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序公元前221年，秦灭六国，建立了中国历史上第一个统一的多民族中央集权制国家——秦朝，秦王赢政自称始皇帝，史称秦始皇。
公元前210年，秦始皇第五次出巡，病死途中，内侍赵高伙同其次子胡亥与丞相李斯密谋篡改遗嘱，赐死在上郡戍边抵御匈奴进攻的始皇长子扶苏和大将蒙恬，立胡亥为秦二世。
秦二世即位不久后就暴发了大规模农民起义，公元前206年，秦王子婴降于攻入咸阳的刘邦，秦灭亡。
以上是历史，而我们的故事，则是从太子扶苏逃脱赐死后开始……第一章?重返京城侥幸逃过追杀的扶苏心中只有一个念头：回到咸阳！去弄清楚发生的一切是为什么？赵村杀掉一群追兵后，扶苏来到赵村，向村口的老人打听到一些有用的消息。
然后到村子西南角的院落里见到赵茜，在她的帮助下扶苏被安置到村外的山洞。
砍杀洞里的一群虎蛟使扶苏的功力得到加强，另外在洞穴中还找到一个宝箱，得到一枚戒指。
离开赵村时，扶苏特意前往赵茜家和她道别。
在村中还遇到一位老人，他告诉扶苏五行相生相克的道理，使扶苏智力增加了1点。
支线任务1：村中的十字路口有一个猎人，和他对话后会发现他的手臂因被蛇咬到而中毒，可以帮他到家中取解毒药，取回后如选择“要报酬”则可得到不错的打造原料——虎皮，如果不要报酬则可得到150点经验值（推荐选择虎皮，后面有很多任务都会有如此选择，本攻略原则上是给出最好的选择而不再特别提及可以得到的其他奖励）。
支线任务2：在村中的民居前见到发呆的赵成，对话中表示自己相信可能会有理想家园则可接受“寻找理想家园”的任务，到后来赵村被摧毁后找到桃花源，回来再与赵成对话即可完成此任务。
支线任务3：在村东的老妪家中，她告诉扶苏她的菜谱不见了，答应替她寻找。
然后打破屋外的坛子可找到菜谱，还给老妪就算完成任务，不过在对话时一定要注意，只有坚持不要酬劳才能得到任务的回报——一把不错的长剑（与山洞中得到的戒指一起佩带，可以激活剑上的暗属性）。
支线任务4：村外东边有一樵夫，与之对话后可知他因逃命而把柴刀留在熊身上，入洞杀熊找回柴刀，还给樵夫可得到300点经验值。
第1篇第一章：序章在一个被迷雾笼罩的古老小镇，流传着一个神秘的传说。
据说，只有那些真正拥有高智商的人，才能解开迷雾中的谜题，找到隐藏在小镇深处的宝藏。
为了寻找这个宝藏，一场诡异的智力测试在小镇的议会大厅悄然展开。
第二章：测试开始1. 第一题：迷雾中的路径描述：你站在一片迷雾之中，四周是高耸入云的迷雾森林。
你需要找到一条通往出口的路径。
在迷雾中，你只能看到三条道路，但其中只有一条是正确的。
请根据以下线索选择正确的道路：线索1：道路A的尽头有一座石桥，桥下是湍急的河流。
线索2：道路B的尽头有一片开阔地，地上散落着许多石头。
线索3：道路C的尽头有一座古老的神庙，神庙门口有一个巨大的石碑。
答案：请根据线索分析，选择一条正确的道路。
2. 第二题：时间的迷宫描述：你来到了一个巨大的迷宫，迷宫中有无数条道路，但你只有十分钟的时间来找到出口。
在迷宫中，你会遇到四个时间守护者，他们分别代表过去、现在、未来和永恒。
每个守护者都会给你一个提示，帮助你找到出口。
请根据以下提示选择正确的道路：提示1：过去守护者告诉你：“时间是循环的，你只需记住起点。
”提示2：现在守护者告诉你：“时间是瞬间的，你只需关注脚下。
”提示3：未来守护者告诉你：“时间是未知的，你只需勇往直前。
”提示4：永恒守护者告诉你：“时间是永恒的，你只需寻找答案。
”答案：请根据提示分析，选择正确的道路。
3. 第三题：数字的陷阱描述：你来到了一个数字陷阱，陷阱中有无数个数字，但只有少数数字是正确的。
你需要找出正确的数字组合，才能解锁陷阱。
以下是一些数字线索：线索1：数字1代表“我”，数字2代表“你”，数字3代表“他”。
线索2：数字5代表“加”，数字6代表“减”，数字7代表“乘”，数字8代表“除”。
线索3：数字9代表“等于”。
请根据线索，找出正确的数字组合。
答案：请根据线索分析，找出正确的数字组合。
4. 第四题：记忆的迷宫描述：你来到了一个记忆迷宫，迷宫中有无数个房间，每个房间都有一段文字。
第三章 走向混沌的道路咱们明白，一个动力学系统运动的充分进展是进入混沌状态。
进入混沌状态有哪些方式呢？这是非线性动力学研究中的一个重要问题。
本章将讨论通向混沌的倍周期分岔道路、阵发性混沌、同步与混沌、湍流道路、保守系统中的不规那么运动、电子电路中的混沌和操纵混沌与同步混沌等内容。
第一节 第一节 由倍周期分岔走向混沌前面已经见到，在平方映射等的数学模型中，在液氦对流实验等的动力学体系中普遍存在着倍周期分岔现象，说明倍周期分岔是许多非线性动力学进程中的常见的现象，也是进入混沌的一种重要方式。
本节先以平方映射为例，说明一个由单峰映射描述的动力学系统能够通过倍周期分岔，以费根鲍姆常数的收敛速度从周期运动走向混沌，接着以杜芬方程为例说明一个物理系统也可从倍周期分岔进入混沌的道路。
1. 平方映射的倍周期分岔道路上一章对平方映射的计算说明，随着参数μ的增加，平方映射发生一系列的倍周期分岔。
但是倍周期分岔将在一临界点c μ=…时终止，从c μ开始的大部份区域，每次迭代取得的值是随机地显现的。
图3-1是μ值为时的迭代情形。
由图可见每次迭代计算取得的n x 值既不趋向于零或稳固值，也不是重复，而变成随机地显现了，因此迭代计算能够无止境的延续下去，偶然地某个迭代值会出此刻先前取得过的某点周围但并无准确相同，于是在继续迭代计算中又专门快地分离开来了。
说明系统已从周期运动进入到了非周期运动或称混沌运动。
事实上上一章对平方映射的计算仅取了少数几个特殊的μ值，因此对平方映射通过倍周期分岔进入混沌尚未一个完整的印象，此刻利用运算机编写的程序，能够由小到大逐个对μ值进行计算。
图3-2的上部确实是平方映射通过倍周期分岔进入混沌的分岔图。
图3-2是从8.2=μ开始计算的，平方映射的分岔现象实际是在1=μ处开始的，从那个地址迭代由零值进入到单周期运动即显现了一次霍夫分岔；随后在＝3处开始了倍周期分岔，从那个地址先由单周期分岔为二周期，然后在＝处由二周期分岔为周围期，接着在处从周围期分岔为八周期，如此一直分岔下去，每次分岔运动周期增加一倍，一直到c μμ=为止。
《火焰之纹章：封印之剑》攻略第1章運命の息吹胜利条件：主角去“压制”上边的城堡。
攻略：GBA上的封印之剑系统与以前的纹章之谜很相似呢，也糅合了776的不少特点，相信玩过前两作的朋友会很容易上手。
另外它也没忘记系谱，高级职业的不同能力上限也不同，历代纹章中人物的支援关系仿照了系谱的恋爱特色，也需要慢慢培养才会使支援升级，而支援大大强化了，不仅仅是以前单纯的加命中率和回避率，而是能力真正上升，并且有着类似特技的设定。
虽然本作没有个人技能了，但是实际上还是有隐藏的技能存在的。
当然，追击和必杀已经是所有人物都能具备的共通技的^^好了，简单介绍了。
开始正题。
第一章，总是为了给玩的人上手练习用的^^，只要稍微注意，那就很轻松了。
查看人员，依然有两个护卫骑士，他们一般就要充当本章战斗主力喽~，アレン（阿伦）与ランス（兰斯）俗称为小红和小绿^^，前面是几个斧战士挡着，他们上去战时尽量使用剑进行攻击，武器相克性剑克斧，能够让自己多一分安全。
已经转职成圣骑士的老头マ-カス（马卡斯）一看就知道没什么用，是个快速移动的肉盾，先让他把铁剑交给主角，银枪也给小红或者小绿吧。
主角的西洋剑现在比较珍贵，尽量节省吧。
重骑士ボールス（波鲁斯）防御力很高，不过他是用枪的，容易被敌人的斧克制，用他挡一挡敌人到还可以，弓手ウォルト（沃尔特）一开始比较弱，他和主角应该尽量得到经验升级。
一开始，自身实力还不算厉害，所有人尽量聚集在一起，单打独斗一旦被围攻，很容易死亡的。
要小心敌人里的弓手，一开始还是有些棘手的。
注意上方村庄废墟前的山贼，这个职业的敌人是会破坏村子的，一定要抢先狙击了，不要让他破坏村子。
大家联手把冲下来的敌人解决了，只要相互协调好问题不会麻烦的，派个人去右边的村子里访问，可以得到5000G 的金钱，一开始我方还是比较穷的。
然后可以组织力量去进攻上方城堡了~将敌人一个个引下来，利用重骑士ボールス（波鲁斯）和マ-カス（马卡斯），让ボールス（波鲁斯）耗去敌人一些HP，然后其他人就容易对付了，当自己HP危险时，不要犹豫，使用伤药回复吧。
*《火焰纹章-封印之剑》攻略第1章運命の息吹胜利条件：主角去“压制”上边的城堡。
一开始，自身实力还不算厉害，所有人尽量聚集在一起，单打独斗一旦被围攻，很容易死亡的。
要小心敌人里的弓手，一开始还是有些棘手的。
注意上方村庄废墟前的山贼，这个职业的敌人是会破坏村子的，一定要抢先狙击了，不要让他破坏村子。
大家联手把冲下来的敌人解决了，只要相互协调好问题不会麻烦的，派个人去右边的村子里访问，可以得到5000G的金钱，一开始我方还是比较穷的。
然后可以组织力量去进攻上方城堡了~将敌人一个个引下来，利用重骑士ボールス（波鲁斯）和マ-カス（马卡斯），让ボールス（波鲁斯）耗去敌人一些HP，然后其他人就容易对付了，当自己HP危险时，不要犹豫，使用伤药回复吧。
对付BOSS小心点，让重骑士ボールス（波鲁斯）上去慢慢耗他的HP，ウォルト（沃尔特）和ランス（兰斯）进行远程攻击，ランス（兰斯）身上带着投枪！虽然站在城门会渐渐恢复HP，但BOSS总是受不了夹攻的，看他差不多了就给他致命一击吧。
主角进入城堡压制，第一章结束！第2章ベルンの王女胜利条件：主角去“压制”右边的城堡。
攻略：本章开始有了运输车，这是个新奇的设定，突出补给的重要性，这个叫マリナス（马利那斯）的运输车是没有任何攻击能力的，不过也不需要锻炼，因为他每受敌人一次攻击只得到1点经验-_-，还是乖乖的运输物品好了。
他可以将后备仓库的物品取出，以便其他人使用。
同时出现在本章的还有个僧侣エレン（艾莲），这次恢复HP有了保障了。
一开始让人去访问左上方村庄后可以得到一把斩铁剑，对重甲有特效，现在好好留着，砍斧战士就太浪费了。
组织一下，还是小红小绿当前锋，先把离我方最近的几个士兵给消灭，因为枪是克制剑的，那么自己也用枪去战斗好了，主角，弓手也一起跟进。
第2回合开始了，右边的敌人也开始出动了，此时我方支援部队也出现了，佣兵ディーク（迪克）这个时候还是比较强的，正好去占领旁边的岩地形，这样一边可以恢复HP，一边能增加一定的回避率和防御力，同时能暂时挡住右边的敌人。
火焰纹章烈火之剑图文攻略这是火花天龙剑的火纹版,内容很全,就是不太系统,没办法,论坛嘛,将就一下,可以发现攻略上没提到的技巧呀什么的,很棒的哦这是玩家网火纹的置顶帖,支援表和人物加入办法什么的里面都有,是中文的,这样一来攻略是日文中文就无所谓了嘛,反正都知道怎么打了中文的攻略我找不到完整的,这里只找到了前13章的,如下序章草原的少女加入同伴:琳(君主)-- 自动加入胜利条件:门制压身为旅人的紫苑倒在了萨卡草原的入口处,幸好被洛鲁卡族少女"琳"所救.突然外边一阵骚乱,琳出去看了一下,原来是贝伦的山贼越过高山来到萨卡草原,要袭击附近的村庄.琳勇敢地站了出来,要一人对付这些强盗.身受救命之恩,明月自然不能坐视不管,于是他自荐当起了军师.*第一场战斗是典型的教学篇,只有两个敌人又都不强,琳装备的还是克制斧头的剑,只要按照电脑提示进行下去就可轻松过关,可以熟悉一下游戏的基本*作. 战斗后,琳询问正在作军师修行的紫苑是否可以带她一起在"艾莱布"大陆旅行.琳的父亲是洛鲁卡的族长,半年前就和琳的母亲一起遭山贼杀害,整个部族也衰败了.琳为了给父亲报仇而想要变得更强,因此她想经历更多的修行.就这样,见习军师和年轻的女剑士踏上了他们的传奇之旅……第1章命运的足音胜利条件:敌全灭加入同伴:赛因セィン,肯特ケント (骑士)--- 自动加入为了整理旅行的装备,琳与紫苑来到了萨卡的交易都市"布鲁卡尔".但是他们并不知道,在这里的邂逅,将会对琳今后的命运产生多么深远的影响……琳正在选购物品,突然遇到一位骑士赛因前来搭讪,并自称是来自利基亚的情热之男出产地基雅兰キアラン.琳丢给他一句"是大傻瓜的出产地吧"之后就想走掉.赛因正要追上去,却被自己的同伴肯特叫住,训斥他任务在身还泡妞.忽然肯特觉得在那里见过琳,赛因则抗议说是他先瞄上琳的,让琳误会认为利基亚的骑士没有正经人,气哼哼的走了.之后肯特才想起来,琳就是他们这次的任务!琳走开后,突然感到一股强烈的杀气,一个面貌凶恶的大叔冒出来问她是否"琳迪斯"リンディス,并说为了赏金要取她性命.危急之时赛因和肯特赶到,成为仲间加入战斗.*这场战斗还是教学战,毫无难度,BOSS大叔的能力弱得简直为BOSS这个词抹黑,大家好心一些给他个痛快的吧.战斗后,肯特告诉琳,他们是来找人的,在16年前,有一名游牧民青年带走了基雅兰侯爵独生女マデリン玛迪琳,之后音信皆无.但今年却收到了玛迪琳的书信,说她在萨卡草原过着幸福的三口之家生活.侯爵也很高兴,并想见见自己的外孙女琳迪斯,因此派出他们前来寻找.肯特却在布鲁卡尔得知玛迪琳已去世,于是就开始寻找琳迪斯,并认出了与亡母画像极为相似的琳.肯特认为追杀琳的人是侯爵的弟弟ラングレン兰古雷派出来的.为了保护琳的安全,两名骑士护送琳前往基雅兰.第2章精灵之剑胜利条件:玉座制压在离布鲁卡尔不远的地方,有一个小祭坛,自古以来就被称为精灵栖息之地,是萨卡族的圣地.琳一行人也来到了这里,仿佛冥冥中被不可见的巨大力量所引导一般……离开布鲁卡尔,琳提出要去东边放有宝剑的祭坛,萨卡族在旅行前都要去那里祈求平安.但祭坛却突然被一群强盗占领,并要祭司交出收到精灵加护的宝剑マ—ニ.カティ.但强盗头却被精灵拒绝,无法将剑拔出鞘.另一方,琳在得知此情况后,赶往祭坛救助.*一开始先去访问南边的3个民家,骑士无法通过下边的山,但可打破祭坛左边有裂纹的墙壁突入.敌人还是一些软弱的山贼,只有boss古拉斯能力尚可,但使用装备铁枪的骑士仍可轻松搞定.胜利后琳救出祭司,祭司告诉她剑上有他的封印,不解开的话就拔不出剑.作为感激,可以让琳他们摸一下剑(太小气了,找打!),祈求旅途平安.谁知刚被琳碰到碰到宝剑就发出一阵光芒,祭司说琳被剑所选上,证据就是她可以拔出宝剑.结果宝剑应声而出,琳成为它的主人.另一方,基雅兰城.兰古雷对暗杀失败非常愤怒,又策划出了新的阴谋……第3章细小的佣兵团胜利条件:敌全灭同伴:弗洛丽娜フロリナ(天马骑士)--自动加入ウィル威尔 (弓箭手)--访问下方村庄道具:上边村庄--2000G从两名骑士口中得知自己的身世后,琳动身赶往西边的利基亚.横跨萨卡草原与贝伦的山脉潜藏着以臭名昭著的达拉比尔山贼团为首的很多山贼,他们既贪婪又残暴,贝伦与萨卡都深受其害.离开萨卡的第十天,琳亲眼目睹了他们的暴行. 琳来到一个荒废的村子,这都是达拉比尔山贼的所为,在山另一边的琳的部族也是被他们袭击而在一夜之间毁灭的,算上琳只有不到十人活了下来,琳决不原谅这些无血无泪的家伙!总有一天她要变得更强大再回来为大家报仇.赛因和肯特也表示他们一定会帮助琳.这时,几个山贼追赶着一位飞马骑士闯进了村子,琳赶去发现那名骑士是她的旧识伊利亚的见习天马骑士弗洛丽娜,为救好友,琳与山贼展开战斗.*战斗开始后敌人会毁坏村庄,应该派弗洛丽娜尽快访问,不过要小心弓箭手.BOSS攻击力较强,可配合威尔的远程攻击将其击倒.之后会让玩家记录,并进入后半段剧情艾利乌德篇一年后.在遥远的过去,人与龙之间曾发生过战争,后世称之为"人龙战役".有八位英雄击败了龙族的势力,将人类引向胜利.被人们称为"八神将"的英雄们给艾莱布大陆带来和平,人们又分成很多国家,缓慢平稳地走向繁荣.英雄哈尔特穆特建立了东方的勇武之国"贝伦王国";圣女艾莉美娜的名声则在西方的艺术之国"埃特鲁里亚"广为流传;在神骑兵巴诺恩所钟爱的草原上,纵横驰骋的游牧民们组成了"萨卡诸部族";骑士巴理甘的故乡伊利亚集结了很多佣兵成立起"伊利亚诸骑士团";狂战士特尔班则埋骨于聚集了乱暴者的未开之地"西方三岛";不毛之地"那巴塔沙漠"是大贤者阿托斯的隐居地;最后,以勇者罗兰为祖先的诸侯们结成了"利基亚同盟".艾莱布新历980年,长久以来大陆上所保持的安定开始有所动摇,在利基亚同盟之一,费莱侯爵领上空,正飘荡着不安的阴影.被人民所爱戴的名君,费莱侯艾尔巴特突然与麾下的骑士一起神秘失踪.其后一个月,开始出现他已经死亡的谣传.但是他的儿子却坚信父亲平安无事,并决定出发寻找父亲.他就是之后被称为利基亚的骑士的红发公子艾利乌德.他漫长的旅途,就从这里开始了……第11章旅行的开始胜利条件:门制压同伴:马卡斯マ-カス(圣骑士) 洛乌恩ロウエン(骑士) 蕾贝卡レベッカ(弓箭手)--初始加入 2回合巴阿托尔バアトル(斧战士)和多鲁卡斯于右上村落出现自动加入道具:龙之盾---右上村落艾利乌德告别母亲后就带着近卫骑士踏上寻找父亲的旅途,可出去雇佣士兵的洛乌恩却回来报告前边的村子遭到山贼袭击,还带来了前来求助的村长之女蕾贝卡以及正途经村庄的紫苑.以紫苑作为军师,艾利乌德一行火速前去解救村庄. *本关敌人较多,攻击力也不低,可充分利用地形效果与其战斗.敌方BOSS能力一般,大家一拥而上即可解决.消灭了山贼,艾利乌德从村长那里得知西方拉乌斯领的领主达兰ダレ—ン正在全力备战,这对邻国的费莱是一大威胁,尤其是领主和军队失踪之时.为了查明达兰的举动与自己父亲失踪之间的联系,艾利乌德等人赶往拉乌斯打探情报,紫苑也正式加入.第12章比翼之友胜利条件:敌全灭同伴:海克托尔ヘクトル(领主),奥兹因オズイン(重铠)--第3回合左上方自动加入道具:秘传书---上方村庄听到村长的情报后,艾利乌德动身前往拉乌斯领.从费莱到拉乌斯,中间要经过萨恩塔尔斯领,艾利乌德认为在去往奥斯提亚途中失去消息的父亲很可能也曾路过这里,因此他想去找领主详细地询问一下.萨恩塔尔斯城中,领主海尔曼正与一名神秘的紫袍魔道士谈论艾利乌德赶来这里的事情.海尔曼好像想隐瞒费莱侯的事情,但又无法对自己亲友的孩子撒谎,魔道士献策只要找些流氓把他吓跑就好.之后,艾利乌德突然遇到一伙流氓说要取他性命,双方开战.*敌人数量不少,小心不要让自军角色被敌人围攻.2回合后敌BOSS开始向下移动,他的攻击力较强但命中低,应派防御力或回避力高的人迎战.敌全灭后,海克托尔带来情报,最近有贝伦的暗杀集团在利基亚活动,有不少厉害的赏金猎人和佣兵都相继失踪了,而刚才关卡守卫见死不救的态度也也让人怀疑是否领主海尔曼出事了,因此他们急忙向萨恩塔尔斯城赶去,马修和塞拉也加入仲间.第13章寻求真实胜利条件:城门制压同伴:基ギィ(剑士)--用马修说得道具:松明---左上村庄(需砍倒古木方可到达) 爆弹---右方村庄外传进入条件:获得松明刚一踏进萨恩塔尔斯领就受到袭击的艾利乌德,因为从野党首领那里听说有人想要取他性命,而怀疑这件事会否与父亲的失踪有所关联.为了追寻事情的真相,艾利乌德一行人往萨恩塔尔斯侯海尔曼的居城进发.在海尔曼的居城,海尔曼责问魔道士为什么要杀害艾利乌德,并决定不再帮助"黑之牙"组织,把一切真相都告诉艾利乌德.紫袍魔道士轻蔑的笑着说"那么你也再没有用处了"而对其痛下杀手.城外,艾利乌德等人遇到一群山贼挑衅,双方立刻开战.*本章敌人数量不多,但会有援军从下方出现,不要冲得太过往前而被包围.敌方中的剑士基可用马修说得,但他手中握有必杀剑,贸然冲上去的话很有可能被他干掉,可以让马修先在右下的城处待机,下回合冲到他身边说得.为了节省必杀剑的使用,最好再给基预备一把剑.地图左上的村庄要砍倒古木才能到达,能得到进入外传的必要道具松明,还可以开辟通往城堡的另一条道路.BOSS重铠的攻防都较强,好在队中海克托尔等强力的斧战士是他的克星,圣骑士马卡斯也能对他造成不小的伤害,因此并不难对付.当战斗结束,艾利乌德进入居城的时候,海尔曼已经身受重伤,奄奄一息了.临终前,他后悔自己如果不把拉乌斯领主达兰的事情告诉艾尔巴特的话就不会令他陷入危险了,现在要找他的话就要到拉乌斯领去.在提醒艾利乌德要小心"黑之牙"之后,海尔曼辞世而去,艾利乌德又踏上了寻找父亲的旅途.祝游戏愉快\终章光冲破重重阻碍，经历了千辛万苦，甚至失去了亲人与朋友，现在终于到了将一切。
逻辑斯谛（Logistic）映射§4 从倍周期分定⾛向混沌4-1 逻辑斯谛（Logistic ）映射我们将以⼀个⾮常简单的数学模型来加以说明从倍周期分定⾛向混沌现象。
该模型称为有限环境中⽆世代交替昆⾍⽣息繁衍模型。
若昆⾍不加以条件控制，每年增加λ倍，我们将⼀年作为⼀代，把第⼏代的⾍⽇记为，则有：i N o i i i N N N 11++==λλ (4-1)i N ,1>λ增长很快，发⽣“⾍⼝爆炸”，但⾍⼝太多则会由于争夺有限⾷物和⽣存空间，以及由于接触传染导致疾病曼延，使⾍⼝数⽬减少，它正⽐于，假定⾍⼝环境允许的最⼤⾍⼝为，并令2i N o N oii N N x =，则该模型由⼀个迭代⽅程表⽰： 21i i i N N N λλ?=+即为：)1(1i i i x x x ?=+λ（4-2）其中：]4,0[],1,0[∈∈λi x 。
（4-2）式就是有名的逻辑斯谛映射。
4-2 倍周期分歧⾛向混沌借助于对这⼀⾮线性迭代⽅程进⾏迭代计算，我们可以清楚地看到⾮线性系统通过倍周期分岔进⼊混沌状态的途径。
（⼀）迭代过程迭代过程可以⽤图解来表⽰。
图4-1中的⽔平轴表⽰，竖直轴表⽰，抛物线表⽰（4-2）式右端的迭代函数。
45o线表⽰n x 1+n x n n x x =+1的关系。
由⽔平轴上的初始点作竖直线，找到与抛物线的交点，A 的纵坐标就是。
由点)0,(0x R ),(10x x A 1x),(10x x A 作⽔平直线，求它与45o线的交点，经B 点再作竖直线，求得与抛物线的交点，这样就得到了。
仿此做法可得到所迭代点。
),(11x x B ),(21x x 2x 从任何初始值出发迭代时，⼀般有个暂态过程。
但我们关⼼的不是暂态过程，⽽是这所趋向的终态集。
终态集的情况与控制参数λ有很⼤关系。
增加λ值就意味着增加系统的⾮线性的程度。
改变λ值，不仅仅改变了终态的量，⽽且也改变了终态的质。
它所影响的不仅仅是终态所包含的定态的个数和⼤⼩，⽽且也影响到终态究竟会不会达到稳定。
第三章 走向混沌的道路第五节 保守系统中的不规则运动1．可积与不可积系统2．扰动与KAM 定律现在研究如果系统受到扰动以后，它的环面将会发生些什么变化？设未受扰动的系统的运动是可积的，其哈密量为。
受扰动的系统的哈密量为： (3-5-21)式中是一无量纲的参数，它的大小决定了扰动的强度。
如果，表示扰动项很小。
假定扰动是周期的，T 为扰动周期，则有：(3-5-22)将展开成级数(3-5-23)为扰动频率，这里n,m 是某整数。
把式(3-5-23)代入运动方程(3-5-12)得： (3-5-24a)(3-5-24b)方程(3-5-24)解写成一般形式为：其中零级近似为：代入式(3-5-24)得一级近似： (3-5-25)(3-5-26)式(3-5-25)中，与相差一相位常因子。
式(3-5-25)的右边只是时间的函数，很容易积分：)(0I H ),,V(+)(0t I I ϑεH H =εε<<1T)+t ,,V(=t),,V(ϑϑI I V(t)I ,,ϑ∑−m n,nm )m n exp()(V =t),,V(t i i I I νϑϑν∑−−−=m n,nm )]m n (exp[)(nV 0=t i I i I νϑε∂ϑ∂H &])m n (exp[dI )(dV )(=mn,nm ∑−+=t i I I I νϑεω∂∂ϑH &L ++=)1()0(I I I εL++=)1()0(εϑϑϑconstI =)0(constt I +=)()0()0(ωϑ]}m )(n [exp{)(V n i m n,)0()0(nm)1(∑−−=t I i I I νω&∑−+=mn,)0()0(nm )1()0()1(]}m )(n [exp{dI )(dV )(t I i I I dI I d νωωϑ&nm V V nm(3-5-27)将式(3-5-27)代入式(3-5-26)得：积分得： (3-5-28)我们已经知道，系统的运动频率与I 有关，当在某个值上出现扰动频率与系统频率间的公度时，这有：或因为与有关，称为非线性共振。
于是可以看到，当发生非线性共振时，(3-5-27)和(3-5-28)两式中分式的分母等于零，得到发散得结果，这就是著名的小分母发散问题。
由此可见，扰动将对系统产生两种不同的影响。
一是当出现非线性共振时，一个很小的扰动可将导致有理环面发生重大改变，因为从相空间来看，共振相应于有理环面。
这是一个非常复杂的变化，我们将在下一小节作专门讨论。
二是非共振情况。
非共振相应于无理环面，这时扰动会对无理环面产生怎样的影响呢？这是动力学的一个基本问题，虽然历史上很多人企图回答这个问题，但是直到1954年才由前苏联数学家哥尔摩格洛夫(Kolmogorov)提出了一个环面不变定理，这一定理后来为阿诺德(Arnold)所证明，而美国数学家莫瑟(Moser)在某些条件下也证明了该定理。
因此现在常称该定理为KAM 定理。
不变环面守恒定理考虑的是一个近可积系统，即对一完全可积系统施加了一个很小的完全不可积扰动。
KAM 定理说：如果扰动很小，大多数非共振的不变环面并不消失，只是发生一些微小的变形。
满足 KAM 定理的绝大多数轨道，其运动仍然限制在N 维环面上，环面上的运动仍然是准周期的。
这些未被破坏的环称为KAM 环。
3. 有理环面破裂与同（异）宿结构现在回到非线性共振对有理环面的影响上来。
实际上(3-5-27)和(3-5-28)两式没有直接回答扰动是如何影响有理环面的。
这个问题可以用数学的方法来解决，为此需要利用图3-34中的庞加莱截面。
先说未受扰动时的情况。
在给定能面中取=常数的庞加莱截面上，诸轨线与该截面的交点处在以=常数的圆上。
一条轨线相继两次穿越截面的时间间隔为：const t i I +−−=∑])m (n exp[m -n V n m n,nm )1(νωνω]}m )(n [exp{dI V d m -n V n )0(m n,nm nm )1(t I i dId νωωνωϑ−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=∑&∑−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=m n,nm 2nm )1(])m (n exp[V m n 1)m -(n V n t i dI d dI d i νωνωωνωϑI r νω()I r 0=m )(n r νω−I )(r I m n ων=)(r I ωr I 2ϑ1I 2/2ωπ=Δt因此，每次的改变量为：于是就得庞加莱截面上点的运动是一二维映射，称为扭转映射：(3-5-29)当存在扰动时，扭映射变成，略去下标后有：(3-5-30)式中f 与g 由扰动项确定，但它的具体形式并不重要。
图3-34 在的作用下有理面发生破裂我们考察扭映射与对有理环面的作用。
为确定起见，我们研究绕卷数的有理环面，这里，n 与m 为不可约整数。
记该有理环面为，它是一个由映射的不动点组成的圆。
为了便于讨论，除以外，我们再考虑两条不变曲线，与，它们分别位于的两边。
在的作用下，圆上的点刚好转动，曲线上的点转动小于，曲线的点就转动大于。
因此看起来圆上的点是不动的，而圆上的点会在顺时针转动，圆上的点则在反时针转动。
现在看的作用。
可以设想，在扰动项很小的情况下，的作用不会改变与圆上点转动情况，顺时针仍作顺时针转动，反时针的仍作反时针转动。
于是可以想见，在每个常数的圆半径上，总存在着这样的点，它转动的角度刚好，它们只有径向运动而没有转动，将这些点连结起来，就构成了在的作用下的曲线。
除了的闭合曲线以外，还有的映像的闭合曲线。
由于这是保守系统，与曲线两者不仅保围的面积相等，而且相交，共有2m 个交点。
根据这些相交点附近点1ϑw t πω21=Δ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛111102I w I T πϑϑ0≠ε0T εT ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛),(),()(2I f I I g I w I T ϑεϑεπϑϑεV εεT 0T εT m n I W /)(=0ΓmT 00Γ+Γ−Γ0Γm T 00Γπ2+Γπ2−Γπ20Γ+Γ−Γm T εV εm T ε+Γ−Γ=ϑπ2mT εεΓεΓεΓ)(εεΓm T εΓ)(εεΓm T移动的走向，可以看到，其中一半是椭圆点，另一半是双曲点，它们相间地分布着如图3-34所示。
现在注意一下绕那些椭圆不动点附近的一些较小有理环面，这里是一些区域较小的规则运动。
在扰动作用下，它们也将受到破坏。
情况与上面讨论的相类似，扰动使其产生更高一级的椭圆不动点及围绕它们更较小一级的规则运动区。
如此的破坏过程还会继续发展下去，以至产生规则与不规则运动交织在一起的无穷堪套的自相似结构。
再注意一下扰动对双曲不动点附近产生出的影响。
我们回忆一下无阻尼单摆或负线性恢复力的杜芳方程的相图，在这些相图上可以发现，通常有四条流线通过双曲不动点，其中两条流向双曲点，另两条则背离双曲点。
在数学上这些流线称为不变曲线或流形(manifold)。
值得注意，在那些相图上的流线是真正的相轨线，与那些相图上的情况稍有差别，现在这些双曲点出现在环面的截面上，它们由截面上的点构成。
因为通过双曲点的是不变曲线，所以线上的点无论经过多少次映射都不会跑出该线。
人们将两条背离双曲点的流线称为稳定流形，两条流向双曲点的流线称为不稳定流形。
如果我们沿着一条稳定流形从双曲不动点O 出发，将会连接到的一条不稳定流形进入双曲点O 。
如果前后两个是不同的双曲点，则这样的双曲点称为异宿点(Heteroclinic point)，这是图3-34上的情况。
如果前后两个曲点是同一个点，则该双曲点称为同宿点(Homoclinic point)，如图3-35所示；现在考察系统受到小幅度周期性扰动时的同宿点情况，其实异宿点情况与此相似。
一般来说代表点沿着稳定流形离开双曲点后，不太可能连接到的不稳定流形而进入双曲点，可能性最大的时与不稳定流形发生相交。
一旦发生相交，则从交点的流线方向上可以看出，它们具有与同宿点或异宿点相同的特点：即出现两条流入流线与两条流出流线，但是它们不是不动点。
由于映射是连续的，于是在双曲不动点O 外，会产生一系列的新同宿点，而且，必然要反复作用无限次数才能沿着接近到双曲不动点O 。
因此，在到达双曲不动点O 以前，流线与交叉产生的异宿点会越来越密，总共会出现无限多个。
再者，由于是保守系统，与相继两次交叉所包围的面积应该是一个定值，这使得越趋近双曲不动点O ，在新产生的同宿点会越来越密的同时振荡幅度越来越大，如图3-35b 所示。
另一方面，不稳定流形在负映射作用下趋向双曲不动点，同样由于与稳定流形的交叉而产生一系列的同宿点，也会在接近双曲不动点O 时出现幅度越来越大的振荡，如图3-35c 所示。
当我们同时考虑对，对的作用时，我们将得到双曲不动点O 附近异常复杂的结构，这种复杂结构被称为同宿结构，如图3-35d 所示。
图3-36为异宿结构图，图中的G 为G'两个异宿点。
s w u w s w u w s w u w mT εm T εs w s w u w s w u w s w u w s T −εs w s T εs w s T −εu w图3-35 同宿结构4. 阿诺德扩散现在综合考虑扰动对二维环面运动的影响。
在不可积的扰动作用下，假定扰动足够小，则那些无理环面仍然可以保持，称为KAM环面，而有理环面则会发生破裂，产生出一系列新的椭圆不动点与双曲不动点。
新产生椭圆不动点在扰动的连续作用下，又继续产生出更小一级的椭圆不动点与双曲不动点；而在双曲不动点附近，则由通过不动点的稳定的与不稳定的流形形成复杂无比的异宿结构，如图3-37所示。
这些复杂的异宿结构是二维环面上的非规则运动区。
由图可见，KAM环面将环面上的规则的与非规则的运动区域分隔开来，因此在整个环面上共存了规则的与非规则的运动。
图3-37 不可积系统相空间的规则与非规则运动但是，二维环面上KAM 环面将规则的与非规则的运动分隔开来的结论能否适用于高维空间？如果能够，则KAM 环面将可成为等能面的边界，它们对那些不满足KAM 定理的导致不规则运动的少数轨道（即不稳定轨道）起限制作用，使其不能扩散到整个空间，于是不规则运动将限制于一个局部区域之内。
只要扰动足够小，系统在整体上仍是稳定的。
我们知道，N 个自由度的系统具有2N 维的相空间和2N －1维的等能面。
因此等能面的边界应是2N －2维的超曲面。
N 维环面要成为等能面的边界，需要满足：N ≥2N －2可见只有N ≤2的系统，它们的环面才有可能把等能面包围起来或分割成几个部分。
对于N ≥3的系统，不会满足这样条件。
