当前位置：文档之家 › 机械系统动力学课件

机械系统动力学课件

  • 格式：pdf
  • 大小：3.06 MB
  • 文档页数：28

下载文档原格式

  / 28

合集下载

第三部分机械系统弹性动力学基础课件

第三部分机械系统弹性动力学基础课件

（3） 两端均固定。边界条件可表示为
U (0) U (l) 0
它相当于（ 4-24 ）中k= ∞的情形。其相应的频率为
从而求的其固有频率
sin n l 0
nk
k
l
k
l
E , k 1,2,3, (4 28)
对应主振型
Uk (x)
C1k
sin
k
l
x, k
1,2,3
(4 29)
所以前三阶的主振型为
k11 k 21
k12 k 22
k13 k 23
y1 y2
0
0 0 m3 y3 k31 k32 k33 y3
其特征方程的代数形式为
8F0 l
A
4
l
2 n
2 n
4F0 l
0
4F0
l
8F0 l
A
4
l
2 n
4F0
l
0
4F0
0
l
8F0 l
A
4
l
2 n
解得固有频率为
n1
3.059 l
2(t ) t 2
a2 Y (x)
2Y (x) x 2
式中x和t两个变量已分离。
(4 3)
两边都必须等于同一个常数。设此常数为- wn2 则可得 两个二阶常微分方程
2(t ) t 2
wn2 (t )
0
2Y (x) x 2
wn2 a2
Y
(x)
0
(4 4)
(4 5)
式 （4-4）形式 与单自由度振动微分方程相同，其必为 简谐振动形式
左右截面的位移分别为u, u u dx
故微分段的应变为 u x

《机械系统动力学》课件

《机械系统动力学》课件
04
数值模拟法的缺点是计算量大，计算时间长，且需要较高的数学建模 和数值计算能力。
解析法
01 02 03 04
解析法是通过数学解析的方法来求解机械系统动力学问题的方法。
解析法需要建立系统的数学模型，利用数学解析的方法求解模型的微 分方程或差分方程，以获得系统的解析解。
解析法的优点是能够获得系统的精确解，具有较高的理论价值。
实验研究法的优点是能够直接获取系统的实际动 力学行为，具有较高的真实性和可靠性。
数值模拟法
01
数值模拟法是通过计算机数值计算来模拟机械系统的动态行为的方法 。
02
数值模拟法需要建立系统的数学模型，利用数值计算方法求解模型的 微分方程或差分方程，以获得系统的动态响应。
03
数值模拟法的优点是能够模拟复杂系统的动态行为，具有较高的灵活 性和可重复性。
动能定理
总结词
描述物体动能变化的定理
详细描述
动能定理指出，一个物体动能的改变等于作用力对物体所做的功。这个定理是能 量守恒定律在动力学中的表现，是分析机械系统运动状态的重要工具。
势能定理
总结词
描述物体势能变化的定理
详细描述
势能定理指出，一个物体势能的改变等于作用力对物体所做的负功。这个定理可以帮助我们分析机械系统的运动 状态，特别是当物体受到重力的作用时。
CHAPTER 04
机械系统动力学的研究方法
实验研究法
实验研究法需要设计和搭建实验装置，对系统 施加激励并采集响应数据，通过分析数据来揭
示系统的动态特性。
实验研究法的缺点是实验成本较高，实验条件难以控 制，且实验结果可能受到实验误差和环境因素的影响
。
实验研究法是通过实验测试和观察机械系统的 动态行为，以获取系统的动力学特性和性能参 数的方法。

高等机构学第十一章-机械系统动力学课件.ppt

高等机构学第十一章-机械系统动力学课件.ppt
i 1
n
n
Pi
等效构件作转动
M e Pi ,
i 1
Me
i 1
n
n
Pi
等效构件作移动 Fev Pi , i 1
Fe
i 1
v
n
Pi 机构中所有构件在运动过程的瞬时功率之和
i 1
Me
Je
Fe
me
v
注意： M e M ed M er
等效构件的力矩或力的运动方程的微分形式为：
d 2 dJ M d M r J dt 2 d
d
2 d f (,)
d
J
将其代入下面的欧拉公式，则：
i1
i
(
d d
)
i
i
M
(
i
,
i
)
2
2
J ii
(
dJ
d
)
i
用差商 Ji1 Ji Ji1 Ji
i1 i
代替
(
dJ
d
)
i
则上式变换为：
i1
3J i J i1 2Ji
i
M (i ,i ) J i i
的近似值约为：
1 2
(i
i1)t
F1
m
( F jx
j 1
x j q1
F jy
y j q1
M
j
j
q1
)
F2
m
( F jx
j 1
x j q2
F jy
y j q2
Mj
j )
q2
……
Fn
m
( F jx
j 1
x j qn
F jy
y j qn

机械系统动力学-PPT课件

机械系统动力学-PPT课件
n
2
，可求解等效转动惯量：
n v i 2 si2 J J （ ) m ( ) e si i i i 1 1
HIGH EDUCATION PRESS
第十四章 机械系统动力学
1.作定轴转动的等效构件的等效参量的计算
等效力矩的计算：
等效构件的瞬时功率：P M e
系统中各类构件的瞬时功率： P P F v cos i 'M i i i'' i si i
0 Md tan 0 n tan Mn
M M n 0 n M d 0 n 0 n ab
HIGH EDUCATION PRESS
第十四章 机械系统动力学
二、机械的运转过程
1.启动阶段 2. 机械的稳定运转阶段
3. 机械的停车阶段
第十四章 机械系统动力学
P P ' P ' ' M F v cos i i i i i i si i
第十四章 机械系统动力学
HIGH EDUCATION PRESS
1.作定轴转动的等效构件的等效参量的计算
整个机械系统的瞬时功率为：
P M F v cos i i i si i
i 1 i 1 n n
HIGH EDUCATION PRESS
3.机械的停车阶段
停车阶段是指机械由稳定运转的工作转数下降到零转
数的过程。
第十四章 机械系统动力学
HIGH EDUCATION PRESS
第二节 机械系统的等效动力学模型
一、等效动力学模型的建立 二、等效构件 三、等效参量的计算 四、实例与分析
第十四章 机械系统动力学
作往复移动的等 效构件的微分方 程

01-机械系统动力学ppt

01-机械系统动力学ppt

目的 驱动功大于阻力功时飞轮积蓄能量而只使主轴的角速度略增；
驱动功小于阻力功时飞轮释放能量而只使主轴速度略降。
ω
02
2 Jv
0
M
vd
和两个位置间的运行时间： dt d
ω
1
t t0 ω d 0
（2）等效力矩为等效构件角速度的函数，等效转动惯量为常数 由电动机驱动的鼓风机、离心泵、起重机等
用力矩方程
M
v
M
va
M
vc
Jv
dω dt
求解达到某角速度ω的时间：
ω
dω
1 t dtt0 t
ω 0 M va M vc Jv t0
转化方法：
将整个机械系统的动力学问题转化为系统中 某一运动构件的动力学问题，该运动构件称 为等效构件，通常等效构件取为原动件。
转化
等效构件 作 直线移动 或作 定轴转动，用牛顿第二定律计算方便。
转化内容：
为使等效构件与系统中该构件的真实运动一致，需将作 用于原机械系统的所有外力与外力矩、所有运动构件的质量 与转动惯量都向等效构件转化。
直线移动：
Fv
v2 2
dm v ds
m
vv
dv/dt ds/dt
v2 2
dm v ds
m
v
dv dt
定轴转动：
M
v
ω 2 dJv
2 d
Jvω
dω /dt ω 2
d/dt 2
dJv
d
Jv
dω dt
当系统的速比为常数时，Jv、mv为常数，有：
直线移动：力形式的运动方程 dv
Fv Fva Fvc m v dt
1 2
(m

01-机械系统动力学ppt

01-机械系统动力学ppt

m
v
n
m
i1
i
vS v
i
2
JS
i
ωi v
2
定轴转动——等效转动惯量
Jv
n
m
i1
i
vSi ω
2
JS
i
ωi ω
2
原系统运动构件的质量和对质心的转动惯量一般为常数； 等效质量和等效转动惯量与原系统的质量、惯性矩有关； 也与速比有关，速比 vi /v、ωi / v 、vi /ω 、ωi /ω是系统
14.2.1 作用在机械上的力
西安交通大学奚延辉 机械运转时，作用在机械上的力有驱动力、工作阻力、
重力、惯性力和运动副中的约束反力。
当忽略重力、惯性Biblioteka 和约束反力时，作用在机械上的外 力可分为两大类：驱动力和工作阻力。它们对机械的影响 最直接，因此，必须知道它们的机械特性。
所谓力的机械特性是指力与运动参数（位置、速度等） 之间的变化关系。把这种关系制成曲线即所谓“机械特性 曲线”。
Jv
dω dt
求解达到某角速度ω的时间：
ω
ω0
M
dω va M
vc
1 Jv
t
dt
t0
t t0 Jv
t
t0
ω
Jv
ω0
M
dω va M
vc
和此时的角位移：
M
va
M
vc
Jv
ω dω ω dt
0
ω
Jv
ω0
M
ω
va
dω M
vc
等效动力学模型中，等效力、等效质量的计算以及机械运动方
程式的求解各有一个例题，可以自行参考。

机械知识之机械系统动力学PPT课件( 40页)

机械知识之机械系统动力学PPT课件( 40页)

过分追求机械运转的平稳性，将使飞轮过于笨重。
2）当JF与m一定时 ， [W] - 成正比。即[W]越大，
机械运转速度越不均匀。
3）由于J≠∞，而[W]和m又为有限值，故 不可能
为“0”，即使安装飞轮，机械总是有波动。
4）J与m的平方成反比，即平均转速越高，所需飞轮
的转动惯量越小。故飞轮一般安装在高速轴上。
W < 0 ——亏功

t
启动 稳定运转 停车
停车时间由Wc决定。加快停车，需加制动。 启动阶段和停车阶段称为过渡过程。
三、速度不均匀系数
ω
主轴角速度 = (t)
则平均角速度：
mi n ω max ω
m

1 T
T
d
0
O
T
φ
工程上常用其算术平均值表示：
ωm＝（ωmax＋ωmin）/2
A
B5
C
D
K
2
M
K O
R
6
1
4 3
工作介质
1—原动机 2—工作机 5—调节器本体 6—节流阀
§8-5 飞轮设计
飞轮设计的基本问题： 已知作用在主轴上的驱动力矩和阻力矩的变化
规律，在[]的范围内，确定安装在主轴上的飞轮
的转动惯量 JF 。
一、飞轮转动惯量计算
Md
驱动力矩Md (φ)和阻力矩Mr (φ) 是原动机转角的函数。
解：1)求Md
由于在一个循环内Md和
kNm Mr
Mr所作的功相等，故可得： Md
10
Md
1
2
2
0
Mrd
0
2 1 [1 21 02(1 2 21)0 ]5

机械系统动力学培训教程(ppt 46页)

机械系统动力学培训教程(ppt 46页)
2 1
10.1.2 机械的运转过程
• 2、稳定运行阶段：
– 原动件速度保持常数(称匀速稳定运转) – 原动件围绕某一恒定的平均值作周期性速
度波动(称变速稳定运转)。
在一个周期内任一时间间隔中，输入功与总 耗功不一定相等。
10.1.2 机械的运转过程
• 停车阶段：
– 原动件从正常转速下降到0。
启动阶段和停车阶段统称为机械系统的 过渡过程。
10.1 作用在机械中的外力和机械 的运转过程
• 10.1.1 作用在机械上的力
– 驱动力 – 工作阻力
1、驱动力：原动机发出的力(力矩)。
– 常用原动机有：内燃机、直流电动机、交 流电动机
– 机械特性：机械的力学参数(力或力矩)与运 动参数(位移、速度、加速度)之间的关系。 例如：
a、内燃机发出的驱动力是活塞位置的函数； b、电动机发出的驱动力矩是转子角速度的函
10.2 机械的等效动力学模型
2、 等效力矩
• 求等效力矩遵循的原则：作用在各构件上的外力和外力矩 所作功(功率)之和等于作用在等效构件上的等效力矩（或 力）所作功(功率)。 – 选转动构件为等效构件，根据功率等效原则：
等效力矩：
Hale Waihona Puke 小结：1〕 Me是等效力矩，是机构位置的函数； 2〕等效力矩Me为正时，为等效驱动力矩；为负
• （4）球磨机、粉碎机： 工作阻力是时间的函数
10.1.2 机械的运转过程
• 机械系统的运转过程分为三个阶段： 启动、稳定运转和停止。
10.1.2 机械的运转过程
10.1.2 机械的运转过程
10.1.2 机械的运转过程
• 机械系统的动能方程：
1、启动阶段：
原动件的速度(或角速度)从零逐渐增加， 直到开始稳定运转。

机械系统动力学课件

机械系统动力学课件
2
ke1 = k1
（22）
等效力矩 M e2 = M 2 + M '2 iC ,Ι 2 ...... M en = M niN −1,Ι M e1 = M 1
（23）
整个简化力学模型如图 3（b）所示，它共包含 n 个广义坐标 θ1 , θ 2 ,..., θ n 。广 义坐标还可以用另一种办法来建立。整个简化系统有一个统一的刚体运动（角速 & ）还有 n-1 个弹性运动。可以取一个刚体自由度 θ ，加上 n-1 个弹性自由 度为 θ 1 1 度 q1 , q2 ,..., qn−1 形成 n 个广义坐标，弹性自由度 q2 = θ 3 − θ 2 ...... qn −1 = θ n − θ n −1 （二）求固有频率的传递矩阵法 针对图 3（b）的力学模型不难建立起多自由度振动方程，然后用求解特征值 问题的方法得到扭振的固有频率。但是当系统的自由度数很大时，特征值求解的 计算工作量就急剧增加。 对于轴系这样一种链状结构还有一种很有效的求解方法 ——传递矩阵法。 传递矩阵法只需要进行低阶矩阵的乘法运算，能节省很大的工 作量。 1. 状态变量 用前述建立力学模型的方法得到如图 6 所示的简化系统。这一模型可以离散
式中 Mθ 为基于圆盘角位移的质量矩阵，其元素可依下式计算： ( M θ )ij = ∫ J *dφ 'i ( x )φ ' j ( x )dx
0 l
（5）
得：
2
3l 36 4l 2 J *d Mθ = 30l ( sym) 因而，盘单元的总质量矩阵为：
−36 −3l 36
3l −l 2 −3l 4l 2
（6）MΒιβλιοθήκη = M y + Mθ 式中 M y 为仅考虑横向线性位移的质量矩阵，计算方法同轴单元。

机械系统动力学课件

机械系统动力学课件

机械系统动⼒学课件第10章机械系统动⼒学10.1作⽤在机械上的⼒及机械的运转过程10.2机械的等效⼒学模型10.3机械运动⽅程式的建⽴及求解10.4机械的速度波动及调节⽅法10.5飞轮设计⼯作阻⼒驱动⼒10.1作⽤在机械上的⼒及机械的运转过程作⽤在机械上的⼒10.1作⽤在机械上的⼒及机械的运转过程机械的运转过程及特征三个运转阶段的特征：阶段速度特征能量特征启动原动件的速度从零逐渐上升到开始稳定的过程Wd-Wc=E2-E1>0稳定运⾏原动件速度保持常数或在正常⼯作速度的平均值上下作周期性的速度波动Wd-Wc=E2-E1=0停车原动件速度从正常⼯作速度值下降到零Wd-Wc=E2-E1<0原则：使系统转化前后的动⼒学效果保持不变等效构件的动能，应等于整个系统的总动能等效构件上所做的功，应等于整个系统所做功之和。

10.2机械的等效动⼒学模型10.2.1等效动⼒学模型的建⽴⽬的：通过建⽴外⼒与运动参数间的函数表达式，研究机械系统的真实运动等效动⼒学模型等效⼒：Fe等效质量：me等效⼒矩：Me等效转动惯量：Je10.2.2等效量的计算功率和不变等效⼒等效⼒矩等效⼒矩的特征：等效⼒矩是⼀个假想⼒矩；等效⼒矩为正，是等效驱动⼒矩，反之，为等效阻⼒矩；等效⼒矩不仅与外⼒（矩）有关，⽽且与各构件相对于等效构件的速度⽐有关；等效⼒矩与机械系统驱动构件的真实速度⽆关。

10.2.2等效量的计算动能不变等效质量等效转动惯量等效转动惯量的特征：等效转动惯量是⼀个假想转动惯量；等效转动惯量不仅与各构件质量和转动惯量有关，⽽且与各构件相对于等效构件的速度⽐平⽅有关；等效⼒矩与机械系统驱动构件的真实速度⽆关。

10.3机械运动⽅程式的建⽴与求解能量形式⽅程式10.3机械运动⽅程式的建⽴与求解⼒矩形式⽅程式原因分析：10.4机械速度的波动及其调节⽅法10.4.1周期性速度波动及其调节速度波动衡量指标：周期性速度波动的调节⽅法：安装飞轮：机械出现盈功时，飞轮以动能的形式存储能量；机械出现亏功时，飞轮释放其存储的能量。

机械系统的动力学分析ppt课件

机械系统的动力学分析ppt课件

)
2
min
m (1
)
2
则得：
2 max
2 min
2
2 m
三、机械的调速
2、周期性速度波动的调节 讨论：
max min m
（1）由公式可知，若ωm一定，当δ↓，则ωmax－ωmin↓， 机械运转愈平稳；反之，机械运转愈不平稳。设计时为
使机械运转平稳，要求其速度不均匀系数不超过允许值。
即：
δ ≤[δ ]
为了便于讨论机械系统在外力作用下作 功和动能变化，将整个机械系统个构件的运 动问题根据能量守恒原理转化成对某个构件 的运动问题进行研究。为此引入等效转动惯 量（质量）、等效力（力矩）、等效构件的 概念，建立系统的单自由度等效动力学模型。
§17-2 机械的运转和速度波动的调节
二、机械系统动力学的等效量和运动方程 1、机械的运动方程式的一般表达式
计计算和强度计算的重要依据。 方法：图解法和解析法
§17-1 平面机构力分析
二、平面机构动态静力分析 1、构件惯性力的确定 1）作平面复合运动的构件
2）作平面移动的构件 惯性力P1＝—mαs
3）绕定轴转动的构件 惯性力偶矩MI1
§17-2 机械的运转和速度波动的调节
一、机械的运转
机械运转中的功能关系
三、机械的调速
3、飞轮的设计原理 由于机械中其他运动构件的动能比飞轮的动能小
很多，一般近似认为飞轮的动能就等于整个机械所具
有的动能。即飞轮动能的最大变化量△Emax应等于机
械最W大m盈ax 亏 J功(E△mmWaaxx maxE。mmina)xmEax m2inmin12JJ(m2m2ax
2 min
Me = M1-F3(v3/ω1)

总09-机械系统动力学设计PPT课件

总09-机械系统动力学设计PPT课件

产生的离心惯性力为 F b=mb 2 r b。
满足平衡条件 :
F Fb Fi 0
F2
F1
m1 rm1r22rbr3 m3
F3
mb
第第二九章章 机机械构系的统结构动分力析学设计
平衡条件：离心惯性力的矢量和为零。
还可表达为 W mbrb miri 0
即质径积矢量和为零。
平衡计算方法：
须满足平衡条件： P 0 , M 0
平衡条件： 离心惯性力矢量和为零,
离心惯性力所构成的力偶矩矢量和也为零。
第第二九章章 机机械构系的统结构动分力析学设计
平衡计算方法：
(1) 选择两个平衡基面、。
(2) 将各离心惯性力F1、F2、F3…
分解到、面内。 如将F1分解为F1'和F1"：
F1' = l1F1/ L,
(1) 能量形式的运动方程式
以回转构件为等效构件时，由动能定理得 d(1 J () 2 ) M (,,t)d
2
上式即为能量微分形式的机械运动方程式。
对上式积分可得到能量积分形式的机械运动方程式：
(2) 力矩形式的运动方程式
1 2
J
() 2
1 2
J
2
00
M (,,t)d
0
通过对能量微分形式的方程作等价变换后，得到下面的方程式：
(2) 平均角速度和速度不均匀系数
度在的工平平 程均均上角值，速，我度即们ω常m用是下指式一计个算运m 动 周0T期Td内，角速ω
m
min
max 2
速度波动程度可用速度不均匀系数δ来表示
max min
ωmin
m
ωmax
φ
φT

机械系统动力学课件

机械系统动力学课件

从能量角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性 是贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。 当物体沿x轴作直线运动时，惯性的大小可用质 量来表示。根据牛顿第二定律，有：
d x F m 2 dt
质量的单位是KG。物体的质量是反映其惯性的基 本元件，质量的大小是反映物体惯性的基本物理 参数。
2
典型的恢复性元件是弹簧，该恢复性元件所产 生的恢复力Fs是该元件位移x的函数，即： Fs＝ Fs(x) 其作用方向与位移x的方向相反。当Fs(x)为 线性函数时，即 Fs＝－kx
初始扰动（初始条件） 以扰动加于系统上的这一时刻作为时间计算 的起点，即t=0 因此，加到系统上的扰动也叫做初始扰动， 一般叫做加于系统上的初始条件 加于系统上的初始扰动可以是初始位移或初 始速度
坐标的建立 • 取系统静平衡位置作为空间坐标的原点 • 以x表示质量块由静平衡位置算起的垂 直位移，假定向下为正 • 在某一时刻t，系统的位移为x(t)
0
2 2 n
0
2 2 n
上式叫做系统的特征方程或频率方程 它有一对共轭虚根：
1 jn
2 jn
叫做系统的特征值或固有值
方程的两个独立的特解分别为
x1 (t ) B1e
x2 (t ) B2 e
B1和B2是任意常数
j n t
j n t
2 T a0 x(t )dt T 0 2 T b0 x(t ) cos ntdt T 0 2 T bn x(t ) sin ntdt T 0
an cos nt bn sin nt An sin(nt n )
式中：
对于特定的n，我们可得
An a
2
n

《机械动力学》课件

《机械动力学》课件

求解方法
02
通过迭代法、图形解法、近似解法等求解。
应用领域
03
在化学、生物、经济等领域中广泛应用，如化学反应动力学、
生态学模型等。
离散化方法
定义
将连续的时间或空间离散化，将微分方程法、龙格-库塔法、改进的欧拉法等。
应用领域
在数值计算、计算机模拟等领域中广泛应用，如天气预报、流体 动力学模拟等。
模型建立提供依据。
实验结果与结论
实验结果
实验结果是通过实验观察和数据分析得出的结论，包括对机械系统动力学行为的描述和 解释。
实验结论
实验结论是对实验结果进行总结和归纳，指出实验的局限性和未来改进的方向，同时对 理论分析和模型建立提供支持和验证。
06 机械动力学的未来发展与挑战
新材料与新结构的应用
智能优化
利用人工智能技术进行机械系统优化设计，实现自适应 调整和智能控制，提高机械设备的稳定性和可靠性。
谢谢聆听
能量守恒定律
总结词
描述能量总量保持不变的定律
VS
详细描述
能量守恒定律指出，能量不能被创造或消 灭，只能从一种形式转化为另一种形式。 在机械动力学中，这个定律用于分析各种 运动形式的能量转化和守恒问题。
动能定理
总结词
描述物体动能变化与外力做功关系的定理
详细描述
动能定理指出，合外力对物体做的功等于物 体动能的增量。这个定理是分析机械运动状 态变化的重要工具，特别是在计算速度、加 速度和力之间的关系时非常有用。
要点一
新材料
随着科技的进步，新型材料如碳纤维、钛合金等在机械动 力学中得到广泛应用，这些材料具有高强度、轻量化的特 点，能够显著提升机械设备的性能和效率。
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
– A bar moving in a plane
52
13
2016-11-16
• Generalized Coordinates:
– The variables that we select to locate the current position of a system
Force and torque balance
18
Path Variables
s 0
lim
r_ P s
1 et ( s)
19
20
5
2016-11-16
21
22
Joint Kinematical Descriptions
• Relation between two sets of orthogonal unit vectors in a plane
( t ) kx( t ) m x
Solve by assuming that
Newton’s laws to obtain equations of motion
x( t ) A sin( nt ）
Then we will have:
( t ) n A cos( nt ） x ( t ) - An 2 sin( nt ） x ( t ) kx( t ) m x
• Motion of bodies>>atomic scale • Speed of motions<<the speed of light
3
• Analytical dynamics
– Lagrangian-Hamiltonian approach (scalar)
4
1
2016-11-16
Newton’s laws to obtain equations of motion
11
Cartesian coordinates
12
3
2016-11-16
13
14
Cylindrical and polar coordinates
• Unit vectors in terms of i, j, k • Position • Velocity
For
• Acceleration
15 16
k J
14
2016-11-16
Two-degree-of-freedom torsional system
Example: Side section of a vehicle
第四章Introduction to analytical mechanics
• Newton-Euler formulation for deriving equations of motion. • Analytical mechanics:
4
2016-11-16
Spherical Coordinates
• Position • Extrinsic coordinate systems
– Rectangular Cartesian Coordinates – Cylindrical Coordinates – Spherical Coordinates
2016-11-16
Reference Books
• Advanced Engineering Dynamics (2 nd Edition, Jerry Ginsberg, Cambridge University Press 1995) • PPT (Pay attention to all the examples) • Where to find these materials?
• The velocity may be expressed in terms of either set of unit vectors
23
• Like components are grouped:
cos sin sin cos
• Substitute the relation between two sets of unit vectors into the previous Eq.
e e e e
cos e sin e sin e cos e cos sin e sin cos e
24
6
2016-11-16
25
26
Practice
27
28
7
2016-11-16
第二章Angular velocity
• Definition
Time derivative of a unit vector in rotating systems
• It is a property for the whole body • The sum of rotations
where
A e A e A e A 1 1 2 2 3 3 t
Angular velocity and angular acceleration
Example
• The angular acceleration is the rate of change of the angular velocity
5
The equation becomes:
- mn A sin( nt ） kA sin( nt ）
2
6
Newton’s laws to obtain equations of motion
• By substituting the initial conditions:
x( t ) A sin( nt ）
9 10
Chapter 1. Particle Kinematics
• Interest is on defining quantities such as position, velocity and acceleration • Need to specify a reference frame and a coordinate system in which to actually write the vector expressions. • Choose the coordinates naturally fit known aspects of the motion
Virtual Displacement
• Virtual movement
– Lagrange, Hamilton, etc. – More mathematical – Lagrange formulation: treat connected bodies as a single system
Two approaches to build equations of motion
• Vectorial dynamics
– Newton’s laws – Motion is described in physical coordinates and their derivatives
– Apply to particles, systems of particles & Rigid bodies/systems of rigid bodies – Newtonian mechanics:
– dynamics14@ – Password: dy1111
Introductory concepts
• Dynamics:
– Kinematics and kinetics of particles, rigid bodies and continua
• Kinematics:
– Studies motion without its cause
Two-degree-of-freedom system with viscous damping
1 ( c1 c2 )x 1 c2 x 2 ( k1 k2 )x1 k2 x2 0 m1 x m2 x2 c2 x1 c2 x2 k2 x1 k2 x2 0
• The number of degrees of freedom = the number of generalized coordinates minus the number of constraint equations
53
Force and torque balance
• Twisting motion: k is the torsional stiffness of shaft, the mass of the shaft is ignored. represents the angular position of the shaft relative to its equilibrium position. ( 0 ) position The disk will vibrate around the equilibrium .
7 8
2
2016-11-16
Lagrange’s equations
What will be covered?
• Kinematics
– Particle kinematics – Relative motion – Kinematics of rigid bodies
• Analytical Mechanics • Vibration • Matlab
• Velocity
• Intrinsic coordinates • Acceleration
17
– Path Variables: