数字图像处理冈萨雷斯英文Chapter 小波变换与多分辨率处理

5．冗余性
（ 1 ）由连续小波变换恢复信号的重构公式不是唯一的。也就是说， 信号的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而Fourier 变换与反 Fourier变换是一一对应的。 （ 2 ）小波变换的核函数即函数存在许多可能的选择（例如，非正交 小波、正交小波、双正交小波,甚至允许是彼此线性相关的）。
（4）Biorthogonal（biorNr.Nd）双正交小波系
得重构算法:
c n (k 1) p n2l cl (k ) q n2l d l (k )
l l
小波重建示意图
33
7.5 Matlab中常用小波基介绍
34
常用小波函数介绍

（1）Harr小波
1 H ( x) 1 0 尺度函数
1 H ( x) 0
改变a和b的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。
18
离散小波变换
定义 令：a0=2，b0=1时，尺度为2 j ，而位移为2 j k
即：尺度为2 j ，而位移为2 j k 则：二进离散小波：
j ,k ( x) 2 j / 2 2 j x k
相应的小波变换记：
(W f )( j, k ) f , j ,k
j jJ
22
框架理论
对偶框架算子
设
~ ~ T T (T *T ) 1 对偶框架 { j } jJ 的框架算子
则：
~ ~ T *T I T *T
可以得到：
~ f f , ~ f , j j j j
jJ jJ
23
7.4
多分辨率分析和Mallat算法
分解 由于
f k ( x) Vk g k Wk , { (2 k x j )},{ (2 k x j )} 分别是

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N*N哈尔变换矩阵的第i行包含了元素
，其中
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令N=4，k、p和q的值为
则4*4变换矩阵H4为：
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傅里叶变换的缺点
傅里叶分析理论对于有限平稳的周期信号比较有 效，而对于非平稳信号的分析效果不够好。主要原因 有：
1、三角基函数在时域上不能局部化，无法实现时 域上的局部分析。由于信号的傅里叶变换代表的是该 信号在某个频率w的谐波分量的振幅，它是由整个信号 的形态所决定的，因此无法从傅里叶变换值确定该信 号在任一时间上的相关信息。
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在小波分析中，近似值是大的缩放因子计算的系数，
表示信号的低频分量，而细节值是小的缩放因子计算的系
数，表示信号的高频分量。实际应用中，信号的低频分量 往往是最重要的，而高频分量只起一个修饰的作用。如同 一个人的声音一样， 把高频分量去掉后，听起来声音会发 生改变，但还能听出说的是什么内容，但如果把低频分量 删除后，就会什么内容也听不出来了。
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3、傅里叶变换不能同时进行时域和频 域的分析。这是因为信号经过傅里叶变 换后，它的时间特性消失，只能进行频 域信息分析。
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什么是小波变换
像傅立叶分析一样，小波分析就是把一个信号分解为将 母小波经过缩放和平移之后的一系列小波，因此小波是小
波变换的基函数。小波变换可以理解为用经过缩放和平移
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3.惟一包含在所有 中的函数是f(x)=0 如果考虑最粗糙的展开函数(即 ),惟一可表达的函数 是没有信息的函数，即
4.任何函数都可以以任意精度表示 所有可度量的、平方可积函数都可以用极限
表示
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Extraction of Connected Components
X k X k 1 B A
where X0 = seed pixel p
(Images from Rafael C. Gonzalez and Richard E. Wood, Digital Image Processing, 2nd Edition.
Example: Extraction of Connected Components X-ray image of bones
Thresholded image
Connected components
(Images from Rafael C. Gonzalez and Richard E. Wood, Digital Image Processing, 2nd Edition.
A B ((...((A B1 ) B2 )...) Bn )
(Images from Rafael C. Gonzalez and Richard E. Wood, Digital Image Processing, 2nd Edition.
Example: Thinning
Duality Between Dilation and Erosion
ˆ ( A B) A B
c c
where c = complement
Proof:
( A B ) z B z A
c c
c c
z B z A z B z Ac ˆ A B
Dilation Operations
ˆ A A B z B z


= Empty set

(Images from Rafael C. Gonzalez and Richard E. Wood, Digital Image Processing, 2nd Edition.
RGB Safe-color Cube
The RGB Cube is divided into 6 intervals on each axis to achieve the total 63 = 216 common colors. However, for 8 bit color representation, there are the total 256 colors. Therefore, the remaining 40 colors are left to OS.
C 1 R M 1 G Y 1 B
HSI Color Model
RGB, CMY models are not good for human interpreting HSI Color model: Hue: Dominant color Saturation: Relative purity (inversely proportional to amount of white light added) Intensity: Brightness Color carrying information
(Images from Rafael C. Gonzalez and Richard E. Wood, Digital Image Processing, 2nd Edition.
RGB Color Cube
R = 8 bits G = 8 bits B = 8 bits Color depth 24 bits = 16777216 colors

- Histogram matching To make histogram as the desire
Monotonically Increasing Function = Function that is only increasing or constant
Ds Dr
Smaller Dr yields wider Ds = increasing Contrast
(Images from Rafael C. Gonzalez and Richard E. Wood, Digital Image Processing, 2nd Edition.
Gray Level Slicing
Contrast Stretching
Contrast means the difference between the brightest and darkest intensities
Before contrast enhancement
After
(Images from Rafael C. Gonzalez and Richard E. Wood, Digital Image Processing, 2nd Edition.
Images in the spatial domain are pictures in the xy plane
where the word “distance” is meaningful.
Using the Fourier
transform, the word “distance” is lost but the word “frequency” becomes alive.
Image Negative
L-1 White

10 10 16 28
139525362124251655398655762950812440573689765496500533267659728594364476639723
78 67 92 99
Visual Perception: Human Eye
Output
Image Sensor: How CCD works
i hg f ed cba
Horizontal transport register
Image pixel
i hg f ed cba
i hg f ed
Vertical shift
Horizontal shift
c b a Output
Visible Spectrum
(Images from Rafael C. Gonzalez and Richard E. Wood, Digital Image Processing, 2nd Edition.
Image Sensors
Single sensor Line sensor
Array sensor
(Images from Rafael C. Gonzalez and Richard E. Wood, Digital Image Processing, 2nd Edition.
(Picture from Microsoft Encarta 2000)
Brightness Adaptation of Human Eye : Mach Band Effect
Digital Image Processing
Chapter 2: Digital Image Fundamental
6 June 2007

7.1.2 连续小波变换
7.1.3 离散小波变换
7.1.2 连续小波变换
➢ 小波变换同时具有时域和频域定位能力
➢ 小波持续时间越短对信号时间定位能力越强，对信号突变的检测能 力越强
➢ 小波时域-频域分辨率关系
✓时域分辨率与频域分辨率的乘积是常数 ✓常数值取决于所选母小波函数，常数值越小表示该小波兼顾时域、频域分辨率
LH1
HH1
(a)2级分解子带
(b)原图
(c)LL1子带 (d)LL2子带
7.2 图像小波变换
➢ 不同子带反变换
(a)LL4子带重构
(b)LL3子带重构
(c)LL2子带重构
(d)LL1子带重构
(e)HH1子带重构
(f)HH1、HH2子带重构
7.2 图像小波变换
➢ 二维小波包变换先在一个方向进行小波包分解、然后在另一个 方向进行小波包分级
7.2 图像小波变换
7.2 图像小波变换
➢ 二维小波变换可分解为二个一维小波变换的，可以先进行一个 方向的一维小波变换，然后进行另一个方向的一维小波变换
➢ 与一维小波分解一样，标准二维小波分解只在低频LL子带继续 分解
7.2 图像小波变换
➢ 图像二级小波分解示例
LL2 HL2 HL1
LH2 HH2
数字图像处理教程
第7章 小波与多分辨率处理
➢ 傅里叶变换仅具有频域分辨能力而无空间域分辨能力 ➢ 小波变换同时具有空间域分辨力和频域分辨力 ➢ 小波变换采用小波基对信号变换 ➢ 小波基由小波母函数经尺度伸缩、平移构建得到
7.1 小波变换基础知识
7.1.1 小波函数
7.1.1 小波函数
7.1.1 小波函数
7.3.1 模极大值去噪法

例如，N=4时，
k
p
q
k,p,q的值如右：
0
0
0
1
0
1
2
1
1
3
1
2
则，4×4变换矩阵H4
1 1 1 1
H4
1
2
4 2
1 2
1 0
10ຫໍສະໝຸດ 002 2
2×2变换矩阵H2
H2
1 1 2 1
1 1
离散小波变换的哈尔函数
64×64
128×128
图示为哈尔基函数对 图像的多分辨率分解， 离散小波变换包含了 与原始图像相同的像 素数
T=HFHT
F是N×N图象矩阵，H是N×N变换矩阵，T是N×N变换的 结果
哈尔基函数
h0zh00 z
1 N
z0,1
2p/2 q1/2pzq0.5/2p
hkzhpq z1 N 2 0p/2
q0.5/2pzq/2p
其它 z 0,1 ，
(3) 哈尔变换
N×N哈尔变换矩阵第i行包含元素hi(z)，其中z = 0/N, 1/N, …, (N-1)/N。
主要内容
背景 图象金字塔 子带编码 哈尔变换
多分辨率展开 一维小波变换 快速小波变换 二维小波变换 小波包
1.背景
物体的尺寸很小或者对比度不高的时候，通常采用 较高的分辨率观察。
物体尺寸很大或者对比度很强，只需要较低的分辨 率。
物体尺寸有大有小，强弱对比度同时存在，则适合 用不同的分辨率对其进行研究。
12G1(z)[H1(z)X(z)H1(z)X(z)]
滤波h0(n)的输出
h 0 n * x n h 0 n k x k H 0 z X z

2014-11-1 数字图象处理－第7章 11
§7.1 多分辨率概念

4.图像的二维子带分解



水平、垂直可分离的分解 首先沿垂直方向逐行分解 然后在水平方向逐列分解 生成的4个分量
a(m, n)近似值 d v (m, n)垂直细节分量 d H (m, n)水平细节分量 d D (m, n)对角细节分量
14
§7.2 小波变换概念

2.小波变换

2.1连续变换（continuous wavelet transform）

傅里叶变换

F ( )


f (t )e jt dt ,
f (t )
1 2



F ( )e jt dt
变换结果是频率的函数，反映了信号频率的构成 结果同时反映了信号的尺度（频率）和位置信息
2014-11-1
数字图象处理－第7章
28
§7.4小波变换的应用

4.图像编码

处理机理：


小波变化后，大量数据反映细节内容。舍弃一定的细节信 息不影响反变换的观察效果 细节信息数据动态范围小，适合采用短码字的量化压缩

5.图像的融合

处理机理


同一目标，不同方式获得的图像，可反映其多维度信息 融合处理能在一幅图像上反映更丰富的信息 融合的步骤一般包括 预处理，去除噪声 配准，位置校准 在变换域进行信息取舍，反变换得到融合结果
亚采 样后
补零 后

补零 滤波内插合成信号
8
设计好可以无失真恢复
2014-11-1 数字图象处理－第7章
§7.1 多分辨率概念