【全程复习方略】(广西专用)版高中数学 2.6指数、指数函数课时提能训练 理 新人教A版

【全程复习方略】（广西专用）高中数学 2.7对数、对数函数课时提能训练 理 新人教A 版(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.已知函数f(x)满足f(x 6)＝log 2x ，那么f(32)等于( ) (A)5 (B)8 (C)56 (D)232.(预测题)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x x≥4f(x ＋1) x ＜4，则f(2＋log 23)的值为( )(A)124 (B)112 (C)16 (D)133.(易错题)若log a (a 2＋1)＜log a (2a)＜0，则a 的取值范围是( ) (A)(0,1) (B)(0，12)(C)(12，1) (D)(0,1)∪(1，＋∞)4.(·重庆高考)设a ＝131log 2，b ＝132log 3，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是( )(A)a ＜b ＜c (B)c ＜b ＜a(C)b ＜a ＜c (D)b ＜c ＜a5.函数f(x)＝1＋log 2x 和g(x)＝21＋x在同一直角坐标系下的图象大致是( )6.若5a ＝2b ＝10c，且abc≠0，则c a ＋c b等于( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 二、填空题(每小题6分，共18分)7.设a ＝13(lg16＋log 525－lg 15)－lg0.2，b ＝(lg2)2＋lg2lg50＋lg25，则a －b ＝ .8.(·长春模拟)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2t x(x ＜2)log t (x 2－1) (x≥2)，若f(2)＝1，则f(f(5))＝ .9.(·温州模拟)函数f(x)＝12log (x 2－2x －3)的单调递增区间是 .三、解答题(每小题15分，共30分)10.(1)计算32lg5lg8000(lg2)11lg600lg0.036lg0.122⋅+--；(2)已知log a x ＋log c x ＝2log b x 且x≠1， 求证：c 2＝()a log bac .11.已知y ＝f(x)＝log 4(2x ＋3－x 2). (1)求定义域；(2)求f(x)的单调区间；(3)求y 的最大值，并求取得最大值的x 值. 【探究创新】(16分)已知函数f(x)＝lg(a x－b x)(a ＞1＞b ＞0). (1)求y ＝f(x)的定义域；(2)在函数y ＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴；(3)当a ，b 满足什么条件时，f (x)在(1，＋∞)上恒取正值. 答案解析1.【解析】选C.设t ＝x 6，则x ＝16t ，∴f(t)＝log 216t ＝16log 2t.∴f(32)＝16log 232＝56，故选C. 2.【解析】选A.因为2＋log 23＜4，所以f(2＋log 23)＝f(3＋log 23)， 而3＋log 23＞4， 所以f(2＋log 23)＝23+log 31()2＝18×2log 31()2＝18×13＝124. 3.【解析】选C.∵a 2＋1＞2a ，又log a (a 2＋1)＜log a (2a)＜0，∴0＜a ＜1，又log a (2a)＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜12a ＞1，解得12＜a ＜1.【误区警示】本题易忽视log a (2a)＜0这一条件，而误选A ，致误原因是只保证式子有意义，而未保证不等式的成立. 4.【解题指南】先根据对数运算性质化成同底数的形式，再借助对数函数的性质进行比较.【解析】选B.由对数函数的性质知c ＝log 343＝133log 4，由对数函数的单调性知111333321log <log <log 432，即c ＜b ＜a.【变式备选】若3a ＝log 2sin 13，3b ＝13log b ，(13)c ＝log 3c ，则( )(A)a ＞b ＞c (B)b ＞c ＞a (C)c ＞b ＞a (D)b ＞a ＞c 【解析】选C.∵0＜sin 13＜1，∴log 2sin 13＜0，得a ＜0，由函数y ＝3x和y ＝13log x 的图象可知，在同一坐标系下，其交点的横坐标属于区间(0,1)，即b ∈(0,1)，由函数y ＝(13)x和y ＝log 3 x 的图象可知，在同一坐标系下，其交点的横坐标属于区间(1，＋∞)，即c ＞1，因此c ＞b ＞a.5.【解析】选D.由f(x)的图象过点(1,1)，g(x)的图象过点(－1,1)，可排除A 、B 、C 选项.【变式备选】已知函数f(x)＝log a (x ＋b)的大致图象如图，其中a 、b 为常数，则函数g(x)＝a x＋b 的大致图象是( )【解析】选B.由图象可知，f(x)为减函数且0＜f(0)＜1，故0＜a ＜1,0＜b ＜1，∴g(x)为减函数且g(0)＞1，故选B.6.【解题指南】将指数形式转化为对数形式，将5a＝c210和2b＝c 210两边同时取对数分别求出c a 与cb的值，然后利用对数的运算法则求解.【解析】选C. ∵5a＝c 210，∴lg5a＝c 2lg10，即alg5＝c 2，得ca ＝2lg5.同理cb＝2lg2，∴c a ＋cb＝2lg5＋2lg2＝2lg10＝2. 7.【解题指南】先对a 、b 进行化简再比较大小.由于涉及的是常用对数，且a 、b 中都出现有lg2和lg5，化简中除要用到一般对数的运算性质外，还要特别注意利用常用对数的一个性质lg2＋lg5＝lg10＝1. 【解析】a ＝13(lg16＋log 552－lg5－1)－lg5－1＝13(lg24＋2＋lg5)＋lg5＝13(4lg2＋4lg5＋2)＝13(4lg10＋2)＝2， b ＝(lg2)2＋lg2lg(2×52)＋lg52＝2(l g2)2＋2lg2lg5＋2lg5 ＝2lg2(lg2＋lg5)＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2. ∴a －b ＝2－2＝0. 答案：0【方法技巧】对数的化简技巧(1)对于同底的对数的化简，常用方法有：①“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).(2)对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题. (3)对于有多重对数符号的对数的化简，应从内到外逐层化简求值.(4)在计算真数是“ ± ”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”.8.【解析】因2≥2，所以f(2)＝log t (22－1)＝log t 3＝1，解得t ＝3.因为5＞2，所以f(5)＝log 3[(5)2－1]＝log 34，显然log 34＜log 39＝2，故f(f(5))＝f(log 34)＝2×3log 43＝2×4＝8.答案：89.【解析】作出真数对应的函数g(x)＝x 2－2x －3＞0的图象(如图所示)，∵底数12∈(0,1)，∴f(x)＝12log g(x)是减函数，而g(x)的递减区间为(－∞，－1)，∴f(x)＝12log g(x)的单调递增区间是(－∞，－1).答案：(－∞，－1)10.【解析】(1)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3； 分母＝(lg6＋2)－lg361 000×110＝lg6＋2－lg 6100＝4，∴原式＝34.(2)log a x ＋log a x log a c ＝2log a xlog a b ，∵x ≠1，∴log a x ≠0，∴1＋1log a c ＝2log a b ⇒2log a c ＝(log a c ＋1)log a b ，∴log a c 2＝log a (ac)·log a b ＝log a ()a log bac ，∴c 2＝()a log bac .11.【解析】(1)由真数2x ＋3－x 2＞0，解得－1＜x ＜3. ∴定义域是{x|－1＜x ＜3}.(2)令u ＝2x ＋3－x 2，则u ＞0，y ＝log 4u. 由于u ＝2x ＋3－x 2＝－(x －1)2＋4，考虑到定义域，其增区间是(－1,1]，减区间是[1,3).又y ＝log 4u 在u ∈(0，＋∞)上是增函数，故该函数的增区间是(－1,1]，减区间是[1,3). (3)∵u ＝2x ＋3－x 2＝－(x －1)2＋4≤4， ∴y ＝log 4(2x ＋3－x 2)≤log 44＝1.∴当x ＝1，u 取得最大值4时，y 取得最大值1. 【探究创新】【解题指南】(1)利用求函数定义域的方法求解；(2)(3)利用函数的单调性即可判断. 【解析】(1)由a x －b x＞0得(a b )x ＞1，且a ＞1＞b ＞0，得ab ＞1，所以x ＞0，即f(x)的定义域为(0，＋∞).(2)不存在.任取x 1＞x 2＞0，a ＞1＞b ＞0，则12xx a a ＞，12x xb b ＜，所以1xa －1xb ＞2xa －2xb ＞0，即lg(1xa －1xb )＞lg(2xa －2xb )，故f(x 1)＞f(x 2)，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数；假设函数y ＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，使过这两点的直线平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f(x)是增函数矛盾.故函数y ＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过这两点的直线平行于x 轴. (3)因为f(x)是增函数，所以当x ∈(1，＋∞)时，f(x)＞f(1). 这样只需f(1)＝lg(a －b)≥0，即当a ≥b ＋1时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值.。

【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 单元评估检测(六)课时提能训练 理 新人教A 版(第六章) (120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知不等式|x －12|≤32的解集为A ，函数y ＝lg(4x －x 2)的定义域为B ，则A∩B＝( )(A)[1,4) (B)[－1,0) (C)[2,4) (D)(0,2] 2.不等式2x >－3的解集是( )(A)(－∞，－23)(B)(－∞，－23)∪(0，＋∞)(C)(－23，0)∪(0，＋∞)(D)(－23，0)3.(2012·柳州模拟)当x 是正实数时，下列各函数中，最小值是2的是( ) (A)y ＝x 2－2x ＋4 (B)y ＝x ＋16x(C)y ＝x 2＋2＋1x 2＋2(D)y ＝x ＋1x4.(预测题)设f(x)＝lg(21－x ＋a)是奇函数，则使f(x)<0的x 的取值范围是( )(A)(－1,0) (B)(0,1)(C)(－∞，0) (D)(－∞，0)∪(1，＋∞)5.(2012·北海模拟)函数y ＝f(x)的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图)，则不等式f(x)<f(－x)＋2x 的解集为( )(A){x|－22<x<0或22<x≤1} (B){x|－1≤x<－22或22<x≤1} (C){x|－1≤x<－22或0<x<22} (D){x|－22<x<22且x≠0} 6.对一切实数x ，不等式x 2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) (A)[－2，＋∞) (B)(－∞，－2) (C)[－2,2] (D)[0，＋∞)7.(2012·南宁模拟)已知f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝x ＋4x ，且当x∈[－3，－1]时， n≤f(x)≤m 恒成立，则m －n 的最小值是( ) (A)13 (B)23 (C)43(D)1 8.已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x<0x －1，x≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f(x ＋1)≤1的解集是( )(A)[－1，2－1] (B)(－∞，1](C)(－∞，2－1] (D)[－2－1，2－1] 9.函数f(x)＝2＋x x －1的定义域为集合A ，关于x 的不等式(12)2x >2－a －x(a∈R)的解集为B ，若A∩B＝B ，则实数a 的取值范围为( )(A)[0，＋∞) (B)[2，＋∞) (C)(－∞，－2] (D)(－∞，0]10.(2012·梧州模拟)已知函数f(x)＝2x 的反函数为y ＝f －1(x)，若f －1(a)＋f －1(b)＝4，则1a ＋4b 的最小值为( )(A)54 (B)94 (C)916(D)1 11.半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA ＋PB )·PC 的最小值为( ) (A)92 (B)9 (C)－92(D)－9 12.已知函数f(x)＝2x 2＋(4－m)x ＋4－m ，g(x)＝mx ，若对于任一实数x ，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( )(A)[－4,4] (B)(－4,4) (C)(－∞，4) (D)(－∞，－4)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13.已知－1<2x －1<1，则2x －1的取值范围为 .14.若不等式x 2－2ax ＋a>0对x∈R 恒成立，则关于t 的不等式a2t ＋1<2t 2t 3a ＋－的解集为 .15.(2012·西安模拟)设正数x 、y 、z 满足(x ＋y)(x ＋z)＝2，则xyz·(x＋y ＋z)的最大值是 . 16.(易错题)已知关于x 的不等式2x ＋a2x ＋a<2的解集为A ，若1A ，则实数a 的取值范围为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0.18.(12分)已知f(x)＝|x|＋|x －3|，若不等式f(x)>a －x 恒成立，求实数a 的取值范围.19.(12分)已知点M(x 1，f(x 1))是函数f(x)＝1x ，x∈(0，＋∞)图象C 上的一点，记曲线C 在点M 处的切线为l .(1)求切线l 的方程；(2)设l 与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B ，求△AOB 周长的最小值(O 为坐标原点). 20.(12分)已知x>0，y>0，z>0，x ＋y ＋z ＝1，求证：x 2x ＋y ＋y 2y ＋z ＋z 2z ＋x ≥12.21.(12分)(2012·桂林模拟)已知函数f(x)＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a. (1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.22.(12分)(2011·广东高考)设b>0，数列{a n }满足a 1＝b ，a n ＝nba n －1a n －1＋2n －2(n≥2)，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n ，a n ≤bn ＋12n ＋1＋1.答案解析1.【解析】选D.|x －12|≤32⇒－32≤x －12≤32⇒－1≤x ≤2，y ＝lg(4x －x 2)的定义域为B ＝{x|4x －x 2>0}＝{x|0<x<4}.∴A ∩B ＝{x|0<x ≤2}.2.【解析】选B.2x ＞－3⇒2＋3x x >0⇒x>0或x<－23.3.【解析】选D.当x ∈(0，＋∞)时，y ＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3≥3(当x ＝1时取等号)， y ＝x ＋16x ≥8(当x ＝4时取等号)，y ＝x 2＋2＋1x 2＋2>2， y ＝x ＋1x≥2(当x ＝1时取等号).4.【解题指南】先根据奇函数的性质求出a 的值，再解不等式. 【解析】选A.∵f(x)为奇函数， ∴对任意x 有lg(21－x ＋a)＝－lg(21＋x ＋a) 即21－x ＋a ＝121＋x＋a 整理得(2＋a)2－a 2x 2＝1－x 2∴⎩⎪⎨⎪⎧(2＋a)2＝1－a 2＝－1解得a ＝－1，∴f(x)＝lg x ＋11－x ，由f(x)<0得0<x ＋11－x <1，∴－1<x<0.5.【解析】选A.由原题图知f(x)是奇函数， ∵f(x)<－f(x)＋2x ，∴2f(x)<2x ，∴f(x)<x. 又∵在半径为1的圆弧上，当x ＝±22时，f(x)＝x ，由数形结合可知，解集为A. 6.【解析】选A.当x ＝0时，对任意实数a ，不等式都成立；当x ≠0时， a ≥－x 2＋1|x|＝－(|x|＋1|x|)＝f(x)，问题等价于a ≥f(x)max ，∵f(x)max ＝－2，故a ≥－2.综上可知，a 的取值范围是[－2，＋∞). 7.【解析】选D.设x<0，则－x>0， ∴f(－x)＝－(x ＋4x).又y ＝f(x)是偶函数， ∴f(x)＝f(－x)＝－(x ＋4x).当x ∈[－3，－1]时，f(x)在x ∈[－3，－2]上为减函数，在x ∈[－2，－1]上为增函数， 所以4＝f(－2)≤f(x)≤f(－1)＝5.要使当x ∈[－3，－1]时，n ≤f(x)≤m 恒成立，则m －n 的最小值是5－4＝1.8.【解析】选C.当x ＋1<0即x<－1时，不等式x ＋(x ＋1)f(x ＋1)≤1⇒x ＋(x ＋1)[－(x ＋1)＋1]≤1⇒x 2＋1≥0，∴x<－1时不等式成立.当x ＋1≥0即x ≥－1时，不等式x ＋(x ＋1)f(x ＋1)≤1⇒x ＋(x ＋1)[(x ＋1)－1]≤1⇒x 2＋2x －1≤0，解得－1－2≤x ≤－1＋2，∴－1≤x ≤－1＋ 2. 综上：不等式的解集为(－∞，2－1].9.【解析】选C.由2＋xx －1≥0且x －1≠0，解得x ≤－2或x>1，于是A ＝(－∞，－2]∪(1，＋∞). (12)2x >2－a －x ⇒(12)2x >(12)a ＋x ⇒2x<a ＋x ⇒x<a ， 所以B ＝(－∞，a).因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，所以a ≤－2. 即a 的取值范围是(－∞，－2].10.【解析】选D.由题意，得f －1(x)＝log 2x. ∴f －1(a)＋f －1(b)＝log 2a ＋log 2b ＝4(a>0，b>0)， ∴ab ＝16， ∴1a ＋4b≥24ab＝214＝1. 当且仅当1a ＝4b，即a ＝2，b ＝8时“＝”成立.11.【解析】选C.由题意(PA ＋PB )·PC ＝2PO ·PC ，由于P ，O ，C 三点共线，所以PO ·PC ＝－|PO |·|PC |＝－|PO |·(3－|PO |)≥－(|PO |(3|PO |)2+-)2＝－94，当且仅当|PO |＝3－|PO |，即|PO |＝32，P 为半径OC 的中点时等号成立，此时(PA ＋PB )·PC 取得最小值－92，故选C.12.【解析】选C.当m ＝0时，f(x)＝2x 2＋4x ＋4，g(x)＝0，∵f(x)＝2(x 2＋2x ＋2)＝2(x ＋1)2＋2>0， ∴m ＝0符合题意.若m<0，在x<0时，g(x)>0；在x ≥0时，g(x)≤0， ∴需要f(x)＝2x 2＋(4－m)x ＋4－m>0在[0，＋∞)上恒成立. ∵m －44<0，∴f(0)＝4－m>0，∴m<4， ∴m<0符合题意.若m>0，在x>0时，g(x)>0；在x ≤0时，g(x)≤0， ∴需使f(x)＝2x 2＋(4－m)x ＋4－m>0在(－∞，0]上恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －44≤0，Δ＝(4－m)2－8(4－m)<0，或⎩⎪⎨⎪⎧m －44>0，f(0)＝4－m>0，∴0<m<4，综上可知m<4.13.【解析】由－1<2x －1<1可得0<x<1，故2x >2，所以2x －1>1.答案：(1，＋∞)14.【解题指南】利用恒成立求得a 的范围，再利用指数函数的单调性将指数不等式转化为整式不等式求解.【解析】由x 2－2ax ＋a>0对x ∈R 恒成立得 Δ＝4a 2－4a<0，即0<a<1，∴函数y ＝a x是R 上的减函数，∴2t ＋1>t 2＋2t －3. 解得－2<t<2. 答案：(－2,2)15.【解析】∵(x ＋y)(x ＋z)＝2，∴x 2＋xy ＋xz ＝2－yz>0.∴xyz(x ＋y ＋z)＝yz(x 2＋xy ＋xz)＝yz(2－yz)≤(yz ＋2－yz 2)2＝1.当且仅当yz ＝2－yz 即yz ＝1时取等号. 答案：1 16.【解题指南】1A 等价于x ＝1时，不等式2x ＋a2x ＋a<2不成立.【解析】由1A 得2＋a 21＋a≥2或1＋a ＝0，即a 2－2a 1＋a ≥0或a ＝－1，解得－1<a ≤0或a ≥2或a ＝－1，即－1≤a ≤0或a ≥2. 答案：－1≤a ≤0或a ≥2【方法技巧】不等式不成立时参数的求解方法(1)x ＝a 时不等式f(x)g(x)<h(x)不成立有两种可能：①x ＝a 时不等式f(x)g(x)<h(x)本身无意义；②f(a)g(a)≥h(a). (2)由于f(x)g(x)<h(x)⇔f(x)－g(x)h(x)g(x)<0⇔g(x)[f(x)－g(x)h(x)]<0，故x ＝a 时不等式f(x)g(x)<h(x)不成立等价于g(x)[f(x)－g(x)h(x)]<0不成立，这样可使解答过程变得简单.如本题2x ＋a 2x ＋a <2⇒a 2－2a x ＋a<0⇒a(x ＋a)(a －2)<0，因此由1A 得a(1＋a)(a －2)≥0，即－1≤a ≤0或a ≥2.17.【解题指南】注意对参数a 的讨论，注意分类的标准，要做到不重不漏. 【解析】原不等式可化为(7x ＋a)(8x －a)<0， 即(x ＋a 7)(x －a8)<0.①当－a 7<a 8，即a>0时，－a 7<x<a8；②当－a 7＝a8，即a ＝0时，原不等式解集为Ø；③当－a 7>a 8，即a<0时，a 8<x<－a 7.综上可知：当a>0时，原不等式的解集为{x|－a 7<x<a8}；当a ＝0时，原不等式的解集为Ø；当a<0时，原不等式的解集为{x|a 8<x<－a7}.18.【解析】不等式f(x)＞a －x 即a ＜f(x)＋x. f(x)＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ＜0，x ＋3，0≤x ＜3，3x －3，x ≥3.当x ＜0时，f(x)＋x 的取值范围是(3，＋∞)； 当0≤x ＜3时，f(x)＋x 的取值范围是[3,6)； 当x ≥3时，f(x)＋x 的取值范围是[6，＋∞). 所以f(x)＋x 的取值范围是[3，＋∞)，因此，使不等式f(x)＞a －x 恒成立的a 的取值范围是(－∞，3).19.【解析】(1)f ′(x)＝－1x 2，∴k ＝f ′(x 1)＝－1x 21.∴切线方程为y －1x 1＝－1x 21(x －x 1)，即y ＝－1x 21x ＋2x 1.(2)在y ＝－1x 21x ＋2x 1中，令y ＝0得x ＝2x 1，∴A(2x 1,0).令x ＝0，得y ＝2x 1，∴B(0，2x 1).∴△AOB 的周长m ＝2x 1＋2x 1＋(2x 1)2＋(2x 1)2.∴m ＝2(x 1＋1x 1＋x 21＋1x 21)，x 1∈(0，＋∞).令t ＝x 1＋1x 1，∵x 1∈(0，＋∞)，∴t ≥2.∴当t ＝2，即x 1＝1时，m 最小＝2(2＋2). 故△AOB 周长的最小值是4＋2 2.20.【证明】∵x>0，y>0，z>0，x ＋y ＋z ＝1 ∴x 2x ＋y ＋y 2y ＋z ＋z 2z ＋x ＝12×2×(x 2x ＋y ＋y 2y ＋z ＋z 2z ＋x) ＝12[(x ＋y)＋(y ＋z)＋(z ＋x)]×(x 2x ＋y ＋y 2y ＋z ＋z 2z ＋x) ＝12[x 2＋y 2＋z 2＋(x ＋y y ＋z y 2＋y ＋z x ＋y x 2)＋(x ＋y z ＋x z 2＋z ＋x x ＋y x 2)＋(y ＋z z ＋x z 2＋z ＋x y ＋z y 2)] ≥12(x 2＋y 2＋z 2＋2xy ＋2zx ＋2yz) ＝12(x ＋y ＋z)2＝12. 【方法技巧】“1”的代换运用基本不等式求最值或证明不等式时，常利用已知条件巧换“1”，即把“1”代换成一个复杂的式子，变形(如乘开等)创造利用基本不等式的条件.如已知a ，b ∈正实数且a ＋b ＝2，求1a ＋1b 的最小值，其解法为：1a ＋1b ＝(1a ＋1b )·12(a ＋b)＝12(2＋b a ＋a b )≥12(2＋2)＝2，当且仅当a ＝b ＝1时，“＝”成立，∴1a ＋1b 的最小值为2.21.【解析】(1)f ′(x)＝－3x 2＋6x ＋9. 令f ′(x)<0，解得x<－1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞).(2)因为f(－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ，f(2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a. 所以f(2)>f(－2)，因为在(－1,3)上f ′(x)>0，在[－2，－1)上f ′(x)<0，所以f(x)在[－1,2]上单调递增，在[－2，－1)上单调递减，因此f(2)和(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值.于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2. 故f(x)＝－x 3＋3x 2＋9x －2. 因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7.即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.22.【解析】(1)方法一：由a n ＝nba n －1a n －1＋2n －2可得n a n ＝2b ·n －1a n －1＋1b，当b ＝2时，n a n ＝n －1a n －1＋12，则数列{n a n }是以1a 1＝12为首项，12为公差的等差数列，∴n a n ＝n2，从而a n ＝2. 当b ≠2时，n a n ＋12－b ＝2b (n －1a n －1＋12－b)，则数列{n a n ＋12－b }是以1a 1＋12－b ＝2b(2－b)为首项，2b为公比的等比数列， ∴n a n ＋12－b ＝2b(2－b)·(2b )n －1＝12－b ·(2b )n ， ∴a n ＝nb n(2－b)2n －bn， 综上a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，(b ＝2)nb n(2－b)2n －bn，(b>0，b ≠2).方法二： 当b ＝2时，n a n ＝n －1a n －1＋12，则数列{n a n }是以1a 1＝12为首项，12为公差的等差数列，∴n a n ＝n2，从而a n＝2.当b ≠2时，a 1＝b ，a 2＝2b 2b ＋2＝2b 2(b －2)b 2－22，a 3＝3b 3b 2＋2b ＋4＝3b 3(b －2)b 3－23，猜想a n ＝nb n (b －2)b n －2n，下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，猜想显然成立；②假设当n ＝k 时，a k ＝kb k(b －2)b k －2k成立，则 a k ＋1＝(k ＋1)b ·a k a k ＋2k ＝(k ＋1)b ·kb k(b －2)kb k (b －2)＋2k(b k －2k )＝(k ＋1)b k ＋1(b －2)b k ＋1－2k ＋1， 所以当n ＝k ＋1时，猜想成立， 由①②知，∀n ∈N *，a n ＝nb n(b －2)b n －2n. 综上a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，(b ＝2)nb n(b －2)b n －2n，(b>0，b ≠2)(2)当b ＝2时，a n ＝2，bn ＋12n ＋1＋1＝2，∴a n ＝bn ＋12n ＋1＋1，从而原不等式成立；当b ≠2时，要证a n ≤b n ＋12n ＋1＋1，只需证nb n(2－b)2n －b n ≤b n ＋12n ＋1＋1，即证n(2－b)2n －b n ≤b 2n ＋1＋1b n ，即证n 2n －1＋2n －2b ＋2n －3b 2＋…＋2b n －2＋b n －1≤b 2n ＋1＋1bn ，即证n ≤2n －1b n ＋2n －2b n －1＋2n －3b n －2＋…＋2b 2＋1b ＋b 22＋b 223＋…＋b n －12n ＋bn2n ＋1，而上式右边＝(2n －1b n ＋b n2n ＋1)＋(2n －2b n －1＋b n －12n )＋…＋(2b 2＋b 223)＋(1b ＋b22)>22n －1b n ·bn2n ＋1＋22n －2b n －1·bn －12n ＋…＋22b 2·b223＋21b ·b22＝n. ∴当b ≠2时，原不等式也成立，从而原不等式成立.【变式备选】(2012·柳州模拟)已知函数f(x)＝2(ln 1＋x ＋12x 2)－ax ，其中a 为常数.(1)若f(x)在(0,1)上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)在(1)的条件下求证：122＋232＋…＋n －1n 2<ln n ＋12.【解析】(1)由题意x ∈(－1，＋∞)且f ′(x)＝2x －a ＋1x ＋1因为f(x)在(0,1)上单调递增，所以f ′(x)＝2x －a ＋1x ＋1≥0在(0,1)上恒成立.即a ≤2x ＋1x ＋1＝2(x ＋1)＋1x ＋1－2在(0,1)上恒成立.∵2(x ＋1)＋1x ＋1－2>1，∴a ≤1.(2)由(1)有当a ＝1时f(x)在(0,1)上单调递增，∴f(x)>f(0)⇒ln(x ＋1)>x －x 2，令x ＝1n ∈(0，12]⊆(0,1)(n ≥2)， 所以ln(1n ＋1)>1n －1n 2⇒ln n ＋1n >n －1n 2， ∴n 2k 2k 1k =-∑＝122＋232＋…＋n －1n 2<ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋1n ＝ln n ＋12.。

【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 阶段滚动检测(三)课时提能训练 理 新人教A 版第一～八章 (120分钟 150分) 第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2012·河池模拟)已知圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x ＋6y ＋14＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( )(A)x －2y ＋1＝0 (B)2x －y －1＝0 (C)x －y ＋3＝0 (D)x －y －3＝02.(滚动单独考查)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，a 2＋a 4＝0，则公差d 为( )(A)1 (B)－3 (C)－2 (D)33.(2012·南宁模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为( ) (A)(－1,0) (B)(1,0) (C)(2,0) (D)(－2,0)4.(滚动交汇考查)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则此双曲线的离心率为( )(A) 1.5 (B)2 (C)3.5 (D)45.设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m>0，n>0)的焦点在抛物线y 2＝8x 的准线上，离心率为12，则椭圆的方程为( )(A)x 212＋y 216＝1 (B)x 216＋y212＝1 (C)x 248＋y 264＝1 (D)x 264＋y248＝1 6.在数列{a n }中，a n ＝2n －7，则当前n 项和取得最小值时的n 的值等于( ) (A)3 (B)4 (C)3或4 (D)4或57.椭圆x 26＋y 22＝1与双曲线x 23－y2b 2＝1有公共的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则cosF 1PF 2＝( )(A)34 (B)14 (C)13 (D)238.(滚动交汇考查)若直线ax －by ＋2＝0(a>0，b>0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值是( ) (A)2＋32 (B)22＋3(C)3 (D)139.(滚动单独考查)(2012·百色模拟)已知等比数列{a n }的公比q ＝2，其前4项和S 4＝60，则a 2等于( ) (A)8 (B)6 (C)－8 (D)－610.已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q(2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ) (A)(14，－1) (B)(14，1)(C)(1,2) (D)(1，－2)11.已知F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点， M 为双曲线上除顶点外的任意一点，且△F 1MF 2的内切圆交实轴于点N ，则|F 1N|·|NF 2|的值为( )(A)b 2(B)a 2(C)c 2(D)a 2－b2a12.设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在其右准线上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( ) (A)(0，22] (B)(0，33] (C)[22，1) (D)[33，1) 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(滚动单独考查)(2012·贵港模拟)已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，若S n ＝3n －1(n∈N *)，则a 2 009＋a 2 011a 2 010的值为 .14.已知正方形一条边在直线y ＝x ＋4上，顶点A 、B 在抛物线y 2＝x 上，则正方形的边长为 . 15.设双曲线x 29－y216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 .16.(滚动交汇考查)向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(2,1)，λ∈R}，N ＝{a |a ＝(2cos θ，0)＋(－1,2sin θ)，θ∈R}，则M∩N＝ .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为45，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为33，求椭圆的方程.18.(12分)(滚动交汇考查)已知函数f(x)＝1a (x ＋cx )(x≠0，a>0，c>0).当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)在x＝2处取得最小值1. (1)求函数f(x)的解析式；(2)设k>0，解关于x 的不等式(3k ＋1)－4f(x) >2k(k ＋1)－4x.19.(12分)(2012·钦州模拟)已知等差数列{a n }，S n 为其前n 项的和，a 2＝0，a 5＝6，n∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝n a3，求数列{b n }的前n 项的和.20.(12分)已知可行域⎩⎨⎧y≥0x －3y ＋2≥03x ＋y －23≤0的外接圆C 与x 轴交于点A 1、A 2，椭圆C 1以线段A 1A 2为长轴，离心率e ＝22. (1)求圆C 及椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的右焦点为F ，点P 为圆C 上异于A 1、A 2的动点，过原点O 作直线PF 的垂线交直线x ＝22于点Q ，判断直线PQ 与圆C 的位置关系，并给出证明.21.(12分)如图，已知M(m ，m 2)，N(n ，n 2)是抛物线C ：y ＝x 2上两个不同点，且m 2＋n 2＝1，m ＋n≠0.直线l 是线段MN 的垂直平分线.设椭圆E 的方程为x 22＋y2a ＝1(a ＞0，a≠2).(1)当M ，N 在抛物线C 上移动时，求直线l 的斜率k 的取值范围；(2)已知直线l 与抛物线C 交于A ，B 两个不同的点，与椭圆E 交于P ，Q 两个不同的点.设AB 中点为R ，PQ 中点为S ，若OR ·OS ＝0，求椭圆E 的离心率的范围.22.(12分)(2011· 浙江高考)已知抛物线C 1：x 2＝y ，圆C 2：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为点M. (1)求点M 到抛物线C 1的准线的距离；(2)已知点P 是抛物线C 1上一点(异于原点)，过点P 作圆C 2的两条切线，交抛物线C 1于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程.答案解析1.【解析】选D.由题意知，直线l 为两圆圆心连线的垂直平分线，两圆圆心分别为O(0,0)，P(3，－3)，则线段OP 的中点Q(32，－32)，直线OP 的斜率k OP ＝－1，则直线l 的斜率为k ＝1，故直线l 的方程为y －(－32)＝x －32，即x －y －3＝0.2.【解析】选C.因为a 2＋a 4＝0，所以2a 3＝0，即a 3＝0，又因为S 3＝(a 1＋a 3)×32＝6，所以a 1＝4，所以公差d ＝a 3－a 13－1＝0－43－1＝－2.3.【解析】选B.由题意知p ＝2，所以焦点坐标为(p2，0)，即(1,0).4.【解析】选B.双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0.由题意得，圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即 |2b ±0×a|b 2＋a2＝3，整理得b ＝3a ，故c ＝a 2＋b 2＝a 2＋3a 2＝2a ，故离心率e ＝c a ＝2. 5.【解析】选B.抛物线的准线方程为x ＝－2，故椭圆的左焦点坐标为(－2,0)，显然椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝2.又因为离心率为12，所以a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12，故椭圆的方程为x 216＋y 212＝1 .6.【解析】选A.令2n －7<0，求得n<72，∵n ∈N *，∴1≤n ≤3，即数列的前3项均为负数，从第4项开始为正，故选A. 7.【解析】选C.由题意知b 2＝1，故双曲线方程为x 23－y 2＝1.设交点P 在第一象限，F 1，F 2分别为左、右焦点，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则⎩⎨⎧m ＋n ＝26m －n ＝23，∴m ＝6＋3，n ＝6－3， 在△F 1PF 2中，cosF 1PF 2＝m 2＋n 2－(2c)22mn ＝13，故选C.8.【解析】选A.圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，其圆心C(－1,2)，半径r ＝2，由弦长为4可知圆心在直线上，即－a －2b ＋2＝0，即a ＋2b ＝2，而1a ＋1b ＝12(a ＋2b)( 1a ＋1b )＝12(3＋2b a ＋a b )≥12(3＋22)＝2＋32，当且仅当2b a ＝ab 时取等号，即a ＝22－2，b ＝2－2时取等号.9.【解析】选A.设首项为a 1，由已知得：a 1(1－24)1－2＝60，∴15a 1＝60，∴a 1＝4，∴a 2＝4×2＝8，故选A. 10.【解析】选A.如图， ∵点Q(2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义，点P 到F 的距离等于点P 到直线x ＝－1的距离.过点Q 作x ＝－1的垂线QH ，交抛物线于点K ，则点K 为取最小值时所求的点.当y ＝－1时，得x ＝14.∴满足条件的点P 的坐标为(14，－1).11.【解析】选A.由已知，得|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，作图，易知|F 1N|－|NF 2|＝±2a ，又|F 1N|＋|NF 2|＝2c ，∴|F 1N|·|NF 2|＝(2c)2－(±2a)24＝c 2－a 2＝b 2.12.【解析】选D.椭圆的右准线方程为x ＝a2c ，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P(a2c ，y)，PF 1的中垂线过F 2， 则|F 1F 2|＝|F 2P|， ∴2c ＝(a 2c －c)2＋y 2⇒y 2＝3c 2＋2a 2－a 4c2. 当y ＝0时，y 2最小，即3c 2＋2a 2－a4c 2最小.此时3e 2－1e 2＋2≥0⇒e ≥33，又e ＜1，∴e 的取值范围是[33，1). 【方法技巧】求解圆锥曲线离心率的取值范围的方法 (1)直接根据题意建立a ，c 的不等关系求解； (2)借助平面几何关系建立a ，c 的不等关系求解； (3)借助数形结合建立a ，c 的不等关系求解；(4)利用圆锥曲线的相关性质建立a ，c 的不等关系求解； (5)运用判别式建立a ，c 的不等关系求解. 13.【解析】∵a 1＝S 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2·3n －1(n ≥2)，又当n ＝1时，2·30＝2＝a 1， ∴a n ＝2·3n －1，∴a 2 009＋a 2 011a 2 010＝2·32008＋2·320102·32 009＝103. 答案：10314.【解析】设正方形的另一边所在的直线方程为y ＝x ＋m ，该直线与抛物线y 2＝x 交于A 、B 两点. ∴(x ＋m)2＝x ⇒x 2＋(2m －1)x ＋m 2＝0， 且(2m －1)2－4m 2＞0，即m ＜14，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝1－2m ，x 1x 2＝m 2. ∴|AB|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(1－4m)＝|4－m|2，即21－4m ＝|4－m|，∴m ＝－2或－6， ∴|AB|＝32或5 2. 答案：32或5 215.【解析】双曲线的右顶点坐标A(3,0)，右焦点坐标F(5,0)，设一条渐近线方程为y ＝43x ，建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43(x －5)x 29－y 216＝1，得交点纵坐标y ＝－3215，从而S △AFB ＝12×2×3215＝3215.答案：321516.【解析】集合M ：a ＝(1,2)＋λ(2,1)＝(1＋2λ，2＋λ)，对于集合N ：a ＝(2cos θ，0)＋(－1,2sin θ)＝(2cos θ－1,2sin θ)，因为当且仅当集合M 与N 的元素中，向量的坐标对应相等时，才是M ∩N 的元素，即⎩⎪⎨⎪⎧2cos θ－1＝1＋2λ2sin θ＝2＋λ，消去λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0cos θ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝45cos θ＝35，所以M ∩N ＝{(－3,0)，(15， 85)}.答案：{(－3,0)，(15，85)}17.【解析】设椭圆的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，F 1(－c,0)、F 2(c,0).因为点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|， 即4c 2＝4a 2－3|PF 1|·|PF 2|.又因S △PF 1F 2＝33，所以12|PF 1|·|PF 2|sin π3＝33，得|PF 1|·|PF 2|＝12.所以4c 2＝4a 2－36，得b 2＝9，即b ＝3. 又e ＝c a ＝45，故a 2＝259b 2＝25.所以所求椭圆的方程为x 225＋y29＝1.18.【解析】(1)∵a>0，c>0，∴当x>0时，f(x)＝1a (x ＋c x )≥1a ·2 c.当x ＝c x 即x ＝c 时，函数f(x)取得最小值2ca.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝22ca＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4a ＝4，∴f(x)＝x 2＋44x (x ≠0).(2)(3k ＋1)－4f(x)>2k(k ＋1)－4x ⇒(3k ＋1)－4·x 2＋44x >2k(k ＋1)－4x ⇒ x 2－(3k ＋1)x ＋2k(k ＋1)x <0⇒(x －2k)[x －(k ＋1)]x <0.∵k>0，∴k ＋1>k>0. ①当0<k<1时，0<2k<k ＋1，原不等式的解集为(－∞，0)∪(2k ，k ＋1)； ②当k>1时，0<k ＋1<2k ，原不等式的解集为(－∞，0)∪(k ＋1,2k)； ③当k ＝1时，0<k ＋1＝2k ， 原不等式的解集为(－∞，0). 综上所述，当0<k<1时， x ∈(－∞，0)∪(2k ，k ＋1)； 当k ＝1时，x ∈(－∞，0)；当k>1时，x ∈(－∞，0)∪(k ＋1,2k).19.【解析】(1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，a 1＋4d ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝2.∴a n ＝2n －4.(2)由(1)可知b n ＝32n －4，b n ＋1b n＝9， 所以数列{b n }是首项为19，公比为9的等比数列，19(1－9n )1－9＝172(9n－1).所以数列{b n }的前n 项的和为172(9n－1).【变式备选】在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ；(3)是否存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S n n <k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25， ∴(a 3＋a 5)2＝25， 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5， 又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4，而q ∈(0,1)， ∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×(12)n －1＝25－n.(2)∵b n ＝log 2a n ＝5－n ，∴b n ＋1－b n ＝－1， b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4，∴{b n }是以b 1＝4为首项，d ＝－1为公差的等差数列， ∴S n ＝n(9－n)2.(3)由(2)知S n ＝n(9－n)2，∴S n n ＝9－n2.当n ≤8时，S n n >0；当n ＝9时，S nn ＝0；当n>9时，S nn<0.∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S nn有最大值，且最大值为18.故存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S n n<k 对任意n ∈N *恒成立，k 的最小值为19.20.【解析】(1)由题意可知，可行域是以A 1(－2,0)、A 2(2,0)及点M(1，3)为顶点的三角形， ∵A 1M ⊥A 2M ，∴△A 1A 2M 为直角三角形，∴外接圆C 以原点O 为圆心，线段A 1A 2为直径， 故其方程为x 2＋y 2＝4. ∵2a ＝4，∴a ＝2. 又e ＝22，∴c ＝2，可得b ＝ 2. ∴所求椭圆C 1的方程是x 24＋y22＝1.(2)直线PQ 与圆C 相切.设P(x 0，y 0)(x 0≠±2)，则y 02＝4－x 02. ①当x 0＝2时，P(2，±2)，Q(22，0)， k OP ·k PQ ＝－1，∴OP ⊥PQ ，即直线PQ 与圆C 相切. ②当x 0≠2时，k PF ＝y 0x 0－2，∴k OQ ＝－x 0－2y 0，∴直线OQ 的方程为y ＝－x 0－2y 0x.因此，点Q 的坐标为(22，－22x 0－4y 0). ∴k PQ ＝－22x0－4y 0－y 022－x 02＝x 0(22－x 0)y 0(x 0－22)＝－x 0y 0，∴当x 0＝0时，k PQ ＝0，∴OP ⊥PQ ；当x 0≠0时，k OP ＝y 0x 0， ∴k PQ ·k OP ＝－1，∴OP ⊥PQ.即x 0≠±2时，OP ⊥PQ ，直线PQ 与圆C 相切.综上可知，直线PQ 始终与圆C 相切.21.【解析】(1)∵直线MN 的斜率k MN ＝m 2－n 2m －n＝m ＋n. 又∵l ⊥MN ，m ＋n ≠0，∴直线l 的斜率k ＝－1m ＋n. ∵m 2＋n 2＝1，由m 2＋n 2≥2mn ，得2(m 2＋n 2)≥(m ＋n)2，即2≥(m ＋n)2，∴|m ＋n|≤2，又M ，N 两点不同，∴0＜|m ＋n|＜2，∴|k|＞22， 即k ＜－22或k ＞22. (2)∵l 的方程为y －m 2＋n 22＝k(x －m ＋n 2)， m 2＋n 2＝1，m ＋n ＝－1k ，y －12＝k(x ＋12k)， ∴l ：y ＝kx ＋1，代入抛物线和椭圆方程并整理得：x 2－kx －1＝0……………………………………………………………………①(a ＋2k 2)x 2＋4kx ＋2－2a ＝0……………………………………………………②知方程①的判别式Δ1＝k 2＋4＞0恒成立，方程②的判别式Δ2＝8a(2k 2＋a －1)，∵k 2＞12，a ＞0，∴2k 2＋a －1＞a ＞0，∴Δ2＞0恒成立. ∵R(k 2，k 22＋1)，S(－2k a ＋2k 2，a a ＋2k2)， 由OR ·OS ＝0得：－k 2＋a(k 22＋1)＝0，∴a ＝2k 2k 2＋2， ∵|k|＞22，∴a ＝2k 2k 2＋2＝2－4k 2＋2＞2－412＋2＝25， ∴25＜a ＜2，∵2－a 2＝e ，∴a ＝2－2e 2＞25. e 2＜45，∴0＜e ＜255，∴椭圆E 的离心率的取值范围是(0，255). 【方法技巧】求圆锥曲线中参数问题的方法(1)当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时，可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式(如双曲线的范围，直线与圆锥曲线相交时Δ＞0等)，通过解不等式(组)求得参数的取值范围；(2)当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时，则可先建立目标函数，进而转化为求解函数的值域.22.【解题指南】(1)利用抛物线的几何性质可直接解决；(2)考查直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，利用“过M ，P 两点的直线l 垂直于AB”这一几何条件建立关系式即可解出.【解析】(1)由题意可知，抛物线的准线方程为：y ＝－14，所以圆心M(0,4)到准线的距离是174. (2)设P(x 0，x 02)，A(x 1，x 12)，B(x 2，x 22)，由题意得x 0≠0，x 0≠±1，x 1≠x 2，设过点P 的圆C 2的切线方程为y －x 02＝k(x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋x 02.①2＝1， 即(x 02－1)k 2＋2x 0(4－x 02)k ＋(x 02－4)2－1＝0.设PA ，PB 的斜率为k 1，k 2(k 1≠k 2)，则k 1，k 2是上述方程的两根，所以k 1＋k 2＝200202x (x 4)x 1--，k 1k 2＝22020(x 4)1x 1---， 将①代入y ＝x 2得x 2－kx ＋kx 0－x 02＝0，由于x 0是此方程的根，故x 1＝k 1－x 0，x 2＝k 2－x 0，所以k AB ＝221212x x x x --＝x 1＋x 2＝k 1＋k 2－2x 0 ＝200202x (x 4)x 1--－2x 0，而k MP ＝200x 4x -. 由MP ⊥AB ，得k AB ·k MP ＝[200202x (x 4)x 1--－2x 0]·(200x 4x -)＝－1， 解得x 02＝235， 即点P 的坐标为(，235)，所以直线l 的方程为 y ＝±3115115x ＋4.。

【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 阶段滚动检测(二)课时提能训练 理 新人教A 版第一～五章 (120分钟 150分) 第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(滚动单独考查)“m<14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( )(A)充分不必要条件 (B)充分必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件2.(滚动交汇考查)若定义：a ⊕b ＝a －b ，a ⊗b ＝|a ＋b|，则“－2≤x≤2”是“f(x)＝24x x (2)2⊕⊗--有意义”的( )(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件3.若AB ＝(1,1)，AC ＝(3,8)，AD ＝ (0,1)，BC ＋CD ＝(a ，b)，则a ＋b ＝( ) (A)－1 (B)0 (C)1 (D)24.(2012·玉林模拟)曲线y ＝2sin(x ＋π4)cos(x －π4)与直线y ＝12在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1、P 2、P 3、…，则|P 2P 4|等于( ) (A)π (B)2π (C)3π (D)4π5.(2012·北海模拟)已知tan α＝－12，则sin2α＋2cos2α4cos2α－4sin2α的值是( )(A)52 (B)－52 (C)114 (D)－1146.(滚动单独考查)已知f(1－x 1＋x )＝1－x 21＋x 2，则f(x)的解析式为( )(A)f(x)＝x 1＋x 2 (B)f(x)＝－2x1＋x 2(C)f(x)＝2x 1＋x 2 (D)f(x)＝－x1＋x27.(2012·柳州模拟)已知两点M(－1，－6)，N(3,0)，点P(－73，y)分有向线段MN 的比为λ，则λ，y的值为( )(A)－14，8 (B)14，－8(C)－14，－8 (D)4，188.已知点O(0,0)，A(2,1)，B(－1,7)，OP ＝OA ＋13BA ，又OQ ⊥OP ，且|OQ |＝2，则Q 点的坐标为( ) (A)(105，3105)或(－105，－3105) (B)(105，3105) (C)(－105，－3105) (D)(105，3105)或(1010，31010) 9.函数y ＝sin(2x ＋π3)图象的对称轴方程可能是( )(A)x ＝－π6 (B)x ＝－π12(C)x ＝π6 (D)x ＝π1210.(滚动单独考查)y ＝e x＋e－xe x －e－x 的图象大致为( )11.(2012·梧州模拟)若点H 是△ABC 的垂心，且OH ＝OA ＋OB ＋OC ，则点O 是△ABC 的( ) (A)垂心 (B)内心 (C)外心 (D)重心12.如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB ＋DC )·(AC ＋BD )＝( )(A)7 (B)6 (C)5 (D)4第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.将函数y ＝f(x)的图象按向量a ＝(1，－1)平移后所得图象的解析式为y ＝x 2－2x ＋2，则函数y ＝f(x)的解析式为 .14.(2012·贺州模拟)已知sinx ＝55，x∈(π2，3π2)，则tan(x －π4)＝ . 15.(2012·杭州模拟)甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取 方向才能追上乙船；追上时甲船行驶了 海里.16.给出下列4个命题：①非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为30°； ②“a ·b ＞0”是“a ，b 的夹角为锐角”的充要条件；③将函数y ＝|x ＋1|的图象按向量a ＝(－1,0)平移， 得到的图象对应的函数表达式为y ＝|x ＋2|； ④在△ABC 中，若(AB ＋AC )·(AB －AC )＝0，则△ABC 为等腰三角形. 其中正确的命题是 .(注：把你认为正确的命题的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(2012·南宁模拟)已知函数f(x)＝sin x 2cos x 2＋cos 2x2－2(1)求函数的最小正周期. (2)求函数f(x)在区间[π，17π12]上的最大值和最小值. 18.(12分)已知向量m ＝(2cos 2x ，sinx)，n ＝(1,2cosx). (1)若m ⊥n 且0＜x ＜π，试求x 的值；(2)设f(x)＝m ·n ，试求f(x)的对称轴方程、对称中心.19.(12分)(2012·郑州模拟)在锐角三角形ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足2sinB(2cos 2B2－1)＝－3cos2B.(1)求B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值.20.(12分)如图所示，P 是△ABC 内一点，且满足AP ＋2BP ＋3CP ＝0，设Q 为CP 延长线与AB 的交点，求证：CQ ＝2CP .21.(12分)已知点F(1,0)，点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上运动，设P(0，b)，M(a,0)且PM ·PF ＝0，动点N 满足2PN NM ＋＝0. (1)求点N 的轨迹C 的方程；(2)F′为曲线C 的准线与x 轴的交点，过点F′的直线l 交曲线C 于不同的两点A 、B ，若D 为AB 的中点， 在x 轴上存在一点E ，使AB ·(AE －AD )＝0，求|OE |的取值范围(O 为坐标原点). 22.(12分)(滚动交汇考查)已知函数f(x)＝log 4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数. (1)求k 的值；(2)设g(x)＝log 4(a·2x－43a)，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.答案解析1.【解题指南】本题考查充分、必要条件，一元二次方程根的判定.先求出一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解的条件，再分析与m<14的关系.【解析】选A.由“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”得：12－4m ≥0⇒m ≤14，则m<14是m ≤14的充分不必要条件.2.【解析】选B.由题意，f(x)＝4－x2|x －2|－2，由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0|x －2|≠2得函数f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2].∴－2≤x ≤2时，f(x)不一定有意义.故选B.3.【解析】选A.∵BC ＋CD ＝BD ＝AD －AB ＝(－1,0)， ∴a ＝－1，b ＝0，∴a ＋b ＝－1.4.【解析】选A.2sin(x ＋π4)cos(x －π4)＝2sin 2(x ＋π4)＝1－cos[2(x ＋π4)]＝1＋sin2x ，其最小正周期为π，又|P 2P 4|显然是一个最小正周期，故选A. 5.【解析】选C.tan α＝－12，则tan2α＝－43，原式＝tan2α＋24－4tan2α＝114.6.【解析】选C.(特殊值法)：对于f(1－x 1＋x )＝1－x21＋x 2，令x ＝0，代入其中有f(1)＝1. 经检验只有选项C 满足f(1)＝1. 【一题多解】(换元法)：选C.令t ＝1－x 1＋x ，由此得x ＝1－t1＋t ，所以f(t)＝1－(1－t 1＋t )21＋(1－t 1＋t )2＝2t1＋t 2，从而f(x)的解析式为f(x)＝2x 1＋x2. 7.【解析】选C.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－73＝－1＋3λ1＋λy ＝－6＋01＋λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－8λ＝－14，故选C.8.【解题指南】设Q 点的坐标为(x ，y)，根据条件列出关于x 、y 的方程组. 【解析】选A.OP ＝(2,1)＋13(3，－6)＝(3，－1)，设Q 点的坐标为(x ，y)，则根据题意列方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0x 2＋y 2＝4，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝105y ＝3105或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－105y ＝－3105.9.【解析】选D.令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，令k ＝0得该函数的一条对称轴为x＝π12.本题也可用代入验证法来解. 10.【解析】选A.函数有意义，需使e x－e －x≠0，其定义域为{x|x ≠0}. 又因为y ＝e x＋e －xe x －e －x ＝e 2x＋1e 2x－1＝1＋2e 2x －1，所以当x ＞0时函数为减函数，故选A. 11.【解析】选C.OH ＝OA ＋OB ＋OC ⇒AH ＝OB ＋OC ， 取BC 的中点D ，则OB ＋OC ＝2OD ，∴AH ＝2OD . 又∵AH ⊥BC ，∴OD ⊥BC ， ∴点O 在BC 的中垂线上. 同理点O 在CA 、AB 的中垂线上， 所以点O 是△ABC 的外心.12.【解题指南】用已知模的向量AC 、BD 表示目标向量AB 、DC . 【解析】选C.由于AB ＝AC ＋CB ，DC ＝DB ＋BC ， 所以AB ＋DC ＝AC ＋CB ＋DB ＋BC ＝AC －BD .(AB ＋DC )·(AC ＋BD )＝(AC －BD )·(AC ＋BD )＝AC 2－BD 2＝9－4＝5.13.【解析】设(x ，y)为函数y ＝f(x)图象上任一点，点(x ′，y ′)为平移后的对应点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋1y ′＝y －1，代入y ′＝x ′2－2x ′＋2，整理得y ＝x 2＋2.故所求函数的解析式为y ＝x 2＋2.答案：y ＝x 2＋2 14.【解析】∵sinx ＝55，x ∈(π2，3π2)，∴tanx ＝－12，∴tan(x －π4)＝tanx －11＋tanx ＝－3.答案：－315.【解析】如图所示，设到C 点甲船追上乙船，乙船到C 点用的时间为t ，乙船速度为v ，则BC ＝tv ，AC ＝3tv ，B ＝120°， 由正弦定理知BC sinCAB ＝ACsinB ，∴1sinCAB ＝3sin120°， ∴sinCAB ＝12，∴∠CAB ＝30°，∴∠ACB ＝30°，∴BC ＝AB ＝a ，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BCcos120° ＝a 2＋a 2－2a 2·(－12)＝3a 2， ∴AC ＝3a. 答案：北偏东30°3a16.【解析】①考虑向量和、差的平行四边形法则，不难判断结论正确；②当a ，b 的夹角为0°时，a ·b ＞0也成立，结论错误；③由两个函数图象容易判断结论正确；④可得AB 2＝AC 2，即AB ＝AC ，正确.所以①③④正确.答案：①③④17.【解题指南】(1)利用降幂公式将f(x)化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的形式求最小正周期.(2)利用整体代换的思想求最值.【解析】(1)f(x)＝sin x 2cos x 2＋cos 2x2－2＝12sinx ＋1＋cosx2－2 ＝12(sinx ＋cosx)－32 ＝22sin(x ＋π4)－32， ∴最小正周期T ＝2πω＝2π.(2)由(1)知f(x)＝22sin(x ＋π4)－32，∵x ∈[π，1712π]，∴x ＋π4∈[54π，53π]，当x ＋π4＝32π，即x ＝54π时，f(x)有最小值，f(54π)＝－22－32.当x ＋π4＝54π，即x ＝π时，f(x)有最大值，f(π)＝－2.【方法技巧】解三角函数问题的变形技巧重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.变角：对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.18.【解析】(1)m ⊥n ⇒2cos 2x ＋2sinxcosx ＝0⇒cos2x ＋sin2x ＋1＝0⇒2sin(2x ＋π4)＝－1 ⇒sin(2x ＋π4)＝－22.∵0＜x ＜π，∴2x ＋π4∈(π4，9π4)，∴2x ＋π4＝5π4或7π4，∴x ＝π2或3π4.(2)由(1)得f(x)＝2sin(2x ＋π4)＋1， 令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，可得x ＝k π2＋π8，k ∈Z ，即对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z ，令2x ＋π4＝k π，k ∈Z ，可得x ＝k π2－π8，k ∈Z.即对称中心坐标为(k π2－π8，0)，k ∈Z.19.【解析】(1)2sinB(2cos 2B2－1)＝－3cos2B⇒2sinBcosB ＝－3cos2B ⇒tan2B ＝－3， ∵0＜B ＜π2，∴0＜2B ＜π，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)由(1)知B ＝π3，∵b ＝2，由余弦定理，得：4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)， ∵△ABC 的面积S △ABC ＝12acsinB ＝34ac ≤3，∴△ABC 面积的最大值为 3. 20.【证明】∵AP ＝AQ ＋QP ，BP ＝BQ ＋QP ，∴(AQ ＋QP )＋2(BQ ＋QP )＋3CP ＝0， ∴AQ ＋3QP ＋2BQ ＋3CP ＝0， 又∵A ，B ，Q 三点共线，C ，P ，Q 三点共线， 故可设AQ ＝λBQ ，CP ＝μ QP ， ∴λ BQ ＋3QP ＋2BQ ＋3μ QP ＝0， ∴(λ＋2)BQ ＋(3＋3μ)QP ＝0.而BQ ，QP 为不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝03＋3μ＝0.∴λ＝－2，μ＝－1.∴CP ＝－QP ＝PQ . 故CQ ＝CP ＋PQ ＝2CP .21.【解析】(1)P(0，b)，M(a,0)，设N(x ，y)， 由PM ·PF ＝0⇒a ＋b 2＝0，①由2PN ＋NM ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a －x ＝02(y －b)－y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－xb ＝12y.②将②代入①得曲线C 的轨迹方程为y 2＝4x.(2)由(1)得点F ′的坐标为(－1,0)，由题意知直线l 的斜率存在，故设直线l ：y ＝k(x ＋1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧k 2≠0Δ＞0⇒0＜k 2＜1，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，D(x 0，y 0)， 则x 0＝2－k 2k 2，y 0＝2k，∵AB ·(AE －AD )＝0⇒AB ⊥DE ，故直线DE 的方程为y －2k ＝－1k (x －2－k 2k 2)，令y ＝0，得x E ＝1＋2k 2(0＜k 2＜1)⇒x E ＞3，即|OE |的取值范围是(3，＋∞).22.【解析】(1)由函数f(x)是偶函数可知：f(x)＝f(－x)， ∴log 4(4x＋1)＋kx ＝log 4(4－x＋1)－kx ，∴log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－12.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x－43a)有且只有一个实根，化简得方程2x ＋12x ＝a ·2x－43a 有且只有一个实根，令t ＝2x >0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根，①a ＝1⇒t ＝－34，不合题意；②a －1≠0且Δ＝0⇒a ＝34或－3，若a ＝34⇒t ＝－2，不合题意；若a ＝－3⇒t ＝12，③一个正根与一个负根，即－1a －1<0⇒a>1， 综上：实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞).。