广东省潮州市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 文(含解析)

潮州市2014-2015学年度第二学期期末高二级教学质量检测卷文科数学试卷潮州市2014-2015学年度第二学期期末高二级教学质量检测卷数学（文科）参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10二、填空题11、 < 12、 5 13、)2,1( 14、②③ 部分题目解答提示：7、(5)(7)752f f ==-=.8、由1>a 知，函数x a y -=为减函数，x y a log =为增函数.9、由已知得(2)0,f -=结合函数单调性可得.10、最小三角形的边长依次成等比数列，首项为1，公比为21，三角形个数依次成等差数列，首项为1，公差为3，12、运行第一次：n=6，i=2； 第二次：n=3，i=3；第三次：n=10，i=4；第四次：n=5，i=5。

三、解答题15、（本小题满分12分）解：由(z 1－2)i ＝1＋i 得，z 1－2＝1＋i i ＝(1＋i)(－i)＝1－i ， (3)分∴z 1＝3－i. …………6分依题意可设z 2＝x ＋2i(x ∈R )，则z 1·z 2＝(3－i)(x ＋2i)＝3x ＋2＋(6－x )i 为实数， …………9分∴x ＝6，∴z 2＝6＋2i. …………12分16、（本小题满分12分）解：任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2， (2)则f (x 1)－f (x 2)＝1－2a x 1＋2－1－2a x 2＋2＝(1－2a )(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2). ………………5分∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数， ∴f (x 1)－f (x 2)<0. ………7分∵x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴1－2a <0，故a >12. (10)分即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. ………………12分17、（本小题满分14分）解：(1)由于123451()8,5x x x x x x =++++= 123451()80,5y y y y y y =++++= ……2分 所以ˆay bx =-80208240=+⨯=， ……4分从而回归直线方程为 y ^＝－20x ＋240. (6)分(2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋240)－4(－20x ＋240) ……9分＝－20x 2＋320x －960＝－202(8)x -＋320. ……11分当且仅当x ＝8时，L 取得最大值． ……13分 故当单价定为8元时，工厂可获得最大利润． ……14分18. （本小题满分14分）解：（1）由已知可得，227a =，3213a =，4219a =. ……… 3分猜想 265n a n =-. ……… 6分（2）由（1）可得16256223231+⋅-⋅==+n n a a b n n n ……… 7分 161561)166566(61)16)(56(6+--=+--=+-=n n n n n n ……… 9分 故)161561()13171()711(21+--++-+-=+++n n b b b n 1611+-=n ……11分 因为*N n ∈，所以0161>+n ，即11611<+-n ……… 13分 故121<+++n b b b ……… 14分19、（本小题满分14分）解：(1)积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计 学习积极性高18 7 25 学习积极性一般6 19 25 合计 24 26 50不太主动参加班级工作的学生有26人，总人数为50人．频率为5025=. ……6分(2)假设学习积极性与对待班级工作的态度无关，由表中数据可得828.105.1126242525)761918(5022>=⨯⨯⨯⨯-⨯=K ……12分 ∴能在犯错误概率不超过0.001的前提下认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系． ……14分20、（本小题满分14分）解：（1）设0>x ，则0<-x ，于是2()f x x x -=--， 又)(x f 为奇函数，即)()(x f x f -=-即0>x 时，2().f x x x =+………4分 （2）假设存在这样的数b a ,. ∵0>a ，且2)(x x x f +=在0>x 时为增函数， ………6分 ∴],[b a x ∈时，]66,24[)](),([)(--=∈b a b f a f x f ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧+==-+==-a a a f a b b b f b 22)(24)(66 …………8分 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-⇒02306522a a b b⎩⎨⎧====⇒2132a a b b 或或，即⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==3121b a b a 或………10分 或⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==3222b a b a 或，考虑到0a b <，且6624-<-b a ， ………12分 可得符合条件的b a ,值分别为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.3,23121b a b a b a 或或………14分。

绝密★启用前潮州市2014-2015学年度高考第二次模拟考试数学(文科)本试卷共4页，20小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B 铅笔将准考证号涂黑.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 参考公式：球的表面积24R Sπ=一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数(2)(1)i ai ++是纯虚数(i 是虚数单位，a 是实数)，则a 等于（ ）A. -1B. 21-C.2D. 3 2．从匀速传递的新产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件新产品进行某项指标检 测，这样的抽样是（ ）A ．系统抽样B ．分层抽样C ．简单随机抽样D ．随机数法 3．在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定的平面的个数有（ ）A.1个B. 2个C. 3个D. 4个 4．已知数列的前n 项和2n S n =，则23a a -的值为（ ） A. 2- B. 2 C. 3- D. 35. 在ABC ∆中，若222c b a <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定}{n a6．若将一个质点随机投入下图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2BC ＝4，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π8 7．执行右边的程序框图，若输出127128s =，则输入p =A.6 B. 7 C.8 D.98．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆()1(2+-x 圆心的抛物线的方程是（ ）A ．23x y =或23x y -=B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92=9．已知)2,1(-A ，)1,(-a B ，)0,(b C -三点共线，其中0,0>>b a ，则ab 的最大值是（ ）A ．21 B ．41 C ．61 D ．81 10．已知奇函数)(x f y =的导函数()0f x '<在R 恒成立，且y x ,满足不等式0)2()2(22≥-+-y y f x x f，则22yx +的取值范围是( )A. 22,0[B. 2,0[C. ]2,1[D. ]222[ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是________.12．已知a b a b -=+=r r rr a b ⋅=r r．13．函数()f x 定义域为D ，若满足：①()f x 在D 内是单调函数；②存在D b a ⊆],[使()f x 在[],a b 上的值域为[]2,2a b ；那么就称)(x f y =为“域倍函数”。

潮州市2015-2016学年度第一学期期末高二级教学质量检测卷数学（文科）参考答案 一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D A B BB BC A C C A二、填空题13、4-. 14、24y x =- 15、156216、4 解答提示：1、由02>-x x 得0)1(>-x x 解得0<x 或1>x 故选D2、选项A 中忽略了当0=c 的情况，故A 错；选项B 的结论中不等号方向没改变，故B 错；选项C 中忽略了0<c 的情况，故C 错. 故选D3、特殊值验证22,(2)0x x =-=，∴2*,(2)0x N x ∀∈->是假命题，故选A4、由0)1)(5(<+-x x 解得51<<-x 所以p q 是的必要不充分条件，故选B5、因为/()cos ,f x x =- 所以/()cos ,f ββ=-故选B6、记125a a +=，x a a =+43，1365=+a a ，则13,,5x 成等差数列，故9=x 所以2713956=++=S .故选B.7、因为,,a b c 成等比数列，所以2,b ac =又2c a =，所以由余弦定理得 2222222(2)23cos 22224a cb ac ac a a a a B ac ac a a +-+-+-==== ，故选B 8、由抛物线的方程得12p =，设1122(,),(,),A x y B x y 则由抛物线定义得12132AF BF x x +=++=，即1252x x +=所以AB 的中点M 的横坐标为54，所以M 到y 轴的距离为54.故选C 9、因为/,x x y e xe =+所以曲线在点(0,1)处的切线斜率为1，则切线方程为10x y -+=，选A10、设等比数列{}n a 的公比为q ，其中0>q ，由题意知3122a a a =+，即21112a q a a q =+，因为10a ≠，所以有2210q q --=，由此解得12q =±，又0>q ，所以12q =+，所以8967a a a a ++＝26767()q a a a a ++＝2q ＝2(12)+＝322+，选C. 11、不妨设点P 在在双曲线的左支上，则由题意可得213,,PF c PF c ==由双曲线定义可得2132,PF PF c c a -=-= 则该双曲线的离心率23 1.31c e a ===+-故选C 12、由已知得/1()20f x x a x =-+++≤在(1,)x ∈+∞上恒成立，则min 12(),a x x +≤- (1,)x ∈+∞，所以20,2,a a +≤≤-故选A13、画出可行域，则在点（2,1--）处取得最小值4-14、设抛物线的方程为22(0)y px p =->，代入点(2,22)P -,得2p =，故抛物线的方程为24y x =-. 15、如图所示，在PMN ∆中，60PM =，45PNM ∠=︒，故120MPN ∠=︒， 由正弦定理可得60sin 45sin120MN =︒︒， 解得306MN =，所以该船的航行速度为1562海里/小时． 16、由椭圆方程知4,a =又由椭圆的定义和基本不等式得1212282,PF PF a PF PF +==≥ 即12 4.PF PF ≤ 当且仅当124PF PF ==时等号成立. 三、解答题17、（本小题满分10分）解： 当p 为真命题时，若0a =时，10 恒成立，0a ∴=符合题意 ------1分若0a ≠时，则需2040,a a a >⎧⎨∆=-<⎩ 0 4.a ∴<< 则 40<≤a ------3分 当q 为真命题时，则需140,a ∆=-≥ ∴1.4a ≤----5分 因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，所以 p 与q 是“一真一假”，当p 真q 假时，441<<a ------------6分当p 假q 真时，0<a ------------8分 综上，所求实数a 的取值范围是0<a 或441<<a -----------10分 18、（本小题满分12分）解：（1）由2sin b a B =，根据正弦定理得: sin 2sin sin B A B =，因为在三角形中sin 0B ≠，所以2sin 2A =， 由ABC ∆为锐角三角形得4A π=． …………………6分（2）根据余弦定理，得 A bc c b a cos 2222-+=44cos )13(62)324(6=+⋅⋅-++=π所以2a = ………………………12分19、（本小题满分12分）解：设鱼塘的长为x m ,宽为y m ,农田面积为s则农田长为(6)x m +，宽为(6)y m +32400xy =,(6)(6)6()36s x y xy x y =++=+++ …………………4分 ∴324366()324361234596s x y xy ==++≥+= ……………8分 当且仅当180x y ==时取等号，所以当180x y ==，234596s m =答: 当选的农田的长和宽都为186m 时，才能使占有农田的面积最少.……12分20、（本小题满分12分）解：（1）由数列{}n a 为公差不为零的等差数列，设其公差为d ，且0d ≠. ∵249,,a a a 成等比数列，∴2429a a a =⋅，即2111(3)()(8)a d a d a d +=++．整理得 213d a d =.∵0d ≠，∴13d a =.……① ………………3分 ∵37a =，∴127a d +=.……②由①②解得 11,3,a d == ∴1(1)332n a n n =+-⨯=-.所以{}n a 的通项公式是32n a n =-. ………………6分（2）由（1）知322n n b -=，∵3(1)2132282n n n n b b +-+-==，∴{}n b 是等比数列，且公比为8，首项12b =，……9分 ∴2(18)2(81)187n n n S --==-. ………………12分21、（本小题满分12分）解:（1）/2()32.f x x ax b =++ ………………1分 依题意, //2(1)3,()0,3f f == ………………3分 即⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=++034)32(33232b a b a ,解得⎩⎨⎧-==.42b a ………………5分.542)(23+-+=∴x x x x f ………………6分（2）由（1）知, /22()3443(2)().3f x x x x x =+-=+- …………7分令/()0f x =, 得.32,221=-=x x …………8分 当x 变化时, /(),()f x f x 的变化情况如下表: x4- (4,2)-- 2- )32,2(- 32 )1,32( 1 /()f x+ 0 - 0 + )(x f 11- ↗ 极大值13 ↘ 极小值2795 ↗ 4 )(x f ∴在区间]1,4[-上的最大值为13, 最小值为-11． …………12分22、（本小题满分12分）解：(1)由已知：222214a b e a -==，…① 又点3(1,)2M 在椭圆上，所以221914a b+=，…②联立①②解方程组，得224, 3.a b ==故椭圆C 的方程为221.43x y += ………………5分 (2)由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，化简整理得 222(34)84120k x kmx m +++-=，因为直线l 与椭圆C 相交于A B 、两点，所以222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->，……③ ……7分 设点,,A B P 的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，因为OAPB 是平行四边形，所以OP OA OB =+ ， 即012012122286,()23434km m x x x y y y k x x m k k=+=-=+=++=++.……………9分 由于点P 在椭圆C 上，所以2200 1.43x y += 从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式． 又2222222200222222264364(169)169||43(34)(34)(34)k m m m k k OP x y k k k k ++=+=+==++++234.43k =-+ 因为1||2k 0≤≤，得23434k +≤≤，有233443k +≤≤1，故133||2OP ≤≤. 综上，所求||OP 的取值范围是13[3,]2. ……………………12分。

2014-2015学年广东省潮州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4.00分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M ∩N）=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}2．（4.00分）已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（）A．α∥βB．α与β相交C．α与β重合D．α∥β或α与β相交3．（4.00分）下列函数中，在其定义域内是减函数的是（）A．f（x）=2x B．C．f（x）=lnx D．f（x）=4．（4.00分）函数f（x）=e x+x的零点所在一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）5．（4.00分）下列四个等式中，一定成立的是（）A．B．a m•a n=a mnC．D．lg2•lg3=lg56．（4.00分）已知函数f（x）=，则=（）A．﹣1 B．2 C．D．7．（4.00分）直线3x+4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（）A．3x﹣4y+5=0 B．3x+4y﹣5=0 C．4x+3y﹣5=0 D．4x+3y+5=08．（4.00分）如图，正方形O′A′B′C′的面积为4，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（）A．B．16 C．12 D．9．（4.00分）直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）A．B．C．2 D．10．（4.00分）已知f（x）=a x，g（x）=log a x（a＞0且a≠1），若f（1）•g（2）＜0，那么f（x）与g（x）在同一坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）11．（4.00分）直线x+3y+1=0的倾斜角是．12．（4.00分）圆心为（1，1）且与直线x﹣y=4相切的圆的方程是．13．（4.00分）已知奇函数y=f（x）满足当x≥0时，f（x）=2x+x﹣a，则f（﹣1）=．14．（4.00分）从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如图，则该几何体的体积为．三、解答题（本大题共5小题，满分44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（6.00分）已知集合A={x|x﹣2≥0}，集合B={x|x＜5}．（1）求A∪B；（2）求（∁R A）∩B．16．（8.00分）证明函数f（x）=﹣1在（0，+∞）上是减函数．17．（10.00分）在平面直角坐标系中，已知三个点的坐标分别为：O（0，0），B （2，2），C（4，0）．（1）若过点C作一条直线l，使点O和点B到直线l的距离相等，求直线l的方程；（2）求△OBC的外接圆的方程．18．（10.00分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=a．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．19．（10.00分）已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的定义域并判断函数的奇偶性；（2）设F（x）=m+f（x），若记f（x）=t，求函数F（x）的最大值的表达式g（m）．2014-2015学年广东省潮州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4.00分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M ∩N）=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}【解答】解：∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}，则∁U（M∩N）={1，4}，故选：D．2．（4.00分）已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（）A．α∥βB．α与β相交C．α与β重合D．α∥β或α与β相交【解答】解：由题意当两个平面平行时符合平面α内有无数条直线都与平面β平行，当两平面相交时，在α平面内作与交线平行的直线，也有平面α内有无数条直线都与平面β平行．故选：D．3．（4.00分）下列函数中，在其定义域内是减函数的是（）A．f（x）=2x B．C．f（x）=lnx D．f（x）=【解答】解：f（x）=2x是定义域R上的增函数，故排除A；f（x）=lnx是定义域（0，+∞）上的增函数，故排除C；f（x）=在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不单调，故排除D；f（x）=在定义域（0，+∞）上单调递减，故选：B．4．（4.00分）函数f（x）=e x+x的零点所在一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【解答】解：∵函数f（x）=e x+x是R上的连续函数，f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=1＞0，∴f（﹣1）•f（0）＜0，故函数f（x）=e x+x的零点所在一个区间是（﹣1，0），故选：B．5．（4.00分）下列四个等式中，一定成立的是（）A．B．a m•a n=a mnC．D．lg2•lg3=lg5【解答】解：A满足对数的运算法则，B选项应改为a m×a n=a m+n，C选项当n为奇数时，当n为偶数时．D不满足导数的运算法则，故选：A．6．（4.00分）已知函数f（x）=，则=（）A．﹣1 B．2 C．D．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）=，∴=．故选：D．7．（4.00分）直线3x+4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（）A．3x﹣4y+5=0 B．3x+4y﹣5=0 C．4x+3y﹣5=0 D．4x+3y+5=0【解答】解：由于（x，y）关于x轴对称点为（x，﹣y），则3x+4y+5=0关于x轴对称的直线方程为3x+4（﹣y）+5=0，即3x﹣4y+5=0，故选：A．8．（4.00分）如图，正方形O′A′B′C′的面积为4，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（）A．B．16 C．12 D．【解答】解：因为直观图中的线段C′B′∥x′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变为2，点C′和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，则OB=4，所以OC=6，则四边形OABC的长度为2（6+2）=16．故选：B．9．（4.00分）直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）A．B．C．2 D．【解答】解：连接OB，过O作OD⊥AB，根据垂径定理得：D为AB的中点，根据（x+2）2+（y﹣2）2=2得到圆心坐标为（﹣2，2），半径为．圆心O到直线AB的距离OD==，而半径OB=，则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD==，所以AB=2BD=故选：D．10．（4.00分）已知f（x）=a x，g（x）=log a x（a＞0且a≠1），若f（1）•g（2）＜0，那么f（x）与g（x）在同一坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由指数函数和对数函数的单调性知，函数f（x）=a x和g（x）=log a x （a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上单调性相同，故可排除选项A、D．而指数函数f（x）=a x的图象过定点（0，1），对数函数g（x）=log a x的图象过定点（1，0），再由关系式f（1）•g（2）＜0，故可排除选项B．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）11．（4.00分）直线x+3y+1=0的倾斜角是150°．【解答】解：直线方程化为，∴，∵0≤α＜180°，∴α=150°故答案为：150°．12．（4.00分）圆心为（1，1）且与直线x﹣y=4相切的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=8．【解答】解：设圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=r2∵直线x﹣y=4与圆相切∴圆的半径r==2因此，所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=8故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=813．（4.00分）已知奇函数y=f（x）满足当x≥0时，f（x）=2x+x﹣a，则f（﹣1）=﹣2．【解答】解：因为f（x）是奇函数，且在x=0时有定义，所以f（0）=1﹣a=0，所以a=1．所以x≥0时，f（x）=2x+x﹣1，所以f（1）=2．所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故答案为﹣2．14．（4.00分）从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如图，则该几何体的体积为．【解答】解：由题目所给的几何体的三视图可得该几何体的形状如下图所示：该几何体是一棱长为1的正方体切去如图所示的一角，∴剩余几何体的体积等于正方体的体积减去窃取的直三棱锥的体积，∴V=1﹣=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，满分44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（6.00分）已知集合A={x|x﹣2≥0}，集合B={x|x＜5}．（1）求A∪B；（2）求（∁R A）∩B．【解答】解（1）∵集合A={x|x﹣2≥0}，集合B={x|x＜5}．∴A∪B=R（2）C R A={x|x＜2}，（C R A）∩B={x|x＜2}16．（8.00分）证明函数f（x）=﹣1在（0，+∞）上是减函数．【解答】证明：设x1，x2是（0，+∞）上的两个任意实数，且x1＜x2，f （x1）﹣f （x2）=﹣1﹣（﹣1）=﹣=．因为x2﹣x1＞0，x1x2＞0，所以f （x1）﹣f （x2）＞0．即f （x1）＞f （x2），因此f （x）=﹣1是（0，+∞）上的减函数．17．（10.00分）在平面直角坐标系中，已知三个点的坐标分别为：O（0，0），B（2，2），C（4，0）．（1）若过点C作一条直线l，使点O和点B到直线l的距离相等，求直线l的方程；（2）求△OBC的外接圆的方程．【解答】解：（1）依题意可知，直线斜率存在．故设直线的斜率为k，由于直线过点C（4，0），故直线方程可表示为y=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k=0…（1分）因为点A（0，0），B（2，2）到直线的距离相等，所以…（3分）解得k=1或…（5分）故所求直线方程为y=x﹣4或…（7分）（2）设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入A，B，C的坐标，得…（8分）解得D=﹣4，E=0，F=0…（9分）故所求△ABC的外接圆的方程为x2+y2﹣4x=0…（10分）18．（10.00分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=a．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．【解答】证明：（1）设PD的中点为E，连接AE、NE，由N为PC的中点知EN DC，又ABCD是矩形，∴DC AB，∴EN AB又M是AB的中点，∴EN AM，∴AMNE是平行四边形∴MN∥AE，而AE⊂平面PAD，NM⊄平面PAD∴MN∥平面PAD证明：（2）∵PA=AD，∴AE⊥PD，又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AE，∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，又MN⊂平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD．19．（10.00分）已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的定义域并判断函数的奇偶性；（2）设F（x）=m+f（x），若记f（x）=t，求函数F（x）的最大值的表达式g（m）．【解答】解：（1）函数f（x）有意义，须满足，得﹣1≤x≤1，故函数定义域是{x|﹣1≤x≤1}．∵函数定义域关于原点对称，且，∴函数f（x）是偶函数．（2）设f（x）=t，则，∵，∴2≤[f（x）]2≤4，∵f （x ）≥0，∴， 即函数f （x ）的值域为，即∴，令∵抛物线y=h （t ）的对称轴为 ①当m ＞0时，，函数y=h （t ）在上单调递增，∴g （m ）=h （2）=m +2；②当m=0时，h （t ）=t ，g （m ）=2 ③当m ＜0时，，若，即时，函数y=h （t ）在上单调递减，∴； 若，即时，；若，即时，函数y=h （t ）在上单调递增，∴g （m ）=h （2）=m +2；综上得．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义 函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a > 01a <<xa y =y(0,1)1y =xa y =y(0,1)1y =定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

潮州市2012-2013学年度第一学期期末高二级教学质量检测卷数学 （理 科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1、不在．． 32x y + < 6 表示的平面区域内的一个点是A.（0，0）B.（1，1）C.（0，2）D. （2，0） 2、已知△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列，且AB=1，BC=4，则该三角形面积为A ．3B ．2C ．23D ．433、设命题甲:0122>++ax ax 的解集是实数集R ；命题乙:10<<a ,则命题甲是命题乙成立的A . 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既非充分又非必要条件 4、与圆1:C 1)1(22=++y x 及圆2:C 4)4(22=-+y x 都外切的动圆的圆心在 A. 一个圆上 B. 一个椭圆上C. 双曲线的一支上D. 一条抛物线上5、已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和。

若2312a a a ⋅=，且4a 与27a 的等差中项为54， 则5S 等于A. 31B. 32C. 33D. 34 6、如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为2的正 方形，若01160A AB A AD ∠=∠=，且13A A =，则1A C 的长为A 5B ．2C 14D 177、设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ,P 为抛物线上一点,PA ⊥l ,A 为垂足．如果直线AF 的斜率为-3,那么|PF|等于A ．3438、已知1F 、2F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，若椭圆上存在点P 使021=⋅PF PF ，则12PF PF =gA. ２ｂB. ２２ｂ C. ２ｂ D. ｂ二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9、命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的逆否命题是 .10、若方程22121x y m m -=++表示椭圆，则实数m 的取值范围是____________________. 11、某学习小组进行课外研究性学习，为了测量不能到达的A 、B 两地，他们测得C 、D 两地的直线 距离为2km ，并用仪器测得相关角度大小如图所 示，则A 、B 两地的距离大约等于23 1.732≈≈，结果保留两个有效数字） 12、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若9535=a a 则95S S =. 13、已知点P )1,0(及抛物线２ｙ＝ｘ＋２，Q 是抛物线上的动点，则||PQ 的最小值为 ．14、关于双曲线221916x y -=-，有以下说法：①实轴长为6；②双曲线的离心率是54； ③焦点坐标为(5,0)±；④渐近线方程是43y x =±，⑤焦点到渐近线的距离等于3. 正确的说法是 .（把所有正确的说法序号都填上）DCA三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答要写出证明过程或解题步骤） 15、（本小题满分12分）已知0a >且1a ≠，命题P ：函数log (1)a y x =+在区间(0,)+∞上为减函数； 命题Q ：曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴相交于不同的两点.若“P Q ∨”为真， “P Q ∧”为假，求实数a 的取值范围. 16、（本小题满分12分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，53cos =B 且21=• （1）求ABC ∆的面积；（2）若7=a ，求角C .17、(本小题满分l4分)广东省某家电企业根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调机、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问每周应生产空调机、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）18、(本小题满分14分)如右下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2 . E 、F 分别是线段 AB 、BC 上的点，且EB= FB=1.(1) 求二面角C —DE —C 1的余弦值;(2) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值.19、（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：*122311...().232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈20、（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为M (。

广东省汕头市潮阳区2014-2015学年高二上学期期末质量监测潮阳区2014～2015学年度第一学期高二年级期末质量监测（理科）数学试题参考答案及评分标准一、 选择题（每小题5分，共40分）8. 解析: 根据题意可知只须作出函数1()2xy =(0)x >的图象关于原点对称的图象，确定它与函数24(0)y x x x =--≤交点个数即可,由图象可知，只有一个交点．选B二、填空题（每小题5分，共30分）9. [-3，1] 10. -3 11. -1 12. 12π 13. y = 14. 114. 解析: 画图，两圆内切。

121222C C r r C C =-⇒=-当12C C 最小时，r 最大。

12C C 最小为点()10,0C 到直线3450x y +-=的距离1d =。

三、解答题。

15．（本小题满分12分）解：（1）在△ABC 中，A B C ++=π．………………………………………………1分所以coscos 22A C Bπ+-= ………………………………………………………2分 sin23B ==．………………………………………………………3分 所以2cos 12sin2BB =- ……………………………………………………5分 13=．………………………………………………………………7分 （2）因为3a =，b =1cos 3B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，………………………………………………9分得2210c c -+=．………………………………………………………………11分解得1c =．……………………………………………………………………………12分16. （本小题满分12分）解: 因为命题“P⌝”为假，所以命题P 是真命题. ……………………………………2分又因为命题“Q P ∧”为假，所以命题Q是假命题. ……………………………………4分要使对任意[1,2],x ∈不等式2x k≥恒成立，只需2min ()1k x ≤=， ……………………6分所以命题P 是真命题的条件是：1k ≤. …………………………7分关于x 的方程02=+-k x x 有实数根，则只需041≥-=∆k ，即41≤k . 命题Q 是真命题的条件是：41≤k ，所以命题Q 是假命题的条件是41>k . …………………10分 综上所述，使命题“P ⌝”为假，命题“Q P ∧”为假的条件是k 的取值范围为]1,41(. ……12分17.（本小题满分14分）解:(1)解法一: 设圆心(,)C a a ,因为AC BC =,=解得1a = (4)分所以圆心(1,1)C ,半径r AC == ………………………………6分 所以圆C 的方程为22(1)(1)5x y -+-= ……………………………………………7分解法二: 设圆C 的方程为()()()2220x a y a r r -+-=>,……………………………2分依题意得()()()222222332a a r a a r⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩,…………………………………………………………5分 解得21,5a r ==,所以圆C的方程为22(1)(1)5x y -+-= ………………………………7分解法三:依题意易得线段AB 的中垂线方程为32y x =-,……………………………………………2分联立方程组32y x y x =⎧⎨=-⎩,解得11x y =⎧⎨=⎩,所以圆心(1,1)C ,……………5分 下同解法一.（2）因为直线2y x m =+被圆C 所截得的弦长为4,所以圆心(1C 到直线2y x m =+的距离1d == ………………………11分1=，解得 1m =-………………………………………14分18．（本小题满分14分）（1）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，且CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥PA ． ……………1分 又∵AB =BC ，∠ABC =90°，∴∠BAC =45°，又∠BAD =90°，故∠CAD =45° ……………2分过C 作CE //AB ，交AD 于E ，则CE =AB =DE ，∠CED =∠BAD =90°，∴∠CDA =45° …………… 3分又∠CAD =45°，∴∠ACD =90°，即CD ⊥AC ． …………………………4分∵PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，且PA ∩AC=A ，∴CD ⊥平面PAC . ……………………6分（2）方法一：∵PA ⊥平面ABCD ，且CE ⊂平面ABCD ，∴CE ⊥PA ．由（1）知CE ⊥AD ，又PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA ∩AD=A ，∴CE ⊥平面PAD . …………………………7分过E 作EF ⊥PD 于F ，连结CF .∵CE ⊥平面PAD ，且PD ⊂平面PAD ，∴CE ⊥PD ．又EF ⊥PD ，且CE ∩EF=E ，∴PD ⊥平面CEF .又CF ⊂平面CEF ，∴CF ⊥PD ． …………………………8分 ∴∠CFE 是二面角A —PD —C 的平面角. …………………………10分 设PA =AB =BC =a ，则AD =2a ，CE =DE =a ，a PD 5=.由∆PAD ∽∆EFD ，得DPDEPA EF =，所以a DP PA DE EF 55=⨯=. …………………………11分所以a EF CE CF 53022=+=， …………………………12分∴cos EF CFE CF ∠==，即二面角A —PD —C的余弦值为 …………………14分 方法二：建立如图所示的空间直角坐标系， 设PA =AB =BC =a ，则AD =2a .所以A （0，0，0），B （a ，0，0），P （0，0，a ） D （0，2a ，0），C （a ，a ，0）. ………………7分所以),,(a a a --=，)0,,(a a -=. …………………………8分 设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则00n CP n CD ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，即00x y z x y --+=⎧⎨-+=⎩，得⎩⎨⎧==x z x y 2,，令x =1，得y =1，z =2，所以(1,1,2)=n 是平面PCD 的一个法向量. …………………………10分又平面PAD 的一个法向量为(1,0,0)=m …………………………11分 设向量n和m所成角为θ，则cos θ∙===n m n m …………………………13分∴即二面角A —PD —C 的余弦值为6…………………………14分19.（本小题满分14分）解: （1） 40,103221=+=+c c c c ， 所以 公比4=q …2分10411=+c c 得21=c , 121242--=⋅=n n n c ……………………4分所以212log 221n n a n -==-………5分 21()[1(21)]22n n n a a n n S n ++-===……6分 （2）由（Ⅰ）知211114122121n b n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭于是11111112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦……………9分 假设存在正整数()1m m >，使得16,,m m T T T 成等比数列，则216213121m m m m ⎛⎫=⨯ ⎪++⎝⎭，…11分整理得24720m m --=， 解得14m =-或 2m = , 由,1m N m *∈>，得2m =， 因此，存在正整数2m =，使得16,,m m T T T 成等比数列 ……………………14分20．（本小题满分14分）解:（1）方法一：依题意，设椭圆C 的方程为12222=+by a x ……1分，||||221PF PF a +=22= 所以2=a ……2分， 1=c ，所以122=-=c a b ……3分，椭圆C 的方程为1222=+y x ……4分 方法二：依题意，设椭圆C 的方程为12222=+by a x ，c=122111(1)2P a b∴+=点在椭圆上，又2221(2)c a b =-=联立（1）（2）得2212a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为1222=+y x （2）根据椭圆和抛物线的对称性，设) , (00y x M 、) , (00y x N -（0 , 00>y x ） (5)分，OMN ∆的面积0000)2(21y x y x S =⨯=……6 分， 法1、) , (00y x M 在椭圆上，122020=+y x ，所以222200001122x x y y +=⇒=- 那么22222220000011(1)(1)222x S x y x x ==-=--+ 当201x =时，2max 12S =，即当001(0)x x =>时,max S =将01x =代入220012x y =- 得⎪⎩⎪⎨⎧==22100y x ……8分，) , (00y x M 即)22 , 1(M 在抛物线px y 22=上，所以1222(2⨯=p ，解得41=p 。

2016级高二期末考试试卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．i 为虚数单位，则2013i = （ ）A ．i -B ．1-C ．iD ．1 2．若()e x f x x =，则(1)f '＝( )A ．0B ．eC ．2eD ．2e3．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点坐标是()5,0,则双曲线的渐近线方程是 （ ）A ．34y x =±B ．43y x =±C．y x = D．y x = 4．下列叙述：①若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反；②若两个向量均为同一个平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行； ③若一条直线的方向向量与某一个平面的法向量垂直，则该直线与这个平面平行. 其中正确的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．学校体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，西侧有2个大门，某学生到该体育场训练，但必须是从南或北门进入，从西门或北门出去，则他进出门的方案有( )A ．7个B ．12个C ．24个D ．35个 6．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{}n a 的前n 项和为n S .由21n a n =-，求出2221231,2,3,S S S ===，…，推断：2n S n =B ．由()cos f x x x =满足()()f x f x -=-对∀x ∈R 都成立，推断：()cos f x x x =为奇函数C ．由圆222x y r +=的面积2S r π=，推断：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积S ab π=D ．由()()()222123112,212,312,+>+>+>…，推断：对一切n ∈N *，()212n n +>7．已知函数32()393f x x x x =--+，若函数()()g x f x m =-在[]2,5x ∈-上有3个零点，则m 的取值范围为( ) A ．(－24,8)B ．(－24,1]C ．[1,8]D ．[1,8)8．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足90AFB ∠=.过弦AB的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为ABC ．1D二、 75分，共35分．9．204sin xdx π=⎰10．已知01a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1,则复数z 对应的点Z 到原点距离的取值范围是 11．曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线方程是 . 12．棱长均为3的三棱锥S ABC -，若空间一点P 满足(1)SP xSA ySB zSC x y z =++++=，则SP 的最小值为 .13．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是 .14．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12A A 、，点P 在椭圆C 上，记直线2PA 的斜率为2k ，直线1PA 的斜率为1k ，则 1k ·2k = . 15．函数2()ln(1)f x x a x =++有两个不同的极值点12,x x ，且12x x <，则实数a 的范围是 三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分） 设p :实数x 满足22430x ax a -+<, :q 实数x 满足31x -<. (1)若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若其中0a >且p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 17．（本小题满分12分）如图,在三棱柱111ABC A B C －中,侧棱垂直底面,90ACB ∠=︒，12AC BC CC ===. （1）求证:11AB BC ⊥；（2）求二面角111C AB A －－的大小.18．（本小题满分12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()2462m y x x =+--，其中26x <<，m 为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.（1）求m 的值；（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）. 19．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S (即123n n S a a a a =++++)，且方程20n n x a x a --=有一根为n S －1，n ＝1,2,3…….（1）求12,a a ；（2）猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法给出严格的证明．20．（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M (0，13-)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分13分）已知),1ln()(+=x x f bx ax x g +=221)( （1）若0=a ，1=b 时，求证：0)()(≤-x g x f 对于),1(+∞-∈x 恒成立； （2）若2=b ，且)()1()(x g x f x h --=存在单调递减区间，求a 的取值范围；（3）利用（1）的结论证明：若y x <<0，则2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+．CCBBDADA 9．4 10．()1,2 11．1y x =- 12．6 13．24 14．－34 15．10,2⎛⎫⎪⎝⎭16．解:（1）. 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<当1a =时，13x <<,即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.……………2分由31x -<, 得131x -<-<, 得24x <<即q 为真时实数x 的取值范围是24x <<,……4分 若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<.……6分(2) 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --< p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p ⌝⇒q ⌝,且q ⌝⇒/p ⌝, ……………8分设A ={|}x p ⌝,B ={|}x q ⌝,则AB ,又A ={|}x p ⌝={|3}x x a x a ≤≥或, B ={|}x q ⌝={x|x≥4或x≤2}，……………10分 则02a <≤,且34a ≥所以实数a 的取值范围是423a ≤≤12分 17．解：：方法一：（1）∵11,AC BC AC CC BCCC C ⊥⊥=且∴11AC C CBB ⊥平面，又111BC C CBB ⊂平面∴1111,,AC BC B C BC AC B C C ⊥⊥=且 ∴1111BC AB C AB AB C ⊥⊂平面，又平面 ∴11AB BC ⊥（2）取11A B 的中点为H ，在平面11A ABB 内过H 作1HQ AB ⊥于点Q ，连接1C Q 则111C H A ABB ⊥平面，∴11C H AB ⊥，而1C H HQ H =∴1111AB C HQ AB C Q ⊥∴⊥平面，∴1C QH ∠是二面角111C AB A －－的平面角，又1162C H A AB HQ ==，在内，解得∴111tan 3,60C HC QH C QH HQ∠==∠=︒∴二面角111C AB A －－为60°.18．解：（1）因为4x =时，21y =， 代入关系式()2462m y x x =+--，得16212m +=， 解得10m =.……………………4分 （2）由（1）可知，套题每日的销售量()210462y x x =+--，……………5分 所以每日销售套题所获得的利润()()()()()223210()24610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦……………………8分从而()()()()2'121122404310626f x x x x x x =-+=--<<.令()'0f x =，得103x =,且在102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上,0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；在10,63⎛⎫⎪⎝⎭上，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减， ……………………10分所以103x =是函数)(x f 在()2,6内的极大值点，也是最大值点，所以当103.33x =≈时，函数)(x f 取得最大值. 故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. …………………12分19．解：(1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.……………3分当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是⎝⎛⎭⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16.……5分 (2)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.① 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1,2,3…. ……………7分下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ)n ＝1时已知结论成立．……………8分(ⅱ)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k，……………10分 即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立．……………12分综上，由(ⅰ)(ⅱ)可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立．……………13分1CA BC1A1B20．解：（1）设椭圆的焦距为2c，则由题设可知2221a c ca a cb ⎧-=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解此方程组得a =1b =. 所以椭圆C 的方程是2212x y +=. ……………………5分 （2）解法一：假设存在点T （u, v ）. 若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-， 将它代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160k x kx +--=．设点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则 12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=--及112211,,33y kx y kx =-=-所以1212()()()()TA TB x u x u y v y v =--+--2221212121(1)()()339v k x x u k kv x x u v =+-+++++++222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-=+ …………………9分 当且仅当0TA TB =恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以2222618180,0,33250.u v u u v v ⎧+-=⎪=⎨⎪++-=⎩解得0, 1.u v ==此时以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）. …………………11分 当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点T （0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1），满足条件. …………………13分解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是22 1.x y +=若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是22116().39x y ++=……………7分 由22221,116().39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得01x y =⎧⎨=⎩.由此可知所求点T 如果存在，只能是（0，1）. ………………8分 事实上点T （0，1）就是所求的点. 证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点T （0，1）；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-，代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160.k x kx +--= 设点A 、B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩…………………10分因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-，21212121212416()1(1)()39TA TA x x y y y y k x x k x x =+-++=+-++222216161632160.189k k k k ---++==+所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件. …………………13分 21．解：（1）设x x x g x f x -+=-=)1ln()()()(ϕ，则.1111)('+-=-+=x x x x ϕ………………….2分当时，)(x 有最大值0 ∴0)(≤x 恒成立。

2014-2015学年广东省潮州市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|0＜x≤2}，B={x|x＜1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1]C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．（5分）复数z=（1+i）（1﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1，0）B．（2，0）C．（0，1）D．（0，2）3．（5分）若向量=（2，﹣1），=（0，2），则以下向量中与+垂直的是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（2，1）D．（0，2）4．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ=（）A．﹣B．C．﹣D．5．（5分）设a=40.1，b=log30.1，c=0.50.1，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a 6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．27．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且a2013+a2015=dx，则a2014（a2012+2a2014+a2016）的值为（）A．π2B．2πC．πD．4π28．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=﹣f（x），且x∈[﹣1，1]时，f （x）=1﹣x2，已知函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（）A．7B．8C．9D．10二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，则a的取值范围是．10．（5分）曲线y=﹣x3+3x2在x=1处的切线方程为．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，则p 的值为．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是．13．（5分）二项式（ax2﹣）5的展开式中常数项为160，则a的值为．14．（5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为．（用数字作答）三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）已知函数f（x）=2cos（x﹣），x∈R．（1）求f（π）的值；（2）若f（α+）=，α∈（﹣，0），求f（2α）的值．16．（13分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体制健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体制健康标准，成绩不低于76的为优良．（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体制健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．18．（14分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且2S n=a n+2n2（n∈N*）．（1）求a n，S n；（2）若a k，a2k﹣2，a2k+1（k∈）是等比数列{b n}的前三项，设T n=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n，求T n．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点P（，），离心率为，动点M（2，t）（t＞0）．（1）求椭圆的标准方程；（2）求以O M（O为坐标原点）为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作O M的垂线与以O M为直径的圆交于点N，证明线段O N的长为定值，并求出这个定值．20．（14分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．2014-2015学年广东省潮州市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|0＜x≤2}，B={x|x＜1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：∵A=（0，2]，B=（﹣∞，1），∴A∪B=（﹣∞，2]，∵全集为U=R，∴∁U（A∪B）=（2，+∞）．故选：C．2．（5分）复数z=（1+i）（1﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1，0）B．（2，0）C．（0，1）D．（0，2）【解答】解：由于复数z=（1+i）（1﹣i）=1﹣i2=2，故此复数对应点的坐标为（2，0），故选：B．3．（5分）若向量=（2，﹣1），=（0，2），则以下向量中与+垂直的是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（2，1）D．（0，2）【解答】解：∵向量=（2，﹣1），=（0，2），∴+=（2，1），对于A，2×1+1×（﹣2）=0，∴该向量与向量+垂直；∴可以排除掉B、C、D选项．故选：A．4．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：有函数的图象顶点坐标可得A=2，再根据==﹣求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=可得φ=，故选：D．5．（5分）设a=40.1，b=log30.1，c=0.50.1，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【解答】解：∵a=40.1＞1，b=log30.1＜0，0＜c=0.50.1＜1，∴a＞c＞b．故选：B．6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．2【解答】解：由三视图知几何体是三棱柱与半圆柱的组合体，且三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为2；半圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=×2××2+×π×12×2=2+π．故选：D．7．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且a2013+a2015=dx，则a2014（a2012+2a2014+a2016）的值为（）A．π2B．2πC．πD．4π2【解答】解：由定积分的几何意义可得dx表示圆x2+y2=4在第一象限的图形的面积，即四分之一圆，故可得a2013+a2015=dx=×π×22=π，∴a2014（a2012+2a2014+a2016）=a2014•a2012+2a2014•a2014+a2014•a2016=+2a2013•a2015=（a2013+a2015）2=π2故选：A．8．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=﹣f（x），且x∈[﹣1，1]时，f （x）=1﹣x2，已知函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：∵f（x+1）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x+1）=f（x+2）；故函数y=f（x）在R上是周期为2的函数，作出函数f（x）与g（x）的图象如下，由图象可知函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为8个．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，则a的取值范围是a≤3．【解答】解：因为|x+1|+|x﹣2|的几何意义是数轴上的点到﹣1，与到2的距离之和，显然最小值为3，所以a的取值范围是：a≤3．故答案为：a≤3．10．（5分）曲线y=﹣x3+3x2在x=1处的切线方程为3x﹣y﹣1=0．【解答】解：∵y=f（x）=﹣x3+3x2，∴y'=f′（x）=﹣3x2+6x，∴y'|x=1=（﹣3x2+6x）|x=1=﹣3×12+6×1=3，又x=1时，y=f（1）=﹣13+3×12=2；∴曲线y=f（x）=﹣x3+3x2在x=1处的切线方程为y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0；故答案为：3x﹣y﹣1=011．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，则p 的值为2．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，所以3+=4，p=2；故答案为：2．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是9．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A，y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，4），代入z=x+2y=1+2×4=9．即目标函数z=x+2y最大值为9．故答案为：9．13．（5分）二项式（ax2﹣）5的展开式中常数项为160，则a的值为2．【解答】解：由通项公式T r+1==•，令10﹣=0，求得r=4，可得常数项为（﹣2）4•C a=160，解得a=2，故答案为：2．14．（5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为472．（用数字作答）【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两张红色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣4﹣=560﹣16﹣72=472种．故答案为：472．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）已知函数f（x）=2cos（x﹣），x∈R．（1）求f（π）的值；（2）若f（α+）=，α∈（﹣，0），求f（2α）的值．【解答】解：（1）f（π）=2cos（π﹣）=﹣2cos=﹣．（2）∵f（α+）=2cos（）=﹣2sinα=，∴sin∵α∈（﹣，0），∴cos=∴f（2α）=2cos（2α﹣）=cos2α+sin2α===．16．（13分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体制健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体制健康标准，成绩不低于76的为优良．（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体制健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．【解答】（本小题满分13分）解：（1）抽取的12人中成绩是“优良”的有9人，频率为，依题意得从该校学生中任选1人，成绩是“优良“的概率为，…（2分）设事件A表示“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是“优良””，则P（A）=1﹣=．…（5分）答：至少有1人成绩是“优良”的概率为．…（6分）（2）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．…..（7分）P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==…（11分）所以ξ的分布列为ξ0123P∴ξ的期望Eξ==…（13分）17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点O，连CO，OA1，A1B，∵AB=AA1，∠BAA1=60°，∴△A1AB为正三角形，∴A1O⊥AB，∵CA=CB，∴CO⊥AB，∵CO∩A1O=O，∴AB⊥平面COA1，∵A1C⊂平面COA1，∴AB⊥A1C．（Ⅱ）解：∵AB=CB=2，AB=AA1，CA=CB，∠BAA1=60°，∴CO=A1O==，∵A1C=，∴=，∴OC⊥A1O，∵OC∩AB=O，∴A1O⊥平面ABC，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，O（0，0，0），A（1，0，0），，C（0，0，），设平面AA1C的法向量为，则，，∴，∴=（，1，1），平面向量ACB的法向量=（0，1，0），cos＜＞==．∴二面角B﹣AC=A1的余弦值为．18．（14分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且2S n=a n+2n2（n∈N*）．（1）求a n，S n；（2）若a k，a2k﹣2，a2k+1（k∈）是等比数列{b n}的前三项，设T n=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n，求T n．【解答】解：（1）∵{a n}为等差数列，且2S n=a n+2n2（n∈N*），设公差为d，当n=1时，2S1=2a1=a1+2，解得a1=2，当n=2时，2（2+a2）=a2+2×4，解得a2=4，∴d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n，=n（n+1）．（2）∵a k，a2k﹣2，a2k+1（k∈）是等比数列{b n}的前三项，∴，∴4（2k﹣2）2=2k•2（2k+1），整理，得2k2﹣9k+4=0，解得k=4或k=（舍），∴a4，a6，a9成等比数列，且q==．∴=8（）n﹣1，∴a n b n=2n•8（）n﹣1=，∵T n=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n，∴[1×+2×+3×+…+n•]，①=[1×+2×+3×+…+n•]，②①﹣②，得﹣=[+（）2+（）3+…+（）n﹣n•（）n+1]=×[﹣n•（）n+1]=﹣32﹣16（n﹣2）•，∴T n=．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点P（，），离心率为，动点M（2，t）（t＞0）．（1）求椭圆的标准方程；（2）求以O M（O为坐标原点）为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作O M的垂线与以O M为直径的圆交于点N，证明线段O N的长为定值，并求出这个定值．【解答】（1）解：由题意得，①∵椭圆经过点，∴②又a2=b2+c2③由①②③解得a2=2，b2=c2=1．∴椭圆的方程为．（2）解：以OM为直径的圆的圆心为，半径，故圆的方程为．∵以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2，∴圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离．∴，即2|2t+2|=5t，故4t+4=5t，或4t+4=﹣5t，解得t=4，或．又t＞0，故t=4．所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．（3）证明：方法一：过点F作OM的垂线，垂足设为K．直线OM的方程为，直线FN的方程为．由，解得，故．∴；．又．∴．∴线段ON的长为定值．，y0），则，，方法二：设N（x，．∵，∴2（x0﹣1）+ty0=0．∴2x0+ty0=2．又∵，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0．∴．∴为定值．20．（14分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），（1分）当a=1时，f（x）=x﹣lnx，，（2分）x（0，1）1（1，+∞）f'（x）﹣0+f（x）极小（3分）所以f（x）在x=1处取得极小值1．（4分）（Ⅱ），（6分）①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上h'（x）＜0，在（1+a，+∞）上h'（x）＞0，所以h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+∞）上单调递增；（7分）②当1+a≤0，即a≤﹣1时，在（0，+∞）上h'（x）＞0，所以，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增．（8分）（III）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0，即函数在[1，e]上的最大值小于零．（9分）由（Ⅱ）可知①即1+a≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，所以h（x）的最小值为h（e），由可得，因为，所以；（10分）②当1+a≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜﹣2；（11分）③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，可得h（x）最小值为h（1+a），因为0＜ln（1+a）＜1，所以，0＜aln（1+a）＜a故h （1+a ）=2+a ﹣aln （1+a ）＞2 此时，h （1+a ）＜0不成立．（12分） 综上讨论可得所求a 的范围是：或a ＜﹣2．（13分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x>>==<<<log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x<>==><<a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．。

2014-2015学年广东省潮州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|0＜x≤2}，B={x|x＜1}，则集合A∪B=（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1] 2．（5分）复数z=（1+i）（1﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1，0）B．（0，2）C．（0，1）D．（2，0）3．（5分）若向量=（2，﹣1），=（0，2），则以下向量中与+垂直的是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（2，1）D．（0，2）4．（5分）函数f（x）=的定义域是（）A．（0，2）B．[0，2]C．（0，1）∪（1，2）D．[0，1）∪（1，2]5．（5分）高三（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、31号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．15B．16C．17D．186．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ=（）A．B．C．D．7．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，则z的最大值为（）A．12B．6C．0D．﹣68．（5分）在△A BC中，“•＞0”是“△ABC为锐角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．+πB．+2πC．2+πD．2+2π10．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=﹣f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，已知函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（）A．7B．8C．9D．10二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）11．（5分）圆x2﹣2x+y2=0的圆心C到抛物线y2=4x的准线l的距离为．12．（5分）设A（0，0），B（4，0），在线段A B上任投一点P，则|P A|＜1的概率为．13．（5分）执行如图的程序框图，若输入的N是4，则输出p的值是．14．（5分）如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{a n}（n∈N*）的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则a2011+a2012+a2013=．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）已知函数f（x）=2cos（x﹣），x∈R．（1）求f（π）的值；（2）若f（α+）=，α∈（﹣，0），求f（2α）的值．16．（13分）从一批草莓中，随机抽取n个，其重量（单位：克）的频率分布表如下：已知从n个草莓中随机抽取一个，抽到重量在[90，95）的草莓的概率为．（1）求出n，x的值；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的草莓中共抽取5个，再从这5个草莓中任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1 B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（1）证明：AB⊥A1C；（2）若AB=CB=2，A1C=，求三棱锥C﹣A BC1的体积．18．（14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0，a1=，且﹣，，成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n•log3（1﹣S n+1）=1，求适合方程b1b2+b2b3+…+b n b n+1=的正整数n的值．19．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣，其中a∈R．（1）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）如果对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x﹣2，求a的取值范围．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点P（，），离心率为，动点M（2，t）（t＞0）．（1）求椭圆的标准方程；（2）求以O M（O为坐标原点）为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作O M的垂线与以O M为直径的圆交于点N，证明线段O N的长为定值，并求出这个定值．2014-2015学年广东省潮州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|0＜x≤2}，B={x|x＜1}，则集合A∪B=（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1]【解答】解：∵A={x|0＜x≤2}，B={x|x＜1}，∴A∪B={x|x≤2}，故选：C．2．（5分）复数z=（1+i）（1﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1，0）B．（0，2）C．（0，1）D．（2，0）【解答】解：∵z=（1+i）（1﹣i）=1﹣i2=2，∴复数z=（1+i）（1﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（2，0）．故选：D．3．（5分）若向量=（2，﹣1），=（0，2），则以下向量中与+垂直的是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（2，1）D．（0，2）【解答】解：∵向量=（2，﹣1），=（0，2），∴+=（2，1），对于A，2×1+1×（﹣2）=0，∴该向量与向量+垂直；∴可以排除掉B、C、D选项．故选：A．4．（5分）函数f（x）=的定义域是（）A．（0，2）B．[0，2]C．（0，1）∪（1，2）D．[0，1）∪（1，2]【解答】解：由，解①得：0≤x≤2．解②得：x≠1．∴0≤x≤2且x≠1．∴函数f（x）=的定义域是[0，1）∪（1，2]．故选：D．5．（5分）高三（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、31号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．15B．16C．17D．18【解答】解：∵用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，∴样本对应的组距为56÷4=14，∴3+14=17，故样本中还有一个同学的座号是17，故选：C．6．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ=（）A．B．C．D．【解答】解：由图可知A=2，，故ω=2，又，所以，故，又，所以．故选：B．7．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，则z的最大值为（）A．12B．6C．0D．﹣6【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（6，6），代入目标函数z=x+y得z=6+6=12．即目标函数z=x+y的最大值为12．故选：A．8．（5分）在△A BC中，“•＞0”是“△ABC为锐角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由只能得到角A是锐角，无法得到△ABC为锐角三角形；但△ABC为锐角三角形时，角A一定是锐角，故．∴“•＞0”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．+πB．+2πC．2+πD．2+2π【解答】解：由三视图可知该几何体是由一个半圆柱与一个直三棱柱组合而成的几何体，∵圆柱的底面直径为2，高为2，棱柱的底面是边长为2的等边三角形，高为2，于是该几何体的体积为．故选：C．10．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=﹣f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，已知函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：∵f（x+1）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x+1）=f（x+2）；故函数y=f（x）在R上是周期为2的函数，作出函数f（x）与g（x）的图象如下，由图象可知函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为8个．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）11．（5分）圆x2﹣2x+y2=0的圆心C到抛物线y2=4x的准线l的距离为2．【解答】解：∵抛物线y2=4x的准线l的方程为x=﹣1，∴圆x2﹣2x+y2=0的圆心C（1，0）到抛物线y2=4x的准线l的距离为2，故答案为：2．12．（5分）设A（0，0），B（4，0），在线段A B上任投一点P，则|P A|＜1的概率为．【解答】解：∵A（0，0），B（4，0），∴|AB|=4，∴在线段 A B上任投一点P，|PA|＜1的概率为．故答案为：．13．（5分）执行如图的程序框图，若输入的N是4，则输出p的值是24．【解答】解：由程序框图知；第一次循环k=1，p=1•1=1；第二次循环k=2，p=1•2=2；第三次循环k=3，p=2•3=6；第四次循环k=4，p=4•6=24．不满足条件k＜4，跳出循环体，输出p=24．故答案为：24．14．（5分）如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{a n}（n∈N*）的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则a2011+a2012+a2013=1006．【解答】解：由题意得，a1=1，a2=1，a3=﹣1，a4=2，a5=2，a6=3，a7=﹣2，a8=4，…，这个数列的规律是奇数项为1，﹣1，2，﹣2，3，…；偶数项为1，2，3，…，所以a2011+a2013=0，a2012=1 006，则a2011+a2012+a2013=1 006，故答案为：1006．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）已知函数f（x）=2cos（x﹣），x∈R．（1）求f（π）的值；（2）若f（α+）=，α∈（﹣，0），求f（2α）的值．【解答】解：（1）f（π）=2cos（π﹣）=﹣2cos=﹣．（2）∵f（α+）=2cos（）=﹣2sinα=，∴sin∵α∈（﹣，0），∴cos=∴f（2α）=2cos（2α﹣）=cos2α+sin2α===．16．（13分）从一批草莓中，随机抽取n个，其重量（单位：克）的频率分布表如下：已知从n个草莓中随机抽取一个，抽到重量在[90，95）的草莓的概率为．（1）求出n，x的值；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的草莓中共抽取5个，再从这5个草莓中任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．【解答】解：（1）依题意可得，，解得得x=20，n=95；（2）若采用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的草莓中共抽取5个，则重量在[80，85）的个数为；记为x，y；在[95，100）的个数为；记为a，b，c；从抽出的5个草莓中，任取2个共有（x，a），（x，b），（x，c），（a，b），（a，c），（b，c），（y，a），（y，b），（y，c），（x，y）10种情况．其中符合“重量在[80，85）和[95，100）中各有一个”的情况共有（x，a），（x，b），（x，c），（y，a），（y，b），（y，c）6种．设事件A表示“抽出的5个草莓中，任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有一个”，则．故从抽出的5个草莓中，任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有一个的概率为．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1 B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（1）证明：AB⊥A1C；（2）若AB=CB=2，A1C=，求三棱锥C﹣A BC1的体积．【解答】（1）证明：取AB的中点O，连接CO，OA1，A1B．∵CA=CB，∴CO⊥AB，又AB=AA1，．∴△A1AB为等边三角形．∴A1O⊥AB，又∵CO⊂平面COA1，A1O⊂平面COA1，CO∩A1O=O．∴AB⊥平面COA1．又A1C⊂平面COA1，因此AB⊥A1C；（2）解：在等边△ABC中，在等边△A1AB中；在△A1OC中．∴△A1OC是直角三角形，且，故OC⊥A1O．又OC、AB⊂平面ABC，OC∩AB=O，∴A1O⊥平面ABC．故A1O是三棱锥A1﹣ABC的高．又．∴三棱锥A1﹣ABC的体积．∴三棱锥C﹣ABC1的体积为1．18．（14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0，a1=，且﹣，，成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n•log3（1﹣S n+1）=1，求适合方程b1b2+b2b3+…+b n b n+1=的正整数n的值．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比q，由﹣，，，成等差数列，得，解得或q=﹣1（舍去），∴；（Ⅱ）∵，∴=﹣n﹣1，∴，，==，解得：n=100．19．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣，其中a∈R．（1）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）如果对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x﹣2，求a的取值范围．【解答】（1）解：当a=2时，由已知得，故，…（2分）所以f'（1）=1+2=3，又因为，所以函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣5=0；…（5分）（2）解：由f（x）＞﹣x+2，得，又x∈（1，+∞），故a＜xlnx+x2﹣2x．…（7分）设函数g（x）=xlnx+x2﹣2x，则．…．…..…（8分）因为x∈（1，+∞），所以lnx＞0，2x﹣1＞0，所以当x∈（1，+∞）时，g'（x）=lnx+2x﹣1＞0，…（10分）故函数g（x）在（1，+∞）上单调递增．所以当x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）=1×ln1+1﹣2×1=﹣1．…（12分）因为对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x﹣2成立，所以对于任意x∈（1，+∞），都有a＜g（x）成立．所以a≤﹣1．…..…（14分）20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点P（，），离心率为，动点M（2，t）（t＞0）．（1）求椭圆的标准方程；（2）求以O M（O为坐标原点）为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作O M的垂线与以O M为直径的圆交于点N，证明线段O N的长为定值，并求出这个定值．【解答】（1）解：由题意得，①∵椭圆经过点，∴②又a2=b2+c2③由①②③解得a2=2，b2=c2=1．∴椭圆的方程为．（2）解：以OM为直径的圆的圆心为，半径，故圆的方程为．∵以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2，∴圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离．∴，即2|2t+2|=5t，故4t+4=5t，或4t+4=﹣5t，解得t=4，或．又t＞0，故t=4．所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．（3）证明：方法一：过点F作OM的垂线，垂足设为K．直线OM的方程为，直线FN的方程为．由，解得，故．∴；．又．∴．∴线段ON的长为定值．，y0），则，，方法二：设N（x，．∵，∴2（x0﹣1）+ty0=0．∴2x0+ty0=2．又∵，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0．∴．∴为定值．。