹力对 A 球做负功，对 B 球做正功，但这类做功不过使机械能在系统内部进行等量的变换也不会改变系统的机械能，故知足系统机械能守恒的外面条件。
在整个机械能中间，只有 A 的重力势能减小， A 球的动能以及 B 球的动能和重力势能都增添，我们让减少的机械能等于增添的机械能。
有：依据同轴转动，角速度相等可知v A2v B所以：v A 2 2 gL v B52 gL5需要重申的是，这一类的题目要依据同轴转动，角速度相等来确立两球之间的速度关系（ 3）在水平面上能够自由挪动的圆滑圆弧类。
圆滑的圆弧放在圆滑的水平面上，不受任何水平外力的作用，物体在圆滑的圆弧上滑动，这一类的题目，也切合系统机械能守恒的外面条件和内部条件，下边用详细的例子来说明例：四分之一圆弧轨道的半径为R，质量为 M ，放在圆滑的水平川面上，一质量为m 的球（不计体积）从圆滑圆弧轨道的顶端从静止滑下，求小球滑离轨道时二者的速度？剖析：由圆弧和小球构成的系统遇到三个力作用，分别是M、m 遇到的重力和地面的支持力。
m 的重力做正功，但不改变系统的机械能，支持力的作用点在竖直方向上没有位移，也对系统不做功，所以知足系统机械能守恒的外面条件，系统内部的互相作使劲是圆弧和球之间的弹力，弹力对 m 做负功，对 M 做正功，但这类做功不过使机械能在系统内部进行等量的变换，不会改变系统的机械能，故知足系统机械能守恒的外面条件。
在整个机械能中间，只有 m 的重力势能减小， m 的动能以及 M 球的动能都增添，我们让减少的机械能等于增添的机械能。
有：依据动量守恒定律知0 mv m Mv M所以：v m m2gRv M M2gRM ( M m)M ( M m)（ 4）悬点在水平面上能够自由挪动的摇动类。
悬挂小球的细绳系在一个不受任何水平外力的物体上，当小球摇动时，物体能在水平面内自由挪动，这一类的题目和在水平面内自由挪动的圆滑圆弧类形异而质同，相同切合系统机械能守恒的外面条件和内部条件，下边用详细的例子来说明例：质量为 M 的小车放在圆滑的天轨上，长为 L的轻绳一端系在小车上另一端拴一质量为m 的金属球，将小球拉开至轻绳处于水平状态由静止释放。
求（ 1）小球摇动到最低点时二者的速度？（ 2）此时小球受细绳的拉力是多少？剖析：由小车和小球构成的系统遇到三个力作用，分别是小车、小球所遇到的重力和天轨的支持力。
小球的重力做正功，但重力做功不会改变系统的机械能，天轨的支持力，因为作用点在竖直方向上没有位移，也对系统不做功，所以知足系统机械能守恒的外面条件，系统内部的互相作使劲是小车和小球之间轻绳的拉力，该拉力对小球做负功，使小球的机械能减少，对小车做正功，使小车的机械能增添，但这类做功只是使机械能在系统内部进行等量的变换，不会改变系统的机械能，故知足系统机械能守恒的外面条件。
在整个机械能中间，只有小球的重力势能减小，小球的动能以及小车的动能都增添，我们让减少的机械能等于增添的机械能。
有：依据动量守恒定律知 0 mv m Mv M所以：2gL 2 gLv m m v M MM ( M m)M ( M m)当小球运动到最低点时，遇到竖直向上的拉力T 和重力作用，依据向心力的公式mv 2T mg但要注意，公式中的 v 是 m 相关于悬点的速度，这一点是特别L重要的T mgm(v mv M ) 23M 2mL解得： T mgM稳固练习1、如下图，质量相等的甲、乙两小球从一圆滑直角斜面的顶端同时由静止开释，甲小球沿斜面下滑经过 a 点，乙小球竖直着落经过 b点， a 、 b 两点在同一水平面上，不计空气阻力，以下说法中正确的选项是 ( )A ．甲小球在 a 点的速率等于乙小球在 b 点的速率B ．甲小球到达 a 点的时间等于乙小球到达b 点的时间C ．甲小球在 a 点的机械能等于乙小球在 b 点的机械能 (相对同一个零势能参照面 )D ．甲小球在 a 点时重力的功率等于乙小球在b 点时重力的功率分析：由机械能守恒得两小球到达 a 、b 两处的速度大小相等， A 、C 正确；设斜面的倾角为 α，甲小球在斜面上运动的加快度为 a ＝gsin α，乙小球着落v的加快度为 a ＝g ，由 t ＝a 可知 t 甲 ＞t 乙 ，B 错误；甲小球在 a 点时重力的功率P 甲 ＝mgvsin α，乙小球在 b 点时重力的功率 P 乙＝ mgv ，D 错误．答案： AC 2．图 5－3－16一根质量为 M 的链条一半放在圆滑的水平桌面上，另一半挂在桌边，如图 5 －3－16(a)所示．将链条由静止开释，链条刚走开桌面时的速度为 v 1 若在链.条两头各系一个质量均为 m 的小球，把链条一半和一个小球放在圆滑的水平桌面上，另一半和另一个小球挂在桌边，如图5－3－16(b)所示．再次将链条 由静止开释，链条刚走开桌面时的速度为 v 2，以下判断中正确的选项是( )A ．若 M ＝2m ，则 v ＝v 2B ．若 M ＞2m ，则 v ＜v 21 1C ．若 M ＜2m ，则 v ＞v2D ．无论 M 和 m 大小关系怎样，均有 v ＞ v211答案： D3.图 5－3－17在奥运竞赛项目中，高台跳水是我国运动员的强处．质量为 m 的跳水运动员进入水中后遇到水的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为 F ，那么在他减速降落高度为 h 的过程中，以下说法正确的选项是 (g 为当地的重力加快 度)( )A ．他的动能减少了 FhB ．他的重力势能增添了 mghC ．他的机械能减少了 (F －mg)hD ．他的机械能减少了 Fh 分析：由动能定理，E k ＝－ ，动能减少了－ ， A 选项不正确；mgh Fh Fh mgh他的重力势能减少了 mgh ，B 选项错误；他的机械能减少了 E ＝Fh ，C 选项 错误， D 选项正确．答案： D4．图 5－3－18如图 5－3－18 所示，静止放在水平桌面上的纸带， 其上有一质量为 m ＝0.1 kg 的铁块，它与纸带右端的距离为 L ＝0.5 m ，铁块与纸带间、纸带与桌面间动摩擦因数均为 μ＝0.1.现使劲 F 水平向左将纸带从铁块下抽出， 当纸带所有抽出时铁块恰巧到达桌面边沿，铁块抛出后落地址离抛出点的水平距离为 s ＝ 0.8 m ．已知 g ＝10 m/s 2，桌面高度为 H ＝ 0.8 m ，不计纸带质量，不计铁块大小，铁块不转动．求：(1)铁块抛出时速度大小；(2)纸带从铁块下抽出所用时间t 1；(3)纸带抽出过程产生的内能E.分析： (1)水平方向：s ＝vt ①竖直方向：1 2H ＝2gt ②由①② 联立解得：v＝2 m/s.(2)设铁块的加快度为 a 1，由牛顿第二定律，得 μ mg ＝ ma 1③ 纸带抽出时，铁块的速度 v ＝a 1t 1④③④ 联立解得 t 1＝ 2 s.(3) 铁块的位移 1＝ 1 2 2；由 11⑤ 设纸带的位移为题意知， s 2－ 1s 2a t s＝ ⑥s L由功能关系可得 E ＝ μmgs ＋μ mg(s －s )⑦由③④⑤⑥⑦ 联立解得 E ＝2 21J.答案： (1)2 m/s (2)2 s (3)0.3 J5.图 5－3－19如图 5－3－19 所示为某同学设计的节能运输系统．斜面轨道的倾角为 37°，木箱与轨道之间的动摩擦因数 μ＝ 0.25.设计要求：木箱在轨道顶端时，自动装货装置将质量 m ＝2 kg 的货物装入木箱， 木箱载着货物沿轨道无初速滑下，当轻弹簧被压缩至最短时，自动装货装置马上将货物御下，而后木箱恰巧被弹回到轨道顶端， 接着再重复上述过程． 若 g 取 10 m/s 2，sin 37 ＝°，cos 37 °＝ 0.8.求：(1) 走开弹簧后，木箱沿轨道上滑的过程中的加快度大小；(2)知足设计要求的木箱质量．分析：(1)设木箱质量为 m ′ ，对木箱的上滑过程， 由牛顿第二定律有： m ′gsin 37°＋μm ′gcos 37 ＝°m ′a代入数据解得： a ＝8 m/s 2.(2)设木箱沿轨道下滑的最大距离为 L ，弹簧被压缩至最短时的弹性势能为 E p ，依据能量守恒定律： 货物和木箱下滑过程中有： (m ′＋m)gsin 37 L °＝μ(m ′＋m)gcos 37 L °＋E p 木箱上滑过程中有联立代入数据解得： m ′＝ m ＝ 2 kg.E p ＝ m ′gsin 37 L °＋μm′gcos 37 L °答案： (1)8 m/s 2 (2)2 kg图 5－3－201.如图 5－3－20 所示，一个质量为 m 的小铁块沿半径为 缘故静止滑下，到半圆底部时，轨道所受压力为铁块重力的 铁块损失的机械能为 ( )R 的固定半圆轨道上面1.5 倍，则此过程中1A. 8mgR113v 2分析：设铁块在圆轨道底部的速度为v ，则－mg ＝m R ，由能量守恒有：mgR － E ＝12mv 2，所以 E ＝ 34mgR.答案： D2.图 5－3－21如图 5－3－21 所示，斜面置于圆滑水平川面上， 其圆滑斜面上有一物体由静止下滑，在物体下滑过程中，以下说法正确的选项是 ( )A ．物体的重力势能减少，动能增添B ．斜面的机械能不变C ．斜面对物体的作使劲垂直于接触面，不对物体做功D ．物体和斜面构成的系统机械能守恒分析：物体下滑过程中，因为物体与斜面互相间有垂直于斜面的作使劲，使斜面加快运动，斜面的动能增添；物体沿斜面下滑时，既沿斜面向下运动，又随斜面向右运动， 其合速度方向与弹力方向不垂直， 且夹角大于 90°，所以物体战胜互相作使劲做功，物体的机械能减少，但动能增添，重力势能减少，故 A 项正确， B 、C 项错误．对物体与斜面构成的系统内，只有动能和重力势能之间的转变，故系统机械能守恒， D 项正确．答案： AD3.图 5－3－22如图 5－3－22 所示，一根超越圆滑定滑轮的轻绳，两头各有一杂技演员 (可视为质点 )，演员 a 站于地面，演员 b 从图示的地点由静止开始向下摆，运动过程中绳一直处于挺直状态，当演员 b 摆至最低点时，演员 a 恰巧对地面无 压力，则演员 a 与演员 b 质量之比为 () A ．1∶1B ．2∶1 C ．3∶1 D ．4∶1b 着落至最低点时的速度大小为v. 1 2 分析：由机械能守恒定律求出演员2mv2＝mgl(1－cos 60 °)， v 2＝2gl(1－cos 60 °)＝ gl.此时绳的拉力为T ＝ mg ＋m v＝l答案： B4.图 5－3－23如图 5－3－23 所示，一很长的、不行伸长的柔嫩轻绳越过圆滑定滑轮，绳两端各系一小球 a 和 b.a 球质量为 m ，静置于地面； b 球质量为 3m ，用手托住，高度为 h ，此时轻绳恰巧拉紧．从静止开始开释 b 后，a 可能达到的最大高度为( )A ．hB ．C ．2hD ．分析：考察机械能守恒定律． 在 b 球落地前， a 、b 球构成的系统机械能守恒，且 a 、 b 两球速度大小相等，依据机械能守恒定律可知：13mgh －mgh ＝2(m ＋3m)v 2，v ＝ gh ，b 球落地时， a 球高度为 h ，以后 a 球向上做竖直上抛运动，在这个过程中机械能守恒， 1 2 2mv ＝mg h ， v 2 hh ＝2g ＝ 2，所以a 球可能达到的最大高度为， B 项正确．答案： B5.图 5－3－24如图 5－3－24 所示，在动摩擦因数为 0.2 的水平面上有一质量为 3 kg 的物体被一个劲度系数为 120 N/m 的压缩轻质弹簧忽然弹开，物体走开弹簧后在水 2平面上持续滑行了 1.3 m 才停下来，以下说法正确的选项是 (g 取 10 m/s )()A ．物体开始运动时弹簧的弹性势能 E p ＝ 7.8 JB ．B ．物体的最大动能为 7.8 JC ．当弹簧恢还原长时物体的速度最大D ．当物体速度最大时弹簧的压缩量为 x ＝0.05 m分析：物体走开弹簧后的动能设为 E k，由功能关系可得： E k＝μ mgx1＝7.8 J，设弹簧开始的压缩量为 x0，则弹簧开始的弹性势能 Ep0＝μ mg(x0＋ x1)＝7.8 J ＋μmgx0＞7.8 J，A 错误；当弹簧的弹力 kx2＝μ mg时，物体的速度最大，得x2＝0.05 m，D 正确， C 错误；物体在程做减速运动，故最大动能必定大于x2＝0.05 m 到弹簧的压缩量 7.8 J，故 B 错误．x2＝0 的过答案： D6.图 5－3－25如图 5－3－25 所示，电梯由质量为 1×103 kg 的轿厢、质量为 8× 102 kg 的配重、定滑轮和钢缆构成，轿厢和配重分别系在一根绕过定滑轮的钢缆两头，在与定滑轮同轴的电动机驱动下电梯正常工作，定滑轮与钢缆的质量可忽视不计，重力加快度g＝10 m/s2.在轿厢由静止开始以 2 m/s2的加快度向上运转1 s 的过程中，电动机对电梯共做功为 ()A ．×103 J B．×103 JC．×104 J D．×104 J121分析：电动机做功： W＝(M－m)gh＋2(M＋ m)v ＝(1 000－800)×10× 1＋2(1 000＋800)×22＝ 5 600 J.答案： B7.图 5－3－26来自福建省体操队的运动员黄珊汕是第一位在奥运会上获取蹦床奖牌的中国选手．蹦床是一项漂亮又惊险的运动，如图5－3－26所示为运动员在蹦床运动中达成某个动作的表示图，图中虚线PQ 是弹性蹦床的原始地点， A 为运动员到达的最高点， B 为运动员刚到达蹦床时的地点， C 为运动员到达的最低点．不考虑空气阻力和运动员与蹦床作用时的机械能损失，A、B、C 三个地点运动员的速度分别是v A、B、C，机械能分别是A、E B、 C，则它们的大小关系是 ()v v E Ev<v ， v>vC B．v>v ， v<vCA． A BB A B BB．C．E A＝E B，E B>E C D．E A>E B，E B＝E CA机械能守恒，E A＝E B，B→A 机械能守恒，E A＝E B，B→C 弹力对人做负功，机械能减小， E B>E C.答案： AC8.图 5－3－27如图 5－3－27 所示，小球从 A 点以初速度 v0沿粗拙斜面向上运动，到达最高点 B 后返回 A， C 为 AB 的中点．以下说法中正确的选项是 ( )A ．小球从 A 出发到返回 A 的过程中，位移为零，合外力做功为零B．小球从 A 到 C 过程与从 C 到 B 过程，减少的动能相等C．小球从 A 到 B 过程与从 B 到 A 过程，损失的机械能相等D．小球从 A到 C 过程与从 C 到 B 过程，速度的变化量相等分析：小球从 A 出发到返回 A 的过程中，位移为零，重力做功为零，支持力不做功，摩擦力做负功，所以 A 选项错误；从 A 到 B 的过程与从 B 到 A 的过程中，位移大小相等，方向相反，损失的机械能等于战胜摩擦力做的功，所以 C 选项正确；小球从 A 到 C 过程与从 C 到 B 过程，位移相等，合外力也相等，方向与运动方向相反，所以合外力做负功，大小相等，所以减少的动能相等，所以， B 选项正确；小球从 A 到 C 过程与从 C 到 B 过程中，减少的动能相等，而动能的大小与质量成正比，与速度的平方成正比，所以 D 错误．答案： BC9.图 5－3－28在 2008 北京奥运会上，俄罗斯着名撑杆跳运动员伊辛巴耶娃以 5.05 m 的成绩第 24 次打破世界记录．图5－3－28 为她在竞赛中的几个画面，以下说法中正确的选项是 ()A．运动员过最高点时的速度为零B．撑杆恢复形变时，弹性势能完整转变为动能C．运动员要成功跃过横杆，其重心一定高于横杆D．运动员在上涨过程中对杆先做正功后做负功分析：撑杆跳运动员过最高点时竖直速度为零，水平速度不为零，选项 A 错误；当运动员到达最高点杆恢复形变时，弹性势能转变为运动员的重力势能和动能，选项 B 错误；运动员能够背跃式跃过横杆，其重心可能低于横杆，选项 C 错误；运动员在上涨过程中对杆先做正功转变为杆的弹性势能后做负功，杆的弹性势能转变为运动员的重力势能和动能，选项 D 正确．答案： D10.图 5－3－29如图 5－3－29 所示，半径为 R 的竖直圆滑圆轨道内侧底部静止着一个圆滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬时获取一个水平初速度v0，若 v0大小不一样，则小球能够上涨到的最大高度(距离底部 )也不一样．以下说法中正确的选项是 ()RA．假如 v0＝gR，则小球能够上涨的最大高度为2B．假如 v0＝ 2gR，则小球能够上涨的最大高度为R2C．假如 v0＝ 3gR，则小球能够上涨的最大高度为3R2D．假如 v0＝ 5gR，则小球能够上涨的最大高度为2R1 2R分析：依据机械能守恒定律，当速度为v0＝gR，由 mgh＝2mv0解出 h＝2，A 项正确，B 项错误；当 v0＝ 5gR，小球正好运动到最高点， D 项正确；当 v0＝ 3gR 时小球运动到最高点以下，若 C 项建立，说明小球此时向心力为 0，这是不行能的．答案： AD11．图 5－3－30如图 5－3－30 所示， AB 为半径 R＝0.8 m 的 1/4 圆滑圆弧轨道，下端 B 恰与小车右端光滑对接．小车质量 M＝ 3 kg，车长 L＝2.06 m，车上表面距地面的高度 h＝0.2 m．现有一质量 m＝1 kg 的滑块，由轨道顶端无初速开释，滑到B 端后冲上小车．已知地面圆滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ＝，当车运转了 1.5 s 时，车被地面装置锁定． (g＝ 10 m/s2)试求：(1)滑块到达 B 端时，轨道对它支持力的大小；(2)车被锁准时，车右端距轨道 B 端的距离；(3)从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与车面间因为摩擦而产生的内能大小；(4)滑块落地址离车左端的水平距离．1，分析： (1)设滑块到达 B 端时速度为 v，由动能定理，得mgR＝2mv2由牛顿第二定律，得 F N－＝v2mg m R联立两式，代入数值得轨道对滑块的支持力：F N＝3mg＝ 30 N.(2)当滑块滑上小车后，由牛顿第二定律，得:对滑块有：－μ mg＝ ma1,对小车有：μmg＝Ma2设经时间 t 二者达到共同速度，则有： v＋a1t＝ 2解得＝．因为＜a t,t 1 s 1 s1.5 s，此时小车还未被锁定，二者的共同速度：v′＝ a t＝ 1 m/s2所以，车被锁准时，车右端距轨道 B 端的距离： x＝ 1 22＋ v′ t′＝ 1 m.2a t系统机械能守恒定律专题11 / 11(3)从车开始运动到被锁定的过程中，滑块相对小车滑动的距离x ＝ v ＋v ′ t12－2a 2t 2＝2 m所以产生的内能： E ＝ μmg x ＝ 6 J.1 1(4)对滑块由动能定理，得－ μ mg(L － x)＝ 2mv ″2－2mv ′2, 滑块离开小车后，在竖直方向有： h ＝1″22gt所以，滑块落地址离车左端的水平距离：x ′ ＝v ″t ″ ＝0.16 m.答案： (1)30 N (2)1 m (3)6 J (4)0.16 m12．如图 7－7－11 所示，质量为 2m 和 m 可看做质点的小球 A 、B ，用不计质量的不行伸长的细线相连，跨在固定的半径为 R 的圆滑圆柱双侧，开始时 A 球和 B 球与圆柱轴心等高，而后开释 A 、 B 两球，则 B 球到达最高点时的速率是多少图 7－7－11解：本题用运动学很难解答，但选用 A 、B 球及细线为研究系统，重力以外的力不做功，故用机械能守恒定律求解．选用轴心所在水平线为势能零点，则刚开始时系统机械能为零，即 E 1＝0．当 B 球到达最高点时，系统机械能为E 2＝ mgR ＋ 122 R1 （ m ）v 2mv －mg22422因为 E 1＝E 2即 ＝ mgR ＋ 1 22 R1（ m ）v 2mv － mg0 2242 2解得v ＝2gR(1)3。
