江苏专用2019高考数学理科二轮复习解答题专项练4：解析几何含答案

解析几何中的基本问题A 组——抓牢中档小题1．若直线l 1：mx ＋y ＋8＝0与l 2：4x ＋(m －5)y ＋2m ＝0垂直，则m ＝________. 解析：∵l 1⊥l 2，∴4m ＋(m －5)＝0，∴m ＝1. 答案：12．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为____________．解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝22＋52＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝93．(2018·镇江期末)已知双曲线x 2a2－y 2＝1的左焦点与抛物线y 2＝－12x 的焦点重合，则双曲线的右准线方程为________．解析：因为抛物线的焦点为(－3,0)，即为双曲线的左焦点，所以a 2＝9－1＝8，所以双曲线的右准线方程为x ＝83.答案：x ＝834．已知直线l 过点P (1,2)且与圆C ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，△ABC 的面积为1，则直线l 的方程为________．解析：当直线斜率存在时，设直线的方程为y ＝k (x －1)＋2，即kx －y －k ＋2＝0.因为S △ABC ＝12CA ·CB ·sin∠ACB ＝1，所以12×2×2×sin∠ACB ＝1，所以sin ∠ACB ＝1，即∠ACB ＝90°，所以圆心C 到直线AB 的距离为1，所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34，所以直线方程为3x －4y ＋5＝0；当直线斜率不存在时，直线方程为x ＝1，经检验符合题意．综上所述，直线l 的方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.答案：3x －4y ＋5＝0或x ＝15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为4 3，则C 的方程为__________．解析：因为△AF 1B 的周长为43，所以|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，所以a ＝ 3.又因为椭圆的离心率e ＝c a ＝33，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.答案：x 23＋y 22＝16．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为________．解析：圆(x －2)2＋(y －2)2＝1关于x 轴的对称圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，由题意得，圆心(2，－2)到直线kx ＋y ＋3＝0的距离d ＝|2k －2＋3|k 2＋1≤1，解得－43≤k ≤0，所以实数k 的最小值为－43.答案：－437．已知以椭圆的右焦点F 2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M ，N ，椭圆的左焦点为F 1，且直线MF 1与此圆相切，则椭圆的离心率e ＝________.解析：因为圆的半径r ＝c ，在Rt △F 1F 2M 中，|F 1F 2|＝2c ，|F 2M |＝c ，|F 1M |＝3c ，所以2a ＝|F 1M |＋|F 2M |＝(3＋1)c ，离心率e ＝2c 2a ＝2c3c ＋c＝3－1.答案：3－18．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________．解析：由题意知△ABC 为等腰直角三角形，且AC ＝BC ＝4，AB ＝42， ∴圆心C 到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝42－22＝22，∴|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1. 答案：－19．(2018·扬州期末)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：由圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0，得圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝4，所以圆心C (0,3)，半径r ＝2.因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线bx ±ay ＝0与该圆没有公共点，则圆心到直线的距离应大于半径，即|b ×0±a ×3|b 2＋a 2>2，即3a >2c ，即e ＝c a <32，又e >1，故双曲线离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围是________．解析：设∠PCA ＝θ，所以PQ ＝22sin θ.又cos θ＝2AC，AC ∈[3，＋∞)，所以cosθ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23，所以cos 2θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，29，sin 2θ＝1－cos 2θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫79，1，所以sinθ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，1，所以PQ ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143，22. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143，22 11．(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b ＞0) 的两条渐近线与圆O ：x 2＋y 2＝2的四个交点依次为A ，B ，C ，D .若矩形ABCD 的面积为b ，则b 的值为________．解析：由题意知，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±bx ，如图所示，两条渐近线与圆O 的四个交点为A ，B ，C ，D.不妨设点B 的坐标为(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＝bm ，m 2＋n 2＝2，解得m 2＝2b 2＋1，而矩形ABCD 的面积为2m ×2n ＝4mn ＝4bm 2＝4b ×2b 2＋1＝b ，解得b ＝7.答案：712．(2018·苏锡常镇调研)已知直线l ：x －y ＋2＝0与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上．圆C ：(x －2)2＋y 2＝2上有且仅有一个点B 满足AB ⊥BP ，则点P 的横坐标的取值集合为________．解析：法一：由AB ⊥BP ，得点B 在以AP 为直径的圆D 上，所以圆D 与圆C 相切． 由题意得A (－2,0)，C (2,0)．若圆D 与圆C 外切，则DC －DA ＝2；若圆D 与圆C 内切，则DA －DC ＝ 2.所以圆心D 在以A ，C 为焦点的双曲线x 212－y 272＝1上，即14x 2－2y 2＝7.又点D在直线l 上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，14x 2－2y 2＝7，得12x 2－8x －15＝0，解得x D ＝32或x D ＝－56.所以x P ＝2x D－x A ＝2x D ＋2＝5或x P ＝13.法二：由题意可得A (－2,0)，设P (a ，a ＋2)，则AP 的中点M ⎝⎛⎭⎪⎫a －22，a ＋22，AP ＝a ＋2，故以AP 为直径的圆M 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －a －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －a ＋222＝⎝⎛⎭⎪⎫|a ＋2|22.由题意得圆C 与圆M 相切(内切和外切)，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋222＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2±|a ＋2|2，解得a ＝13或a ＝5.故点P 的横坐标的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，5.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，513．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于A ，B 两点．若△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积为ab ，则椭圆的离心率为________．解析：设直线x ＝m 与x 轴交于点H ，椭圆的右焦点为F 1，由椭圆的对称性可知△FAB 的周长为2(FA ＋AH )＝2(2a －F 1A ＋AH )，因为F 1A ≥AH ，故当F 1A ＝AH 时，△FAB 的周长最大，此时直线AB 经过右焦点，从而点A ，B 坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，所以△FAB 的面积为12·2c ·2b 2a ，由条件得12·2c ·2b 2a ＝ab ，即b 2＋c 2＝2bc ，b ＝c ，从而椭圆的离心率为e ＝22. 答案：2214．已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|PA ―→＋PB ―→|的取值范围为________．解析：因为A ，B 是圆C1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，所以线段AB 的中点H 在圆O ：x 2＋y 2＝14上，且|PA ―→＋PB ―→|＝2|PH ―→|.因为点P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，所以5－32≤|PH ―→|≤5＋32，即72≤|PH ―→|≤132，所以7≤2|PH ―→|≤13，从而|PA ―→＋PB ―→|的取值范围是[7,13]． 答案：[7,13]B 组——力争难度小题1．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有________个．解析：由题意知圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，所以圆心(－2,3)到直线l的距离d ＝|－6－12－5|5＝235∈(4,5)，故满足题意的点P 有2个．答案：22．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析：双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，则圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝abc .又因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin 60°＝ab c，即3b 2＝ab c ，所以e ＝23＝233. 答案：2333．(2018·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝k (x －33)上存在一点P ，圆x 2＋(y －1)2＝1上存在一点Q ，满足OP ―→＝3OQ ―→，则实数k 的最小值为________．解析：设点P (x ，y )，由OP ―→＝3OQ ―→，可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，y 3.又点Q 在圆x 2＋(y －1)2＝1上，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y3－12＝1，即x 2＋(y －3)2＝9，所以点P 既在圆x 2＋(y －3)2＝9上，又在直线y ＝k (x －33)上，即直线与圆有交点，所以圆心到直线距离d ＝||－3－33k 1＋k2≤3，解得－3≤k ≤0.答案：－ 34．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知 |AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b2＝1，x 2＝2py消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb2a2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 答案：y ＝±22x 5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)恒过定点A (1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值是________.解析：由已知得1a 2＋4b 2＝1，因为准线方程为x ＝a 2c，所以椭圆的中心到准线的距离为d＝a 2c ，即d 2＝a 4c 2＝a 4a 2－b 2＝a 4a 2－4a 2a 2－1＝a 4－a 2a 2－5＝a 2－2＋a 2－＋20a 2－5＝a 2－5＋20a 2－5＋9≥220＋9＝45＋9＝(5＋2)2，当且仅当a 2＝5＋25时取等号．所以d ≥5＋2，即d min ＝5＋2.答案：5＋26．已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA ―→·PB ―→≤0，则线段EF 长度的最大值是________．解析：过点C 作CH ⊥l 于H ，因为C 到l 的距离CH ＝32＝322>2＝r ，所以直线l 与圆C 相离，故点P 在圆C 外．因为PA ―→·PB ―→＝|PA ―→||PB ―→|cos ∠APB ≤0，所以cos ∠APB ≤0，所以π2≤∠APB <π，圆C 上存在两点A ，B 使得∠APB ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π，由于点P 在圆C 外，故当PA ，PB 都与圆C 相切时，∠APB 最大，此时若∠APB ＝π2，则PC ＝2r ＝22，所以PH ＝PC 2－CH 2＝22－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝142，由对称性可得EF max ＝2PH ＝14. 答案：14。

2.三角函数与解三角形1.已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值. 解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2.(2)因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2sin π6＝43＋310.2.已知△ABC 中，AC ＝2，A ＝2π3，3cos C ＝3sin B .(1)求AB ；(2)若D 为BC 边上一点，且△ACD 的面积为334，求∠ADC 的正弦值.解 (1)因为A ＝2π3，所以B ＝π3－C ，由3cos C ＝3sin B 得，cos C ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－C ，所以cos C ＝3⎝⎛⎭⎪⎫32cos C －12sin C ＝32cos C －32sin C ，所以12cos C ＝32sin C ，即tan C ＝33.又因为C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，所以C ＝π6，从而得B ＝π3－C ＝π6，所以AB ＝AC ＝2.(2)由已知得12·AC ·CD sin π6＝334，所以CD ＝332，在△ACD 中，由余弦定理得，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos C ＝74，即AD ＝72， 由正弦定理得，AD sin C ＝ACsin∠ADC，故sin∠ADC ＝AC sin C AD ＝277. 3.已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(A ＞0，ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若角α满足f (α)＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，α∈(0，π)，求角α的值.解 (1)由条件知周期T ＝2π，即2πω＝2π，所以ω＝1，即f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.因为f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，所以A sin 2π3＝32，所以A ＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)由f (α)＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π2＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1， 所以2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝1，即sin α＝12.因为α∈(0，π)，所以α＝π6或5π6.4.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b sin 2C ＝c sin B . (1)求角C 的大小；(2)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，求sin A 的值.解 (1)由b sin 2C ＝c sin B ，根据正弦定理得 2sin B sin C cos C ＝sin C sin B .因为sin B ＞0，sin C ＞0，所以cos C ＝12.又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)因为C ＝π3，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以B －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝45.又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ，所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3 ＝sin π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3－cos π3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝32×45－12×35＝43－310. 5.已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，求t 的值；(2)若t ＝1，且a·b ＝1，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值. 解 (1)方法一 因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α.由cos α－sin α＝15，得(cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425.所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝75，所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925.方法二 因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )， 且a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＋152＝1，整理得50sin 2α＋10sin α－24＝0， 解得sin α＝－45或sin α＝35.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＞0，所以sin α＝35， 从而t ＝sin 2α＝925.(2)方法一 因为t ＝1，且a·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α≠0，从而tan α＝14.所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝815. 从而tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tanπ41－tan 2α·tan π4＝815＋11－815＝237.方法二 因为t ＝1，且a·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α. 所以2sin 2α＝1＋cos 2α2，即4sin 2α－cos 2α＝1，又sin 22α＋cos 22α＝1，所以sin 22α＋(4sin 2α－1)2＝1， 整理得17sin 22α－8sin 2α＝0，解得sin 2α＝817或sin 2α＝0.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，所以sin 2α＞0，所以sin 2α＝817，代入4sin 2α－cos 2α＝1，得cos 2α＝1517，因为tan 2α＝sin 2αcos 2α＝815，从而tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tanπ41－tan 2α·tan π4＝815＋11－815＝237.6.已知函数f (x )＝23·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且角A 满足f (A )＝3＋1，若a ＝3，BC 边上的中线长为3，求△ABC 的面积S .解 (1)f (x )＝23sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x＝3sin 2x ＋cos 2x ＋3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋ 3.令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .(2)由f (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋3＝3＋1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，因为A ∈(0，π)，所以2A ∈(0,2π)，2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2A ＋π6＝5π6，则A ＝π3，又BC 边上的中线长为3，所以|AC →＋AB →|＝6，所以|AC →|2＋|AB →|2＋2AC →·AB →＝36，即b 2＋c 2＋2bc cos A ＝36，所以b 2＋c 2＋bc ＝36， ①由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2－bc ＝9，②由①②得，bc ＝272，所以S ＝12bc sin A ＝2738.。

6个解答题专项强化练(三) 解析几何1．已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0.(1)若a ＝－8，过点P (4,5)作圆M 的切线，求该切线方程；(2)若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA ―→·OB ―→＝－6(其中O 为坐标原点)，求圆M 的半径．解：(1)若a ＝－8，则圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝9，圆心M (1，0)，半径为3. 若切线斜率不存在，圆心M 到直线x ＝4的距离为3，所以直线x ＝4为圆M 的一条切线； 若切线斜率存在，设切线方程为y －5＝k (x －4)，即kx －y －4k ＋5＝0，则圆心到直线的距离为|k －4k ＋5|k 2＋1＝3，解得k ＝815，即切线方程为8x －15y ＋43＝0.所以切线方程为x ＝4或8x －15y ＋43＝0.(2)圆M 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1－a ，圆心M (1，0)，则OM ＝1，半径r ＝1－a (a <1)． 因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA ―→＝－MB ―→，且|MA ―→|＝|MB ―→|＝r ，则OA ―→·OB ―→＝(OM ―→＋MA ―→)·(OM ―→＋MB ―→)＝(OM ―→－MB ―→)·(OM ―→＋MB ―→)＝OM ―→2－MB ―→2＝1－r 2，又因为OA ―→·OB ―→＝－6，解得r ＝7，所以圆M 的半径为7.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－1，0)，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．若D 为x 轴上的一点，DA ＝DB ，求AB DF的值．解：(1)法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，1a 2＋94b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.法二：由题意，知2a ＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝4，所以a ＝2. 又c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)． ①当k ＝0时，AB ＝2a ＝4，FD ＝FO ＝1，所以AB DF＝4；②当k ≠0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，把直线AB 的方程代入椭圆方程，整理得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以x 0＝－4k23＋4k 2，所以y 0＝k (x 0＋1)＝3k3＋4k2， 所以AB 的垂直平分线方程为y －3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4k 23＋4k 2. 因为DA ＝DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 23＋4k 2，0，所以DF ＝－k 23＋4k 2＋1＝3＋3k23＋4k 2.又因为AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝12＋12k23＋4k2，所以AB DF＝4.综上，得AB DF的值为4.法二：①若直线AB 与x 轴重合，则AB DF＝4； ②若直线AB 不与x 轴重合，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 21－x 224＋y 21－y 223＝0，所以x 1－x 2·x 04＋y 1－y 2·y 03＝0，所以直线AB 的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝－3x 04y 0，所以直线AB 的垂直平分线方程为y －y 0＝4y 03x 0(x －x 0)．因为DA ＝DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 04，0，所以DF ＝x 04＋1.因为椭圆的左准线的方程为x ＝－4，离心率为12，由AFx 1＋4＝12，得AF ＝12(x 1＋4)， 同理BF ＝12(x 2＋4)．所以AB ＝AF ＋BF ＝12(x 1＋x 2)＋4＝x 0＋4，所以AB DF＝4. 综上，得AB DF的值为4.3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM ―→·AB ―→＝－32b 2.(1)求椭圆的离心率；(2)若a ＝2，四边形ABCD 内接于椭圆，AB ∥DC .记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．解：(1)由题意，A (a,0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2. 所以OM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，AB ―→＝(－a ，b )．因为OM ―→·AB ―→＝－32b 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2， 整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b .因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c . 所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32. (2)证明：法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.从而A (2,0)，B (0,1)，直线AB 的斜率为－12.因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ，D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2. 直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2，所以k 1k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2＝14x 1x 2－12m －1x 1－12mx 2＋m m －1x 1－2x 2＝14x 1x 2－12m x 1＋x 2＋12x 1＋m m －1x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋122m －x 2＋m m －1x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14， 即k 1k 2为定值14.法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.从而A (2,0)，B (0,1)，直线AB 的斜率为－12.设C (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －x 0＋y 0，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，解得x ＝x 0或x ＝2y 0. 所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 0，12x 0.所以k 1k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1k 2为定值14.4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－1,0)，左准线方程为x ＝－2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA ―→＝λAF ―→，PB ―→＝μBF ―→.求证：λ＋μ为定值；②若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围．解：(1)由题设知c ＝1，－a 2c＝－2，解得a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)①证明：由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则P (0，k )． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线l 的方程代入椭圆的方程得x 2＋2k 2(x ＋1)2＝2， 整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， ∴x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k2.由PA ―→＝λAF ―→，PB ―→＝μBF ―→知，λ＝－x 11＋x 1，μ＝－x 21＋x 2，∴λ＋μ＝－x 1＋x 2＋2x 1x 21＋x 1＋x 2＋x 1x 2＝－－4k 21＋2k 2＋4k 2－41＋2k 21＋－4k 21＋2k 2＋2k 2－21＋2k 2＝－－4－1＝－4(定值)．②当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22， 当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1kx ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx 代入椭圆C 得到x 2＋2k 2x 2＝2，∴x 21＝22k 2＋1，y 21＝2k 22k 2＋1，同理x 22＝2k 22＋k 2，y 22＝22＋k2，故△AOB 的面积S ＝OA ·OB2＝k 2＋122k 2＋1k 2＋2.令t ＝k 2＋1∈(1，＋∞)， 故S ＝t 22t －1t ＋1＝12＋1t －1t2. 再令u ＝1t∈(0,1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫u －122＋94∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，22.综上所述，S ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，22.5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)．(1)若QF ＝2FP ，求直线l 的方程；(2)设直线AP ，BQ 的斜率分别为k 1，k 2.是否存在常数λ，使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)因为a 2＝4，b 2＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，所以F 的坐标为(1,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋1， 代入椭圆方程，消去x ，得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0， 则y 1＝－3m ＋61＋m 24＋3m 2，y 2＝－3m －61＋m 24＋3m 2. 若QF ＝2FP ，则－y 2＝2y 1，即y 2＋2y 1＝0， 所以－3m －61＋m 24＋3m 2＋2×－3m ＋61＋m24＋3m 2＝0， 解得m ＝255，故直线l 的方程为5x －2y －5＝0.(2)由(1)知，y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2，所以my 1y 2＝－9m 4＋3m 2＝32(y 1＋y 2),所以k 1k 2＝y 1x 1＋2·x 2－2y 2＝y 1my 2－1y 2my 1＋3＝32y 1＋y 2－y 132y 1＋y 2＋3y 2＝13， 故存在常数λ＝13，使得k 1＝13k 2.6.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e ＝12，左准线方程为x ＝－8.(1)求椭圆的方程；(2)过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，I 1，I 2分别为△F 1AF 2，△F 1BF 2的内心. ①求四边形F 1I 1F 2I 2与△AF 2B 的面积比；②是否存在定点C ，使CA ―→·CB ―→为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a2c ＝8，解得a ＝4，c ＝2，故b ＝23，所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)①设△F 1AF 2的内切圆半径为r ，则S △F 1I 1F 2＝12·F 1F 2·r ＝12·2c ·r ＝2r ，S △F 1AF 2＝12·(AF 1＋AF 2＋F 1F 2)·r ＝12·(2a ＋2c )·r ＝6r ，∴S △F 1I 1F 2∶S △F 1AF 2＝1∶3， 同理S △F 1I 2F 2∶S △F 1BF 2＝1∶3， ∴S 四边形F 1I 1F 2I 2∶S △AF 2B ＝1∶3.②假设存在定点C (s ，t )，使得CA ―→·CB ―→为常数．若直线AB 存在斜率，设AB 的方程为y ＝k (x ＋2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x 216＋y 212＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，由此得x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2，∴CA ―→·CB ―→＝(x 1－s ，y 1－t )·(x 2－s ，y 2－t ) ＝(x 1－s )(x 2－s )＋(y 1－t )(y 2－t )＝(x 1－s )(x 2－s )＋[k (x 1＋2)－t ][k (x 2＋2)－t ] ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k 2－tk －s )(x 1＋x 2)＋s 2＋t 2＋4k 2－4tk ＝1＋k216k 2－483＋4k 2＋2k 2－tk －s －16k23＋4k2＋s 2＋t 2＋4k 2－4tk ＝－12tk －12s －333＋4k2＋s 2＋t 2＋4s －5. ∵与k 无关，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12t ＝0，－12s －33＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－114，t ＝0，此时CA ―→·CB ―→＝－13516；若直线AB 不存在斜率，则A 与B 的坐标为(－2，±3)，CA ―→·CB ―→＝(s ＋2，t －3)·(s ＋2，t ＋3)＝(s ＋2)2＋t 2－9，将⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－114，t ＝0代入，此时CA ―→·CB ―→＝－13516也成立．综上所述，存在定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－114，0，使得CA ―→·CB ―→为常数．。

（南京、盐城市2018届高三（上）期末）21．[选做题 （在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．B .（选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.【答案】21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，② ………………5分 由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠， 又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =， 即E 到直径AB 的距离为4. ………………10分（B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则22001x y +=，设点()00,P x y 在矩阵M 对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002x x y y =⎧⎨=⎩，解得0012x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩， ………………5分 代入2201x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程. ………………10分（C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos()13πρθ+=，得(cos cossin sin )133ππρθθ-=，得直线的直角坐标方程为20x -=． …………5分 曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．因为直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =.…10分（D）解：由柯西不等式，得22222[)][1](1x x ++≥⨯， 即2224(3)()3x y x y +≥+．而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y ≤+≤ ……5分由1x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得6x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当且仅当26x y ==时，max ()x y += 所以当x y +取最大值时x的值为x =……10分 （南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟）21．[选做题 （在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，,PA PB 分别交半圆O 于点,D C .若2AD =，4PD =，3PC =，求BD 的长.B .（选修4-2：矩阵与变换） 设矩阵 22 3m ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 的一个特征值λ对应的特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求m 与λ的值.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线35:(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数). 现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.D ．(选修4-5：不等式选讲）若实数,,x y z 满足21x y z ++=，求222x y z ++的最小值.【答案】21. A 、解：由切割线定理得：PD PA PC PB ⋅=⋅则4(24)3(3)BC ⨯+=⨯+，解得5BC =， …4分 又因为AB 是半圆O 的直径，故2π=∠ADB , ………6分则在三角形PDB 中有34166422=-=-=PD PB BD . …10分B 、解：由题意得 2112 322m λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ……4分 则4262m λλ-=⎧⎨+=-⎩， ……8分解得0m =，4λ=-. …10分C 、解：直线35:(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)化为普通方程为034=-y x ，………2分 圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为()1122=+-y x ， …4分则圆C 的圆心到直线l 的距离为()5434422=-+=d ，……6分 所以56122=-=d AB .……10分 D 、解：由柯西不等式，得2222222(2)(121)()x y z x y z ++≤++⋅++，即2x y z ++≤， ……5分又因为21x y z ++=，所以61222≥++z y x ， 当且仅当121x y z ==，即11,63x z y ===时取等号. 综上，()61min222=++zy x . ………10分 （南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟）21．[选做题 （在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） A .（选修4—1：几何证明选讲）如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =，3DE =，求BD 的长.B .（选修4—2：矩阵与变换）设矩阵 02 1a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为221x y +=，求曲线C 的方程.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知点A 的极坐标为)4π-，圆E 的极坐标方程为4cos 4sin ρθθ=+，试判断点A 和圆E 的位置关系.D ．(选修4—5：不等式选讲）已知正实数,,,a b c d 满足1a b c d +++=.≤【答案】21. A 、解：因为CD 与O 相切于D ，所以CDA DBA ∠=∠， ……2分又因为AB 为O 的直径，所以90ADB ∠=︒. 又DE AB ⊥，所以E D A D B ∆∆，所以EDA DBA ∠=∠，所以E D A C D ∠=∠. ……4分又90ACD AED ∠=∠=︒，AD AD =，所以ACD AED ∆≅∆.所以4AE AC ==，所以5AD ， …… 6分又DE AE BD AD =，所以154DE BD AD AE =⋅=. …………10分 B 、由题意，矩阵M 的特征多项式()()((1)f a λλλ=--，因矩阵M 有一个特征值为2，(2)0f =，所以2a =.…………4分 所以 2 0M 2 1x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即22x xy x y'=⎧⎨'=+⎩， 代入方程221x y +=，得22(2)(2)1x x y ++=，即曲线C 的方程为22841x xy y ++=. ………10分C 、解：点A 的直角坐标为(2,2)-，…………2分圆E 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -+-=，…………6分则点A 到圆心E 的距离4d r ==>=所以点A 在圆E 外. …………10分 D 、解：因24(12121212)a b c d ≤+++++++， 、…6分又1a b c d +++=，所以224≤，、 …………10分（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟）21. A 、（选修4—1：几何证明选讲）如图，已知点P 为Rt ABC ∆的斜边AB 的延长线上一点，且PC 与Rt ABC ∆的外接圆相切，过点C 作AB 的垂线，垂足为D ，若18PA =，6PC =，求线段CD 的长.解：由切割线定理，得2PC PA PB =⋅，解得2PB =，所以16AB =，即Rt ABC ∆的外接圆半径8r =，……5分记Rt ABC ∆外接圆的圆心为O ，连OC ，则OC PC ⊥， 在Rt POC ∆中，由面积法得OC PC PO CD ⋅=⋅，解得245CD =. …10分 B 、（选修4—2：矩阵与变换）求直线10x y --=在矩阵22M -⎢⎥=⎥⎥⎦的变换下所得曲线的方程. 解：设(,)P x y 是所求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为(,)Q x y ''，则2222x y x x y y ''-=⎪⎪⎪''+=⎪⎩，解得)2)2x x y y y x ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=-⎪⎩，…5分 代入10x y ''--=中，得)()1022x y y x +---=，化简可得所求曲线方程为2x =. …10分 C 、（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，求圆2cos ρθ=的圆心到直线2sin()13πρθ+=的距离.解：将圆2cos ρθ=化为普通方程为2220x y x +-=，圆心为(1,0)， ……4分又2sin()13πρθ+=，即12(sin )12ρθθ+=，10y +-=，……8分故所求的圆心到直线的距离d =……10分 D 、解不等式124x x ++-<.解：当1x <-时，不等式化为124x x --+-<，解得312x -<<-；……3分 当12x -≤≤时，不等式化为124x x ++-<，解得12x -≤≤；……6分 当2x >时，不等式化为124x x ++-<，解得522x <<；……9分 所以原不等式的解集为35(,)22-. ……10分 （南京市、盐城市2014届高三上期末调研测试）21．[选做题 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若98PC =，12OP =，求PD 的长.B.（选修4—2：矩阵与变换）已知曲线C ：1xy =，若矩阵M ⎥=⎥⎥⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos a ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为3242x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知1x ，2x ，3x 为正实数，若1231x x x ++=，求证：2223211231x x x x x x ++≥. 【答案】21. A 、解：P 为AB 中点，∴OP AB ⊥，∴PB =，…5分 又234PC PD PA PB PB ⋅=⋅==，由98PC =，得23PD =. …10分 B 、解：设曲线C 一点(,)x y ''对应于曲线C '上一点(,)x y ，∴22x x y y '⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥=⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴22x y x ''-=，22x y y ''+=，……5分∴x '=，y '=，∴1x y ''==，∴曲线C '的方程为222y x -=.…10分C 、解：易求直线l ：4320x y --=，圆C ：222()x a y a -+=，……5分a =，解得229a =-或.……10分 D 、证：2223211231231232()2x x x x x x x x x x x x +++++≥=++=， ∴ 2223211231x x x x x x ++≥. …10分 （南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试）21．[选做题 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，圆的直径, 为圆周上一点, , 过作圆的切线, 过作直线的垂线, 为垂足, 与圆交于点, 求线段的长．B.（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵的一个特征值为3, 求的另一个特征值及其对应的一个特征向量.C．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中, 为曲线上的动点, 为直线上的动点, 求的最小值.D．(选修4-5：不等式选讲）设都是正数, 且=1, 求证：. 【答案】21. A、解：连结，则．∵,∴, 即为正三角形,∴………4分又直线切⊙与，∴，∵，∴……6分而, ∴ (8)分在Rt△BAE中，∠EBA=30°，∴……10分B．解：矩阵M的特征多项式为=……1分因为方程的一根，所以3分由,得……5分设对应的一个特征向量为,则,得……8分令,所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为 (10)分C．解:圆的方程可化为,所以圆心为,半径为23分又直线方程可化为…5分所以圆心到直线的距离，故…10分D．解:因为是正数，所以…5分同理，将上述不等式两边相乘，得,因为,所以……10分（南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试）21．[选做题在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，O的半径OB垂直于直径AC，D为AO上一点，BD的延长线交O于点E，过E点的圆的切线交CA的延长线于P.求证：2=⋅.PD PA PCB ．（选修4—2：矩阵与变换） 已知矩阵1101,20201⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B ，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：20x y +-=变为直线'l ，求直线'l 的方程.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C的方程为)4πρθ=-，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为11x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），求直线l 被C 截得的弦AB 的长度.D.（选修4—5：不等式选讲）已知x y z 、、均为正数，求证：111()3x y z ++≤.【答案】21．A. 证明：连结OE ，因为PE 切⊙O 于点E ，所以∠OEP=900，所以∠OEB+∠BEP=900，因为OB=OE ，所以∠OBE=∠OEB，因为OB⊥AC 于点O ，所以∠OBE+∠BDO=900…5分故∠BEP=∠BDO=∠PDE ，PD=PE ，又因为PE 切⊙O 于点E ，所以PE 2=PA·PC， 故PD 2=PA·PC……10分B. 易得11101122020102AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦……3分, 在直线l 上任取一点(,)P x y ''，经矩阵AB 变换为点(,)Q x y ，则11122022x x x y y y y ⎡⎤⎡⎤'''+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦'⎣⎦⎣⎦，∴122x x y y y ⎧''=+⎪⎨⎪'=⎩，即142x x y y y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ 代入20x y ''+-=中得12042y x y -+-=,∴直线l '的方程为480x y +-=…10分 C. 解：C 的方程化为4cos 4sin ρθθ=+，两边同乘以ρ，得24c o s 4s i n ρρθρθ=+由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ,得22440x y x y +--=……5分 其圆心C 坐标为(2,2)，半径r =又直线l 的普通方程为20x y --=, ∴圆心C 到直线l的距离d ==∴弦长AB ==10分 D. 证明:由柯西不等式得2222222111111(111)()()x y z x y z++++≥++…………5分则111x y z ≥++,即111()3x y z ++≤………10分。

1.立体几何1.(2018·江苏省金陵中学月考)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD，AP＝AD，点 M 在棱 PD 上，AM⊥PD，点 N 是棱 PC 的中点，求证：(1) MN∥平面 PAB； (2) AM⊥平面 PCD. 证明 (1)因为在△PAD 中，AP＝AD，AM⊥PD， 所以点 M 是棱 PD 的中点. 又点 N 是棱 PC 的中点， 所以 MN 是△PDC 的中位线， 所以 MN∥DC. 因为底面 ABCD 是矩形， 所以 AB∥DC， 所以 MN∥AB. 又 AB⊂ 平面 PAB, MN⊄平面 PAB， 所以 MN∥平面 PAB. (2)因为平面 PAD⊥平面 ABCD, CD⊂ 平面 ABCD， 平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，CD⊥AD， 所以 CD⊥平面 PAD. 又 AM⊂ 平面 PAD，所以 CD⊥AM. 因为 PD⊥AM，CD⊥AM, CD∩PD＝D，CD⊂ 平面 PCD，PD⊂ 平面 PCD， 所以 AM⊥平面 PCD. 2.已知在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝60°，DC＝1，AD＝ 3，PB＝PC，且 M，N 分别为 BC，PA 的中点.(1)求证：DN∥平面 PBC； (2)求证：MN⊥BC. 证明 (1)取 PB 的中点 E，连结 NE，CE，AC，因为 ABCD 是直角梯形，AB∥DC， ∠ABC＝60°，DC＝1，AD＝ 3， 易得 AC＝CB＝AB＝2. 又 N 为 PA 的中点， 所以 NE∥CD 且 NE＝CD， 所以四边形 CDNE 是平行四边形， 所以 DN∥CE. 又 CE⊂ 平面 PBC，DN⊄平面 PBC， 所以 DN∥平面 PBC. (2)连结 AM，PM. 因为 PB＝PC， 所以 PM⊥BC， 因为 AC＝AB， 所以 AM⊥BC， 又 AM∩PM＝M，AM，PM⊂ 平面 PAM， 所以 BC⊥平面 PAM. 因为 MN⊂ 平面 APM， 所以 MN⊥BC. 3.(2018·扬州市邗江区模拟)如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF， ∠BFC＝90°，BF＝FC，H 为 BC 的中点.(1)求证：FH∥平面 EDB； (2)求证：AC⊥平面 EDB. 证明 (1)设 AC 与 BD 的交点为 G，连结 GE，GH， → → → 如图，以 H 为坐标原点，分别以HB，GH，HF的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，令 BH＝1，则 A(1，－2,0)，B(1,0,0)，C(－1,0,0)，D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(0,0,1)，G(0，－1,0)，→ ∴GE＝(0,0,1), → → → 又∵HF＝(0,0,1)，∴GE∥HF，GE⊂ 平面 EDB，HF⊄平面 EDB，∴FH∥平面 EDB. → → (2)∵AC＝(－2,2,0)，GE＝(0,0,1)， → → ∴AC·GE＝0， ∴AC⊥GE. 又 AC⊥BD，且 GE⊂ 平面 EDB，BD⊂ 平面 EDB，GE∩BD＝G，∴AC⊥平面 EDB. 4.如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，M，N 分别为棱 A1C1 和 AB 的中点. (1)求证：MN∥平面 BCC1B1； (2)若平面 ACC1A1⊥平面 A1B1C1，且 A1B1＝B1C1，求证：平面 B1MN⊥平面 ACC1A1.证明 (1)方法一 如图，设 BC 的中点为 H，连结 NH，HC1. 1 在△ABC 中，因为 N 为 AB 的中点，所以 NH∥AC，且 NH＝ AC， 2 在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，因为 AC∥A1C1，且 AC＝A1C1，M 为 A1C1 的中点， 1 所以 MC1∥AC，且 MC1＝ AC， 2 所以 NH∥MC1，且 NH＝MC1， 所以四边形 MC1HN 为平行四边形，所以 MN∥C1H， 又 MN⊄平面 BCC1B1，C1H⊂ 平面 BCC1B1， 所以 MN∥平面 BCC1B1.方法二 如图 2， 在侧面 ACC1A1 中， 连结 AM 并延长交直线 CC1 于点 Q， 连结 BQ.在三棱柱 ABC－A1B1C1 中， AA1∥CC1， 所以 ＝AM A1M ， 因为 M 为 A1C1 的中点， 所以 M 为 AQ 的中点.又因为 N 为 AB 中点， 所以 MN∥BQ， 又 MN⊄平面 BCC1B1， MQ MC1BQ⊂ 平面 BCC1B1，所以 MN∥平面 BCC1B1.方法三 如图 3， 取 A1B1 的中点 O， 连结 OM， ON. 在△A1B1C1 中， 因为 O， M 分别为 A1B1， A1C1 的中点， 所以 OM∥B1C1. 因为 OM⊄平面 BCC1B1，B1C1⊂ 平面 BCC1B1，所以 OM∥平面 BCC1B1.在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，A1B1∥AB 且 A1B1＝AB， 又因为 O，N 分别为 A1B1，AB 的中点，所以 OB1∥NB，OB1＝NB，所以四边形 OB1BN 为平行四边形，所以 ON∥B1B， 又 ON⊄平面 BCC1B1，B1B⊂ 平面 BCC1B1，所以 ON∥平面 BCC1B1. 因为 OM∥平面 BCC1B1， ON∥平面 BCC1B1， OM∩ON＝O， OM⊂ 平面 OMN， ON⊂ 平面 OMN， 所以平面 OMN∥平面 BCC1B1， 又 MN⊂ 平面 OMN，所以 MN∥平面 BCC1B1.(2)因为 A1B1＝B1C1, M 为 A1C1 的中点，所以 B1M⊥A1C1，因为平面 ACC1A1⊥平面 A1B1C1，平面 ACC1A1∩平面 A1B1C1 ＝A1C1，B1M⊂ 平面 A1B1C1，所以 B1M⊥平面 ACC1A1，又 B1M⊂ 平面 B1MN，所以平面 B1MN⊥平面 ACC1A1. 5.如图，O 是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面 PAB 为等腰直角三角形，C 为底面圆周上一点.(1)若弧 BC 的中点为 D，求证：AC∥平面 POD； (2)如果△PAB 的面积是 9，求此圆锥的表面积. (1)证明 方法一 设 BC∩OD＝E， ∵D 是弧 BC 的中点， ∴E 是 BC 的中点. 又∵O 是 AB 的中点， ∴AC∥OE. 又∵AC⊄平面 POD，OE⊂ 平面 POD， ∴AC∥平面 POD.方法二 ∵AB 是底面圆的直径， ∴AC⊥BC. ∵弧 BC 的中点为 D， ∴OD⊥BC. 又 AC，OD 共面， ∴AC∥OD. 又 AC⊄平面 POD，OD⊂ 平面 POD， ∴AC∥平面 POD. (2)解 设圆锥底面半径为 r，高为 h，母线长为 l， ∵圆锥的轴截面 PAB 为等腰直角三角形， ∴h＝r，l＝ 2r. 1 2 由 S△PAB＝ ×2r×h＝r ＝9，得 r＝3， 2 ∴S 表＝π rl＋π r ＝π r× 2r＋π r ＝9(1＋ 2)π . 6.已知四棱锥 S－ABCD 的底面 ABCD 为正方形，顶点 S 在底面 ABCD 上的射影为其中心 O，高为 3，设 E，F 分 别为 AB，SC 的中点，且 SE＝2，M 为 CD 边上的点.2 2(1)求证：EF∥平面 SAD； (2)试确定点 M 的位置，使得平面 EFM⊥底面 ABCD. (1)证明 取 SB 的中点 P，连结 PF，PE.∵F 为 SC 的中点， ∴PF∥BC，又底面 ABCD 为正方形， ∴BC∥AD，即 PF∥AD，又 PE∥SA，PE∩PF＝P，SA∩AD＝A， ∴平面 PFE∥平面 SAD. ∵EF⊂ 平面 PFE， ∴EF∥平面 SAD. (2)解 连结 AC，AC 的中点即为点 O，连结 SO， 由题意知 SO⊥平面 ABCD， 取 OC 的中点 H，连结 FH，则 FH∥SO， ∴FH⊥平面 ABCD，∴平面 EFH⊥平面 ABCD，连结 EH 并延长， 则 EH 与 DC 的交点即为 M 点. 连结 OE， 由题意知 SO＝ 3，SE＝2. ∴OE＝1，AB＝2，AE＝1， ∴MC HC 1 ＝ ＝ ， AE HA 31 1 ∴MC＝ AE＝ CD， 3 6 1 即点 M 在 CD 边上靠近 C 点距离为 的位置. 6。

填空题满分练(2)1.若复数z 满足1＋iz －i ＝i(i 是虚数单位)，则z ＝________.答案 1解析 由题设有z ＝1＋ii＋i ＝－i ＋1＋i ＝1.2.已知集合A ＝{2,0，－2}，B ＝{x |x 2－2x －3>0}，集合P ＝A ∩B ，则集合P 的子集个数是________. 答案 2解析 由题设有B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， 故P ＝A ∩B ＝{－2}， 所以P 的子集的个数为2.3.已知cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝________. 答案1314解析 ∵cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝17×12＋437×32＝1314. 4.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知某高级中学高一、高二、高三学生人数分别为880,860,820，现用分层抽样的方法从该校抽调128人，则在高二年级中抽调的人数为________. 答案 43解析 由题意可知，在高二年级中抽调的人数为128×860880＋860＋820＝43.5.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，则(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2015a 2017－a 22016)＝________.答案 －1解析 根据斐波那契数列可知，a 1a 3－a 22＝1，a 2a 4－a 23＝－1，a 3a 5－a 24＝1，a 4a 6－a 25＝－1，…，所以根据计算的规律可得，当n 为偶数时，a n a n ＋2－a 2n ＋1＝－1，当n 为奇数时，a n a n ＋2－a 2n ＋1＝1，所以(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2 015a 2 017－a 22 016)＝－1.6.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是________.(填序号)①函数f (x )的最小正周期为π2；②直线x ＝－π12是函数f (x )图象的一条对称轴；③函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π6上单调递增； ④将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin2x .答案 ④解析 A ＝2, T 2＝2π3－π6＝π2，即πω＝π2，即ω＝2, π2＋2π32＝7π12，当x ＝7π12时， 2×7π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π，解得φ＝－2π3，所以函数是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，函数的最小正周期为π；当x ＝－π12时， 2×⎝⎛⎭⎫－π12－2π3＝－5π6，不是函数的对称轴；当x ∈⎣⎡⎦⎤－5π12，π6时，2x －2π3∈⎣⎡⎦⎤－3π2，－π3，f (x )先单调递减后单调递增；函数向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－2π3＝2sin 2x ，所以④正确. 7.如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是________.答案 30解析 第一次输出a ＝3，n ＝2；第二次输出a ＝3×2＝6，n ＝3；第三次输出a ＝6×5＝30，n＝4.故这列数的第三项为30. 8.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥4，x ＋2y ≤4，y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值是________.答案 6解析 不等式组对应的可行域如图阴影部分所示(含边界).当动直线y ＝32x －z2过点(2,0)时，z 取最小值6.9.大约2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面再渐渐倾斜得到椭圆.若用周长为24的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆Γ，且Γ与矩形ABCD 的四边相切.设椭圆Γ在平面直角坐标系中的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，测得Γ的离心率为32，则椭圆Γ的方程为________. 答案 x 216＋y 24＝1解析 由题意得4a ＋4b ＝24，即a ＋b ＝6①，由c a ＝32得a ＝2b ②，由①②解得a ＝4，b ＝2.所以椭圆Γ的方程为x 216＋y 24＝1.10.若曲线y ＝ln x ＋1的一条切线是y ＝ax ＋b ，则4a ＋e b 的最小值是________. 答案 4解析 设切点为(m ，ln m ＋1)(m >0)，f ′(x )＝1x ，f ′(m )＝1m ，故切线方程为y －(ln m ＋1)＝1m (x －m )，即y ＝1m x ＋ln m ，所以a ＝1m ，b ＝ln m,4a ＋e b ＝4m ＋m ≥24m ·m ＝4，当且仅当4m＝m ，即m ＝2时取等号. 11.过点M ⎝⎛⎭⎫22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ，l 与x 轴的交点为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，l 与抛物线E 交于A ，B 两点，则AB 的中点到抛物线E 的准线的距离为________. 答案 4 2解析 由题意得，过点M ⎝⎛⎭⎫22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ， 可得直线l 的方程为x －y －2＝0， 此时直线l 与x 轴的交点坐标为(2，0)，又点(2，0)与抛物线的焦点重合，即p2＝2，解得p ＝22，即y 2＝42x ，且准线方程为x ＝－2，联立方程组⎩⎨⎧y 2＝42x ，x －y －2＝0，整理得x 2－62x ＋2＝0，Δ＝(62)2－8>0， x 1,2＝62±82＝32±4，则x 1＋x 2＝62，所以x 1＋x 22＝32，所以AB 的中点到抛物线的准线的距离为 x 1＋x 22＋2＝4 2. 12.已知圆心角为120°的扇形AOB 的圆心为O ，在其弧AB 上任取一点P ，则使∠AOP 和∠BOP 同时大于50°的概率为________. 答案 16解析 由几何概型的定义和几何概型的公式可知，使∠AOP 和∠BOP 能同时大于50°的概率为120°－50°－50°120°＝20°120°＝16.13.在四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝CD ＝DA ＝1，设△ABD ，△BCD 的面积分别为S 1，S 2，则当S 21＋S 22取最大值时，BD ＝________.答案102解析 设BD ＝b ，S 21＋S 22＝⎝⎛⎭⎫12×1×2×sin A 2＋⎝⎛⎭⎫12×1×1×sin C 2＝34－⎝⎛⎭⎫12cos 2A ＋14cos 2C ＝34－2b 4－10b 2＋1316＝34－2⎝⎛⎭⎫b 2－522＋1216，所以当b 2＝52，即b ＝102时，S 21＋S 22取得最大值. 14.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12018log x ，0<x <1，log 2018x ，x ≥1，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则4a 2＋b 2＋2a ＋b 的取值范围是________. 答案 [4＋22，＋∞)解析 先作出f (x )的图象如图所示，通过图象可知，0<a <1<b ，设f (a )＝f (b )＝t ，则⎩⎪⎨⎪⎧12018log a ＝t ，log 2 018b ＝t(t >0)， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2 018－t，b ＝2 018t ，所以ab ＝1,2a ＋b ＝22 018t ＋2 018t ， 而2 018t >0，所以2a ＋b ＝22 018t ＋2 018t ≥22，当且仅当2 018t ＝2时等号成立. 令m ＝2a ＋b ，则m ≥22，故4a 2＋b 2＋2a ＋b ＝(2a ＋b )2＋(2a ＋b )－4＝m 2＋m －4＝⎝⎛⎭⎫m ＋122－174， 因为y ＝⎝⎛⎭⎫m ＋122－174在[22，＋∞)上单调递增， 所以4a 2`＋b 2＋2a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫m ＋122－174≥4＋2 2.。

平面向量A 组——抓牢中档小题1．（2018·南京学情调研）设向量a ＝(1,－4),b ＝（－1,x ），c ＝a ＋3b 。

若a ∥c ，则实数x ＝________. 解析:因为a ＝(1,－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b ＝（－2，－4＋3x )．又a ∥c ，所以－4＋3x －8＝0，解得x ＝4。

答案：42．(2018·无锡期末）已知向量a ＝(2,1），b ＝(1，－1)，若a －b 与m a ＋b 垂直，则m 的值为________． 解析：因为a ＝（2,1),b ＝(1，－1），所以a －b ＝(1,2)，m a ＋b ＝(2m ＋1,m －1），因为a －b 与m a ＋b 垂直,所以(a －b ）·（m a ＋b ）＝0，即2m ＋1＋2（m －1)＝0，解得m ＝错误!.答案：错误!3．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________。

解析:由题意知a ＋λb ＝k [－（b －3a ）］， 所以错误!解得错误! 答案:－错误!4．已知｜a |＝1,|b ｜＝错误!，且a ⊥（a －b ），则向量a 与向量b 的夹角为________．解析：∵a ⊥(a －b)，∴a ·(a －b)＝a 2－a ·b ＝1－错误!cos 〈a,b 〉＝0，∴cos 〈a,b 〉＝错误!，∴〈a,b 〉＝π4。

答案:错误!5．在△ABC 中，O 为△ABC 的重心，AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°，则AO ，―→·错误!＝________。

解析：设BC 边中点为D ，则错误!＝错误! 错误!，错误!＝错误!（错误!＋错误!)，∴ 错误!·错误!＝错误!（错误!＋错误!)·错误!＝错误!×（3×2×cos 60°＋32）＝4.答案:46。

填空题满分练(3)1.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知全集为R ，集合A ＝{x |2x ≥4}，B ＝{x |x 2－3x ≥0}，则A ∩ (∁R B )＝________. 答案 [2,3)解析 A ＝{x |2x≥4}＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x 2－3x ≥0}＝{x |x ≤0或x ≥3}，∁R B ＝(0,3)，则A ∩(∁R B )＝[2,3). 2.已知i 为虚数单位，复数1＋a i2－i (a ∈R )为纯虚数，则a 的值为________.答案 2解析 因为1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(2－a )＋(2a ＋1)i5为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝0，2a ＋1≠0，所以a ＝2.3.中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列{a n }的前n 项和S n ＝14n 2，n ∈N *，等比数列{b n }满足b 1＝a 1＋a 2，b 2＝a 3＋a 4，则b 3＝________.(用数字表示) 答案 9解析 由题意可得b 1＝a 1＋a 2＝S 2＝14×22＝1，b 2＝a 3＋a 4＝S 4－S 2＝14×42－14×22＝3，则等比数列的公比q ＝b 2b 1＝31＝3，故b 3＝b 2q ＝3×3＝9.4.设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，c ＝(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为________.(用度数表示) 答案 150°解析 ∵b ∥c ，∴－3x ＝(－3)×1，∴x ＝3， ∴b ＝(3，－3)，a －b ＝(0,4).∴a －b 与b 的夹角θ的余弦值cos θ＝－124×23＝－32，又∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝150°.5.设变量x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋3≥0，x ＋y －3≥0，则z ＝2x －y 的取值范围是________.答案 [－3，＋∞)解析 不等式组对应的可行域如图阴影部分所示(含边界)，目标函数z ＝2x －y 经过点(0,3)时有最小值，且最小值为－3，由图可得，无最大值，则z ＝2x －y 的取值范围是[)－3，＋∞.6.将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB ＝3，BC ＝2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O －EFG 体积的最大值是________. 答案 4解析 设Rt△EFG 的两条直角边分别为a ，b ，则a 2＋b 2＝16，三棱锥O －EFG 的高为3，从而V O －EFG ＝13S △EFG ·3＝12ab ≤a 2＋b 24＝4，当且仅当a ＝b ＝22时等号成立，故三棱锥O －EFG 的体积的最大值为4.7.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)执行如图所示的流程图，输出的S 为________.答案 17解析 开始时，S ＝27，i ＝1，第一次循环，S ＝47，i ＝2，第二次循环，S ＝17，i ＝3，第三次循环，S ＝27，i ＝4，第四次循环，S ＝47，i ＝5，第五次循环，S ＝17，5<5不满足条件，输出S ＝17.8.某高中在今年的期末考试历史成绩中随机抽取n 名考生的笔试成绩，作出其频率分布直方图如图所示，已知成绩在[75,80)中的学生有1名，若从成绩在[75,80)和[90,95)两组的所有学生中任取2名进行问卷调查，则2名学生的成绩都在[90,95)中的概率为________.答案 35解析 因为成绩在[75,80)的频率为5×0.01＝0.05，所以n ＝10.05＝20， 成绩在[90,95)的频率为1－5×(0.01＋0.02＋0.06＋0.07)＝0.2， 所以成绩在[90,95)中的学生人数为20×0.2＝4，所以成绩在[75,80)中有1个人，设为a ，成绩在[90,95)中有4个人，设为A ，B ，C ，D ，从5个人中任意取2个人有(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(a ，D )，(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共10个基本事件，2名学生成绩都在[90,95)的事件有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6个基本事件，所以由古典概型的概率公式，得所求概率为610＝35.9.将函数f (x )＝23cos 2x －2sin x cos x －3的图象向左平移t (t >0)个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为________. 答案π6解析 f (x )＝23cos 2x －2sin x cos x －3＝23×1＋cos 2x 2－sin 2x －3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，平移后函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t ＋π6为奇函数，所以2t ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得t ＝k π2＋π6，k ∈Z ，所以当k ＝0时，t 有最小值π6.10.如图，已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象关于点M (2,0)对称，且f (x )的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将f (x )的图象向右平移13个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )的单调递增区间为____________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k －23，4k ＋43(k ∈Z ) 解析 由图知A ＝3，不妨设两个相邻的最高点和最低点分别为P ，Q ，过P 作PH ⊥x 轴于点H ，如图所示.令HM ＝m (m >0)，则m 2＋(3)2＝4，得m ＝1，所以P (1，3)，Q (3，－3)，设函数f (x )的最小正周期为T ，则T2＝2，T ＝4＝2πω，ω＝π2， 所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ，将(2,0)代入得π＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )， 因为|φ|<π2，所以φ＝0，f (x )＝3sin π2x ，所以g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π6.由2k π－π2≤π2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得4k －23≤x ≤4k ＋43()k ∈Z .所以g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k －23，4k ＋43k ∈Z .11.已知抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝________. 答案833解析 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以S △MFN ＝12×p ×|y 1－y 2|＝12×2×|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|，直线方程是y ＝3(x－1)，与抛物线方程联立，消去x ， 整理得3y 2－4y －43＝0，所以y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝163＋16＝833. 12.在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2ab sin C ＝3()b 2＋c 2－a 2，若a ＝13，c ＝3，则△ABC 的面积为________. 答案 3 3解析 由题意得2ab sin C 2bc ＝3·b 2＋c 2－a22bc ，即a sin Cc＝3cos A ，由正弦定理得sin A ＝3cos A, 所以tan A ＝3，A ＝π3.由余弦定理得13＝32＋b 2－2×3b cos π3，解得b ＝4，故面积为12bc sin A ＝12×4×3×32＝3 3.13.如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A ，B ，M 在双曲线上且在x 轴的上方，MF 1⊥x 轴，直线MA ，MB 与y 轴分别交于P ，Q 两点，若OP ＝eOQ (e 为双曲线的离心率)，则e ＝________.答案2＋1解析 由已知得，A (－a,0)，B (a,0)，F 1(－c,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 由△BOQ ∽△BF 1M 可得，OQ MF 1＝OBBF 1， 即OQ b 2a＝a a ＋c ，解得OQ ＝b 2a ＋c . 由△AOP ∽△AF 1M 可得，OP MF 1＝OA AF 1， 即OP b 2a＝a c －a ，解得OP ＝b 2c －a . 由已知得OP ＝eOQ ，可得b 2c －a＝e ×b 2a ＋c，所以a ＋c ＝e (c －a )，即1＋e ＝e (e －1)， 整理得e 2－2e ＝1，又e >1，所以e ＝2＋1.14.设函数g (x )＝e x＋3x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝x 2，且当x ＜0时，f ′(x )＜x ，若∃x 0∈{x |f (x )＋2≥f (2－x )＋2x }，使得g ()g ()x 0＝x 0，则实数a 的取值范围为________. 答案(]－∞，e ＋2解析 设F (x )＝f (x )－x 22，则F ′(x )＝f ′(x )－x ，所以当x <0时，F ′(x )<0，故函数F (x )＝f (x )－x 22是()－∞，0上的单调递减函数，又由f (－x )＋f (x )＝x 2可知，F (－x )＋F (x )＝f (－x )＋f (x )－2×x 22＝0，则函数F (x )＝f (x )－x 22是奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－x 22是()－∞，＋∞上的单调递减函数.由题设中f (x )＋2≥f ()2－x ＋2x 可得F (x )≥F ()2－x ，解得x ≤1，由g (g (x 0))＝x 0，得g (x 0)＝x 0，所以问题转化为x ＝e x＋3x －a 在(]－∞，1上有解，即a ＝e x＋2x 在(]－∞，1上有解，令h (x )＝e x＋2x ，x ∈(－∞，1]， 则h ′(x )＝e x＋2>0，故h (x )＝e x＋2x 在(]－∞，1上单调递增，则h (x )≤h (1)＝e ＋2，即a ≤e＋2.。

1.立体几何1.(2018·江苏省金陵中学月考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP＝AD，点M在棱PD上，AM⊥PD，点N是棱PC的中点，求证：(1) MN∥平面PAB；(2) AM⊥平面PCD.证明　(1)因为在△PAD中，AP＝AD，AM⊥PD，所以点M是棱PD的中点.又点N是棱PC的中点，所以MN是△PDC的中位线，所以MN∥DC.因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC，所以MN∥AB.又AB⊂平面PAB, MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)因为平面PAD⊥平面ABCD, CD⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD.又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM.因为PD⊥AM，CD⊥AM, CD∩PD＝D，CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AM⊥平面PCD.3 2.已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝60°，DC＝1，AD＝，PB ＝PC，且M，N分别为BC，PA的中点.(1)求证：DN∥平面PBC；(2)求证：MN⊥BC.证明　(1)取PB的中点E，连结NE，CE，AC，因为ABCD是直角梯形，AB∥DC，3∠ABC＝60°，DC＝1，AD＝，易得AC＝CB＝AB＝2.又N为PA的中点，所以NE∥CD且NE＝CD，所以四边形CDNE是平行四边形，所以DN∥CE.又CE⊂平面PBC，DN⊄平面PBC，所以DN∥平面PBC.(2)连结AM，PM.因为PB＝PC，所以PM⊥BC，因为AC ＝AB ，所以AM ⊥BC ，又AM ∩PM ＝M ，AM ，PM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM .因为MN ⊂平面APM ，所以MN ⊥BC .3.(2018·扬州市邗江区模拟)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，AB ＝2EF ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点.(1)求证：FH ∥平面EDB ；(2)求证：AC ⊥平面EDB .证明　(1)设AC 与BD 的交点为G ，连结GE ，GH ，如图，以H 为坐标原点，分别以，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角HB → GH → HF → 坐标系，令BH ＝1，则A (1，－2,0)，B (1,0,0)，C (－1,0,0)，D (－1，－2,0)，E (0，－1,1)，F (0,0,1)，G (0，－1,0)，∴＝(0,0,1), GE →又∵＝(0,0,1)，∴∥，HF → GE → HF →GE ⊂平面EDB ，HF ⊄平面EDB ，∴FH ∥平面EDB .(2)∵＝(－2,2,0)，＝(0,0,1)，AC → GE →∴·＝0，AC → GE →∴AC ⊥GE .又AC ⊥BD ，且GE ⊂平面EDB ，BD ⊂平面EDB ，GE ∩BD ＝G ，∴AC ⊥平面EDB .4.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M ，N 分别为棱A 1C 1和AB 的中点.(1)求证：MN ∥平面BCC 1B 1；(2)若平面ACC 1A 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1B 1＝B 1C 1，求证：平面B 1MN ⊥平面ACC 1A 1.证明　(1)方法一　如图，设BC 的中点为H ，连结NH ，HC 1.在△ABC 中，因为N 为AB 的中点，所以NH ∥AC ，且NH ＝AC ，12在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，M 为A 1C 1的中点，所以MC 1∥AC ，且MC 1＝AC ，12所以NH ∥MC 1，且NH ＝MC 1，所以四边形MC 1HN 为平行四边形，所以MN ∥C 1H ，又MN ⊄平面BCC 1B 1，C 1H ⊂平面BCC 1B 1，所以MN ∥平面BCC 1B 1.方法二　如图2，在侧面ACC 1A 1中，连结AM 并延长交直线CC 1于点Q ，连结BQ .在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1∥CC 1，所以＝，因为M 为A 1C 1的中点，所以M 为AQ 的中点.又因为N 为AB AM MQ A 1M MC 1中点，所以MN ∥BQ ，又MN ⊄平面BCC 1B 1，BQ ⊂平面BCC 1B 1，所以MN ∥平面BCC 1B 1.方法三　如图3，取A 1B 1的中点O ，连结OM ，ON . 在△A 1B 1C 1中，因为O ，M 分别为A 1B 1，A 1C 1的中点，所以OM ∥B 1C 1. 因为OM ⊄平面BCC 1B 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，所以OM ∥平面BCC 1B 1.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1∥AB 且A 1B 1＝AB ，又因为O ，N 分别为A 1B 1，AB 的中点，所以OB 1∥NB ，OB 1＝NB ，所以四边形OB 1BN 为平行四边形，所以ON ∥B 1B ，又ON ⊄平面BCC 1B 1，B 1B ⊂平面BCC 1B 1，所以ON ∥平面BCC 1B 1.因为OM ∥平面BCC 1B 1，ON ∥平面BCC 1B 1，OM ∩ON ＝O ，OM ⊂平面OMN ，ON ⊂平面OMN ，所以平面OMN ∥平面BCC 1B 1，又MN ⊂平面OMN ，所以MN ∥平面BCC 1B 1.(2)因为A 1B 1＝B 1C 1, M 为A 1C 1的中点，所以B 1M ⊥A 1C 1，因为平面ACC 1A 1⊥平面A 1B 1C 1，平面ACC 1A 1∩平面A 1B 1C 1＝A 1C 1，B 1M ⊂平面A 1B 1C 1，所以B 1M ⊥平面ACC 1A 1，又B 1M ⊂平面B 1MN ，所以平面B 1MN ⊥平面ACC 1A 1.5.如图，O 是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB 为等腰直角三角形，C 为底面圆周上一点.(1)若弧BC的中点为D，求证：AC∥平面POD；(2)如果△PAB的面积是9，求此圆锥的表面积. (1)证明　方法一　设BC∩OD＝E，∵D是弧BC的中点，∴E是BC的中点.又∵O是AB的中点，∴AC∥OE.又∵AC⊄平面POD，OE⊂平面POD，∴AC∥平面POD.方法二　∵AB是底面圆的直径，∴AC⊥BC.∵弧BC的中点为D，∴OD⊥BC.又AC，OD共面，∴AC∥OD.又AC⊄平面POD，OD⊂平面POD，∴AC∥平面POD.(2)解　设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，∴h ＝r ，l ＝r .2由S △PAB ＝×2r ×h ＝r 2＝9，得r ＝3，12∴S 表＝πrl ＋πr 2＝πr ×r ＋πr 2＝9(1＋)π.226.已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 为正方形，顶点S 在底面ABCD 上的射影为其中心O ，高为，设E ，F 分别为AB ，SC 的中点，且SE ＝2，M 为CD 边上的点.3(1)求证：EF ∥平面SAD ；(2)试确定点M 的位置，使得平面EFM ⊥底面ABCD .(1)证明　取SB 的中点P ，连结PF ，PE .∵F 为SC 的中点，∴PF ∥BC ，又底面ABCD 为正方形，∴BC ∥AD ，即PF ∥AD ，又PE ∥SA ，PE ∩PF ＝P ，SA ∩AD ＝A ，∴平面PFE ∥平面SAD .∵EF ⊂平面PFE ，∴EF ∥平面SAD .(2)解　连结AC ，AC 的中点即为点O ，连结SO ，由题意知SO ⊥平面ABCD ，取OC 的中点H ，连结FH ，则FH ∥SO ，∴FH ⊥平面ABCD ，∴平面EFH ⊥平面ABCD ，连结EH 并延长，则EH 与DC 的交点即为M 点.连结OE ，由题意知SO ＝，SE ＝2.3∴OE ＝1，AB ＝2，AE ＝1，∴＝＝，MC AE HC HA 13∴MC ＝AE ＝CD ，1316即点M 在CD 边上靠近C 点距离为的位置.16。

立体几何1.(2021·江苏省金陵中学月考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面，＝，点在棱上，⊥，点N是棱的中点，求证：ABCDAPAD M PD AMPD PC(1)MN∥平面PAB；AM⊥平面PCD.证明(1)由于在△PAD中，AP＝AD，AM⊥PD，因此点M是棱PD的中点.又点N是棱PC的中点，因此MN是△PDC的中位线，因此MN∥DC.由于底面ABCD是矩形，因此AB∥DC，因此MN∥AB.又AB?平面PAB,MN?平面PAB，因此MN∥平面PAB.(2)由于平面PAD⊥平面ABCD,CD?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，因此CD⊥平面PAD.又AM?平面PAD，因此CD⊥AM.由于PD⊥AM，CD⊥AM,CD∩PD＝D，CD?平面PCD，PD?平面PCD，因此AM⊥平面PCD.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝60°，DC＝1，AD＝3，PB＝PC，且M，N分别为BC，PA的中点.求证：DN∥平面PBC；求证：MN⊥BC.1证明(1)取PB的中点E，连接NE，CE，AC，由于ABCD是直角梯形，AB∥DC，ABC＝60°，DC＝1，AD＝3，易得AC＝CB＝AB＝2.又N为PA的中点，因此NE∥CD且NE＝CD，因此四边形CDNE是平行四边形，因此DN∥CE.又CE?平面PBC，DN?平面PBC，因此DN∥平面PBC.(2)连接AM，PM.由于PB＝PC，因此PM⊥BC，由于AC＝AB，因此AM⊥BC，又AM∩PM＝M，AM，PM?平面PAM，因此BC⊥平面PAM.由于MN?平面APM，因此MN⊥BC.3.(2021·扬州市邗江区模拟)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点.求证：FH∥平面EDB；求证：AC⊥平面EDB.证明(1)设AC与BD的交点为G，连接GE，GH，→→→如图，以H为坐标原点，分别以HB，GH，HF的方向为x轴，y轴，z轴的正方向成立空间直角坐标系，2令BH ＝1，那么A (1，－2,0) ，B (1,0,0) ，C (－1,0,0) ，(－1，－2,0)，(0，－1,1)，(0,0,1)，(0，－1,0)，DEF G→∴GE ＝(0,0,1),→ → →又∵HF ＝(0,0,1) ，∴GE ∥HF ，GE ?平面EDB ，HF ?平面EDB ，∴FH ∥平面EDB .→→，(2)∵AC ＝(－2,2,0)，GE ＝(0,0,1) ∴→·→＝0，ACGE ∴AC ⊥GE .又AC ⊥BD ，且GE ?平面EDB ，BD ?平面EDB ，GE ∩BD ＝G ，∴AC ⊥平面EDB .4.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M ，N 分别为棱A 1C 1和AB 的中点. (1)求证：MN ∥平面BCC 1B 1；假定平面ACC 1A 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1B 1＝B 1C 1，求证：平面B 1MN ⊥平面ACC 1A 1.证明 (1)方法一 如图，设 BC 的中点为H ，连接NH ，HC 1.1在△ABC 中，由于N 为AB 的中点，因此 NH ∥AC ，且NH ＝2AC ，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，由于AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，M 为A 1C 1的中点，1因此MC 1∥AC ，且MC 1＝2AC ，因此NH ∥MC 1，且NH ＝MC 1，因此四边形 M C 1HN 为平行四边形，因此MN ∥C 1H ，又MN ?平面BCC 1B 1，C 1H ?平面BCC 1B 1，因此MN ∥平面BCC 1B 1.3方法二如图2，在侧面ACC1A1中，连接AM并延伸交直线CC1于点Q，连接BQ.在三棱柱ABCAMA1M－A1B1C1中，AA1∥CC1，因此＝，由于M为A1C1的中点，因此M为AQ的中点.又由于N为MQMC1AB中点，因此MN∥BQ，又MN?平面BCC1B1，BQ?平面BCC1B1，因此MN∥平面BCC1B1.方法三如图3，取11的中点，连接，.在△111中，由于，分别为11，11AB O OMON ABC OM ABAC 的中点，因此OM∥B1C1.由于OM?平面BCC1B1，B1C1?平面BCC1B1，因此OM∥平面BCC1B1.在三棱柱ABC－ABC中，AB∥AB且AB＝AB，又由于O，N分别为AB，AB的中点，因此OB∥NB，11111111111＝，因此四边形1为平行四边形，因此∥1，又?平面11，1?平面11，OBNB OBBN ONBB ON BCCBBB BCCB因此ON∥平面BCC1B1.由于OM∥平面BCC1B1，ON∥平面BCC1B1，OM∩ON＝O，OM?平面OMN，ON?平面OMN，因此平面OMN∥平面BCC1B1，又MN?平面OMN，因此MN∥平面BCC1B1.由于A1B1＝B1C1,M为A1C1的中点，因此B1M⊥A1C1，由于平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，平面ACC1A1∩平面A1B1C1＝A1C1，B1M?平面A1B1C1，因此B1M⊥平面ACC1A1，又B1M?平面B1MN，因此平面B1MN⊥平面ACC1A1.5.如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.假定弧BC的中点为D，求证：AC∥平面POD；假如△PAB的面积是9，求此圆锥的表面积.证明方法一设BC∩OD＝E，4D是弧BC的中点，∴E是BC的中点.又∵O是AB的中点，AC∥OE.又∵AC?平面POD，OE?平面POD，AC∥平面POD.方法二∵AB是底面圆的直径，AC⊥BC.∵弧BC的中点为D，OD⊥BC.又AC，OD共面，∴AC∥OD.又AC?平面POD，OD?平面POD，∴AC∥平面POD.(2)解：设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，∴h＝r，l＝2r.12△PAB由S＝2×2r×h＝r＝9，得r＝3，∴S表＝πrl＋πr2＝πr×2r＋πr2＝9(1＋2)π.四棱锥S－ABCD的底面ABCD为正方形，极点S在底面ABCD上的射影为此中心O，高为3，设E，F分别为AB，SC的中点，且SE＝2，M为CD边上的点.(1)求证：EF∥平面SAD；试确立点M的地点，使得平面EFM⊥底面ABCD.5证明取SB的中点P，连接PF，PE.∵F为SC的中点，PF∥BC，又底面ABCD为正方形，BC∥AD，即PF∥AD，又PE∥SA，PE∩PF＝P，SA∩AD＝A，∴平面PFE∥平面SAD.EF?平面PFE，∴EF∥平面SAD.(2)解：连接AC，AC的中点即为点O，连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD，取OC的中点H，连接FH，那么FH∥SO，∴FH⊥平面ABCD，∴平面EFH⊥平面ABCD，连接EH并延伸，那么EH与DC的交点即为M点.连接OE，由题意知SO＝3，SE＝2.∴OE＝1，AB＝2，AE＝1，MCHC1∴＝＝，1AEHA31MC＝3AE＝6CD，1即点M在CD边上凑近C点距离为6的地点.6。