人教A版高中数学必修4练习--2-5平面向量应用举例 --含答案

第4讲 平面向量应用举例A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )．A ．1B ．－1 C. 3D.22解析 由|a ·b |＝|a ||b |知，a ∥b .所以sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，π)， 所以sin x ＝cos x ，即x ＝π4，故tan x ＝1. 答案 A2．(2013·九江模拟)若|a |＝2sin 15°，|b |＝4cos 15°，a 与b 的夹角为30°，则a ·b 的值是( )．A.32B. 3 C ．2 3D.12解析 a ·b ＝|a ||b |cos 30°＝8sin 15°cos 15°×32＝4×sin 30°×32＝ 3. 答案 B3.(2012·哈尔滨模拟)函数y ＝tan π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝( )．A ．4B ．6C ．1D ．2解析 由条件可得B (3,1)，A (2,0)，∴(OA →＋OB →)·AB →＝(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝OB →2－OA →2＝10－4＝6.答案 B4．在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( )．A.53B.54 C.109 D.158解析 法一 依题意，不妨设BE →＝12E C →，BF→＝2FC →，则有AE→－AB →＝12(AC →－AE →)，即AE →＝23AB →＋13AC →； AF→－AB →＝2(AC →－AF →)，即AF →＝13AB →＋23AC →.所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC → ＝19(2AB →＋AC →)·(AB →＋2AC →)＝19(2AB →2＋2AC →2＋5AB →·AC→) ＝19(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝53，选A.法二 由∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1可得∠ACB ＝90°，如图建立直角坐标系，则A (0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0， ∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233·⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋(－1)·(－1)＝23＋1＝53，选A. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·温州适应性测试)在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →·BD→＝________. 解析 AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12DC →·(BA →＋BC →)＝(AD →＋12DC →)·(AD→－DC →)＝AD →2－12DC →·AD →－12DC →2＝1－12×1×2cos 60°－12×4＝－32. 答案 －326．(2013·东北三校一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，S △ABC ＝2，则BA →·AC →＝________. 解析 依题意得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ，即3sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B >0， 于是有cos A ＝13，sin A ＝1－cos 2A ＝223，又S △ABC ＝12·bc sin A ＝12bc ×223＝2，所以bc ＝3，BA →·AC→＝bc cos(π－A )＝－bc cos A ＝－3×13＝－1. 答案 －1 三、解答题(共25分)7．(12分)(2012·北京海淀模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝k (k ∈R )． (1)判断△ABC 的形状； (2)若c ＝2，求k 的值．解 (1)∵AB →·AC →＝cb cos A ，BA →·BC →＝ca cos B ， 又AB →·AC →＝BA →·BC →，∴bc cos A ＝ac cos B ， ∴sin B cos A ＝sin A cos B ，即sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0， ∵－π＜A －B ＜π，∴A ＝B ，即△ABC 为等腰三角形．(2)由(1)知，AB →·AC →＝bc cos A ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22＝k ，∵c ＝2，∴k ＝1.8．(13分)已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC→＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值． 解 (1)∵AC→＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)，∴AC→2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， BC→2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α， 由|AC→|＝|BC →|，可得AC →2＝BC →2， 即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＝5π4. (2)由AC →·BC→＝－1， 得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α.由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49， ∴2sin αcos α＝－59. ∴2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝－59.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对应的三角形的边长，若4aBC →＋2bCA →＋3cAB →＝0，则cos B ＝( )．A ．－1124 B.1124 C.2936D ．－2936解析 由4aBC →＋2bCA →＋3cAB →＝0，得4aBC→＋3cAB →＝－2bCA →＝－2b (BA →－BC →)＝2bAB →＋2bBC →， 所以4a ＝3c ＝2b .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝b 24＋49b 2－b 22·b 2·23b ＝－1124.答案 A2．(2013·郑州三模)△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →在CB →方向上的投影为( )．A ．1B ．2C. 3D ．3解析 如图，由题意可设D 为BC 的中点，由OA →＋AB →＋AC →＝0，得OA →＋2AD →＝0，即AO →＝2AD→，∴A ，O ，D 共线且|AO →|＝2|AD →|，又O 为△ABC 的外心， ∴AO 为BC 的中垂线，∴|AC→|＝|AB →|＝|OA →|＝2，|AD →|＝1， ∴|CD →|＝3，∴CA →在CB →方向上的投影为 3. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x ＋3y 的最小值为________． 解析 若a ⊥b ，则4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2. 9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥2×32x ＋y ＝2×32＝6. 当且仅当x ＝12，y ＝1时取得最小值． 答案 64．(2013·山西大学附中月考)已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为________．解析 由题意得：f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b 必有可变号零点，即Δ＝|a |2－4a ·b >0，即4|b |2－8|b |2cos 〈a ，b 〉>0，即－1≤cos 〈a ，b 〉<12.所以a 与b 的夹角范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π三、解答题(共25分)5．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2B ，2cos 2B 2－1且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．解 (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＝－3cos 2B ，∴sin 2B ＝－3cos 2B ，即tan 2B ＝－ 3. 又B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，b ＝2，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， 得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ，代入上式， 得ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)，即S △ABC 的最大值为 3.6．(13分)(2012·南通模拟)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2 x 4.(1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围． 解 (1)m ·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2 x4＝32sin x 2＋1＋cos x22＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12， ∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0＜B ＜π，∴B ＝π3，∴0＜A ＜2π3. ∴π6＜A 2＋π6＜π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.又∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。

§7 向量应用举例 7、1 点到直线的距离公式 7、2 向量的应用举例, )1、问题导航(1)已知直线l 的方向向量(M ,N )或法向量(A ,B ),如何设l 的方程？ (2)向量可以解决哪些常见的几何问题？ (3)向量可以解决哪些物理问题？ 2、例题导读P 102例1、通过本例学习,学会利用点到直线的距离公式计算点到直线的距离、 试一试:教材P 102练习T 1,T 2,T 3您会不？P 102例2、通过本例学习,学会利用向量方法解答平面几何问题的方法步骤、 试一试:教材P 104习题2－7 B 组T 1您会不？P 103例3,例4、通过此两例学习,学会利用向量方法解答物理中位移、力等问题、 试一试:教材P 104习题2－7 A 组T 3,B 组T 2您会不？1、直线l :Ax ＋By ＋C ＝0的法向量(1)与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量、(2)若直线l的方向向量v ＝(B ,－A ),则直线l 的法向量n ＝(A ,B )、(3)与直线l 的法向量n 同向的单位向量n 0＝n|n |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A A 2＋B 2BA 2＋B 2、2、点到直线的距离公式点M (x 0,y 0)到直线l :Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2、 3(1)证明线段平行或相等,可以用向量的数乘、平行向量定理、 (2)证明线段垂直,可以用向量数量积运算、(3)利用向量数量积运算,可以求线段的长度、夹角及平面图形的面积、 4、用向量解决解析几何中的问题解析几何就是在平面直角坐标系内研究图形的性质,这类问题大多适用于向量的坐标运算,建立适当的平面直角坐标系,设出向量的坐标,将几何问题转化为向量的线性运算或数量积的运算、5、向量在物理中的应用向量有着丰富的物理背景,向量的物理背景就是位移、力、速度等,向量数量积的物理背景就是力所做的功,因此,利用向量可以解决一些物理问题、用向量法解决物理问题时,要作出相应的几何图形,以帮助我们建立数学模型、向量在物理中的应用,如求力的合成与分解,力做功等,实际上就是把物理问题转化为向量问题,然后通过向量运算解决向量问题,最后再用获得的结果解释物理现象、1、判断正误、(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)求力F 1与F 2的合力可按照向量加法的三角形法则求解、( )(2)若△ABC 为直角三角形,则有AB →·AC →＝0、( )(3)若向量AB →∥CD →,则AB ∥CD 、( )解析:(1)正确、物理中的力既有大小又有方向,所以力可以瞧作向量,F 1,F 2的合力可按照向量加法的三角形法则求解、(2)错误、因为△ABC 为直角三角形,角A 并不一定就是直角,有可能就是角B 或角C 为直角、(3)错误、向量AB →∥CD →时,直线AB ∥CD 或AB ,CD 重合、 答案:(1)√ (2)× (3)×2、已知A ,B ,C ,D 四点的坐标分别为(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为( ) A 、梯形 B 、菱形 C 、矩形 D 、正方形解析:选A 、AB →＝(3,3),CD →＝(－2,－2),所以AB →＝－32CD →,AB →与CD →共线,但|AB →|≠|CD →|,故此四边形为梯形、3、两个大小相等的共点力F 1,F 2,当它们间的夹角为90°时合力大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,合力的大小为________N 、解析:根据题意,当F 1,F 2夹角为90°时, |F 1|2＋|F 2|2＝202,因为|F 1|＝|F 2|,所以|F 1|＝|F 2|＝102,则当F 1,F 2夹角为120°时,它们的合力大小为|AC →|＝102、 答案:10 24、在△ABC 中,若C ＝90°,AC ＝BC ＝4,则BA →·BC →＝________、 解析:因为C ＝90°,AC ＝BC ＝4,所以△ABC 为等腰直角三角形,所以BA ＝42,∠ABC ＝45°,所以BA →·BC →＝16、 答案:161、对直线l :Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量及法向量的两点说明(1)设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)为直线上不重合的两点,则P 1P 2→＝(x 2－x 1,y 2－y 1)及其共线的向量λP 1P 2→均为直线的方向向量、显然当x 1≠x 2时,向量⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1y 2－y 1x 2－x 1与P 1P 2→共线,因此向量⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－A B ＝1B(B ,－A )为直线l 的方向向量,由共线向量的特征可知(B ,－A )为直线l 的方向向量、(2)结合法向量的定义可知,向量(A ,B )与(B ,－A )垂直,从而向量(A ,B )为直线l 的法向量、 2、向量法在几何证明与计算中的几个主要应用 (1)A 、B 、C 三点共线的证法只需证AB →＝λBC →或 AB →＝(x 1,y 1),BC →＝(x 2,y 2)满足x 1y 2－x 2y 1＝0、 (2)证明AB ⊥AC 的方法只需证AB →·AC →＝0、(3)求A 、B 两点间距离的方法可把AB →表示成λa ＋μb 或者求坐标(x ,y ),然后利用向量的运算求解、 (4)求∠AOB 的方法利用数量积定义的变形cos ∠AOB ＝OA →·OB→|OA →||OB →|、3、向量在物理中应用时应注意的三个问题(1)把物理问题转化为数学问题,也就就是将物理量之间的关系抽象成数学模型、 (2)利用建立起来的数学模型解释与回答相关的物理现象、(3)在解决具体问题时,要明确与掌握用向量方法研究物理问题的相关知识: ①力、速度、加速度与位移都就是向量;②力、速度、加速度与位移的合成与分解就就是向量的加、减法; ③动量m v 就是数乘向量;④功就是力F 与在力F 的作用下物体所产生的位移s 的数量积、向量在解析几何中的应用(1)经过点A (－1,2),且平行于向量a ＝(3,2)的直线方程就是________、(2)已知圆C :(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1),M 就是圆C 上的任一点,点N 在线段MA 的延长线上,且MA →＝2AN →,求点N 的轨迹方程、[解] (1)在直线上任取一点P (x ,y ),则AP →＝(x ＋1,y －2), 由AP →∥a ,得(x ＋1)×2－(y －2)×3＝0,即2x －3y ＋8＝0、故填2x －3y ＋8＝0、 (2)设N (x ,y ),M (x 0,y 0)、因为MA →＝2AN →,所以(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1,y －1),所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2x －21－y 0＝2y －2即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x y 0＝3－2y又因为点M (x 0,y 0)在圆C :(x －3)2＋(y －3)2＝4上,所以(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4,所以(2x )2＋(2y )2＝4,即x 2＋y 2＝1,所以点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1、将本例(1)中的“平行于向量”改为“法向量为”结果如何？解:由法向量a ＝(3,2),设直线的方程为3x ＋2y ＋c ＝0,又A (－1,2)在直线上,所以3×(－1)＋2×2＋c ＝0,得c ＝－1,即3x ＋2y －1＝0、方法归纳向量在解析几何中的应用问题向量与解析几何的综合就是高考的热点、主要题型有:(1)向量的概念、运算、性质、几何意义与解析几何问题结合、(2)将向量作为描述问题或解决问题的工具、(3)以向量坐标运算为工具,考查直线与曲线相交、轨迹等问题、1、(1)已知两点A (3,2),B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等,则m ＝________、(2)已知点P (－3,0),点A 在y 轴上,点Q 在x 轴的正半轴上,点M 在直线AQ 上,满足P A →·AM→＝0,AM →＝－32MQ →、当点A 在y 轴上移动时,求动点M 的轨迹方程、解:(1)由已知得直线的一个法向量为n ＝(m ,1),其单位向量为n 0＝n|n |＝11＋m 2(m ,1),在直线上任取一点P (0,－3),则AP →＝(－3,－5),BP →＝(1,－7)、依题意有|AP →·n 0|＝|BP →·n 0|,即|－3m －5|1＋m 2＝|m －7|1＋m 2,解得m ＝12或m ＝－6、故填12或－6、(2)设点M (x ,y )为轨迹上的任一点,设A (0,b ),Q (a ,0)(a ＞0),则AM →＝(x ,y －b ),MQ →＝(a －x ,－y )、因为AM →＝－32MQ →,所以(x ,y －b )＝－32(a －x ,－y )、所以a ＝x 3,b ＝－y2,即A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0－y 2,Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 30、P A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－y 2,AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 3y 2、因为P A →·AM →＝0,所以3x －34y 2＝0、即所求轨迹方程为y 2＝4x (x ＞0)、向量在平面几何中的应用如图正三角形ABC 中,D 、E 分别就是AB 、BC 上的一个三等分点,且AE 、CD 交于点P 、求证:BP ⊥DC 、(链接教材P 100例2)[证明] 设PD →＝λCD →,并设三角形ABC 的边长为a ,则有: P A →＝PD →＋DA →＝λCD →＋13BA →＝λ⎝⎛⎭⎫23BA →－BC →＋13BA →＝13(2λ＋1)BA →－λBC →、 又EA →＝BA →－13BC →,P A →∥EA →,所以13(2λ＋1)BA →－λBC →＝kBA →－13kBC →,于就是有⎩⎪⎨⎪⎧13(2λ＋1)＝k λ＝13k解得λ＝17、所以PD →＝17CD →、所以BP →＝BC →＋CP →＝17BC →＋47BA →,CD →＝23BA →－BC →、所以BP →·CD →＝⎝⎛⎭⎫17BC →＋47BA →·⎝⎛⎭⎫23BA →－BC → ＝821a 2－17a 2－1021a 2cos 60°＝0、 所以由向量垂直的等价条件知BP ⊥DC 、方法归纳用向量解决平面几何问题的两种常见思路 (1)向量的线性运算法选取基底―→把所求问题用基底线性表示 ―→利用向量的线性运算或数量积找相应关系―→把向量问题几何化 (2)向量的坐标运算法建立适当的平面直角坐标系―→把相关向量坐标化―→向量的坐标运算找相应关系―→把向量问题几何化2、(1)如图,在▱ABCD 中,E ,F 在对角线BD 上,且BE ＝FD ,则四边形AECF 的形状就是________、(2)如图所示,在平行四边形ABCD 中,BC ＝2BA ,∠ABC ＝60°,作AE ⊥BD 交BC 于点E ,求BE ∶EC 的值、解:(1)由已知可设AB →＝DC →＝a ,BE →＝FD →＝b ,故AE →＝AB →＋BE →＝a ＋b ,FC →＝FD →＋DC →＝b ＋a ,又a ＋b ＝b ＋a ,则AE →＝FC →,即AE ,FC 平行且相等,故四边形AECF 就是平行四边形、故填平行四边形、(2)法一:设BA →＝a ,BC →＝b ,|a|＝1,|b|＝2,则a·b ＝|a||b |cos 60°＝1,BD →＝a ＋b 、 设BE →＝λBC →＝λb ,则AE →＝BE →－BA →＝λb －a 、由AE ⊥BD ,得AE →·BD →＝0, 即(λb －a )·(a ＋b )＝0,解得λ＝25,所以BE ∶EC ＝25∶35＝2∶3、法二:以B 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系, 设B (0,0),C (2,0),则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1232,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫5232、设E (m ,0),则BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5232,AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －12－32,由AE ⊥BD ,得AE →·BD →＝0,即52(m －12)－32×32＝0,解得m ＝45,所以BE ∶EC ＝45∶65＝2∶3、向量在物理中的应用一个物体受到同一平面内三个力F 1,F 2,F 3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8m 、已知|F 1|＝2 N,方向为北偏东30°,|F 2|＝4 N,方向为北偏东60°,|F 3|＝6 N,方向为北偏西30°,求这三个力的合力F 所做的功、(链接教材P 103例4)[解] 以三个力的作用点为原点,正东方向为x 轴正半轴,正北方向为y 轴正半轴建立平面直角坐标系,如图所示、由已知可得F 1＝(1,3),F 2＝(23,2),F 3＝(－3,33)、 所以F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(23－2,43＋2)、 又位移s ＝(42,42), 所以F ·s ＝(23－2)×42＋(43＋2)×42＝246(J)、 故这三个力的合力F 所做的功就是24 6 J 、方法归纳利用向量解决物理问题的思路及注意问题(1)向量在物理中的应用,实际上就是把物理问题转化为向量问题,然后通过向量运算解决向量问题,最后用所获得的结果解释物理现象、(2)在用向量法解决物理问题时,应作出相应图形,以帮助建立数学模型,分析解题思路、 (3)注意问题:①如何把物理问题转化为数学问题,也就就是将物理之间的关系抽象成数学模型;②如何利用建立起来的数学模型解释与回答相关的物理现象、3、(1)一质点受到平面上的三个力F 1,F 2,F 3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态、已知F 1,F 2成60°角,且F 1,F 2的大小分别为2与4,则F 3的大小为( )A 、6B 、2C 、2 5D 、27(2)点P 在平面上做匀速直线运动,速度向量v ＝(4,－3)(即点P 的运动方向与v 相同,且每秒移动的距离为|v |个单位)、设开始时点P 0的坐标为(－10,10),则5秒后点P 的坐标为( )A 、(－2,4)B 、(－30,25)C 、(10,－5)D 、(5,－10) (3)已知两恒力F 1＝(3,4)、F 2＝(6,－5)作用于同一质点,使之由点A (20,15)移动到点B (7,0),试求:①F 1、F 2分别对质点所做的功;②F 1,F 2的合力F 对质点所做的功、解:(1)选D 、因为力F 就是一个向量,由向量加法的平行四边形法则知F 3的大小等于以F 1,F 2为邻边的平行四边形的对角线的长,故|F 3|2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|·cos 60°＝4＋16＋8＝28,所以|F 3|＝27、(2)选C 、由题意知,P 0P →＝5v ＝(20,－15),设点P 的坐标为(x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10＝20y －10＝－15解得点P 的坐标为(10,－5)、(3)设物体在力F 作用下的位移为s ,则所做的功为W ＝F ·s ,AB →＝(7,0)－(20,15)＝(－13,－15)、①W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13,－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J),W 2＝F 2·AB →＝(6,－5)·(－13,－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)、②W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3,4)＋(6,－5)]·(－13,－15)＝(9,－1)·(－13,－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)、易错警示向量在几何应用中的误区 在△ABC 中,已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB |AB →|＋AC |AC →|·BC →＝0且AB ·AC |AB →|·|AC →|＝12,则△ABC 的形状为________、[解析] 因为向量AB →|AB →|,AC →|AC →|分别表示与向量AB →,AC →同向的单位向量,所以以AB →|AB →|,AC →|AC →|为邻边的平行四边形就是菱形、根据平行四边形法则作AD →＝AB →|AB →|＋AC→|AC →|(如图所示),则AD 就是∠BAC 的平分线、 因为非零向量满足 ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0, 所以∠BAC 的平分线AD 垂直于BC ,所以AB ＝AC ,又cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12,且∠BAC ∈(0,π),所以∠BAC ＝π3,所以△ABC 为等边三角形、[答案] 等边三角形[错因与防范] (1)解答本题常会给出错误的答案为“直角三角形”,原因在于未能正确分析挖掘题设中的条件,直接根据数量积为零,就判断△ABC 为直角三角形、(2)为杜绝上述可能发生的错误,应该: ①注意知识的积累向量线性运算与数量积的几何意义就是解决向量问题的依据,如本例中AB →|AB →|,AC→|AC →|的含义,邻边相等的平行四边形就是菱形,菱形的对角线平分对角、②树立数形结合意识推导图形的形状时要以题目条件为依据全面进行推导,回答应力求准确,如本例求解时,以图形辅助解题,较为形象直观、4、(1)设A 1,A 2,A 3,A 4就是平面直角坐标系中两两不同的四点,若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R ),A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R ),且1λ＋1μ＝2,则称A 3,A 4调与分割A 1,A 2、已知平面上的点C ,D 调与分割点A ,B ,则下面说法正确的就是( )A 、C 可能就是线段AB 的中点 B 、D 可能就是线段AB 的中点C 、C 、D 可能同时在线段AB 上D 、C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上(2)设O 为△ABC 所在平面上一点,动点P 满足OP →＝OB →＋OC →2＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB→|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ,λ∈(0,＋∞),则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A 、重心B 、垂心C 、外心D 、内心 解析:(1)选D 、因为C ,D 调与分割点A ,B ,所以AC →＝λAB →,AD →＝μAB →,且1λ＋1μ＝2(*),不妨设A (0,0),B (1,0),则C (λ,0),D (μ,0),对A ,若C 为AB 的中点,则AC →＝12AB →,即λ＝12,将其代入(*)式,得1μ＝0,这就是无意义的,故A 错误;对B ,若D 为AB 的中点,则μ＝12,同理得1λ＝0,故B 错误;对C ,要使C ,D 同时在线段AB 上,则0＜λ＜1,且0＜μ＜1,所以1λ＞1,1μ＞1,所以1λ＋1μ＞2,这与1λ＋1μ＝2矛盾;故C 错误;显然D 正确、(2)选C 、设线段BC 的中点为D , 则OB →＋OC →2＝OD →、所以OP →＝OB →＋OC→2＋λ ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ＝OD →＋λ ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C , 所以OP →－OD →＝λ ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ＝DP →, 所以DP →·BC →＝λ ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ·BC → ＝λ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C＝λ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|AB →|·|BC →|cos(π－B )|AB →|cos B ＋|AC →|·|BC →|cos C |AC →|cos C ＝λ(－|BC →|＋|BC →|)＝0,所以DP ⊥BC ,即点P 一定在线段BC 的垂直平分线上,即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外心、1、已知直线x ＋3y ＋9＝0,则直线的一个法向量为( ) A 、a ＝(1,3) B 、a ＝(3,1) C 、a ＝(3,－1) D 、a ＝(－3,－1)解析:选A 、直线Ax ＋By ＋C ＝0的法向量可以为(A ,B )、2、在△ABC 中,若AB →·BC →＋|AB →|2＝0,则△ABC 的形状就是( ) A 、锐角三角形 B 、等腰三角形 C 、直角三角形 D 、钝角三角形解析:选C 、因为AB →·BC →＋|AB →|2＝0,所以AB →·BC →＋AB →2＝0,即AB →·(BC →＋AB →)＝0、所以AB →·AC →＝0,所以AB →⊥AC →,即AB ⊥AC 、 所以A ＝90°、所以△ABC 就是直角三角形、 3、一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上直照下来,鹰在地面上的影子的速度就是40 m/s,则鹰的飞行速率为( )A 、803 m/sB 、4033m/sC 、8033 m/sD 、403 m/s解析:选C 、设鹰的飞行速度为v 1,鹰在地面上的影子的速度为v 2,则v 2＝40 m/s ,因为鹰的运动方向就是与水平方向成30°角向下,故|v 1|＝|v 2|32＝8033(m/s),故选C 、, [学生用书单独成册])[A 、基础达标]1、一个人骑自行车行驶速度为v 1,风速为v 2,则逆风行驶的速度的大小为( ) A 、v 1－v 2 B 、v 1＋v 2C 、|v 1|－|v 2|D 、v 1v 2解析:选C 、根据速度的合成可知、2、若O F 1→＝(2,2),OF 2→＝(－2,3)分别表示F 1,F 2,则|F 1＋F 2|为( ) A 、(0,5) B 、25 C 、2 2 D 、5 解析:选D 、因为F 1＋F 2＝(0,5), 所以|F 1＋F 2|＝02＋52＝5、3、过点A(2,3)且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程为( ) A 、2x ＋y －7＝0 B 、2x ＋y ＋7＝0 C 、x －2y ＋4＝0 D 、x －2y －4＝0解析:选A 、设所求直线上任一点P (x ,y ),则AP →⊥a 、又因为AP →＝(x －2,y －3), 所以2(x －2)＋(y －3)＝0,即所求的直线方程为2x ＋y －7＝0、4、若A i (i ＝1,2,3,4,…,n)就是△AOB 所在平面内的点,且OA i →·OB →＝OA →·OB →、给出下列说法:①|OA 1→|＝|OA 2→|＝…＝|OA n →|＝|OA →|; ②|OA i →|的最小值一定就是|OB →|; ③点A 、A i 在一条直线上、 其中正确的个数就是( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3解析:选B 、由OA i →·OB →＝OA →·OB →,可得(OA i →－OA →)·OB →＝0,即AA i →·OB →＝0,所以AA i →⊥OB →,即点A i 在边OB 过点A 的垂线上、 故三个命题中,只有③正确,故选B 、5、已知△ABC 中,A(2,－1),B(3,2),C(－3,－1),BC 边上的高为AD,则AD →等于( ) A 、(－1,2) B 、(1,－2) C 、(1,2) D 、(－1,－2)解析:选A 、设D (x ,y ),则AD →＝(x －2,y ＋1),BD →＝(x －3,y －2),BC →＝(－6,－3)、因为AD →⊥BC →,BD →∥BC →、所以⎩⎪⎨⎪⎧－6(x －2)－3(y ＋1)＝0－3(x －3)＋6(y －2)＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1所以AD →＝(－1,2)、6、已知三个力F 1＝(3,4),F 2＝(2,－5),F 3＝(x ,y ),满足F 1＋F 2＋F 3＝0,若F 1与F 2的合力为F ,则合力F 与力F 1夹角的余弦值为________、解析:因为F 1＋F 2＋F 3＝0,F 1＋F 2＝F , 所以F ＝－F 3,因为F 3的坐标为(－5,1), 所以F ＝－F 3＝(5,－1),设合力F 与力F 1的夹角为θ,则cos θ＝F 1·F |F 1||F |＝3×5＋4×(－1)32＋42·52＋(－1)2＝1126130、答案:11261307、已知直线的方向向量为a ＝(3,1),且过点A (－2,1),则直线方程为____________、解析:由题意知,直线的斜率为13,设直线方程为x －3y ＋c ＝0,把(－2,1)代入得c ＝5,故所求直线方程为x －3y ＋5＝0、 答案:x －3y ＋5＝08、已知|a |＝3,|b |＝4,|c |＝23,且a ＋b ＋c ＝0,则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________、解析:(a ＋b ＋c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·c ＋b ·c ＋a ·b )＝0,所以a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－312、答案:－3129、在△ABC 中,AB →·AC →＝|AB →－AC →|＝6,M 为BC 边的中点,求中线AM 的长、解:因为|AB →－AC →|＝6,所以(AB →－AC →)2＝36、 即AB →2＋AC →2－2AB →·AC →＝36、又因为AB →·AC →＝6,所以AB →2＋AC →2＝48、又因为AM →＝12(AB →＋AC →),所以AM →2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14×(48＋12)＝15,所以|AM →|＝15,即中线AM 的长为15、10、已知点A (－1,0),B (0,1),点P (x ,y )为直线y ＝x －1上的一个动点、 (1)求证:∠APB 恒为锐角;(2)若四边形ABPQ 为菱形,求BQ →·AQ →的值、 解:(1)证明:因为点P (x ,y )在直线y ＝x －1上, 所以点P (x ,x －1),所以P A →＝(－1－x ,1－x ),PB →＝(－x ,2－x ),所以P A →·PB →＝2x 2－2x ＋2＝2(x 2－x ＋1)＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0,所以cos ∠APB ＝P A →·PB→|P A →||PB →|＞0,若A ,P ,B 三点在一条直线上,则P A →∥PB →, 得到(x ＋1)(x －2)－(x －1)x ＝0,方程无解, 所以∠APB ≠0,所以∠APB 恒为锐角、(2)因为四边形ABPQ 为菱形,所以|AB →|＝|BP →|,即2＝x 2＋(x －2)2,化简得到x 2－2x ＋1＝0,所以x ＝1,所以P (1,0),设Q (a ,b ),因为PQ →＝BA →,所以(a －1,b )＝(－1,－1),所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝－1 所以BQ →·AQ →＝(0,－2)·(1,－1)＝2、[B 、能力提升]1、水平面上的物体受到力F 1,F 2的作用,F 1水平向右,F 2与水平向右方向的夹角为θ,物体在运动过程中,力F 1与F 2的合力所做的功为W ,若物体一直沿水平地面运动,则力F 2对物体做功的大小为( )A 、|F 2||F 1|＋|F 2|WB 、|F 2|cos θ|F 1|＋|F 2|W C 、|F 2||F 1|cos θ＋|F 2|W D 、|F 2|cos θ|F 1|＋|F 2|cos θW 解析:选D 、设物体的位移就是s ,根据题意有(|F 1|＋|F 2|·cos θ)|s |＝W ,即|s |＝W |F 1|＋|F 2|cos θ,所以力F 2对物体做功的大小为|F 2|cos θ|F 1|＋|F 2|cos θW 、 2、记max{x ,y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ≥y y x ＜y min{x ,y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y x ≥yx x ＜y设a ,b 为平面向量,则( ) A 、min{|a ＋b |,|a －b |}≤min{|a |,|b |}B 、min{|a ＋b|,|a －b|}≥min{|a|,|b|}C 、max{|a ＋b|2,|a －b |2}≤|a|2＋|b|2D 、max{|a ＋b|2,|a －b|2}≥|a|2＋|b|2解析:选D 、对于min{|a ＋b|,|a －b |}与min{|a|,|b|},相当于平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长的较小者比较,它们的大小关系不确定,因此A ,B 均错,而|a ＋b|,|a －b|中的较大者与|a|,|b|可构成非锐角三角形的三边,因此有max{|a ＋b|2,|a －b|2}≥|a|2＋|b|2、3、已知△ABC 的面积为10,P 就是△ABC 所在平面上的一点,满足P A →＋PB →＋2PC →＝3AB →,则△ABP 的面积为________、解析:由P A →＋PB →＋2PC →＝3AB →,得P A →＋PB →＋2PC →＝3(PB →－P A →),所以4P A →＋2(PC →－PB →)＝0,所以2P A →＝CB →,由此可得P A 与CB 平行且|CB |＝2|P A |,故△ABP 的面积为△ABC 的面积的一半,故△ABP 的面积为5、答案:54、在平面直角坐标系中,O 为原点,A (－1,0),B (0,3),C (3,0),动点D 满足|CD →|＝1,则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值就是________、解析:设D (x ,y ),由|CD →|＝1,得(x －3)2＋y 2＝1,向量OA →＋OB →＋OD →＝(x －1,y ＋3),故|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1上的动点到点(1,－3)距离的最大值,其最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心(3,0)到点(1,－3)的距离加上圆的半径,即(3－1)2＋(0＋3)2＋1＝1＋7、答案:1＋75、在平面直角坐标系xOy 中,已知向量AB →＝(6,1),BC →＝(x ,y ),CD →＝(－2,－3),且BC →∥AD →、(1)求x 与y 间的关系;(2)若AC →⊥BD →,求x 与y 的值及四边形ABCD 的面积、解:(1)由题意得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4,y －2),BC →＝(x ,y ),因为BC →∥AD →,所以(x ＋4)y －(y －2)x ＝0,即x ＋2y ＝0、①(2)由题意得AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6,y ＋1),BD →＝BC →＋CD →＝(x －2,y －3),因为AC →⊥BD →,所以AC →·BD →＝0,即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0,即x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0,②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1或⎩⎨⎧x ＝－6y ＝3、 当⎩⎨⎧x ＝2y ＝－1时,AC →＝(8,0),BD →＝(0,－4), 则S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝16, 当⎩⎨⎧x ＝－6y ＝3时,AC →＝(0,4),BD →＝(－8,0), 则S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝16, 综上⎩⎨⎧x ＝2y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6y ＝3四边形ABCD 的面积为16、 6、(选做题)已知e 1＝(1,0),e 2＝(0,1),现有动点P 从P 0(－1,2)开始,沿着与向量e 1＋e 2相同的方向做匀速直线运动,速度为|e 1＋e 2|;另一动点Q 从Q 0(－2,－1)开始,沿着与向量3e 1＋2e 2相同的方向做匀速直线运动,速度为|3e 1＋2e 2|,设P 、Q 在t ＝0 s 时分别在P 0、Q 0处,问当PQ →⊥P 0Q 0→时所需的时间为多少？解:e 1＋e 2＝(1,1),|e 1＋e 2|＝2,其单位向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫2222;3e 1＋2e 2＝(3,2),|3e 1＋2e 2|＝13,其单位向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫313213、 依题意,|P 0P →|＝2t ,|Q 0Q →|＝13t ,所以P 0P →＝|P 0P →|⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝(t ,t ),Q 0Q →＝|Q 0Q →|⎝ ⎛⎭⎪⎫313213＝(3t ,2t ), 由P 0(－1,2),Q 0(－2,－1),得P (t －1,t ＋2),Q (3t －2,2t －1),所以P 0Q 0→＝(－1,－3),PQ →＝(2t －1,t －3),因为PQ →⊥P 0Q 0→,所以P 0Q 0→·PQ →＝0,即2t －1＋3t －9＝0,解得t ＝2、即当PQ →⊥P 0Q 0→时所需的时间为2 s 、。

1.如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( )A ．有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量解析：由题知OB →，OC →，AO →对应的有向线段都是圆的半径，因此它们的模相等．答案：C2．下列说法中正确的是( )A ．若|a |>|b |，则a >bB ．若|a |＝|b |，则a ＝bC ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量解析：向量不能比较大小，所以A 不正确；a ＝b 需满足两个条件：a ，b 同向且|a |＝|b |，所以B 不正确，C 正确；a 与b 是共线向量只需方向相同或相反，所以D 不正确．答案：C3．设O 是正方形ABCD 的中心，则OA →，BO →，AC →，BD →中，模相等的向量是________．解析：∵四边形ABCD 为正方形，O 为正方形的中心，∴OA ＝BO ，即|OA →|＝|BO →|，|AC →|＝|BD →|.答案：OA →与BO →，AC →与BD →4.如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．(1)与向量ED →相等的向量为______；(2)若|AB →|＝3，则向量EC →的模等于________．解析：(1)在平行四边形ABCD 和ABDE 中，∵AB →＝ED →，AB →＝DC →，∴ED →＝DC →.(2)由(1)知ED →＝DC →，∴E 、D 、C 三点共线，|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →|＝6.答案：(1)AB →、DC →(2)65．一个人从点A 出发沿东北方向走了100 m 到达点B ，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m 到达点C .(1)画出AB →，BC →，CA →.(2)求|CA →|.解：(1)如图所示．(2)|AB →|＝100 m ，|BC →|＝100 m ，∠ABC ＝45°＋15°＝60°，则△ABC 为正三角形．故|CA →|＝100 m.。

【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 平面向量单元同步测试（含解析）新人教A 版必修4(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有下列四个表达式： ①|a ＋b |＝|a |＋|b |； ②|a －b |＝±(|a |－|b |)； ③a 2>|a |2；④|a ²b |＝|a |²|b |. 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．3D ．4解析 对于①仅当a 与b 同向时成立．对于②左边|a －b |≥0，而右边可能≤0，∴不成立．对于③∵a 2＝|a |2，∴a 2>|a |2不成立．对于④当a ⊥b 时不成立，综上知，四个式子都是错误的．答案 A2．下列命题中，正确的是( ) A ．a ＝(－2,5)与b ＝(4，－10)方向相同 B ．a ＝(4,10)与b ＝(－2，－5)方向相反 C ．a ＝(－3,1)与b ＝(－2，－5)方向相反 D ．a ＝(2,4)与b ＝(－3,1)的夹角为锐角解析 在B 中，a ＝(4,10)＝－2(－2，－5)＝－2b ， ∴a 与b 方向相反． 答案 B3．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( ) A.7 B.10 C.13D ．4解析 ∵|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋9b 2＋6a²b ＝1＋9＋6|a ||b |cos60°＝13，∴|a ＋3b |＝13.答案 C4．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋12x ，x ，b ＝(x ＋1,2)，其中x >0，若a ∥b ，则x 的值为( )A ．8B ．4C ．2D ．0解析 ∵a ∥b ，∴(8＋12x )³2－x (x ＋1)＝0，即x 2＝16，又x >0，∴x ＝4.答案 B5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →²(PB →＋PC →)等于( )A.49B.43 C ．－43D ．－49解析 M 为BC 的中点，得PB →＋PC →＝2PM →＝AP →， ∴AP →²(PB →＋PC →)＝AP →2.又∵AP →＝2PM →，∴|AP →|＝23|AM →|＝23.∴AP →2＝|AP →|2＝49.答案 A6．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )²c ＝30，则x ＝( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析 8a －b ＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，c ＝(3，x )， ∴(8a －b )²c ＝(6,3)²(3，x )＝18＋3x . 又(8a －b )²c ＝30，∴18＋3x ＝30，x ＝4. 答案 C7．向量a ＝(－1,1)，且a 与a ＋2b 方向相同，则a ²b 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)解析 依题意可设a ＋2b ＝λa (λ>0)， 则b ＝12(λ－1)a ，∴a ²b ＝12(λ－1)a 2＝12(λ－1)³2＝λ－1>－1.答案 B8．设单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量3e 1＋4e 2与向量e 1的夹角的余弦值为( ) A.34 B.537 C.2537D.53737解析 ∵(3e 1＋4e 2)²e 1＝3e 21＋4e 1²e 2＝3³12＋4³1³1³cos60°＝5，|3e 1＋4e 2|2＝9e 21＋16e 22＋24e 1²e 2＝9³12＋16³12＋24³1³1³cos60°＝37.∴|3e 1＋4e 2|＝37.设3e 1＋4e 2与e 1的夹角为θ，则 cos θ＝537³1＝537. 答案 D9．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 解析 如图所示，AF →＝AD →＋DF →，由题意知，DE ：BE ＝DF ：BA ＝1：3. ∴DF →＝13AB →.∴AF →＝12a ＋12b ＋13(12a －12b )＝23a ＋13b .答案 B 10．已知点B 为线段AC 的中点，且A 点坐标为(－3,1)，B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则C 点坐标为( )A ．(1，－3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 C ．(4,2)D ．(－2,4)解析 设C (x ，y )，则由AB →＝BC →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－－，32－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y －32， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －12＝72，y －32＝12，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，∴C (4,2)．答案 C11．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ²b ＝0有实根，则a 与b 夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π解析 设a 与b 的夹角为θ， ∵Δ＝|a |2－4a ²b ≥0，∴a ²b ≤|a |24，∴cos θ＝a ²b |a ||b |≤|a |24|a ||b |＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.答案 B12．在△ABC 所在平面内有一点P ，如果PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PAB 与△ABC 的面积之比是( )A.13 B.12 C.23D.34解析 因为PA →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－PA →，所以2PA →＋PC →＝0，PC →＝－2PA →＝2AP →，所以点P 是线段AC 的三等分点(如图所示)．所以△PAB 与△ABC 的面积之比是13.答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．已知a ＝(2cos θ，2sin θ)，b ＝(3，3)，且a 与b 共线，θ∈[0,2π)，则θ＝________.解析 由a ∥b ，得23cos θ＝6sin θ，∵cos θ≠0， ∴tan θ＝33，又θ∈[0,2π)，∴θ＝π6或7π6. 答案π6或76π 14．假设|a |＝25，b ＝(－1,3)，若a ⊥b ，则a ＝________. 解析 设a ＝(x ，y )，则有x 2＋y 2＝20.① 又a ⊥b ，∴a ²b ＝0，∴－x ＋3y ＝0.② 由①②解得x ＝32，y ＝2，或x ＝－32，y ＝－2，∴a ＝(32，2)，或a ＝(－32，－2)． 答案 (32，2)或(－32，－2)15．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →²AC →＝BA →²BC →＝2，那么c＝__________.解析 由题知 AB →²AC →＋BA →²BC →＝2，即AB →²AC →－AB →²BC →＝AB →²(AC →＋CB →)＝AB →2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2.答案 216．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若a ²b ＝a ²c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号) 解析当a ＝0时，①不成立；对于②，若a ∥b ，则－2k ＝6，∴k ＝－3，②成立；对于③，由于|a |＝|b |＝|a －b |，则以|a |，|b |为邻边的平行四边形为菱形，如图．∠BAD ＝60°，AC →＝a ＋b ，由菱形的性质可知，a 与a ＋b 的夹角为∠BAC ＝30°.答案 ②三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b . (1)当m 为何值时，c 与d 垂直？ (2)当m 为何值时，c 与d 共线？解 (1)令c ²d ＝0，则(3a ＋5b )²(m a －3b )＝0， 即3m |a |2－15|b |2＋(5m －9)a ²b ＝0， 解得m ＝2914.故当m ＝2914时，c ⊥d .(2)令c ＝λd ，则3a ＋5b ＝λ(m a －3b ) 即(3－λm )a ＋(5＋3λ)b ＝0， ∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－λm ＝0，5＋3λ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－53，m ＝－95.故当m ＝－95时，c 与d 共线．18．(12分)如图所示，在△ABC 中，∠C 为直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .证明 设此等腰直角三角形的直角边长为a ，则 AD →²CE →＝(AC →＋CD →)²(CA →＋AE →)＝AC →²CA →＋CD →²CA →＋AC →²AE →＋CD →²AE →＝－a 2＋0＋a ²223a ²22＋a 2²223a ²22＝－a 2＋23a 2＋13a 2＝0，∴AD →⊥CE →，∴AD ⊥CE .19．(12分)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解 设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)， BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴存在实数λ，使BD →＝λBC →， 即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ，∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →²BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)²(－6，－3)＝0. ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴|AD →|＝ －2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1)．20．(12分)在直角坐标系中，已知OA →＝(4，－4)，OB →＝(5,1)，OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|，求MB →的坐标．解 设点M 的坐标为M (x ，y )． ∵OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|， ∴OM →⊥MB →，∴OM →²MB →＝0.又OM →＝(x ，y )，MB →＝(5－x,1－y )， ∴x (5－x )＋y (1－y )＝0.又点O ，M ，A 三点共线，∴OM →∥OA →. ∴x 4＝y－4.∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋y －y ＝0，x 4＝y－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴MB →＝OB →－OM →＝(5－2,1＋2)＝(3,3)． 21．(12分)如图，在平面斜坐标系xOy 中．∠xOy ＝60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的坐标是这样定义的；若OP →＝x e 1＋y e 2(其中e 1，e 2分别为与x 轴，y 轴同方向的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )．(1)若点P 的斜坐标为(2，－2)，求点P 到O 的距离|OP |； (2)求以O 为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程．解 (1)因为点P 的斜坐标为(2，－2)，故OP →＝2e 1－2e 2，|OP →|2＝(2e 1－2e 2)2＝8－8e 1²e 2＝8－8cos60°＝4，∴|OP →|＝2，即|OP |＝2.(2)设圆上动点M 的坐标为(x ，y )，则OM →＝x e 1＋y e 2， 又|OM →|＝1.故(x e 1＋y e 2)2＝1.∴x 2＋y 2＋2xy e 1²e 2＝1.即x 2＋y 2＋xy ＝1. 故所求方程为x 2＋y 2＋xy －1＝0.22．(12分)如图，在四边形ABCD 中，BC →＝λAD →(λ∈R )，|AB →|＝|AD →|＝2，|CB →－CD →|＝23，且△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形．(1)求λ的值；(2)求CB →²BA →的值．解 (1)因为BC →＝λAD →，所以BC ∥AD ， 且|BC →|＝λ|AD →|.因为|AB →|＝|AD →|＝2，所以|BC →|＝2λ. 又|CB →－CD →|＝23，所以|BD →|＝2 3. 作AH ⊥BD 交BD 于H ， 则H 为BD 的中点． 在Rt △AHB 中，有cos ∠ABH ＝BH AB ＝32， 于是∠ABH ＝30°， 所以∠ADB ＝∠DBC ＝30°. 而∠BDC ＝90°，所以BD ＝BC ²cos30°，即23＝2λ²32， 解得λ＝2. (2)由(1)知，∠ABC ＝60°，|CB →|＝4，所以CB →与BA →的夹角为120°， 故CB →²BA →＝|CB →|²|BA →|cos120°＝－4.。

复习课(三) 平面向量1．题型为选择题和填空题．主要考查向量的线性运算及对向量有关概念的理解，常与向量共线和平面向量基本定理及数量积运算交汇命题．2．向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加减法满足交换律、结合律，数乘运算满足结合律、分配律．实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方向在向量的线性运算中都可以使用．[典例] (北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM ＝2MC ，BN ＝NC .若MN ＝x AB ＋y AC ，则x ＝________；y ＝________.[解析] ∵AM ＝2MC ，∴AM ＝23AC .∵BN ＝NC ，∴AN ＝12(AB ＋AC )，∴MN ＝AN －AM ＝12(AB ＋AC )－23AC＝12AB －16AC . 又MN ＝x AB ＋y AC ， ∴x ＝12，y ＝－16.[答案]12 －16[类题通法]向量线性运算的基本原则向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．[题组训练]1．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9D ．－9解析：选D AB ＝(－8,8)，AC ＝(3，y ＋6)． ∵AB ∥AC ， ∴－8(y ＋6)－24＝0.∴y ＝－9.2．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外， |BC |2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选C 由|BC |2＝16，得|BC |＝4. ∵|AB ＋AC |＝|AB －AC |＝|BC |＝4， |AB ＋AC |＝2|AM |， ∴|AM |＝2.3．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP ＝3OA －OB2，则( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上解析：选B 由于2OP ＝3OA －OB ， ∴2OP －2OA ＝OA －OB ，即2AP ＝BA ， ∴AP ＝12BA ，则点P 在线段AB 的反向延长线上．1．题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查数量积运算、向量的垂直等问题，常与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题．2．解决此类问题要掌握平面向量数量积的两种求法：一是根据数量积的定义，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，二是利用坐标运算，即a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；同时还要掌握利用数量积求向量的夹角、求向量的长度和判断两个向量垂直的方法．[典例] (1)(福建高考)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32B ．－53C.53D.32(2)(四川高考)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB |＝6，|AD |＝4.若点M ，N 满足BM＝3MC ，DN ＝2NC ，则AM ·NM ＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6[解析] (1)c ＝a ＋kb ＝(1＋k,2＋k ), 又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得 k ＝－32.(2)如图所示，由题设知：AM ＝AB ＋BM ＝AB ＋34AD ， NM ＝NC －MC ＝13AB －14AD ，∴AM ·NM ＝⎝⎛⎭⎫AB ＋34 AD ·⎝⎛⎭⎫13 AB －14 AD ＝13|AB |2－316|AD |2＋14AB ·AD －14AB ·AD ＝13×36－316×16＝9. [答案] (1)A (2)C [类题通法](1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义； (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知向量的模和夹角进行 计算．[题组训练]1．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对解析：选C ∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )， ∴c 2＝(a ＋b )2，即|c |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 〈a ，b 〉， ∴19＝4＋9＋12cos 〈a ，b 〉， ∴cos 〈a ，b 〉＝12.又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝60°.2．在△ABC 中，AB ＝4，∠ABC ＝30°，D 是边BC 上的一点，且AD ·AB ＝AD ·AC ，则AD ·AB 的值为( )A ．0B ．－4C ．8D ．4解析：选D 由AD ·AB ＝AD ·AC ，得AD ·(AB －AC )＝0，即AD ·CB ＝0，所以AD ⊥CB ，即AD ⊥CB .又AB ＝4，∠ABC ＝30°，所以AD ＝AB sin 30°＝2，∠BAD ＝60°，所以AD ·AB ＝AD ·AB ·cos ∠BAD ＝2×4×12＝4.3．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 方向上的投影是________．解析：∵|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，∴b 在a 方向上的投影是|b |cos 60°＝1. 答案：14．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ·BE ＝1，则AB 的长为________．解析：设|AB |＝x ，x ＞0，则AB ·AD ＝12x .又AC ·BE ＝(AD ＋AB )·⎝⎛⎭⎫AD －12 AB ＝1－12x 2＋14x ＝1，解得x ＝12，即AB 的长为12. 答案：121．题目以解答题为主．主要包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方面．此类题目所涉及向量的知识往往是数量积的运算，所研究的问题主要是讨论三角函数的图象与性质．2．解决此类问题，首先要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数问题，然后利用三角公式进行恒等变换，转化为题目中所要求的问题．[典例] (广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．[解] (1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， ∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.[类题通法]在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．[题组训练]1．设a ＝(sin x,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，cos x ，且a ∥b ，则锐角x 为( ) A.π3 B.π4 C.π6D.π12解析：选B 因为a ∥b ，所以sin x cos x －12＝0，所以sin 2x ＝1，又x 为锐角，所以0<2x <π， 所以2x ＝π2，x ＝π4，故选B.2．设向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数ƒ(x )＝a ·(a ＋b )． (1)求函数ƒ(x )的最大值与最小正周期； (2)求使不等式ƒ(x )≥32成立的x 的取值范围．解：(1)∵ƒ(x )＝a ·(a ＋b )＝a ·a ＋a ·b ＝sin 2x ＋cos 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋12sin 2x ＋12(cos 2x ＋1)＝32＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴ƒ(x )的最大值为32＋22，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知ƒ(x )≥32⇔32＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≥32⇔sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≥0⇔2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π⇔k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )． ∴使ƒ(x )≥32成立的x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .1．设P ，Q 是线段AB 的三等分点，若OA ＝a ，OB ＝b ，则OP ＋OQ ＝( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．2(a ＋b ) D.13(a ＋b ) 解析：选A 如图，OP ＝OA ＋AP ，OQ ＝OB ＋BQ ，∵AP ＝－BQ ，∴OP ＋OQ ＝OA ＋OB ＝a ＋b .2．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D. 5解析：选D 因为|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－0＋22＝5，所以|a －b |＝5，故选D. 3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( ) A ．(3，－6) B ．(－3,6) C ．(6，－3)D ．(－6,3)解析：选A 由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则λ2＋4λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)．4．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.2π3解析：选B ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0，∴a ·b ＝a 2，∵|a |＝1，|b |＝2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a 2|a ||b |＝22，∴向量a 与向量b 的夹角为π4，故选B.5．在△ABC 中，(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C 由(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，得AC ·(BC ＋BA －AC )＝0，即AC ·(BC ＋BA ＋CA )＝0，∴2AC ·BA ＝0，∴AC ⊥BA ，∴A ＝90°.故选C.6．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ，b ，c 两两所成的角相等，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．6或 3B ．6或 2 C. 2D ．6解析：选A ∵a ，b ，c 两两所成的角相等， ∴这个角为0°或120°.当夹角为0°时，|a ＋b ＋c |＝|a |＋|b |＋|c |＝1＋2＋3＝6，排除C ；当夹角为120°时，a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝1×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，b ·c ＝|b ||c |·cos 120°＝2×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－3，c ·a ＝|c ||a |cos 120°＝3×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－32， ∴|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝12＋22＋32＋2⎝⎛⎭⎫－1－3－32＝3， ∴|a ＋b ＋c |＝ 3. ∴|a ＋b ＋c |＝6或 3.7．已知向量a ＝(－1,3)，b ＝(1，t )，若(a －2b )⊥a ，则|b |＝________.解析：∵a ＝(－1,3)，b ＝(1，t )，∴a －2b ＝(－3,3－2t )．∵(a －2b )⊥a ，∴(a －2b )·a ＝0，即(－1)×(－3)＋3(3－2t )＝0，即t ＝2，∴b ＝(1,2)，∴|b |＝12＋22＝ 5.答案： 58．已知平面向量a 与b 的夹角等于2π3，如果|a |＝2，|b |＝3，那么|2a －3b |＝________.解析：|2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4×22－12×2×3×cos 2π3＋9×32＝133，∴|2a －3b |＝133.答案：1339．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________．解析：由于|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则|a |2－4a ·b ≥0.设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |≤14|a |212|a |2＝12，∴θ∈⎣⎡⎦⎤π3，π. 答案：⎣⎡⎦⎤π3，π10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |.解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4a 2－4a ·b －3b 2＝61， 即64－4a ·b －27＝61. ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，∴θ＝120°.(2)|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－6)＋9＝13. 11．已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)，t ∈R . (1)求|a ＋tb |的最小值及相应的t 值； (2)若a －tb 与c 共线，求实数t . 解：(1)∵a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，∴a ＋tb ＝(－3,2)＋t (2,1)＝(－3＋2t,2＋t )， ∴|a ＋tb |＝(－3＋2t )2＋(2＋t )2 ＝5t 2－8t ＋13＝5⎝⎛⎭⎫t －452＋495≥495＝755， 当且仅当t ＝45时取等号，即|a ＋tb |的最小值为755，此时t ＝45.(2)∵a －tb ＝(－3,2)－t (2,1)＝(－3－2t,2－t )， 又a －tb 与c 共线，c ＝(3，－1)， ∴(－3－2t )×(－1)－(2－t )×3＝0. 解得t ＝35.12．已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1.(1)求向量n ；(2)设向量a ＝(1,0)，向量b ＝(cos x ，sin x )，其中x ∈R ，若n ·a ＝0，试求|n ＋b |的取值 范围．解：(1)令n ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，2·x 2＋y 2cos 3π4＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)． (2)∵a ＝(1,0)，n ·a ＝0，∴n ＝(0，－1)．∴n ＋b ＝(cos x ，sin x －1)．∴|n ＋b |＝cos 2x ＋(sin x －1 )2＝2－2sin x ＝2(1－sin x ). ∵－1≤sin x ≤1，∴0≤|n ＋b |≤2.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．tan 8π3的值为( ) A.33B ．－33C. 3D ．－ 3解析：选D tan8π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 2．下列函数中最值是12，周期是6π的三角函数的解析式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 解析：选A 由题意得，A ＝12，2πω＝6π，ω＝13，故选A.3.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA ＋OB ＋OC ＋OD 等于 ( )A ．OMB ．2OMC ．3OMD ．4OM解析：选D 依题意知，点M 是线段AC 的中点，也是线段BD 的中点，所以OA ＋OC ＝2OM ，OB ＋OD ＝2OM ，所以OA ＋OC ＋OB ＋OD ＝4OM ，故选D.4．若点(sin α，sin 2α)在第四象限，则角α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B ∵点(sin α，sin 2α)在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＞0，sin 2α＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＞0，2sin αcos α＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧sin α＞0，cos α＜0.∴α在第二象限． 5．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )， ∴1×m －2×(－2)＝0， ∴m ＝－4.∴2a ＋3b ＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．6．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α)的值为( ) A.225B ．－25 C.25D ．－225解析：选B sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α) ＝22sin α＋22cos α＋22cos α ＝22sin α＋2cos α. ∵sin α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－35.∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25. 7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选C a ·b ＝－10，则(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，所以c ·a ＝－52，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12，又0°<θ<180°，所以θ＝120°.8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象经怎样的平移后所得的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0成中心对称( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：选C 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0，其中离⎝⎛⎭⎫－π12，0最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π6，0，故函数图象只需向右平移π12个单位长度即可． 9．函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图2所示，则ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2解析：选C 由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而ƒ(x )＝2sin π4x .∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋2 2.10．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝( ) A ．0 B ．－35C.35D ．－45解析：选B 由3a ＋4b ＋5c ＝0，得向量3a,4b,5c 能组成三角形，又|a |＝|b |＝|c |＝1，所以三角形的三边长分别是3,4,5，故三角形为直角三角形，且a ⊥b ，所以a ·(b ＋c )＝a ·c ＝－35. 11．如图，在四边形ABCD 中，|AB |＋|BD |＋|DC |＝4，|AB |·|BD |＋|BD |·|DC |＝4，AB ·BD ＝BD ·DC ＝0，则(AB ＋DC )·AC 的值为( )A ．4B ．2C ．4 2D ．2 2解析：选A ∵AC ＝AB ＋BD ＋DC ，AB ·BD ＝BD ·DC ＝0， ∴(AB ＋DC )·AC＝(AB ＋DC )·(AB ＋BD ＋DC )＝AB 2＋AB ·BD ＋AB ·DC ＋DC ·AB ＋DC ·BD ＋DC 2＝AB 2＋2AB ·DC ＋DC 2.∵AB ·BD ＝0，BD ·DC ＝0，∴AB ⊥BD ，DC ⊥BD ，∴AB ∥DC ，∴AB ·DC ＝|AB ||DC |， ∴原式＝(|AB |＋|DC |)2.设|AB |＋|DC |＝x ，则|BD |＝4－x ，|BD |·x ＝4， ∴x 2－4x ＋4＝0，∴x ＝2，∴原式＝4，故选A.12．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0,0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4解析：选A ∵函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0,0＜θ＜π)为偶函数，∴θ＝π2，∴y ＝2cos ωx ，排除C 、D ；y ＝2cos ωx ∈[－2,2]，结合题意可知T ＝π，∴2πω＝π，ω＝2，排除B ，选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC ＝λAE ＋μAF ，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋12b ，AE ＝12a ＋b ，AC ＝a ＋b ，代入条件得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.答案：4314．在平面直角坐标系 xOy 中，已知OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：∵∠ABO ＝90°，∴AB ⊥OB ，∴OB ·AB ＝0. 又AB ＝OB －OA ＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )，∴(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5. 答案：515．已知ƒ(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，若cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，则ƒ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________. 解析：因为cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，所以sin α＝45； ƒ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝22(sin α＋cos α)＝7210. 答案：721016．有下列四个命题：①若α，β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12； ③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是增函数． 其中正确命题的序号为________．解析：α＝390°>30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确； 函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期为T ＝2π|a |＝4π， 所以|a |＝12，a ＝±12，因此②不正确；③中函数定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，显然不关于原点对称，所以③不正确； 由于函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，它在(0，π)上单调递增，因此④正确． 答案：④三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.解：(1)∵a ∥b ，∴θ＝0°或180°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝±2.(2)∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0， 即|a |2－a ·b ＝1－2cos θ＝0， ∴cos θ＝22. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知tan α＝12，求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(－α)－sin 2⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解：原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α ＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2(sin α－cos α )(sin α＋cos α ) ＝sin α＋cos αsin α－cos α ＝tan α＋1tan α－1，又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.19．(本小题满分12分)已知a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈π2，π，a ·b ＝25，求52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2 α2.解：∵a ·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1) ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，∴52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2＝52sin 2α－22(cos α－sin α)1＋cos α＝52×⎝⎛⎭⎫－2425－22⎝⎛⎭⎫－45－351－45＝－10 2.20．(本小题满分12分)已知函数ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求ƒ(x )的值域； (2)用五点法在下图中作出y ＝ƒ(x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的简图；解：ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )的值域为[－3，2]． (2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：21．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin x ＋2sin π4＋x2·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2. (1)若f (α)＝22，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求α的值； (2)若sin x 2＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f (x )的值． 解：f (x )＝sin x ＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)由f (α)＝22，得2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴α＋π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4. ∴α＋π4＝π6，∴α＝－π12.(2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴x 2∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 又∵sin x 2＝45，∴cos x 2＝35.∴sin x ＝2sin x 2cos x 2＝2425，cos x ＝－1－sin 2x ＝－725. ∴f (x )＝sin x ＋cos x ＝2425－725＝1725.22．(本小题满分12分)已知函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)ω＞0,0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求ƒ(x )的解析式；(2)将函数y ＝ƒ(x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，5π12时，求函数y ＝ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最值． 解：(1)由图得34T ＝11π6－π3＝9π6＝3π2，∴T ＝2π，∴ω＝2πT＝1. 又ƒ⎝⎛⎭⎫11π6＝0，得A sin ⎝⎛⎭⎫11π6＋φ＝0， ∴11π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，φ＝2k π－11π6，k ∈Z. ∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6.又由ƒ(0)＝2，得A sin π6＝2，∴A ＝4，∴ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (2)将ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝ 4sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (3)y ＝ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝4sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π6 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－42sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝4⎝⎛⎭⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4－42cos x ＝22sin x ＋22cos x －42cos x＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，5π12，x －π4∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4∈⎣⎡⎦⎤－1，12， ∴函数的最小值为－4，最大值为2.。

2020 高考数学人教 A 版课后作业1.( 文 )(2020 ·合肥二模 ) 设平面向量a＝(3,5) ，b＝ ( － 2,1)，则 a－2b＝() A．(7,3) B ． (7,7)C．(1,7)D． (1,3)[ 答案]A[ 分析]依题意得 a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝ (7,3)，选 A.( 理)(2020 ·福建质检 ) 已知平面向量＝(x,1)，＝(－，x2) ，则向量a＋ ()a b x b A．平行于x 轴B．平行于第一、三象限的角均分线C．平行于y 轴D．平行于第二、四象限的角均分线[ 答案]C[ 分析]∵＋＝(0,1 ＋x 2) ，∴a＋b平行于y轴，应选 C.a b2．(2020 ·湖北八市调研 ) 向量＝ (1，tan) ，＝ (cos1a∥，则锐角的αα， )，且αa3b3b正弦值为 ()11A. 2B. 923C. 2D. 2[ 答案]B11[ 分析]依题意得3×3－ tan α×cos α＝0，1即 sin α＝9.3．(2020 ·皖南八校第二次联考 ) 已知向量a＝ (3,4)，b＝(2，－1)，假如向量 a＋λb与b 垂直，则λ的值为()55A. 2B．－222C. 5D．－5[ 答案]D[分析]∵ a＝(3,4)， b＝(2，－1)，∴ a＋λb＝(3＋2λ，4－λ)，故2(3＋2λ)－(42－λ)＝0，∴λ＝－5，应选→→4．已知四边形ABCD的三个极点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC＝2AD，则极点D 的坐标为 ()71A．(2， ) B ．(2，－ )22C．(3,2)D． (1,3)[ 答案]A[ 分析]设点 D( m， n)，则由题意知，(4,3)＝ 2( m，n－ 2) ，2m＝ 4∴，2 －4＝3n7解得 m＝2，n＝2，7∴D(2，)，应选 A.25．(2020 ·宁波十校联考 ) 已知平面向量＝ (1,2) ，＝( －2， ) ，且∥ ，则2 ＋3ba b m a b a＝ ()A．( － 2，－ 4) B ．( －3，－ 6)C．( － 4，－ 8)D ．( － 5，－ 10)[ 答案]C[ 分析]由 a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且 a∥ b，得1×m＝2×(－2) ?m＝－4，进而 b＝(－2，－ 4) ，那么 2a＋ 3b＝2×(1,2) ＋3×( － 2，－ 4) ＝ ( － 4，－ 8) ．→→6．(2020 ·广东高考 ) 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB＝ (2,4 ) ，AC＝(1,3)，→则＝ ()BDA．( － 2，－ 4) B ．( －3，－ 5)C．(3,5)D． (2,4)[ 答案]B→→→→→→ →→ →→[分析]由题意得 BD＝ AD－ AB＝ BC－ AB＝( AC－ AB)－ AB＝ AC－2 AB＝(1,3)－ 2(2,4)＝( －3，－ 5) ，选 B.7．(2020 ·海南质检 ) 在平面直角坐标系xOy 中，四边形的边∥，∥. 已知ABCD AB DC AD BC点 A(－2,0)， B(6,8)， C(8，6)，则 D点的坐标为________．[ 答案](0 ，－ 2)[ 分析]由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，能够判断该四边形ABCD是平行四边→ →形．设 D( x，y)，则有 AB＝ DC，即(6,8)－(－2,0)＝ (8,6) － ( x，y) ，解得 ( x，y) ＝ (0 ，－ 2) ．8.如下图，△ ABC中，点 M是 BC的中点，点N在边 AC上，且 AN＝2NC， AM与 BN订交于点 P，求 AP PM的值．→→→→→→[ 分析 ]设BM＝e1，CN＝e2，则AM＝AC＋CM＝－3e2－e1，BN＝2e1＋e2，∵ A、P、M和B、P、N分别共线，→→∴存在λ、μ∈R，使AP＝λAM＝－λe1－3λe2，→→BP＝μBN＝2μe1＋μe2.→→→12故BA＝ BP－ AP＝(λ＋2μ) e ＋(3λ＋μ)e，→→→而BA＝ BC＋ CA＝2e1＋3e2，4λ＋2μ＝2λ＝5∴由平面向量基本定理得，∴，3λ＋μ＝ 33μ＝5∴ →＝4→，即AP＝4:1.AP5AM PM1.( 文)(2020 ·辽宁文， 3) 已知向量a＝ (2,1)，b＝(－1，k)，a·(2 a－b)＝0，则 k＝() A．－ 12B．－ 6C．6D．12[ 答案] D[ 分析]∵2 － ＝ (4,2) －(－1， )＝(5,2 － )a b k k∴ a ·(2 a －b ) ＝(2,1) ·(5,2 － k ) ＝ 10＋2－ k ＝ 0∴ k ＝ 12.→( 理)(2020 ·蚌埠二中质检 ) 已知点 ( －1,0)， (1,3) ，向量a ＝ (2 k － 1,2) ，若 ⊥ ，ABAB a则实数 k 的值为 ()A ．－ 2B ．－ 1C ．1D ．2 [ 答案]B→→[ 分析] AB ＝ (2,3) ，∵ AB ⊥ a ，∴ 2(2 k － 1) ＋3×2＝ 0，∴ k ＝－ 1，∴选 B.2．(2020 ·长沙二检 ) 若向量 a ＝ (1,1) ，b ＝ ( － 1,1) ， c ＝ (4,2) ，则 c ＝ ( )A ．3a ＋ bB ． 3a －bC ．－ a ＋ 3bD ．a ＋ 3b[ 答案]B4＝ x － yx ＝ 3[ 分析]由已知可设 c ＝ xa ＋ yb ??，应选 B.2＝ x ＋ y y ＝－ 13．(2020 ·西安质检 ) 已知向量 a ＝ (1,2)，b ＝ (2 ，－ 3) ．若向量 c 知足 ( c ＋ a ) ∥ b ， c ⊥( a ＋ b ) ，则 c ＝ ()7777A ．( 9， 3)B ．( －3，－ 9)C ．( 7， 7) D ．( －7，－ 7)3993[ 答案] D[ 分析]不如设 c ＝ ( m ， n ) ，则 a ＋ c ＝ (1 ＋ m,2＋n ) ， a ＋b ＝ (3 ，－ 1) ，由于 ( c ＋ a ) ∥b ，7 7则有－ 3×(1 ＋ m ) ＝2×(2 ＋ n ) ．又 c ⊥ ( a ＋ b ) ，则有 3m － n ＝ 0，解得 m ＝－ 9， n ＝－ 3.4．在平行四边形 中， →＝ 1→ ， → ＝ 1 →， 与 订交于 G 点．若 →＝ ，→ ＝ ，ABCDAE 3AB AF4AD CE BFAB a AD b→则AG ＝()212 3A. 7a ＋ 7bB. 7a ＋ 7b3142C. 7a ＋ 7bD. 7a ＋ 7b[ 答案] C[ 分析]∵ 、 、 F 三点共线，BG→→→∴AG ＝ λ AF ＋ (1 － λ) AB ＝ 41λb ＋(1 － λ) a . ∵ 、 、 C 三点共线，E G→→→∴AG ＝ μ AE ＋ (1 － μ) AC ＝ 31μa ＋(1 － μ)( a ＋ b ) ．λμ＝ 1－4由平面向量基本定理得，，21－λ ＝ 1－3μ4λ＝7→ 3 1∴6，∴ AG ＝ 7a ＋ 7b .μ＝75．( 文) 已知 A ( － 2,3) ，B (3 ，－ 1) ，点 P 在线段 AB 上，且 | AP | | PB | ＝1 2，则 P 点坐标为 ________．[ 答案]1 5－ 3，3→ →[ 分析 ]设 P ( x ， y ) ，则 AP ＝ ( x ＋2， y － 3) ， PB ＝ (3 － x ，－ 1－ y ) ，∵P 在线段 AB 上，且 | AP | | PB |＝12，→ 1 →∴AP ＝ PB ，2∴( x ＋ 2， y －3) ＝ 3－x ， － 1－y ，2 23－ x1x ＋ 2＝ 2x ＝－ 31 5∴－ 1－ y，∴5，即 P －3，3 .y － 3＝ 2y ＝ 3(理)已知EFG→→是△的重心，直线过点 且与边 、分别交于点、 ， ＝ ，GABCAB ACE F AEαAB→→11AF ＝ βAC ，则 α＋ β＝ ________.[ 答案]3→2→1→→ →[ 分析]连接 AG 并延伸交 BC 于 D ，∵ G 是△ ABC 的重心， ∴ AG ＝3AD ＝ 3( AB ＋ AC ) ，设 EG ＝→ λGF ，∴ →－→＝ ( → － → ) ，∴ → ＝ 1→＋ λ →，AG AE λ AF AGAG 1＋λAE 1＋λAF1→ 1→ α→λβ →∴ 3AB ＋ 3AC ＝1＋ λAB ＋1＋ λAC ，α1131＋ λ＝3α＝1＋ λ1 1∴λβ 1，∴13λ ，∴ α＋ β＝ 3.1＋ λ＝3β＝1＋ λ→ → →6．已知 O (0,0) 、 A (2 ，－ 1) 、B (1,3) 、OP ＝ OA ＋ tAB ，求(1) t 为什么值时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第四象限？(2) 四点 O 、A 、 B 、 P 可否成为平行四边形的四个极点，说明你的原因．→→ → t t[ 分析] (1)＝ ＋＝ ( ＋ 2,3 －1)．OP OA tAB1若点 P 在 x 轴上，则 3t － 1＝ 0，∴ t ＝ ；若点 P 在 y 轴上，则 t ＋ 2＝ 0，∴ t ＝－ 2；t ＋ 2>01若点 P 在第四象限，则3t － 1<0，∴－ 2<t <3.→→(2) OA ＝ (2 ，－ 1) ， PB ＝ ( － t － 1，－ 3t ＋ 4) ． → →∵四边形 OABP 为平行四边形，∴ OA ＝ PB .－ t － 1＝ 2 ∴无解．－ 3t ＋ 4＝－ 1∴ 四边形 OABP 不行能为平行四边形．同理可知，当t ＝ 1 时，四边形 为平行四边形，当 t ＝－ 1 时，四边形 为平行OAPBOPAB四边形．7．已知△ ABC 中， A (7,8)， B (3,5) ， C (4,3)， M 、 N 是 AB 、 AC 的 中点， D 是 BC 的中点，→MN 与 AD 交于点 F ，求 DF .[ 分析 ]由于 A (7,8) ， B (3,5) ， C (4,3)→因此 AB ＝ ( －4，－ 3) ，AC ＝( －3，－ 5) ．→ 1→→又由于 D 是 BC 的中点，有 AD ＝2( AB ＋ AC ) ＝ ( － 3.5 ，－ 4) ，而 M 、 N 分别为 AB 、AC 的中→ 1→1→点，因此 F 为 AD 的中点，故有 DF ＝2DA ＝－ 2AD ＝ (1.75,2) ．[ 评论 ] 注意愿量表示的中点公式，→ 1→ → M 是 A 、 B 的中点， O 是任一点，则 OM ＝ ( OA ＋ OB ) ．28．( 文 ) 已知圆 ：( x － 3) 2＋ ( y － 3) 2＝ 4 及定点 (1,1) ， 为圆C 上随意一点，点N 在线CA M→→段 MA 上，且 MA ＝2AN ，求动点 N 的轨迹方程．→→[ 分析 ]设 N ( x ， y ) ，M ( x 0， y 0) ，则由 MA ＝ 2AN 得(1 － x 0, 1－ y 0) ＝ 2( x － 1， y －1) ，1－ 0＝ 2 x － 2x 0＝3－ 2xx∴，即，1－ y 0＝ 2y － 2 y 0＝ 3－ 2y代入 ( x － 3) 2＋( y － 3) 2＝ 4，得 x 2＋ y 2＝1.(理)已知⊙ ：(x ＋2)2＋( y － 1) 2＝9 及定点 ( －1,1) ， 是⊙ C 上随意一点，点 N 在射线CA MAM 上，且 | AM | ＝2| MN |，动点 N 的轨迹为 C ，求曲线 C 的方程．→ → →[ 分析 ]设 N ( x ， y ) ，M ( x 0， y 0) ，∵ N 在射线 AM 上，且 | AM |＝ 2| MN |，∴ AM ＝2MN 或 AM ＝→－ 2MN ，→→AM ＝ ( x 0＋ 1， y 0 － 1) ， MN ＝ ( x － x 0， y － y 0) ，x 0＋ 1＝ 2 x － x 0x 0＋ 1＝－ 2 x － x 0 ∴或，y 0－ 1＝ 2 y － y 0y 0－ 1＝－ 2 y － y 0x 0＝ 1 2 － 13xx 0＝ 2x ＋1∴1 或，y＝2 －1y 0＝ 3 2y ＋ 1y代入圆方程中得 (2 x ＋5) 2＋ (2 y － 2) 2＝ 81 或 (2 x ＋ 3) 2＋ (2 y － 2) 2＝ 9.1．(2020 ·安徽江南十校联考 ) 已知两个非零向量 a ＝ ( m － 1， n － 1) ，b ＝ ( m －3， n － 3) ，且a 与b的夹角是钝角或直角，则＋ n 的取值范围是 ()mA ．[2， 3 2] B ．[2,6]C．(2，32)D．(2,6)[ 答案]D[ 分析]依据a 与 b 的夹角是钝角或直角得a· b≤0，即( m－1)(m－3)＋( n－1)(n－3)≤0.整理得：( m－ 2) 2＋ ( n－ 2) 2≤2. 因此点( m，n) 在以 (2,2)为圆心，2为半径的圆上或圆内．令m＋ n＝z，则n＝－ m＋ z表示斜率为－1，在纵坐标轴上的截距为z的直线，明显直线与圆相切时，z 取最大(小)值，∴2≤ z≤6，即2≤ m＋ n≤6.当取等号时有m＝n＝1或 m＝ n＝3，均不合题意，应选 D.→→→→2．已知直线x＋ y＝ a 与圆 x2＋ y2＝4交于 A、 B 两点，且| OA＋ OB|＝| OA－ OB|，此中 O为坐标原点，则实数 a 的值为()A．2B．－ 26C．2 或－ 2 D. 6或－[ 答案]C→→→→[ 分析]以 OA、 OB 为边作平行四边形OACB，则由| OA＋OB| ＝ | OA－OB| 得，平行四边形→ →OACB为矩形， OA⊥OB.由图形易知直线y＝－ x＋ a 在 y 轴上的截距为±2，因此选 C.3．(2020 ·河南许昌调研， 2020·深圳模拟 ) 在平面直角坐标系中，O→为原点，设向量＝OA→→a， OB＝b，此中 a＝(3,1)， b＝(1,3)．若 OC＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1， C 点的全部可能地点地区用暗影表示正确的选项是()[答案]A→[ 分析 ]OC＝λa＋μb＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，→令OC＝( x， y)，则 x－y＝(3λ＋μ)－(λ＋3μ)＝2( λ－μ) ≤0，∴点 C对应地区在直线y＝ x 的上方，应选 A.4．点是△所在平面内的一点，且知足→3→1→与△的面积之比＝＋，则△M ABC AM4AB4AC ABM ABC 为 ________．[ 答案] 1:4→3→→1→[ 分析 ]如图，AE＝4AB，AF＝4AC，→1→在 BC上取点 G，使 BG＝4BC，则 EG∥ AC， FG∥ AE，→→→→∴AG＝ AE＋ AF＝AM，∴ M与 G重合，S△ABM BM 1∴＝＝.S△ABC BC43 5．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、 b、 c，已知 c＝2b，向量 m＝sin A，2，n ＝(1 ，sin A＋ 3cos A) ，且m与n共线．(1)求角 A 的大小；a(2)求c的值．[ 分析 ](1) ∵m∥n，3∴s in A(sin A＋ 3cos A) －2＝0，π即 sin 2A－6＝ 1.∵A∈(0，π)，π∈ －π11π∴2 －，.666πππ∴2A－6＝2.∴A＝3.π(2)由余弦定理及 c＝2b、 A＝得，32c 22cπa ＝2＋ c －2·2· c cos3，232a3a ＝4c ，∴c＝2.。

平面向量应用举例学习过程知识点一：平面几何中的向量方法用向量方法解决几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系。

知识点二：向量在物理中的应用注意两方面：（1）体会如何把物理问题转化成数学问题，即如何将物理量间的关系抽象成数学模型（2）如何利用数学模型的解来解释相应的物理现象。

学习结论（1）向量在解决某些几何问题时具有优越性。

(2)明确用向量方法解决几何问题的“三步曲”。

典型例题例 1. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D 、E 分别是CC1与A1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ． （Ⅰ）求A1B 与平面ABD 所成角的余弦值（Ⅱ）求点A1到平面AED 的距离．[思路分析] 本题中的三条棱1,,C C CA CB 两两垂直，故可以此建立空间直角坐标系．将线面所成角转化为线线所成角，从而运用向量的数量积可得所求；对于（Ⅱ）中的点面距离，首先应该考察过这点垂直于面的直线．在上述想法不可行的情况下再考虑体积法等其它方法．解析：（Ⅰ）点E 在平面A BD 上的射影是△ABD 的重心G ，所以，1A BG ∠就是直线A1B 与平面ABD 所成的角．因为1,,C C CA CB 两两垂直，所以，如图建立空间直角坐标系，若设CA=2a ，则有：()2,0,0A a ，()0,2,0B a ，()12,0,2A a ，()0,0,1D ，(),,1E a a ，221,,333a a G ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 所以2(,,),(0,2,1)333a a GE DB a ==-uu u r uu u r ，．因为GE DB ⊥，所以，0GE DB ⋅=uu u r uu u r ，所以，222033a -=，所以，1a =．所以 241(,,)333BG =-uu u r ，， 又1(2,2,2)BA =-uuu r ，所以，根据数量积的定义可知： 117cos 3BA BG EBG BA BG ⋅∠==uuu r uu u r uuu r uu u r ．所以，A1B 与平面ABD 所成的角的余弦值为73．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知110DE =uuu r （，，），1(2,2,2)BA =-uuu r ，(2,2,0)AB =-u u u r ，所以， 10,0DE AB DE A B ⋅=⋅=uu u r uu u r uu u r uuu r ，所以，1DE AB DE BA ⊥⊥且．所以，11DE A ABB ⊥面．又DE ADE ⊂面，所以，11ADE A ABB ⊥面面． 过点1A 作1A K AE ⊥于K ，则1A K 就是点A1到平面AED 的距离．在等腰1EA A △中，1132BA EA EA ===，12AA =，所以，1AA 边上的高h ＝()2312-=， 所以，11263AA h A K AE ==．所以，点A1到平面AED 的距离为26．例2.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)102arccos (=θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？[思路分析] 速度（既有大小，又有方向）、距离都可以用向量很好的表达， 图2－7－6所以，本题可以看作是一道向量的应用问题．下面，我们尝试用向量的观 点来解答本题．解析： 以O 为原点，分别以东、北方向为x 轴正半轴方向、y 轴正 半轴方向如图建立直角坐标系，则当前台风中心的位置向量 (300cos 300sin())(302,2102)OP θθ=--=-u u u r （），；台风中心的速度向量为 (20cos(18045),20sin(18045))(102,102)v =︒-︒︒-︒=-r ．设t 小时时台风中心的位置为'P ，且该城市开始受到台风侵袭．若以()r t 表示t 小时时台风侵袭区域的半径，则()6010r t t =+（单位为km ）． 城市受台风侵袭等价于OP 'uuu r ≤()r t ． 而(302102,2102102)OP OP PP OP tv t t ''=+=+=-u u u r u u u r u u u r u u u r r ， 令OP 'uuu r ≤()r t ()()2230210221021026010t t t -+-++， 解之得：1224t ≤≤．所以，12小时后城市O 开始受台风侵袭．。

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算 课时目标 1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．1．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个____________i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝____________，则________________叫作向量a 的坐标，________________叫作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝________，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________________.2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)2．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( ) A ．(－2，－2) B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,24．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →，则点P 的坐标为( ) A ．(－8,1) B.⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎝⎛⎭⎫－1，－32 D ．(8，－1) 5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)6．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为( )A ．(－7,0)B ．(7,6)C ．(6,7)D ．(7，－6)题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________． 8．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.9．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.10．函数y ＝x 2＋2x ＋2按向量a 平移所得图象的解析式为y ＝x 2，则向量a 的坐标是________．三、解答题11．已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .12．已知平面上三个点坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．能力提升13．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A ．{(1,1)}B ．{(－1,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1)}14．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2的图象F 按向量a 平移到F ′，F ′的函数解析式为y ＝f (x )，当y ＝f (x )为奇函数时，向量a 可以等于( )A.⎝⎛⎭⎫－π6，－2B.⎝⎛⎭⎫－π6，2 C.⎝⎛⎭⎫π6，－2 D.⎝⎛⎭⎫π6，21．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3 平面向量的坐标运算答案知识梳理1．(1)互相垂直 (2)单位向量 x i ＋y j 有序数对(x ，y ) a ＝(x ，y ) (3)(x ，y ) (x 2－x 1，y 2－y 1)2．(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)(λx ，λy )作业设计1．D 2.D3．D [由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.] 4．C [设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12×(－8,1)， ∴x ＝－1，y ＝－32.] 5．B [∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．]6．D [设D (x ，y )，由AD →＝BC →，∴(x －5，y ＋1)＝(2，－5)．∴x ＝7，y ＝－6.]7．(－3,6)8.112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112. 9．－1解析 ∵A (1,2)，B (3,2)，∴AB →＝(2,0)．又∵a ＝AB →，它们的坐标一定相等．∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0， ∴x ＝－1.10．(1，－1)解析 函数y ＝x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1的顶点坐标为(－1,1)，函数y ＝x 2的顶点坐标为(0,0)，则a ＝(0,0)－(－1,1)＝(1，－1)．11．解 设c ＝x a ＋y b ，则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1)＝(－2x ＋3y,3x ＋y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ， 解得x ＝－2，y ＝2，∴c ＝－2a ＋2b .12．解 (1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →，设点D 的坐标为(x ，y )．∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1. ∴D (0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC 时，仿(1)可得D (2，－3)；(3)当平行四边形为ADBC 时，仿(1)可得D (6,15)．综上可知点D 可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．13．A [设a ＝(x ，y )，则P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝m ， ∴集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{(x ，y )|x ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x ＋y －2＝0}．∴P ∩Q ＝{(1,1)}．故选A.]14．B [函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2按向量a ＝(m ，n )平移后得到y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2m ＋π6＋n －2.若平移后的函数为奇函数，则n ＝2，π6－2m ＝k π＋π2(k ∈Z )，故m ＝－π6时适合．]附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。