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复 习 课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．关于伸缩变换的定义的易错点．对于平面直角坐标系中的伸缩变换关系式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），要区分(x ，y )与(x ′，y ′)的意义．在应用时必须注意：点(x ，y )在原曲线上，点(x ′，y ′)在变换后的曲线上，因此点(x ，y )的坐标满足原来的曲线方程，点(x ′，y ′)的坐标满足变换后的曲线方程．2．关注直角坐标与极坐标互化的疑难点．由直角坐标化为极坐标要注意点位于哪一个象限，才能确定θ的大小．3．处理极坐标系问题中的两个易错点．(1)当极坐标方程中仅含θ(不含ρ)时，常常忽略ρ的正负导致判断错误．(2)平面直角坐标系中两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2，极坐标系中两点P 1(ρ1，θ1)，P 2(ρ2，θ2)之间的距离|P 1P 2|＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.在应用时往往因记忆不清而导致计算错误．专题一 平面上的伸缩变换1.点P (x ，y )变为点Q (x ′，y ′)的伸缩变换为：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）. 2．变换前的曲线方程、变换后的曲线方程、伸缩变换三者，若知道其中的两个，我们可以求出第三个．但在进行伸缩变换时，要注意点的对应性，即分清新旧坐标，P (x ，y )是变换前的坐标，Q (x ′， y ′)是变换后的坐标．[例1] 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 后，曲线C 变成曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状．点拨：考查伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），将新坐标代入到已知曲线中，即可得到原曲线方程．解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1中得： (2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1，化简得曲线C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y ＋3)2＝14， 则该曲线是以⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3为圆心，12为半径的圆． 归纳升华函数y ＝f (ωx )(x ∈R)(其中ω>0，且ω≠1)的图象，可以看做把f (x )图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)为原来的1ω(纵坐标不变)而得到的．函数y ＝Af (x )(x ∈R)(其中A >0，且A ≠1)的图象，可以看做把f (x )图象上所有点的纵坐标伸长(当A >1时)或缩短(当0<A <1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的．图形变换中的伸缩变换我们可记作⎩⎨⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），在使用时，需分清新旧坐标． [变式训练] 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝－2y ，求曲线y 2＝2x 经过φ变换后所得的曲线方程．解：设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点．由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝－2y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝－12y ′，代入y 2＝2x ，得14y ′2＝23x ′， 即y ′2＝83x ′， 因此变换后曲线的方程为y ′2＝83x ′. 专题二 直线和圆的极坐标方程直线和圆的极坐标方程的求法和应用是一种常见的题型，一般思路是将曲线上的点满足的几何条件用坐标表示出来，然后化简、整理．应掌握几种常见直线和圆的极坐标方程，如ρ＝2a cos θ(a ≠0)，ρ＝2a sin θ(a ≠0)，ρ＝r (r >0)及ρcos θ＝a ，ρsin θ＝a ，θ＝α，ρ＝2a cos(θ－α)(α≠2k π，k ∈Z)．[例❷] 在极坐标系中，已知直线ρ的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ，π4=1,圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长.解：（1）设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A （ρ，θ）为圆C上的一个动点，则∠AOD =π4-θ或∠AOD =θ-π4, OA =OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-θ或OA =OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4,所以圆C 的极坐标方程为ρ=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4. （2）由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=1, 22得ρ(sin θ+cos θ)=1. 所以直线l 的直角坐标方程为x +y -2=0,又圆心C 的直角坐标为（22，22），满足直线l 的方程，所以直线l 过圆C 的圆心.因此直线l 被圆C 所截得的弦长为2.归纳升华此题着重考查直角坐标与极坐标的互化及基本运算能力，应掌握把极坐标方程化为直角坐标方程的常用方法．[变式训练] 在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6上的动点，试求|PQ |的最大值． 解：因为ρ＝12sin θ，所以ρ2＝12ρsin θ，所以x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.又因为ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6， 所以ρ2＝12ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π6＋sin θsin π6， 所以x 2＋y 2－63x －6y ＝0，所以(x －33)2＋(y －3)2＝36，所以|PQ |max ＝6＋6＋（33）2＋32＝18.专题3 极坐标与直角坐标互化(1)互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系下取相同的单位长度．(2)互化公式为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x（x ≠0） (3)直角坐标方程化极坐标方程，可直接将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入即可；而极坐标方程化为直角坐标方程，通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x ，y 代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．[例3] ⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.(1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过⊙O 1和⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．解：(1)x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x ，即x 2＋y 2－4x ＝0为⊙O 1的直角坐标方程．同理x 2＋y 2＋4y ＝0为⊙O 2的直角坐标方程．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝－2.即⊙O 1，⊙O 2交于点(0，0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x .归纳升华极坐标和直角坐标互化时，要注意必须是极点与原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，且两种坐标系取相同的单位长度．[变式训练] 在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点，若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________．解析：由于圆和直线的直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝4y 和y ＝a ，它们相交于A ，B 两点，△AOB 为等边三角形，所以不妨取直线OB的方程为y ＝3x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4y ，y ＝3x ，消去y ，得x 2＝3x ，解得x ＝3或x ＝0，所以y ＝3x ＝3，即a ＝3.答案：3专题四 数形结合思想运用坐标方法研究曲线的形状与性质是典型的数形结合思想的体现．坐标系的建立，使直观的几何图形问题得以用数量运算得以解决．[例4] 如图，在长方体OABC-D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝3，|OC |＝3，|OD ′|＝3，A ′C ′与B ′D ′相交于点P ，分别写出点C ，B ′，P 的柱坐标．解：C 点的ρ，θ分别为|OC |及∠COA .B ′点的ρ为|OB | ＝|OA |2＋|AB |2＝32＋32＝32；θ＝∠BOA ，而tan ∠BOA ＝|AB ||OA |＝1. 所以∠BOA ＝π4. P 点的ρ、θ分别为OE 、∠AOE ，|OE |＝12|OB |＝322，∠AOE ＝∠AOB .所以C 点的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2，0； B ′点的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π4，3； P 点的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫322，π4，3. 归纳升华求曲线的极坐标方程与求其直角坐标方程的方法类同，就是找出动点M 的坐标ρ与θ之间的关系，然后列出方程f (ρ，θ)＝0，再化简并检验特殊点．[变式训练] 如图，长方体OABC-D ′A ′B ′C ′中，OA ＝OC ＝a ，BB ′＝2OA ，对角线OB ′与BD ′相交于点P ，顶点O 为坐标原点；OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上．试写出点P 的球坐标．解：r ＝|OP |，φ＝∠D ′OP ，θ＝∠AOB ，而|OP |＝a ，∠D ′OP ＝∠OB ′B ，tan ∠OB ′B ＝|OB ||BB ′|＝1，所以∠OB ′B ＝π4， θ＝∠AOB ＝π4. 所以点P 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π4，π4. 专题五 转化与化归思想“化归”是转化与归结的简称，是对数学知识的迁移与数学解题方法的形象概括，表现为化此为彼，化难为易，化隐为显，具体地说，就是化抽象为具体，化未知为已知，化一般为特殊等．转化有等价转化与非等价转化两种，非等价转化常用于证明题或不等式，等价转化常用于解方程或不等式．在ρ≥0，0≤θ<2π时，极坐标方程与直角坐标方程的相互转化也属于等价转化，同时要注意以下两点：(1)互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，单位长度相同．(2)互化公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0），θ由点(x ，y )所在的象限确定．[例❺] 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)由⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12， 于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ. 归纳升华将极坐标化为直角坐标，确定圆的直角坐标方程，再将圆的直角坐标方程化成圆的极坐标方程．[变式训练] 在极坐标系中，求圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值．解：圆ρ＝8sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－8y ＝0，即x 2＋(y－4)2＝16，直线θ＝π3(ρ∈R)化为直角坐标方程为y ＝3x ，结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直线的距离再加上半径．圆心(0，4)到直线y ＝3x 的距离为4（3）2＋12＝2，又圆的半径r ＝4，所以圆上的点到直线的最大距离为6.。
