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13.2 多边形（1）教学目标【知识与能力】了解多边形的概念。
【过程与方法】会识别多边形。
【情感态度价值观】发展观察和归类能力。
教学重难点【教学重点】多边形的相关概念和识别。
【教学难点】多边形的相关概念和识别。
课前准备无教学过程（一）引入你能从图7.3—1中找出几个由一些线段围成的图形吗?（二）知识点我们学过三角形。
类似地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（po1ygon）。
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形。
如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。
如图7.3—2，螺母底面的边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形。
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
图7.3—3中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五边形ABCDE的5个内角。
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
图7.3－4中的∠l是五边形ABCDE的一个外角。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线（diagonal）。
图7.3—5中，AC、AD是五边形ABCDE的两条对角线。
特别提醒：n边形（n≥3）从一个顶点可引出（n－3）条对角线，把n边形分割成（n－2）个三角形，共有对角线条。
例如：十边形有________条对角线。
在这里n=10，就可套用对角线条数公式（条）。
如图7.3—6（1），画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形。
而图7.3—6（2）中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD（或BC）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧。
类似地，画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。
本节只讨论凸多边形。
我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等。
像正方形那样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
多边形内角和定理的推广和应用凸多边形内角和定理是多边形内角求和的唯一定理。
近年来，初中数学竞赛中已多次出现形式比较复杂的多边形角的求和问题，不少同学感到无从着手，本文给出凸多边形内角和定理的推广，从而能简捷、轻松地解决这类问题.定义各边顺次按逆时针（或顺时针）方向所组成的多边形叫做交边多边形(简称“交边形”），交边形每相邻两边所组成的小于180°的角叫做交边形的内角，如果交边形一条边所在的直线与每一个内角的两边的射线中至少有一条相交，这样的边叫做交边形的始边。
定理设m表示与一条始边所在直线相交的边数（若始边所在直线从某内角的内部经过这角的顶点时，计算一条边与其相交；不计算始边自身），那么,交边n边形的内角和等于（n-m)·180°。
(I)当m=n—1时，最简形为三角形，即每一条边均与始边所在直线相交。
设A1A2为始边，A3A4交A1A2于B1,A4A5交A1A2于B2，……,A n—1A n交A1A2于B0.如图1，由外角定理得∠A2B1A4=∠A3+∠A2，∠A1B2A5=∠A4+∠A3＋∠A2，……∠A1B0A n=∠A n-1+∠A n—2＋…＋∠A2，（Ⅱ)当m=n—2时，最简形为凸四边形，即有一条边与始边所在直线不相交，不妨设为A i A i＋1。
连结A i A i+2，如图2，则(Ⅲ)假设m=n-k时，（*）成立。
(Ⅳ)故当m=n-k—1时，即比(Ⅲ）多一条边与始边所在直线不相交，不妨设为A i A i+1，连结A i A i＋2,如图2，则=k·180°＋180°=(k＋1）·180°。
（＊）也成立.（证毕)特别地，当m=2时，上述定理即为凸多边形内角和定理。
下面看几个例子。
例1 如图3,这是交边七边形，甲图中每条边均可作始边;乙图中∠1与∠2的公共边不能作始边，因为∠5两边的射线没有一条与它所在直线相交。
初中数学青岛版七年级下册高效课堂资料七年级数学（下）导学案（第十三章）13.2 多边形（第一课时）【学习目标】1.了解多边形的有关概念，认识多边形的边、内角、顶点、对角线；2.通过归纳，得出n边形对角线条数公式；3.认识正多边形，会根据边数说出正多边形的名称。
【课前预习】任务一：多边形的概念1.什么叫做多边形？2.多边形的边是，顶点是，内角是.3. 叫做正多边形.任务二：多边形的对角线4. 叫做对角线.5.在下图分别作出四边形、五边形、六边形的对角形，数一数对角线的条数并填在下表中。
从n边形一个顶点出发有条对角线，n边形共有条对角线.边数345678…n从一个顶点出发的对角线的条数…总的对角线条数…【课中探究】任务一:交流总结多边形的概念及各元素的名称①右图是边形，记作：；有条边，分别是；有个顶点，分别是；有个内角，分别是；②n边形有条边，个顶点，个内角；任务二:多边形对角线的定义及条数如右图，过顶点A1与其余个顶点可引对角线，故①过点A1可引条对角线，分别是，……②过点A6可引条对角线，分别是，③过点A1引的对角线与过点A6引的对角线有相同的吗？④n边形有条对角线。
AnA1A2A3A4A5A6DAFECB任务三:特殊的多边形——正多边形正多边形的定义，及常见的正多边形是什么？一、判断题1.由一些线段相接组成的图形叫多边形； （ ）2.三角形不是多边形； （ ）3.三角形有三条对角线。
（ ）4.n 边形的边数n 的最小值是3； （ ）5.如果一个多边形的各边都相等，那么它是正多边形； （ ）6.由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形。
（ ） 二、填空题．1.图中的多边形是 边形， 条边 个角 顶点。
2.连接多边形 的线段，叫做多边形的对角线．3.各个角 ，各条边 的多边形，叫正多边形．4.已知一个多边形从一个顶点出发做出了19条对角线，这是 边形。
三、图中的多边形是几边形，写出它的边、顶点与内角。
学习指导：多边形
多边形是人们日常生活和生产实践中常见的、应用较广泛的一种图形，也是平面几何研究的主要对象．通过添加辅助线把多边形转化为三角形，运用学过的三角形的知识来研究多边形问题，从而得到多边形的一些新知识．
一、学习目标
1、理解多边形的有关概念；
2、理解并掌握多边形的内角和、外角和定理，会用其解有关问题．
二、重点与难点
1、重点：多边形的内角和定理与外角和定理．
2、难点：多边形的内角和定理与外角和定理的证明及其应用．
三、中考分析
本节内容属于基础内容，也是中考的必考内容，多以填空题、选择题的形式出现，有时也通过解答题来进行考查．主要涉及多边形的边数与角度的换算，对角线的条数与边之间的关系．
四、学法指导
1、学会用类比的方法，通过对三角形有关概念与性质的复习与类比，学习多边形的有关概念与性质，搞清楚它们的区别与联系．
2、学会运用化归与转化的思想方法以及不完全归纳法，善于把多边形问题转化为三角形问题来解决．
五、知识结构
六、知识要点
1、多边形的有关概念
（1）多边形的定义：在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的顶点：多边形每相邻两条线段的公共端点叫做多边形的顶点．
（3）多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
（4）多边形的内角: 多边形的相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角．
（5）多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角．
（6）多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．（7）多边形有几条边就叫几边形．
（8）多边形的表示方法：多边形用表示它的各顶点的字母顺序写出表示，如五边形ABCDE等．
2、多边形内角和定理
（1）多边形内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）·180°．
说明：由多边形内角和定理可知，多边形的内角和一定是180的倍数，在解有关题目时，要注意应用．
（2）多边形内角和定理的证明思路：
①在n边形内任取一点O，连结O与各顶点的线段把n边形分成n个三角形，n边形的内角和等于n个三角形的内角和n·180°减去以O为公共顶点的n个角之和360°，即：n·180°-360°=（n-2）·180°．
②过n边形一个顶点作对角线，共作（n-3）条对角线，把n边形分成（n-2）三角形，n边形的内角和恰好等于（n-2）个三角形的内角和（n-2）·180°．
③在n边形一边上任取一点P，连结这点与各个顶点，把n边形分成（n-1）个三角形．n 边形的内角和等于（n-1）个三角形的内角和减去点P处的一个平角，即：（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°．
说明：以上三种方法的证明思路都是将多边形问题转化为三角形问题来解决，体现了化归与转化的思想方法．
3、多边形外角和定理
（1）多边形外角和定义：在多边形的每一个顶点处取多边形的一个外角，它们的和叫做多边形的外角和．
（2）多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于360°．
说明：①多边形的每一个顶点出有两个外角，它们是对顶角，大小相等．
②看到任意多边形的外角和都恒等于360°这一结论，同学们马上会联想到周角的度数正好等于360°，它们之间有联系吗？在这里给出它的一个形象的解释：假设有一只蚂蚁从多边形的某一个顶点出发，沿着多边形的边爬行一周，蚂蚁每到一个顶点时需要转向，而蚂蚁转过的角度正好等于该顶点处多边形外角的度数，当蚂蚁爬行一周回到原来的地方时，方向正好转了360°，从而说明了多边形的外角和为360°．
（3）多边形外角和定理的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角是邻补角，因此，n 边形的内角和加外角和等于n ·180°，从而，多边形的外角和等于n ·180°-（n -2）·180°=360°．
4、多边形的对角线
（1）从n 边形每个顶点引出的对角线把n 边形分成（n -2）三角形．
（2）从n 边形每个顶点出发可作（n -3）条对角线，因此，n 边形对角线的总条数为(3)2
n n 条． 5、多边形的内角和与外角和定理的作用
（1）内角和定理的作用
①已知边数求内角和；此类问题可直接由多边形的内角和公式求出．
②已知内角和求边数．此类问题可据多边形的内角和公式列出方程，解此方程即可求出．
（2）外角和定理的作用
①已知各相等外角度数求多边形边数；
②已知多边形边数求各相等外角度数．
6、边数与内角和、外角和的关系
（1）内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少．每增加一条边，内角和增加180°（反过来也成立）．
（2）多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关．
7、多边形各边关系
任意n 边形的（n －1）条边的和大于第n 条边．
8、多边形中锐角、钝角的个数
①由多边形内角和定理可知，多边形最多有三个内角为锐角（思考：多边形为什么不能有三个以上的锐角？），最少没有锐角（如矩形）．
②多边形的外角中最多有三个钝角，最少没有钝角．
七、解题方法
1、处理四边形问题，根据向三角形转化的途径，常见的作辅助线的方法有：
（1）作对角线构造三角形；
（2）延长边构造三角形；
（3）构造直角三角形．
2、当n边形各内角相等时，内角和等于边数与一个内角度数的积．
3、多边形的内角相等，其中也隐含着外角相等，利用这种隐含关系，求多边形的边数比直接利用内角和求边数有时要简单．
4、利用多边形的内角和公式反求边数（此类题都隐含着边数为正整数这个条件），相当于解一元一次方程．
5、多边形问题常通过连结两点或连结对角线化成三角形或四边形问题来解决．
6、有关多边形的内角与外角问题，内角为不定量，而外角和为定量，它不随多边形的边数变化而变化，解题时从外角入手容易解决．
7、多边形一个内角x的取值范围是：0°＜x＜180°．
8、当题中涉及到120°、60°、45°、30°等特殊角时，常想到把它们转到特殊三角形中，如等边三角形、直角三角形等．。
