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目录• 第一讲：复数理论与集合第十一节：数列• 第二讲：简易逻辑第十二节：不等式• 第三讲：函数的性质第十三节：线性规划• 第四讲：导数与函数综合第十四节：二项式定理（理科专场）• 第五节：定积分第十五节：圆锥曲线【删去直线方程与圆】• 第六节：立体几何（基础知识）第十六节：排列组合• 第七节：外接球理论第十七节：三视图理论【删去程序框图】• 第八节：三角函数第十八节：概率论与数理统计• 第九节：解三角形第十九节：极坐标方程• 第十节：平面向量第二十节：结束语2019年高考核心要点复习强化讲义——复数• 第一讲：复数理论 与集合• 1、Z ∙ Z = Z2竖着加+×着减• 2、• 3、• 4、会辨别实部、虚部、纯虚数、共轭复数、第几象限？深刻理解什么是部？• 5、当求复数时，应会设 z = a +bi第二讲：简易逻辑1、简易逻辑核心要点：四种命题及相互关系：原命题与逆否命题同真同假，其余不定！2、3、对于常规命题：命题的否命题是：条件和结论都否掉。
命题的否定是：只需把结论否掉即可对于特称命题：命题的否命题是：条件和结论都否掉。
命题的否定是：条件和结论否掉即可• 5、p q p∧q p∨q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真• 6、命题命题的否定• ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，非p(x0)∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，非p(x)• 7、量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等用“∀”表示存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等用“∃”表示•第三讲：函数的性质• 1、要求学生掌握：函数周期性【参见链接】、对称性、对称中心、奇偶性• 2、会判断函数图象• 3、一些重要的奇函数• 4、函数定义域的问题，共三种模型：死死的记住一个函数的定义与就是指x•补充：附加：两个重要证明：只要考到，你就不会！！！⎛ a ⎫ 证明：(2)若函数y=f(x)的图像关于点(a, b)对称，则y=f(kx)(常数k≠ 0)的图像关于点 , b⎪对称。
重点增分专题一函数的图象与性质[全国卷3年考情分析]式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的判断及函数的奇偶性、周期性等．(2)此部分内容有时也出现在选择、填空中的压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大．考点一函数的概念及其表示保分考点·练后讲评[大稳定——常规角度考双基]1.[求函数的定义域]函数y＝log2(2x－4)＋1x－3的定义域是()A．(2,3)B．(2，＋∞) C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＞0，x －3≠0解得x ＞2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选D.2.[分段函数求函数值]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0(0＜a ＜1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0＜a ＜1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫ 12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2，故选B.3.[分段函数解不等式](2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)解析：选D 法一：①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)．法二：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，∴x <0，故选D. 4.[分段函数求参数值或范围]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，y ＝(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1]内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12.答案：⎣⎡⎭⎫0，12 [解题方略]1．函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略[小创新——变换角度考迁移]1.[概念型新定义函数问题]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1，1＜x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝，那么f 2 019(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C ∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2，∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3，∴f 2 019(2)＝f 3×672＋3(2)＝f 3(2)＝2.2.[性质型新定义函数问题]已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.3.[函数与概率交汇问题]已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[－1,3]，则任取一点x 0∈[－1,3]，使得f (x 0)≥0的概率为( )A.34B.13C.12D.14解析：选C 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[－1,3]，所以由f (x )≥0，解得0≤x ≤2，又x ∈[－1,3]，所以f (x 0)≥0的概率为24＝12.考点二 函数的图象及应用 增分考点·广度拓展题型一 函数图象的识别[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e－xx 2的图象大致为()(2)(2019届高三·广州测试)已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是( ) A ．y ＝x ln x B ．y ＝x ln x －x ＋1 C ．y ＝ln x ＋1x －1D ．y ＝－ln xx ＋x －1 [解析] (1)∵y ＝e x －e－x是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －1e >0，排除D 选项．又e>2，∴1e <12，∴e －1e>1，排除C 选项．故选B.(2)对于选项A ，当x ＝2时，2ln 2＝ln 4＞ln e ＝1，由图象可知选项A 不符合题意；对于选项B ，当x ＝e 时，eln e －e ＋1＝1，由图象可知选项B 不符合题意；对于选项C ，当x ＝e 时，ln e ＋1e －1＝1e ＜1，由图象可知选项C 不符合题意，故选D.[答案] (1)B (2)D[解题方略]寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法题型二 函数图象的应用[例2] (1)(2018·枣庄检测)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)(2)函数f (x )＝－x 2＋3x ＋a ，g (x )＝2x －x 2，若f (g (x ))≥0对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－e ，＋∞) B ．[－ln 2，＋∞) C ．[－2，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－12，0 [解析] (1)将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0， 作出函数f (x )的图象， 如图，观察图象可知，函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)如图所示，在同一坐标系中作出y ＝x 2＋1，y ＝2x ，y ＝x 2＋32的图象，由图象可知，在[0,1]上， x 2＋1≤2x ＜x 2＋32恒成立，即1≤2x －x 2＜32，当且仅当x ＝0或x ＝1时等号成立， ∴1≤g (x )＜32，∴f (g (x ))≥0⇒f (1)≥0⇒－1＋3＋a ≥0⇒a ≥－2， 则实数a 的取值范围是[－2，＋∞)． [答案] (1)C (2)C [解题方略]1．利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解．2．利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.考点三 函数的性质及应用 增分考点·深度精研 [析母题——高考年年“神”相似][典例] 定义在R 上的奇函数f (x )，满足在(0，＋∞)上单调递增，且f (－1)＝0，则f (x ＋1)＞0的解集为( ) A ．(－∞，－2)∪(－1,0) B ．(0，＋∞) C ．(－2，－1)∪(1,2) D ．(－2，－1)∪(0，＋∞)[解析] 由f (x )为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，且f (－1)＝0，可得f (1)＝0，作出函数f (x )的示意图如图所示，由f (x ＋1)＞0，可得－1＜ x ＋1＜0或x ＋1＞1，解得－2＜x ＜－1或x ＞0，所以f (x ＋1)＞0的解集为(－2，－1)∪(0，＋∞)．[答案] D[练子题——高考年年“形”不同]1．本例中条件变为：若f (x )为偶函数，满足在[0，＋∞)上单调递减，且f (－1)＝0，则f (x ＋1)＞0的解集为________．解析：由f (x )为偶函数，在[0，＋∞)上单调递减， 且f (－1)＝0，得f (1)＝0. 由f (x ＋1)＞0，得|x ＋1|<1. 解得－2<x <0，所以f (x ＋1)的解集为(－2,0)． 答案：(－2,0)2．已知函数g (x )在区间[0，＋∞)上是增函数，且f (x )＝g (|x |)，若f (log 2x )＋f (log 12x )≤2f (1)，则实数x的取值范围为________．解析：因为f (x )＝g (|x |)，所以函数f (x )是偶函数，又因为g (x )在区间[0，＋∞)上是增函数，所以f (x )在区间(－∞，0)为减函数，在区间[0，＋∞)上是增函数．又因为log 12x ＝－log 2x ，所以f (log 2x )＋f (log 12x )≤2f (1)等价于f (log 2x )≤f (1)，所以－1≤log 2x ≤1，解得12≤x ≤2，所以实数x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，2.答案：⎣⎡⎦⎤12，2 3．已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x ＜0时，g (x )＝－lg(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围为________．解析：因为奇函数g (x )满足当x ＜0时，g (x )＝－lg(1－x )， 所以当x ＞0时，－x <0，g (－x )＝－lg(1＋x )， 所以当x ＞0时，g (x )＝－g (－x )＝lg(1＋x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，lg (1＋x )，x ＞0.因为f (x )在其定义域上是增函数， 所以f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ， 解得－2<x <1，所以实数x 的取值范围为(－2,1)． 答案：(－2,1)[解题方略]1．函数3个性质及应用2．函数性质综合应用的注意点(1)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．(2)一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．[多练强化]1．(2018·南昌模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则()A．f(0)＞f(log32)＞f(－log23)B．f(log32)＞f(0)＞f(－log23)C．f(－log23)＞f(log32)＞f(0)D．f(－log23)＞f(0)＞f(log32)解析：选C∵log23＞log22＝1＝log33＞log32＞0，且函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(log23)＞f(log32)＞f(0)，又函数f(x)为偶函数，∴f(log23)＝f(－log23)，∴f(－log23)＞f(log32)＞f(0)，故选C.2．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)解析：选B函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝a2对称，令a＝2可得与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是函数y＝ln(2－x)的图象．故选B.3．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2 D．50解析：选C法一：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数得f(0)＝0.又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.法二：由题意可设f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.4．(2018·郑州第二次质量预测)已知函数f (x )满足f (x ＋1)＋f (－x ＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是( )A ．f (x －1)＋1是偶函数B ．f (x －1)－1是奇函数C ．f (x ＋1)＋1是偶函数D ．f (x ＋1)－1是奇函数解析：选D 法一：因为f (x ＋1)＋f (－x ＋1)＝2，所以f (x )＋f (2－x )＝2，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(1,1)中心对称，而函数y ＝f (x ＋1)－1的图象可看作是由y ＝f (x )的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y ＝f (x ＋1)－1的图象关于点(0,0)中心对称，所以函数y ＝f (x ＋1)－1是奇函数，故选D.法二：由f (x ＋1)＋f (－x ＋1)＝2，得f (x ＋1)－1＋f (－x ＋1)－1＝0，令F (x )＝f (x ＋1)－1，则F (x )＋F (－x )＝0，所以F (x )为奇函数，即f (x ＋1)－1为奇函数，故选D.数学抽象——抽象函数与函数的三大性质[典例] 定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，f (x )＝log 12(1－x )，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，32上是( ) A ．减函数且f (x )>0 B ．减函数且f (x )<0 C ．增函数且f (x )>0D ．增函数且f (x )<0[解析] 当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，由f (x )＝log 12(1－x )可知f (x )单调递增且f (x )>0，又函数f (x )为奇函数，所以在区间⎣⎡⎭⎫－12，0上函数f (x )也单调递增，且f (x )<0.由f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )知，函数f (x )的周期为32，所以在区间⎝⎛⎭⎫1，32上，函数f (x )单调递增且f (x )<0.故选D.[答案] D [素养通路]数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要包括：从数量与数量关系，图形与图形关系中抽象出数学概念与概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律与结构，并用数学语言予以表征．本题由函数的奇偶性得到其对称区间的单调性，由f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )得知f (x )的周期，进而得出f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，32上的性质．考查了数学抽象这一核心素养．[专题过关检测]A 组——“12＋4”满分练一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x ，x <0，所以f (－2)＝－(－2)＝2，所以f (f (－2))＝f (2)＝22＝4.2．(2018·潍坊统一考试)下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝2xD ．y ＝log 2|x |解析：选B 因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A 、C ，又y ＝－x 2＋1在(0， ＋∞)上单调递减，y ＝log 2|x |在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.3．已知函数f (x )＝4|x |，g (x )＝2x 2－ax (a ∈R )．若f (g (1))＝2，则a ＝( ) A ．1或52B.52或32C ．2或52D ．1或32解析：选B 由已知条件可知f (g (1))＝f (2－a )＝4|2－a |＝2，所以|a －2|＝12，得a ＝52或32.4．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5的定义域和值域都是[1，a ]，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 因为f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，所以f (x )在[1，a ]上是减函数，又f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. 5．(2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：选D 法一：令f (x )＝－x 4＋x 2＋2， 则f ′(x )＝－4x 3＋2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝±22，则f ′(x )>0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫0，22， f (x )单调递增；f ′(x )<0的解集为⎝⎛⎭⎫－22，0∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞，f (x )单调递减，结合图象知选D. 法二：当x ＝1时，y ＝2，所以排除A 、B 选项．当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316>2，所以排除C 选项．故选D.6.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C 由图象可得a ×(－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，∴a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln (x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.7．设函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )(x ∈R ，a ＞0且a ≠1)是偶函数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：选A 法一：因为函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )(x ∈R ，a ＞0且a ≠1)是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立，所以－x 3(a －x ＋m ·a x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )，即x 3(1＋m )(a x ＋ a －x )＝0对任意的x ∈R 恒成立，所以1＋m ＝0，即m ＝－1.法二：因为f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )是偶函数，所以g (x )＝a x ＋m ·a －x 是奇函数，且g (x )在x ＝0处有意义，所以g (0)＝0，即1＋m ＝0，所以m ＝－1.8．(2018·福建第一学期高三期末考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x ＞0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3 解析：选A 当a ＞0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a ＞0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.9．函数f (x )＝1sin x －x的图象大致为( )解析：选A 由题意知，函数f (x )为奇函数，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除C 、D ，又f ⎝⎛⎭⎫π2＝1sin π2－π2＜0，故排除选项B. 10．已知函数f (x )在(－1,1)上既是奇函数，又是减函数，则满足f (1－x )＋f (3x －2)＜0的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫34，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫34，1解析：选B 由已知得f (3x －2)＜f (x －1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜3x －2＜1，－1＜x －1＜1，3x －2＞x －1，解得12＜x ＜1，故选B.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3(a －3)x ＋2，x ≤1，－4a －ln x ，x ＞1，对于任意的x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]＞0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，3)C ．(3，＋∞)D ．[1,3)解析：选D 由(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]＞0，得函数f (x )为R 上的单调递减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，3(a －3)＋2≥－4a ，解得1≤a ＜3.故选D.12．(2018·洛阳一模)已知a ＞0，设函数f (x )＝2 019x ＋1＋2 0172 019x ＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( )A ．2 017B ．2 019C ．4 038D ．4 036解析：选D 由题意得f (x )＝2 019x ＋1＋2 0172 019x＋1＝2 019－22 019x ＋1. 因为y ＝2 019x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，所以f (x )＝2 019－22 019x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，所以M ＝f (a )，N ＝f (－a )，所以M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 038－22 019a＋1－22 019－a ＋1＝4 036. 二、填空题 13．函数y ＝log 5(x ＋1)5－x的定义域是________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，5－x ＞0得－1＜x ＜5，∴函数y ＝log 5(x ＋1)5－x的定义域是(－1,5)． 答案：(－1,5)14．函数f (x )＝ln 1|x |＋1的值域是________．解析：因为|x |≥0，所以|x |＋1≥1. 所以0＜1|x |＋1≤1.所以ln 1|x |＋1≤0， 即f (x )＝ln1|x |＋1的值域为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]15．(2018·福州质检)已知函数f (x )对任意的x ∈R 都满足f (x )＋f (－x )＝0，f ⎝⎛⎭⎫x ＋32为偶函数，当0＜x ≤32时，f (x )＝－x ，则f (2 017)＋f (2 018)＝________.解析：依题意，f (－x )＝－f (x )， f ⎝⎛⎭⎫－x ＋32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋32， 所以f (x ＋3)＝f (－x )＝－f (x )， 所以f (x ＋6)＝f (x )， 所以f (2 017)＝f (1)＝－1，f (2 018)＝f (2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＋32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋32＝f (1)＝－1，所以f (2 017)＋f (2 018)＝－2. 答案：－216．若当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图象始终在函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象的下方，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝(x －1)2和y ＝log a x 的图象，由于当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图象恒在函数y ＝log a x 的图象的下方，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 2≥1，解得1<a ≤2. 答案：(1,2]B 组——“12＋4”提速练一、选择题1．已知函数f (x )的定义域为[3,6]，则函数y ＝f (2x )log 12(2－x )的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫32，2 C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫12，2解析：选B 要使函数y ＝f (2x )log 12(2－x )有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，log 12(2－x )＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0＜2－x ＜1，解得32≤x ＜2.2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x 与y ＝log a a x (a ＞0且a ≠1) B ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3C ．y ＝x 2－8与y ＝x －8D ．y ＝ln x 与y ＝12ln x 2解析：选A 对于选项A ，y ＝x 与y ＝log a a x ＝x (a ＞0且a ≠1)的定义域都为R ，解析式相同，故A 中两函数表示同一函数；B 、D 中两函数的定义域不同；C 中两函数的对应法则不同，故选A.3．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝1x －xB ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝2x解析：选A “∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”等价于f (x )在(0，＋∞)上为减函数，易判断f (x )＝1x －x 满足条件．4．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则g (f (－7))＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：选D 函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，令x ＜0，则－x ＞0，f (－x )＝log 2(－x ＋1)， 因为f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x ＋1)， 所以g (x )＝－log 2(－x ＋1)(x ＜0)， 所以f (－7)＝g (－7)＝－log 2(7＋1)＝－3， 所以g (－3)＝－log 2(3＋1)＝－2.5．(2018·合肥质检)函数y ＝ln(2－|x |)的大致图象为( )解析：选A 令f (x )＝ln(2－|x |)，易知函数f (x )的定义域为{x |－2<x <2}，且f (－x )＝ ln(2－|－x |)＝ln(2－|x |)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除选项C 、D.当x ＝32时，f ⎝⎛⎭⎫32＝ln 12<0，排除选项B ，故选A. 6．已知定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，134 B ．(－∞，－3) C ．(－3，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫134，＋∞ 解析：选D 依题意得f (x )在R 上是减函数，所以f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈ [－1,2]恒成立，等价于x 2－2x ＋a >x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于a >－x 2＋3x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立．设g (x )＝－x 2＋3x ＋1(－1≤x ≤2)，则g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋134 (－1≤x ≤2)，当x ＝32时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝134，因此a ＞134，故选D. 7．(2018·南昌模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x >1，若f (1)是f (x )的最小值，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,2)B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[1，＋∞)解析：选C 法一：∵f (1)是f (x )的最小值， ∴y ＝2|x －a |在(－∞，1]上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，2|1－a |≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，|1－a |≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，0≤a ≤2， ∴1≤a ≤2，故选C.法二：当a ＝0时，函数f (x )的最小值是f (0)，不符合题意，排除选项A 、B ；当a ＝3时，函数f (x )无最小值，排除选项D ，故选C.8．(2018·福州质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x －2－x ，x ＞0，则满足不等式f (x 2－2)>f (x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：选C 法一：因为当x ＞0时，函数f (x )单调递增；当x ≤0时，f (x )＝0，故由 f (x 2－2)>f (x )，得⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x 2－2>x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2＞0，解得x >2或x <－2，所以x 的取值范围是 (－∞，－2)∪(2，＋∞)，故选C.法二：取x ＝2，则f (22－2)＝f (2)，所以x ＝2不满足题意，排除B 、D ；取x ＝－1.1，则f [(－1.1)2－2]＝f (－0.79)＝0，f (－1.1)＝0，所以x ＝－1.1不满足题意，排除A ，故选C.9.如图，把圆周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，顶点A (0,1)，一动点M 从点A 开始逆时针绕圆运动一周，记AM ＝x ，直线AM 与x 轴交于点N (t,0)，则函数t ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D 当x 由0→12时，t 从－∞→0，且单调递增，当x 由12→1时，t 从0→＋∞，且单调递增，所以排除A 、B 、C ，故选D.10.函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0解析：选C ∵f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象与x 轴，y 轴分别交于N ，M ，且点M 的纵坐标与点N 的横坐标均为正，∴x ＝－b a >0，y ＝bc2>0，故a <0，b >0，又函数图象间断点的横坐标为正，∴－c >0，c <0，故选C.11．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：选C 作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x －1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．12．在实数集R 上定义一种运算“★”，对于任意给定的a ，b ∈R ，a ★b 为唯一确定的实数，且具有下列三条性质：(1)a ★b ＝b ★a ；(2)a ★0＝a ；(3)(a ★b )★c ＝c ★(ab )＋(a ★c )＋(c ★b )－2c . 关于函数f (x )＝x ★1x ，有如下说法： ①函数f (x )在(0，＋∞)上的最小值为3； ②函数f (x )为偶函数； ③函数f (x )为奇函数；④函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)； ⑤函数f (x )不是周期函数． 其中正确说法的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 对于新运算“★”的性质(3)，令c ＝0，则(a ★b )★0＝0★(ab )＋(a ★0)＋(0★b )＝ab ＋a ＋b ，即a ★b ＝ab ＋a ＋b .∴f (x )＝x ★1x ＝1＋x ＋1x ，当x >0时，f (x )＝1＋x ＋1x ≥1＋2x ·1x ＝3，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号，∴函数f (x )在(0，＋∞)上的最小值为3，故①正确；函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f (1)＝1＋1＋1＝3，f (－1)＝1－1－1＝－1，∴f (－1)≠－f (1)且f (－1)≠f (1)，∴函数f (x )为非奇非偶函数，故②③错误；根据函数的单调性，知函数f (x )＝1＋x ＋1x 的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故④正确；由④知，函数f (x )＝1＋x ＋1x 不是周期函数，故⑤正确．综上所述，所有正确说法的个数为3，故选C.二、填空题13．(2018·惠州调研)已知函数f (x )＝x ＋1x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝________.解析：由已知得f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －1＝－⎝⎛⎭⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4. 答案：－414．已知函数f (x )的图象关于点(－3,2)对称，则函数h (x )＝f (x ＋1)－3的图象的对称中心为________． 解析：函数h (x )＝f (x ＋1)－3的图象是由函数f (x )的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f (x )的图象关于点(－3,2)对称，所以函数h (x )的图象的对称中心为 (－4，－1)．答案：(－4，－1)15．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)，则当－1<f (－1)<1时，a 的取值范围为________．解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－1)＝f (1)＝log a 2. 因为－1<f (－1)<1，所以－1<log a 2<1， 所以log a 1a<log a 2<log a a .①当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a <2，a >2，解得a >2；②当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a >2，a <2，解得0<a <12.综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． 答案：⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 16．已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R )在区间[－1,0]上单调递增，且满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0，给出下列判断： ①f (5)＝0；②f (x )在[1,2]上是减函数； ③函数f (x )没有最小值；④函数f (x )在x ＝0处取得最大值； ⑤f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 其中正确的序号是________．解析：因为f (1－x )＋f (1＋x )＝0，所以f (1＋x )＝－f (1－x )＝－f (x －1)，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数．由题意知，函数y ＝f (x )(x ∈R )关于点(1,0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．答案：①②④重点增分专题二 基本初等函数、函数与方程[全国卷3年考情分析]出现在第7～11题的位置，有时难度较大．(2)函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，题目可能较难，应引起重视．考点一 基本初等函数的图象与性质 增分考点·深度精研[析母题——高考年年“神”相似][典例] (1)若当x ∈R 时，函数f (x )＝a |x |(a >0，且a ≠1)满足f (x )≤1，则函数y ＝log a (x ＋1)的图象大致为( )(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，函数f (x )是单调递减函数，则f (log 25)，f ⎝⎛⎭⎫log 315，f (log 53)的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫log 315<f (log 53)<f (log 25) B ．f ⎝⎛⎭⎫log 315<f (log 25)<f (log 53) C ．f (log 53)<f ⎝⎛⎭⎫log 315<f (log 25) D ．f (log 25)<f ⎝⎛⎭⎫log 315<f (log 53) [解析] (1)由a |x |≤1(x ∈R )，知0<a <1，又函数y ＝log a (x ＋1)的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移一个单位而得，故选C.(2)因为f (x )在R 上为偶函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫log 315＝f (－log 35)＝f (log 35)． 由对数函数的单调性可知，log 25>log 35>1>log 53>0. 又因为f (x )在[0，＋∞)上为单调递减函数，所以f (log 53)>f (log 35)>f (log 25)，即f (log 53)>f ⎝⎛⎭⎫log 315>f (log 25)． [答案] (1)C (2)D[练子题——高考年年“形”不同]1．本例(1)变为：若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：选B ∵y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}，∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称．因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.2．本例(1)变为：若函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( )解析：选C 法一：由函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，得2a ＝4，∴a ＝2，则g (x )＝|log a (x ＋1)|＝|log 2(x ＋1)|，将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位长度(纵坐标不变)，然后将x 轴下方的图象翻折上去，即可得g (x )的图象，故选C.法二：由函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，得2a ＝4，∴a ＝2，即g (x )＝|log 2(x ＋1)|，由g (x )的定义域为{x |x >－1}，排除B 、D ；由x ＝0时，g (x )＝0，排除A.故选C.3．本例(2)变为：已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈[0，＋∞)时，函数f (x )是单调递增函数，则f (log 25)，f ⎝⎛⎭⎫log 315，f (log 53)的大小关系是________． 解析：由对数函数的单调性知log 25>log 53>log 315.又f (x )在R 上为奇函数且当x ∈[0， ＋∞)时，f (x )为增函数，∴f (x )在R 上为增函数．∴f (log 25)>f (log 53)>f ⎝⎛⎭⎫log 315. 答案：f (log 25)>f (log 53)>f ⎝⎛⎭⎫log 315[解题方略] 基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，若底数a 的值不确定，要注意分a >1和0<a <1两种情况讨论：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y ＝x α的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．[多练强化]1．(2018·全国卷Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b解析：选B ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.2．若函数y ＝a －a x (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵当a >1时，函数y ＝a －a x 在[0,1]上单调递减，∴a －1＝1且a －a ＝0，解得a ＝2；当0<a <1时，函数y ＝a －a x 在[0,1]上单调递增，∴a －1＝0且a －a ＝1，此时无解．∴a ＝2，因此log a56＋log a 485＝log 2⎝⎛⎭⎫56×485＝log 28＝3.故选C. 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x－1，x ≤0，x 12，x >0在区间[－1，m ]上的最大值是2，则m 的取值范围是________．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x－1，x ≤0，x 12，x >0作出函数的图象，如图所示，因为函数f (x )在[－1，m ]上的最大值为2，又f (－1)＝f (4)＝2，所以－1<m ≤4，即m ∈(－1,4]．答案：(－1,4]考点二 函数与方程 增分考点·广度拓展 题型一 确定函数零点个数或所在区间[例1] (1)(2018·邯郸月考)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)(2)(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________． [解析] (1)法一：因为f (1)＝0＋1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0，所以函数f (x )的零点所在区间为(1,2)，故选B.法二：函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作出图象如图所示．由图可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)． (2)由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )＝0.∵x ∈[0，π]，∴3x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，19π6， ∴当3x ＋π6取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0，即函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为3. [答案] (1)B (2)3 [解题方略]1．判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上； (2)利用零点存在性定理进行判断；(3)画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．2．判断函数零点个数的3种方法题型二 根据函数的零点求参数的范围[例2] (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)(2)已知定义域为R 的偶函数f (x )满足：对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18.若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，33 B.⎝⎛⎭⎫0，22 C.⎝⎛⎭⎫0，55 D.⎝⎛⎭⎫0，66[解析] (1)令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.(2)∵f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，f (x )是偶函数，∴f (1)＝0，∴f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为2的周期函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，作出函数y ＝f (x )与g (x )＝log a (x ＋1)的图象如图所示，∵两个函数图象在(0，＋∞)上至少有三个交点，∴g (2)＝log a 3>f (2)＝－2，且0<a <1，解得0<a <33，故选A. [答案] (1)C (2)A[解题方略]利用函数零点的情况求参数的范围的3种方法直观想象——数形结合法在函数零点问题中的应用[典例] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象的交点的个数．如图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故函数y ＝f (x )＋x－4的零点有2个．故选B.[答案] B [素养通路]直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．本题是函数零点个数问题，基本思路是数形结合，即把函数拆分为两个基本初等函数，这两个函数图象的交点个数即为函数的零点个数，对于不易直接求解的方程的根的个数的讨论，也是通过根据方程构建两个函数，利用两函数图象交点个数得出对应方程根的个数．考查了直观想象这一核心素养．[专题过关检测]A 组——“12＋4”满分练一、选择题1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数解析：选D 设幂函数f (x )＝x a，则f (3)＝3a＝3，解得a ＝12，则f (x )＝x 12＝x ，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．2．函数y ＝a x ＋2－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过的点是( )A ．(0,0)B ．(0，－1)C ．(－2,0)D ．(－2，－1)解析：选C 令x ＋2＝0，得x ＝－2，所以当x ＝－2时，y ＝a 0－1＝0，所以y ＝a x ＋2－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过点(－2,0)．3．(2019届高三·益阳、湘潭调研)若a ＝log 32，b ＝lg 0.2，c ＝20.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．b <a <c C ．a <b <cD ．b <c <a解析：选B 由对数函数的性质可得a ＝log 32∈(0,1)，b ＝lg 0.2<0.由指数函数的性质可得c ＝20.2>1，∴b <a <c ，故选B.4．(2018·福建第一学期高三期末考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y＝f (x )＋3x 的零点个数是2.故选C.5．已知函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，－log 32) B ．(0，log 52) C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)解析：选C ∵函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，且f (x )在(1,2)内单调， ∴f (1)·f (2)<0，即(1－a )·(log 32－a )<0，解得log 32<a <1.6．(2018·贵阳适应性考试)已知奇函数f (x )在R 上是减函数，且a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 3110，b ＝f (log 39.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．b >a >cD ．c >a >b解析：选B ∵f (x )是奇函数，∴a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 3110＝f ⎝⎛⎭⎫－log 3110＝f (log 310)． 又∵log 310>log 39.1>log 39＝2>20.8，且f (x )在R 上单调递减， ∴f (log 310)<f (log 39.1)<f (20.8)，即c >b >a ，故选B.7．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数解析：选D 由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A 、B ，又y ＝21－x－1在(－1,1)上是增函数，∴f (x )在(－1,1)上是增函数．选D. 8．若函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x，则f (2)＋g (4)＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D 法一：∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称， 又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x ＝2x ，∴g (x )＝log 2x ， ∴f (2)＋g (4)＝22＋log 24＝6.法二：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x ，∴f (2)＝4，即函数f (x )的图象经过点(2,4)，∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，∴函数g (x )的图象经过点(4,2)，∴f (2)＋g (4)＝4＋2＝6.9．设函数f (x )＝a x －k －1(a >0，且a ≠1)过定点(2,0)，且f (x )在定义域R 上是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )解析：选A 由题意可知a 2－k －1＝0，解得k ＝2，所以f (x )＝a x －2－1，又f (x )在定义域R 上是减函数，所以0<a <1.此时g (x )＝log a (x ＋2)在定义域上单调递减，且恒过点(－1,0)，故选A.10．已知函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，且a ≠1)，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 B ．(0，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，－14 D.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 解析：选A 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，2x 2＋x ∈(0,1)，因为当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，恒有f (x )>0，所以0<a <1，由2x 2＋x >0得x >0或x <－12.又2x 2＋x ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋142－18，由复合函数的单调性可知，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－12.11．设方程10x ＝|lg(－x )|的两根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<1解析：选D 作出函数y ＝10x ，y ＝|lg(－x )|的图象，由图象可知，两个根一个小于－1，一个在(－1,0)之间，不妨设x 1<－1，－1<x 2<0， 则10x 1＝lg(－x 1)，10x 2＝|lg(－x 2)|＝－lg(－x 2)． 两式相减得：lg(－x 1)－(－lg(－x 2))＝lg(－x 1)＋lg(－x 2) ＝lg(x 1x 2)＝10x 1－10x 2<0，即0<x 1x 2<1.12．(2018·陕西质检)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对任意的x 都满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x <1时，f (x )＝x ，则函数g (x )＝f (x )－ln|x |的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 依题意，可知函数g (x )＝f (x )－ln|x |的零点个数即为函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝ln|x |的图象的交点个数．设－1≤x <0，则0≤x ＋1<1， 此时有f (x )＝－f (x ＋1)＝－(x ＋1)， 又由f (x ＋1)＝－f (x )， 得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， 即函数f (x )以2为周期的周期函数．而y ＝ln|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，ln (－x )，x <0，在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象与y ＝ln|x |的图象如图所示， 由图可知，两图象有3个交点，即函数g (x )＝f (x )－ln|x |有3个零点，故选B.二、填空题13．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝log 2(x 2＋a )且f (3)＝1， ∴1＝log 2(9＋a )，∴9＋a ＝2，∴a ＝－7. 答案：－714．(2019届高三·南宁二中、柳州高中联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≤0，log12x ，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫14＋f ⎝⎛⎫log 216＝________.解析：由题可得f ⎝⎛⎭⎫14＝log 1214＝2，因为log 216<0，所以f ⎝⎛⎭⎫log 216＝⎝⎛⎭⎫12log 216＝2log 26＝6，故f ⎝⎛⎭⎫14＋f ⎝⎛⎭⎫log 216＝8.答案：815．有四个函数：①y ＝x 12；②y ＝21－x ；③y ＝ln(x ＋1)；④y ＝|1－x |.其中在区间(0,1)内单调递减的函数的序号是________．解析：分析题意可知①③显然不满足题意，画出②④中的函数图象(图略)，易知②④中的函数满足在(0,1)内单调递减．答案：②④16．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，。
重点增分专题六 数 列[全国卷3年考情分析](1)高考主要考查等差数列及等比数列的基本运算，两类数列求和方法(裂项相消法、错位相减法)、两类综合(与函数综合、与不等式综合)，主要突出数学思想的应用．(2)若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在17题的位置上交替考查，试题难度中等；若以客观题考查，难度中等的题目较多．考点一 等差、等比数列的基本运算 保分考点练后讲评[大稳定——常规角度考双基]1.[等差数列的基本运算](2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.2.[等比数列的基本运算]已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 10S 5＝3332，则数列{a n }的公比q 为( )A ．4B ．2C.12D.34解析：选C 因为S 10S 5＝3332≠2，所以q ≠1.所以S 10S 5＝a 1－q101－q a 1－q 51－q ＝1＋q 5，所以1＋q 5＝3332，所以q ＝12.3.[等差与等比数列的综合运算]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝3.(1)若a 3＋b 3＝7，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝13，求S n .解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝qn －1.由a 2＋b 2＝3，得d ＋q ＝4， ① 由a 3＋b 3＝7，得2d ＋q 2＝8， ② 联立①②，解得q ＝2或q ＝0(舍去)， 因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)∵T 3＝1＋q ＋q 2，∴1＋q ＋q 2＝13， 解得q ＝3或q ＝－4，由a 2＋b 2＝3，得d ＝4－q ，∴d ＝1或d ＝8. 由S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，得S n ＝12n 2－32n 或S n ＝4n 2－5n .[解题方略] 等差(比)数列基本运算的解题思路 (1)设基本量：首项a 1和公差d (公比q )．(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a 1和d (或q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．[小创新——变换角度考迁移]1.[与平面向量交汇]设数列{a n }满足a 2＋a 4＝10，点P n (n ，a n )对任意的n ∈N *，都有向量P n P n ＋1――→＝(1,2)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：∵P n (n ，a n )，∴P n ＋1(n ＋1，a n ＋1)， ∴P n P n ＋1――→＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)， ∴a n ＋1－a n ＝2，∴数列{a n }是公差d 为2的等差数列．又由a 2＋a 4＝2a 1＋4d ＝2a 1＋4×2＝10，解得a 1＝1， ∴S n ＝n ＋n n －2×2＝n 2.答案：n 22.[定义数列中的创新]设某数列的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称该数列为“和谐数列”．若一个首项为1，公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }为“和谐数列”，则该等差数列的公差d ＝________.解析：由S n S 2n ＝k (k 为常数)，且a 1＝1，得n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n n －d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得，(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0，∵对任意正整数n ，上式恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧d k －＝0，k －－d ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，k ＝14，∴数列{a n }的公差为2.答案：23.[借助数学文化考查](2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解析：选B 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝a 1－271－2＝381，解得a 1＝3.考点二 等差数列、等比数列的性质 保分考点练后讲评[大稳定——常规角度考双基]1.[等比数列项的性质]在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－2或 2解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.2.[等差数列前n 项和的性质]设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 4≠0，且S 8＝3S 4，设S 12＝λS 8，则λ＝( )A.13B.12C ．2D ．3解析：选C 因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和， 若S 4≠0，且S 8＝3S 4，S 12＝λS 8，所以由等差数列的性质得：S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列， 所以2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)， 所以2(3S 4－S 4)＝S 4＋(λ·3S 4－3S 4)， 解得λ＝2.3.[等差数列前n 项和的最值]在等差数列{a n }中，已知a 1＝13,3a 2＝11a 6，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：设{a n }的公差为d .法一：由3a 2＝11a 6，得3(13＋d )＝11(13＋5d )， 解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15.由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋15≥0，－n ＋＋15≤0，解得6.5≤n ≤7.5.因为n ∈N *，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝－2×7＋2＝49.法二：由3a 2＝11a 6，得3(13＋d )＝11(13＋5d )， 解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15. 所以S n ＝n 13＋15－2n2＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝49. 答案：494.[数列的单调性]已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫12－λn ＋n，λn －5n，若对于任意的n∈N *都有a n >a n ＋1，则实数λ的取值范围是________．解析：法一：因为a n >a n ＋1，所以数列{a n }是递减数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－λ<0，0<λ<1，λ<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ×5＋1，解得12<λ<712.所以实数λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，712.法二：因为a n >a n ＋1恒成立，所以0<λ<1.若0<λ≤12，则当n <6时，数列{a n }为递增数列或常数列，不满足对任意的n ∈N *都有a n >a n ＋1；若12<λ<1，则当n <6时，数列{a n }为递减数列，当n ≥6时，数列{a n }为递减数列，又对任意的n ∈N *都有a n >a n ＋1，所以a 6<a 5，即λ<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ×5＋1，解得λ<712，所以12<λ<712.综上，实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，712.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，712 [解题方略] 等差、等比数列性质问题的求解策略1.[数列与对数式交汇]在等差数列{a n }中，公差d ≠0，若lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，且a 5＝10，则{a n }的前5项和S 5＝( )A ．40B ．35C ．30D ．25解析：选C 因为lg a 1，lg a 2，lg a 4成等差数列，所以2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4⇒lg a 22＝lg a 1a 4⇒a 22＝a 1a 4⇒d 2＝a 1d ，因为d ≠0，所以a 1＝d ，又a 5＝a 1＋4d ＝10，所以a 1＝2，d ＝2，S 5＝5a 1＋5×42d ＝30.选C.2.[数列与函数性质交汇]已知函数f (x )是R 上的单调递增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3>0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( )A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可以为正数也可以为负数解析：选A 因为函数f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，又f (x )是R 上的增函数，所以当x >0时，有f (x )>f (0)＝0，当x <0时，有f (x )<f (0)＝0，因为a 3>0，所以f (a 3)>0.因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 52＝a 3>0⇒a 1＋a 5>0⇒a 1>－a 5⇒f (a 1)>f (－a 5)，又f (－a 5)＝ －f (a 5)，所以f (a 1)＋f (a 5)>0，故f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)＝[f (a 1)＋f (a 5)]＋f (a 3)>0.3.[数列与三角函数交汇]已知数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，且a 5＝π2，若函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x2，记y n ＝f (a n )，则数列{y n }的前9项和为( )A ．0B ．－9C ．9D ．1解析：选C 由已知可得，数列{a n }为等差数列，f (x )＝sin 2x ＋cos x ＋1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1.∵f (π－x )＝sin(2π－2x )＋cos(π－x )＋1＝－sin 2x －cos x ＋1，∴f (π－x )＋f (x )＝2，∵a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5＝π，∴f (a 1)＋…＋f (a 9)＝2×4＋1＝9，即数列{y n }的前9项和为9.4.[数列与不等式交汇]数列{a n }是首项a 1＝m ，公差为2的等差数列，数列{b n }满足2b n＝(n ＋1)a n ，若对任意n ∈N *都有b n ≥b 5成立，则m 的取值范围是________．解析：由题意得，a n ＝m ＋2(n －1)， 从而b n ＝n ＋12a n ＝n ＋12[m ＋2(n －1)]．又对任意n ∈N *都有b n ≥b 5成立，结合数列{b n }的函数特性可知b 4≥b 5，b 6≥b 5， 故⎩⎪⎨⎪⎧52m ＋m ＋，72m ＋m ＋，解得－22≤m ≤－18.答案：[－22，－18]考点三 等差比数列的判断与证明 增分考点讲练冲关[典例] 设S n 为数列{a n }的前n 项和，对任意的n ∈N *，都有S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝2a 1，b n ＝b n －11＋b n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是等差数列还是等比数列，并求数列{b n }的通项公式．[解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，解得a 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a n －1－a n ， 即a n a n －1＝12(n ≥2，n ∈N *)． 所以数列{a n }是首项为1， 公比为12的等比数列，故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)因为a 1＝1，所以b 1＝2a 1＝2.因为b n ＝b n －11＋b n －1，所以1b n ＝1b n －1＋1，即1b n －1b n －1＝1(n ≥2)．所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为12，公差为1的等差数列．所以1b n ＝12＋(n －1)·1＝2n －12，故数列{b n }的通项公式为b n ＝22n －1.[解题方略] 数列{a n }是等差数列或等比数列的证明方法 (1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为一常数； ②利用等差中项，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (2)证明{a n }是等比数列的两种基本方法 ①利用定义，证明a n ＋1a n(n ∈N *)为一常数； ②利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)．[多练强化]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值．(2)设b n ＝a n ＋3，证明数列{b n }为等比数列，并求通项公式a n .解：(1)因为数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． 所以n ＝1时，由a 1＝S 1＝2a 1－3×1，解得a 1＝3，n ＝2时，由S 2＝2a 2－3×2，得a 2＝9， n ＝3时，由S 3＝2a 3－3×3，得a 3＝21.(2)因为S n ＝2a n －3n ， 所以S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)， 两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋3，①把b n ＝a n ＋3及b n ＋1＝a n ＋1＋3，代入①式， 得b n ＋1＝2b n (n ∈N *)，且b 1＝6，所以数列{b n }是以6为首项，2为公比的等比数列， 所以b n ＝6×2n －1，所以a n ＝b n －3＝6×2n －1－3＝3(2n－1).考点四 数列求和 增分考点·深度精研 [析母题——高考年年“神”相似][典例] 已知数列{a n }满足a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －1a n ＝n4(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4na n2n ＋1，求数列{b n b n ＋1}的前n 项和T n .[解] (1)当n ＝1时，a 1＝14.因为a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －2a n －1＋4n －1a n ＝n4，①所以a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －2a n －1＝n －14(n ≥2)，②①－②得4n －1a n ＝14(n ≥2)，所以a n ＝14n (n ≥2)．由于a 1＝14，故a n ＝14n .(2)由(1)得b n ＝4na n 2n ＋1＝12n ＋1，所以b n b n ＋1＝1n ＋n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3，故T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝n 6n ＋9.[练子题——高考年年“形”不同]1．在本例条件下，若设b n ＝a n log 12a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：∵a n ＝14n ，∴b n ＝2n4n ，∴T n ＝241＋442＋643＋ (2)4n ，14T n ＝242＋443＋644＋…＋2n 4n ＋1， 两式相减得，34T n ＝24＋242＋243＋244＋…＋24n －2n 4n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋142＋143＋144＋…＋14n －2n 4n ＋1＝2×14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14－2n4n ＋1＝23－23×4n －2n 4n ＋1 ＝23－6n ＋83×4n ＋1， ∴T n ＝89－6n ＋89×4n .2．在本例条件下，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，记b n ＝S n a n(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：∵a n ＝14n ，∴1a n ＝4n ，S n ＝43×4n－43，则b n ＝S n a n ＝43×42n －43×4n，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝43(42＋44＋...＋42n )－43(4＋42＋ (4)) ＝43×161－42n1－16－43×41－4n1－4＝6445×42n －169×4n＋1645.3．在本例条件下，设b n＝a na n ＋a n＋1＋1，求数列{b n}的前n项和T n.解：∵a n＝14n ，∴b n＝14n⎝⎛⎭⎪⎫14n＋1⎝⎛⎭⎪⎫14n＋1＋1＝4n＋1n ＋n＋1＋＝43⎝⎛⎭⎪⎫14n＋1－14n＋1＋1.∴T n＝b1＋b2＋b3＋…＋b n＝4314＋1－142＋1＋142＋1－143＋1＋…－14n＋1＋1＝43⎝⎛⎭⎪⎫15－14n＋1＋1＝415－43·4n＋1＋3.[解题方略]1．分组求和中分组的策略(1)根据等差、等比数列分组．(2)根据正号、负号分组．2．裂项相消求和的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差．(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多．3．错位相减法求和的关注点(1)适用题型：等差数列{a n}与等比数列{b n}对应项相乘({a n·b n})型数列求和．(2)步骤：①求和时先乘以数列{b n}的公比；②将两个和式错位相减；③整理结果形式．[多练强化]1．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，S3＝a5.令b n＝(－1)n－1a n，则数列{b n}的前2n项和T2n为( )A．－n B．－2nC．n D．2n解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＝a 5，得3a 2＝a 5，∴3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2，∴a n ＝2n －1，∴b n ＝(－1)n －1(2n －1)，∴T 2n ＝1－3＋5－7＋…＋(4n －3)－(4n－1)＝－2n ，选B.2．(2017·天津高考)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12， 而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 又因为q ＞0，解得q ＝2. 所以b n ＝2n.由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.②由①②，解得a 1＝1，d ＝3，所以a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n. (2)由(1)知a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1，则a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n， 设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ，故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n，4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1，上述两式相减，得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n －1)×4n ＋1＝－4n1－4－4－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n ＋1－8.故T n ＝3n －23×4n ＋1＋83.所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且a 2＝3，S 5＝25. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1S n ·S n ＋1，记数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n <1.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，S 5＝25，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，a 1＋4d2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)证明：由(1)知，a n ＝2n －1， 所以S n ＝n＋2n －2＝n 2. 所以b n ＝1n 2n ＋2＝1nn ＋＝1n －1n ＋1. 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1<1.数学运算——数列的通项公式及求和问题[典例] 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为其前n 项和，已知S 3＝7，a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n ＋ln a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)设数列{a n }的公比为q (q >1)．由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1＋＋a 3＋2＝3a 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋q ＋q2＝7，a 1－6q ＋q 2＝－7.由q >1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)得b n ＝2n －1＋(n －1)ln 2，所以T n ＝(1＋2＋22＋…＋2n －1)＋[0＋1＋2＋…＋(n －1)]ln 2＝1－2n1－2＋nn －2ln 2＝2n－1＋n n －2ln 2.[素养通路]数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．本题通过列出关于首项与公比的方程组，并解此方程组得出首项与公比，从而得出通项公式；通过分组分别根据等比数列求和公式、等差数列求和公式求和．考查了数学运算这一核心素养．。
