有理数创新题型赏析

实数创新试题赏析我们知道，实数是数发展的必然结果，更是研究数的基础，历年各地中考没有少费笔墨，而且近年出现了大量的集观察、归纳、猜想、验证于一体的创新型试题，为了便于同学们复习，现举例说明．一、规律归纳例1、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4分析：这是一组排列问题，求解时只要能发现其中的排列顺序，发现其规律．解：观察发现：在数1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，中，逢1、2、3、4、3、2循环，而2004÷6＝334，所以第2005个数是1，故应选A．二、探索猜想例2、把数字按如图1所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、…，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、…，则第10个数为______．分析：观察图中的数是将自然数从上而下按“S”形向下逐渐延伸，由此中间一列数也从1、5、13、25、41、…，在逐渐在并按一定的规律变大，若能找到1、5、13、25、41、…的通项问题就解决了．解：由于1＝2×1(1－1)+1，5＝2×2(2－1)+1，13＝2×3(3－1)+1，25＝2×4(4－1)+1，41＝2×5(5－1)+1，…，即第n个数＝2n(n－1)+1，所以当n＝10时，2n(n－1)+1＝181，即第10个数为181．三、新定义问题例3、现规定一种新的运算“※”：a※b=a b，如3※2=32=9，则12※3＝（）A．18B．8C．16D．32分析：利用新定义直接计算．解：因为a※b=a b，所以12※3＝312⎛⎫⎪⎝⎭＝18，故应选A．图1四、知识渗透型例4、若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！＝4×3×2×1，…，则100!98!的值为( )A．5049B．99! C．9900 D．2！分析：本题的知识是高中阶段所学的内容，但我们可以妨照条件中提供的运算方法计算出结果．解：因为1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…，所以100!98!＝100999821988721⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝100×99＝9 900，故应选C．。

专题1.5 有理数中规律和新定义综合应用（六大题型）【题型1 数列型规律】【题型2 裂差型规律】【题型3 新定义型规律】【题型4含n2型规律】【题型5 定义两个数的运算】【题型6 定义多个数的运算】【题型1 数列型规律】【典例1】动脑筋、找规律，李老师给小明出了下面的一道题，请根据数字排列的规律，探索下列问题：（1）在A处的数是正数还是负数 ；（2）负数排在A，B，C，D中的 位置？（3）第2017个数是正数还是负数 ，排在对应于A，B，C，D中的 位置？【答案】（1）正数（2）B，D（3）负数；B【解答】解：（1）A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在A处的数是正数；故答案是：正数；（2）观察不难发现，向下箭头的上边的数是负数，下方是正数，向上箭头的下方是负数，上方是正数，所以，B和D的位置是负数，故答案是：B，D；（3）∵2017÷4=504…1，∴第2017个数排在B的位置，是负数，故答案是：负数，B．【变式1-1】从图①中找出规律，并按规律从图②中找出a，b，c的值，计算a+b−c的值是 ．【答案】14【解答】解：由题意得：a=−4+11=7，c=−15+11=−4，∴b=a+c=7+(−4)=3，∴a+b−c=7+3−(−4)=14，故答案为：14．【变式1-2】找出下列各图形中数的规律，依此规律，那么a的值是 .【答案】226【解答】解：∵0×1+2=2，2×3+4=10，4×5+6=26，6×7+8=50，…，∴a=14×15+16=226.故答案为：226.【典例2】观察下列各数的个位数字的变化规律：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，……通过观察，你认为22021的个位数字应该是（ ）A．2B．4C．6D．8【答案】A【解答】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，∴以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6…依次循环的，2021÷4=505…1，∴22021的个位数字是2.故答案为：A.【变式2-1】观察下列算式：31=3 32=9 33=27 34=81 35=243 36=729…通过观察，用你所发现的规律得出32016的末位数是（ ）A．1B．3C．7D．9【答案】A【解答】解：因为31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，…，所以3n的个位数字分别为3、9、7、1，每4个数为一个循环组依次循环，因为2016÷4=504，所以32016的个位数字与循环组的第4个数的个位数字相同，是1.故答案为：A.【变式2-2】观察下列等式: 21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,根据这个规律，21+22+23+24+⋯+22020的末尾数字是（ ）A．6B．4C．2D．0【答案】D【解答】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32；26=64，∴个位数的规律是2,4,8,6循环∴2020÷4=505，∴505×（2+4+8+6）=10100，∴21+22+23+24+25+……+22020的末尾数字为0，故答案为：D.【变式2-3】小明在计算有规律的算式1﹣2+3﹣4+5⋯+19﹣20时，不小心把一个运算符号写错了（“+”错写成“﹣”或“﹣”错写成“+”），结果算成了﹣36，则原式从左到右数，写错的运算符号是（ ）A．第5个B．第8个C．第10个D．第12个【答案】见试题解答内容【解答】解：1﹣2+3﹣4+5⋯+19﹣20＝（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+⋯+（19﹣20）＝﹣1×10＝﹣10，∵运算结果﹣36比﹣10小，∴“+”错写成“﹣”，设写错符号的数是a，∴﹣1×9﹣a﹣（a+1）＝﹣36，解得a＝13，∴写错的运算符号是第12个，故选：D．【变式2-4】已知1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，…，按此规律，1+3+5+…+19＝　100　．【答案】见试题解答内容【解答】解：由1+3＝22，从1开始连续2个奇数相加；1+3+5＝32，从1开始连续3个奇数相加；1+3+5+7＝42，从1开始连续4个奇数相加；…所以可以推出：从1开始连续10个奇数相加的和等于102，即：1+3+5+7+…+19＝102＝100．故答案为：100．【典例3】已知＝3×2＝6，＝5×4×3＝60，＝5×4×3×2＝120，＝6×5×4×3＝360，依此规律的值为（ ）A．820B．830C．840D．850【答案】C【解答】解：根据规律可得：＝7×6×5×4＝840．故选：C．【变式3-1】已知＝，＝，＝，…观察以上计算过程，寻找规律计算＝　120　．【答案】120．【解答】解：＝＝120，故答案为：120．【题型2 裂差型规律】【典例4】观察下列计算：11×2=1−12, 12×3=12−13, 13×4=13−14, 14×5=14−15,……，从计算结果中找规律，利用规律计算（1）12+16+112+120+130+……+19900（2）13+115+135+163+……+19999【解答】解：12+16+112+120+130+......+19900= 11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+......+199×100= 1−12+12−13+13−14+14−15+15−16+......+199−1100= 1−1100= 99100；②13+115+135+163+……+19999解：13+115+135+163+......+19999= 11×3+13×5+15×7+17×9+......+199×101= 12×(1−13)+12×(13−15)+12×(15−17)+12×(17−19)......+12×(199−1101)= 12×[(1−13)+(13−15)+(15−17)+(17−19)......+(199−1101)]= 12×(1−13+13−15+15−17+17−19......+199−1101)= 12×(1−1101)= 12×100101= 50101.（1）解：12+16+112+120+130+......+19900= 11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+......+199×100= 1−12+12−13+13−14+14−15+15−16+......+199−1100= 1−1100= 99100；（2）13+115+135+163+......+19999= 11×3+13×5+15×7+17×9+......+199×101= 12×(1−13)+12×(13−15)+12×(15−17)+12×(17−19)......+12×(199−1101)= 12×[(1−13)+(13−15)+(15−17)+(17−19)......+(199−1101)]= 12×(1−13+13−15+15−17+17−19......+199−1101)= 12×(1−1101)= 12×100101= 50101.【变式4-1】观察下面算式的演算过程：1＝＝＝；1＝＝＝；1＝＝＝；1＝＝＝．…（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：＝ ；＝ ；1＝ ．（n为正整数）（2）根据规律计算：（1+）×（1+）×（1+）×（1+）×…×（1+）×（1+）．【答案】（1），，；（2）．【解答】解：（1）1+＝＝＝，1+＝＝＝，1+＝＝，故答案为：，，；（2）（1+）×（1+）×（1+）×（1+）×…×（1+）×（1+）＝××××…××＝＝＝．【变式4-2】+＝＝+＝＝+＝＝．（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式（分别写出表示的过程和结果）＝ ＝　+　；＝ ＝　+　；（2）利用以上所得的规律进行计算：+．【答案】（1），+；，+；（2）．【解答】解：（1）＝＝+；＝＝+．故答案为：，+；，+；（2）+＝1+﹣﹣++﹣﹣++﹣﹣++﹣﹣＝1﹣＝．【变式4-3】探索发现：＝1﹣；＝﹣；＝﹣…根据你发现的规律，回答下列问题：（1）＝　﹣　，＝ ；（2）利用你发现的规律计算：+++…+．【答案】（1）﹣，；（2）．【解答】解：（1）＝﹣，＝，故答案为：﹣，；（2）+++…+＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝＝．【变式4-4】找到规律是解题最重要的步骤！先观察下面的式子：＝＝，＝，＝，…你发现规律了吗？下一个式子应该是：　＝＝﹣　．利用你发现的规律，计算：．【答案】＝＝﹣；．【解答】解：∵式子：＝＝，＝，＝，…，∴第四个式子是＝＝﹣，故答案为：＝＝﹣；+++…+＝+…+＝＝＝．【变式4-5】（1）计算下列各式，并寻找规律：①＝（　1　+ ）（　1　﹣ ）＝　×　；②＝（　1　+ ）（　1　﹣ ）＝　×　；（2）运用（1）中所发现的规，计算：；（3）猜想的结果，并写出过程．【答案】（1）①1，，1，，×；②1，，1，，×；（2）；（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）＝，理由见解答．【解答】解：（1）①1﹣＝（1+）×（1﹣）＝×；②1﹣＝（1+）×（1﹣）＝×；故答案为：①1，，1，，×；②1，，1，，×；（2）原式＝（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）（1﹣）＝×××××××＝；（3）猜想：（1﹣）（1﹣）（1﹣） (1)）＝，理由为：左边＝（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）（1﹣）…（1﹣）（1+）＝×××××××…××＝×＝．【变式4-6】探索发现：；；根据你发现的规律，回答下列问题：（1）＝　﹣　，＝　﹣　；（2）利用你发现的规律计算：；（3）计算：．【答案】（1）﹣，﹣；（2）；（3）1．【解答】解：（1）＝﹣，＝﹣；故答案为：﹣，﹣；（2）原式＝1﹣+﹣+﹣+•••+﹣＝1﹣＝；（3）原式＝．＝1+﹣3++3+﹣5++5+﹣7++7+﹣9++9+＝1+（++++++++）＝1+1﹣+﹣+﹣+•••+﹣＝1+1﹣＝1．【变式4-7】观察下面的变形规律：；；．解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想＝ ．（2）计算：＝ ．（3）计算：．【答案】（1）；（2）；（3）．【解答】解：（1）∵；；，∴猜想，故答案为：；（2）＝1﹣＝1﹣＝；故答案为：；（3）＝1﹣+…+＝1﹣＝．【题型3 新定义型规律】【典例5】定义一种新运算，规律如下：2⊗3＝2×5﹣3＝7；3⊗（﹣1）＝3×5+1＝16；（﹣4）⊗（﹣3）＝（﹣4）×5+3＝﹣17．（1）请你想一想：a⊗b＝　5a﹣b　．（2）请计算：（﹣2）⊗8＝　﹣18　．（3）试说明：当x＝y时，x⊗y＝y⊗x．【答案】（1）5a﹣b；（2）﹣18；（3）验证见解答．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：a⊗b＝5a﹣b；故答案为：5a﹣b；（2）根据题中的新定义得：（﹣2）⊗8＝5×（﹣2）﹣8＝﹣10﹣8＝﹣18；故答案为：﹣18；（3）根据题中的新定义得：当x＝y时，x⊗y＝5x﹣y＝5x﹣x＝4x，y⊗x＝5y﹣x＝5x﹣x＝4x，此时x⊗y＝y⊗x．【变式5-1】若“☆”表示一种新的运算符号，且有如下运算规律．已知2☆3＝2+3+4，7☆2＝7+8，3☆5＝3+4+5+6+7，9☆4＝9+10+11+12…按此规律，如果n☆3＝33，求n的值．【答案】10．【解答】解：由题意得：n+（n+1）+（n+2）＝33，解得：n＝10．【变式5-2】定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a2﹣|b|，则（﹣2）⊗（﹣1）的运算结果为（ ）A．﹣5B．﹣3C．5D．3【答案】D【解答】解：由题意可得：（﹣2）⊗（﹣1）＝（﹣2）2﹣|﹣1|＝4﹣1＝3．故选：D．【变式5-3】现定义一种新运算“*”，规定a*b＝b2﹣a，如3*1＝12﹣3＝﹣2，则（﹣2）*（﹣3）等于（ ）A．11B．﹣11C．7D．﹣7【答案】A【解答】解：∵a*b＝b2﹣a，∴（﹣2）*（﹣3）＝（﹣3）2﹣（﹣2）＝9+2＝11，故选：A．【变式5-4】符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f （1）＝2，f （2）＝4，f （3）＝6…；（2）f （）＝2，f （）＝3，f （）＝4…．利用以上规律计算：f （2022）﹣f （）等于（ ）A ．2021B ．2022C ．D ．【答案】B【解答】解：由（1）知f （2022）＝2022×2＝4044，由（2）知f （）＝2022，∴f （2022）﹣f （）＝4044﹣2022＝2022，故选：B ．【变式5-5】日常生活中我们使用的数是十进制数，数的进位方法是“逢十进一”．而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”．二进制数只使用数字0、1，如二进制数1101记为1101（2），1101（2）通过式子1×23+1×22+0×2+1可以转换为十进制数13．仿照上面的转换方法，将二进制数11101（2）转换为十进制数是（ ）A ．15B ．29C ．30D ．33【答案】B【解答】解：由题意可得，11101（2）＝1×24+1×23+1×22+0×2+1＝29．故选：B ．【变式5-6】我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：指数运算21＝222＝423＝8…31＝332＝933＝27…新运算log 22＝1log 24＝2log 28＝3…log 33＝1log 39＝2log 327＝3…根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216＝4，②log 525＝5，③．其中正确的是　①③　．【答案】①③．【解答】解：根据题意得：①log216＝log224＝4，原计算正确，②log525＝log552＝2，原计算错误，③＝log22﹣1＝﹣1，原计算正确．故答案为：①③．【题型4含n2型规律】【典例6】某种细胞开始有1个，1小时后分裂成2个，2小时分裂成4个，3小时后分裂成8个，按此规律，n小时后细胞的个数超过1000个，n的最小值是（ ）A．9B．10C．500D．501【答案】B【解答】由题意得，2n≥1000，∵29=512，210=1024，∴n的最小值是：10，故答案为：B．【变式6-1】某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，5小时后，细胞存活的个数是（ ）A．31B．33C．35D．37【答案】B【解答】根据题意可知，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3=2+1；2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5=22+1；3小时后分裂成10个并死去1个，剩9个，9=23+1；…故5小时后细胞存活的个数是25+1=33个．故答案为：B【变式6-2】某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10并死去一个，按此规律，10小时后细胞存活的个数是（ ）A．1023B．1024C．1025D．1026【答案】C【解答】1小时后存活的个数是3=2+1，2小时后存活的个数是：5=22+1，按此规律，10小时后存活的个数是：210+1=1025，故答案为：C.【变式6-3】某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（ ）A．253B．255C．257D．259【答案】C【解答】解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1；2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1；3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9＝23+1；……n个小时后细胞存活的个数是2n+1，当n＝8时，存活个数是28+1＝257．故选：C【题型5 定义两个数的运算】【典例7】现定义一种新运算“*”，规定a∗b=b2−a，如3∗1=12−3=−2，则(−2)∗(−3)等于（ ）A．11B．－11C．7D．－7【答案】A【解答】∵a∗b=b2−a，∴(−2)∗(−3)=(−3)2−(−2)=9+2=11；故答案为：A．【变式7-1】定义一种新运算：a⊕b=b2−2ab.如1⊕3=32−2×1×3=3 ，则 （−1）⊕2= .【答案】8【解答】解： (−1)⊕2=22−2(−1)×2=4+4=8 .故答案为：8.【变式7-2】定义新运算“*”，规定a*b ＝a×b －(b －1)×b ，则2*(－3)＝ .【答案】−18【解答】解：根据题中的新定义得：2*（−3）＝2×（−3）−（−3−1）×（−3）＝−6−12＝−18.故答案为：−18.【变式7-3】如果定义一种新的运算为 a ∗b =a b1−ab ，那么 12∗(−3) = .【答案】-1【解答】解：根据题意，得12∗(−3) =12−31−12×(−3)=−5252=−1.故答案为：-1.【题型6 定义多个数的运算】【典例8】现定义一种新运算“*”，规定a*b ＝ab ＋a －b ，如1*3＝1×3＋1－3，则(2*5)*4等( ) A ．28B ．－28C ．－31D ．31【答案】D【解答】解：由新定理可知2*5=2×5+2-5=7,7*4=7×4+7-4=31,故答案为：D.【变式8-1】如果定义新运算： a ∗b =a ba−b (a ≠b) ，那么（1※2）※3的值为 ．【答案】0【解答】解： （1※2）※3=121−2※3=（-3）※3=−33−3−3=0.【变式8-2】a ，b 为有理数，若规定一种新的运算“*”，定义a*b ＝a 2－b 2－ab ＋1，请根据“*”的定义计算：（1）－3*4；（2）(－1*1)*(－2).【解答】（1）解：－3*4＝(－3)2－42－(－3)×4＋1＝6（2）解：(－1*1) * (－2)＝[(－1)2－12－(－1)×1＋1] * (－2)＝2* (－2)＝22－(－2)2－2×(－2)＋1＝5【变式8-3】用“※”定义一种新运算：规定a※b=a b2+2ab−b，如：1※3=1×32+2×1×3−3=12.（1）求(−2)※4的值；（2）若(x−1)※3=12，求x的值.【解答】（1）解：(−2)※4=(−2)×42+2×(−2)×4−4=−32−16−4=−52；（2）解：∵(x−1)※3=12∴(x−1)×32+2(x−1)×3−3=12解得：x=2.。

巧用有理数的七种方法（七大题型）【题型01 归类法】【题型02 凑整法】【题型03 拆项法】【题型05 逆向法】【题型04 组合法】【题型06 裂项相消法】【题型07 倒数求值法】【题型01 归类法】方法：运用加法交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。

【典例1】计算：�−218�+(+5)+�−312�+(+1.125)+�+412�【变式1-1】计算：(1)25.7+(−7.3)+(−13.7)+7.3； (2)(−2.125)+�+315�+�+518�+(−3.2)．【变式1-2】简便计算：(1)1.5+�−12�+�−34�+�+134�； (2)12+�−23�+45+�−12�+�−13�．【变式1-3】计算：(1)�−323�−�−234�+323−(+5.75)； (2)(−13)+(−7)−(+20)−(−40)+(+16)．(3)�+56�+�−23�+�+116�+�−13�； (4)(+1.9)+3.6−(−10.1)+1.4．【题型02 凑整法】方法：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数(如互为相反数)相消【典例2】计算：(1)(−18)+17+(−12)−(−33)． (2)�+325�+�−278�−�−535�−�+118�．【变式2-1】计算：(1)314+�−235�+534+�−825�； (2)(−0.5)+314+2.75+�−512�；(3)−|−1.5|+�−32�+0．【变式2-2】用简便方法计算：(1)−4+17+(−36)−(−73)； (2)−56+�−15�+116+�−45�【变式2-3】用简便方法计算：114+338+(−1.25)−�−258�【题型03 拆项法】方法:将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律)(结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁【典例3】计算：�−201956�+�−201823�+403623+�−112�【变式3-1】计算：�−2022724�+�−202158�+�−116�+4044．【变式3-2】（1）计算：�−1723+1634+�−1513�−212；（2）计算�−200056�+�−199923�+400023+�−112�．【变式3-3】计算：�−201156�+�−201223�+4023+�−112�．【题型04 逆向法】方法：主要是将式子中的一些小数、带分数、分数互相转化，然后将乘法分配率逆向使用，从而使得计算变得更加简单【典例4】计算题：2×�−137�−234×13+�−137�×5+14×(−13)．【变式4-1】计算：3.75×735−5730×38+16.2×62.5【变式4-2】利用简便方法计算：(1)3.2×200.9+4.7×200.9+2.1×200.9；(2)36.8×1355+20.2×1355−2×1355．【变式4-3】用简便方法计算下面各题．(1)417×24+417×9+417 (2)2019×20192020【题型05 组合法】方法：通过组合相同的因数，减少计算量【典例5】计算：1+2+3+⋯+2023+(−1)+(−2)+(−3)+⋯+(−2024)．【变式5-1】计算：−1+2−3+4−5+6−⋯−49+50．【变式5-2】计算:2023−2020+2017−2014+2011−2008+⋯−16+13−10+7−4【变式5-3】计算：1+2−3−4+5+6−7−8+⋯+2005+2006−2007−2008．【题型06 裂项相消法】方法：通过将数列中的每一项分解成两部分，然后重新组合，使得部分项在求和过程中相互抵消，从而简化计算。

专题05有理数（3个知识点3种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.正数和负数的概念（重点）知识点2.用正、负数表示具有相反意义的量（重点）知识点3.有理数及其分类（难点）【方法二】实例探索法题型1.正数和负数在实际生活中的应用题型2.与正数、负数相关的表格信息题题型3.正数、负数的规律探究题【方法三】仿真实战法考法. 用正、负数表示具有相反意义的量【方法四】成果评定法【学习目标】1.通过实际例子，进一步认识负数，理解有理数的定义。

2.会判断一个数是正数还是负数，会用正数和负数表示实际生活中具有相反意义的量。

3.能正确地按一定的标准将有理数进行分类。

【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.正数和负数的概念（重点）1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．2、0既不是正数也不是负数【例1】（2022秋•无为市月考）下列各数中，是负数的是（ ）A．﹣B．0C．D．1【解答】解：A．是负数，故本选项符合题意；B．0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；C．是正数，故本选项不合题意；D．1是正数，故本选项不合题意．故选：A．知识点2.用正、负数表示具有相反意义的量（重点）用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．【例2】（2022秋•淮北月考）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作（ ）A．+40元B．﹣40元C．+20元D．20元【解答】解：如果“收人60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作﹣40元．故选：B．【变式】（2023秋·安徽六安·七年级统考期末）飞机在飞行过程中，如果上升25米记作+25米，那么下降15米记作（）A．－15米B．－8米C．8米D．＋15米【答案】A【详解】解：上升25米记作+25米，则下降15米记作15-米，知识点3.有理数及其分类（难点）整数包括正整数、0和整数；分数包括正分数和负分数。

创新题评析例析整式加减中的说理题
该题目即要求我们分析以“创新题评析例析整式加减中的说理题”为主题的文章，以思考整式加减中说理题有哪些，以及需要注意哪些问题。

说理题是中小学数学学习中常见的一类题型，既可以作为考试题，也可以作为教学题目。

它以给出的问题加以推理，考查学生对数学知识的掌握和运用能力。

因此，教师在教学过程中应注意把握说理题形式，从而辅助学生增强解题能力。

首先，整式加减中的说理题一般形式为：给定一个未知数的加减整式，请求解这个整式的值，或者给定一个未知数的加减整式两边的值，请求出这个整式中的未知数。

如果加减整式更加复杂，则需要学生拆分复杂整式，然后再进行求解。

其次，在解决整式加减中的说理题时，学生要注意以下几点：1、熟练掌握加减法规律与运算技巧；2、熟练掌握拆分复杂表达式的各
类方法；3、熟练利用推理推断算式中的未知数。

第三，在说理题解答过程中，应采取各种途径，对这类题目进行深入分析，运用数学知识，把握解决思路，有针对性地合理运用相关知识，解决整式加减中的说理题。

最后，教师在教学过程中应关注学生的学习状况，及时调整教学方式，提高学生的解决问题的能力，激发学生的学习兴趣，并且给予正确的指导，使学生掌握好整式加减中的说理题的解决方法，实现学习的要求。

综上所述，整式加减中的说理题是一类具有重要意义的题目，无论是作为考试题还是作为教学题目，都有着重要的作用。

学生要掌握加减法规律与运算技巧，熟练掌握拆分复杂表达式的各类方法，熟练利用推理推断算式中的未知数，有效地解决整式加减中的说理题。

而教师也应注意把握说理题形式，提高学生的解题能力，给予正确的指导。

专题15集合专题（新定义）一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知集合A ，B 满足{}1,2,3A B = ，若A B ≠，且[]&A B ，[]&B A 表示两个不同的“AB 互衬对”，则满足题意的“AB 互衬对”个数为（）A ．9B ．4C ．27D ．8【答案】C【分析】直接列举可得.【详解】当A =∅时，集合B 可以为{1,2,3}；当{1}A =时，集合B 可以为{2,3},{1,2,3}；当{2}A =时，集合B 可以为{1,3},{1,2,3}；当{3}=A 时，集合B 可以为{1,2},{1,2,3}；当{1,2}A =时，集合B 可以为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}；当{1,3}A =时，集合B 可以为{2},{1,2},{2,3},{1,2,3}；当{2,3}A =时，集合B 可以为{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}；当{1,2,3}A =时，集合B 可以为,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}∅.故满足题意的“AB 互衬对”个数为27.故选：C2．（2023·全国·高三专题练习）定义集合{A B x x A ⊗=∈∣且}x B ∉，已知集合{3,2,2,3},{3,1,1,2}A B =--=--，则A B ⊗=（）A ．{3,2}-B ．{1,1}-C ．{2,3}-D ．{0}【答案】C【分析】根据集合新定义即可求解.【详解】因为集合{A B xx A ⊗=∈∣且}x B ∉，{3,2,2,3},{3,1,1,2}A B =--=--，所以A B ⊗={2,3}-故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）定义集合{}*,,A B z z xy x A y B ==∈∈∣，设集合{}1,0,1A =-，{}1,1,3B =-，则*A B 中元素的个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】根据集合的新定义求得*A B ，从而确定正确答案.【详解】因为{}1,0,1A =-，{}1,1,3B =-，所以{}*3,1,0,1,3A B =--，故*A B 中元素的个数为5.故选：B.4．（2021秋·陕西安康·高一校考阶段练习）设P ，Q 是两个非空集合，定义(){},,P Q a b a P b Q ⨯=∈∈，若{}3,4,5P =，{}4,5,6,7Q =，则P Q ⨯中元素的个数是（）A ．3B ．4C ．12D ．16【答案】C【分析】根据集合新定义，利用列举法写出集合的元素即可得答案.【详解】因为定义(){},,P Q a b a P b Q ⨯=∈∈，且{}3,4,5P =，{}4,5,6,7Q =，所以()()()()()()()()()()()(){}3,4,3,5,3,6,3,7,4,4,4,5,4,6,4,7,5,4,5,5,5,6,5,7P Q ⨯=，P Q ⨯中元素的个数是12，故选：C.5．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）设集合的全集为U ，定义一种运算 ，(){}U M N x x M N =∈⋂ ð，若全集U =R ，{}2M x x =≤，{}31N x x =-<<，则M N = （）A ．{}21x x -≤<B ．{}12x x <≤C ．{}12x x ≤≤D ．{}21x x -≤≤【答案】C【分析】解不等式求得集合M ，求得U N ð，根据集合运算新定义，即可求得答案.【详解】由题意得{}2{|22}M x x x x =≤=-≤≤，{3U N x x =≤-ð或1}x ≥，则M N = {}12x x ≤≤，故选：C6．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）当一个非空数集G 满足“如果a 、b G ∈，则a b +、a b -、ab G ∈，且0b ≠时，aG b∈”时，我们称G 是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的个数是（）①0是任何数域中的元素；②若数域G 中有非零元素，则2022G ∈；③集合{2,}P xx k k ==∈Z ∣是一个数域；④有理数集Q 是一个数域．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据数域定义逐一验证即可.【详解】由定义可知，a a G -∈，即0是任何数域中的元素，①正确；若域G 中有非零元素a ，则1aG a=∈，所以112G +=∈，123G +=∈，…，120212022G +=∈，②正确；记2,4,a b ==则,a b P ∈，但12a Pb =∉，故③错误；易知任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，故④正确.故选：C7．（2022秋·北京房山·高一统考期中）已知U 是非空数集，若非空集合A ，B 满足以下三个条件，则称(,)A B 为集合U 的一种真分拆，并规定(,)A B 与(,)B A 为集合U 的同一种真分拆．①A B ⋂=∅；②A B U ⋃=；③A 的元素个数不是A 的元素个数不是B 中的元素．则集合{1,2,3,4,5}U =的真分拆的种数是（）A ．4B ．8C ．10D ．15【答案】A【分析】理解真分拆的定义，采用列举法一一列出即可求解.【详解】根据真分拆定义，当集合A 只有一个元素时，B 有四个元素，此时只能是{}{}114,1,2,3,5A B ==；当集合A 有两个元素时，B 有三个元素，此时包括{}{}223,1,2,4,5A B ==、{}{}333,4,2,1,5A B ==、{}{}443,5,2,1,4A B ==，因为(,)A B 与(,)B A 为集合U 的同一种真分拆，故只有四种真分拆.故选：A8．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合A ，集合{}34B x Z x =∈-<<，则A B ⋂真子集个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】C【分析】根据题中定义，结合集合交集的定义、真子集个数公式进行求解即可.【详解】由题中定义可知{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，而{}34B x Z x =∈-<<，所以{}1,2,3A B = ，因此A B ⋂真子集个数为3217-=，故选：C9．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）若集合A 同时具有以下三个性质：（1）0A ∈，1A ∈；（2）若,x y A ∈，则x y A -∈；（3）若x A ∈且0x ≠，则1A x∈．则称A 为“好集”．已知命题：①集合{}1,0,1-是好集；②对任意一个“好集”A ，若,x y A ∈，则x y A +∈．以下判断正确的是（）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题【答案】D【分析】根据“好集”的定义逐一判断即可.【详解】对于①，因为{}{}11,0,1,11,0,1∈--∈-，而{}1121,0,1--=-∉-，所以集合{}1,0,1-不是好集，故①错误；对于②，因为集合A 为“好集”，所以0,0A y y A ∈-=-∈，所以()x y x y A --=+∈，故②正确，所以①为假命题，②为真命题.故选：D.10．（2022秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）对于集合M ，定义函数1,()1,M x Mf x x M -∉⎧=⎨∈⎩，对于两个集合M N 、，定义集合，{}()()1M N M N x f x f x ∆=⋅=-∣，已知{}2,4,6,8,10A =，{}1,2,4,8,16B =，用||M 表示有限集合M 中的元素个数，则对于任意集合M ，||||M A M B ∆+∆的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【分析】先根据定义化简M A ∆，M B ∆，再根据文恩图确定||M A ∆+||M B ∆最小值取法，即得结果.【详解】解：因为1,()1,M x Mf x x M -∉⎧=⎨∈⎩，所以()(){}()(){}Δ|1|1,1M N M N M N x f x f x x f x f x =⋅=-===-⋃{}|()1,()1M N x f x f x =-=，{}|,U x x M x N =∈∈⋃ð{}|,()()U U U x x M x N M N N M ∈∈= 痧，所以，M A ∆()()U U M A A M = 痧,M B ∆()()U U M B B M = 痧，所以，当()M A B ⋂⋂元素个数最多且M 中不含有A ,B 的元素之外的元素时，||M A ∆+||M B ∆最小，因为{2,4,8}A B = ,所以当{}2,4,8M A B =⋂=时，||M A ∆+||M B ∆最小，为|{6,10}||{1,16}|224+=+=，故选：B11．（2022秋·天津和平·高一天津市汇文中学校考阶段练习）若x A ∈且1A x ∈就称A 是伙件关系集合，集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（）A ．15B ．16C ．64D ．128【答案】A【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有1，1-，“3和13”，“2和12”四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求.【详解】因为1A ∈，111A =∈；1A -∈，111A =-∈-；2A ∈，12A ∈；3A ∈，13A ∈；这样所求集合即由1，1-，“3和13”，“2和12”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为42115-=，故选:A.12．（2022秋·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第一中学校考阶段练习）已知集合{}2,3,4,5M =，对它的非空子集A ，可将A 中的每一个元素k 都乘以()1k-再求和（如{}2,3,5A =，可求得和为：()()()2352131516⋅-+⋅-+⋅-=-），则对M 的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是（）A ．18B ．16C ．-18D ．-16【答案】D【分析】由已知，先求解出集合M 的所有非空子集分别出现的次数，然后，再根据范例直接计算总和即可.【详解】由已知，因为{}2,3,4,5M =，那么每个元素在集合M 的所有非空子集分别出现32个，则对于M 的所有非空子集执行乘以()1k-再求和的操作，则这些数的总和为：()()()()4235322131415116⎡⎤⋅-+⋅-+⋅⋅-=-⎣⎦+-.故选：D.13．（2023·全国·高三专题练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数．例如{4,6,9}的交替和是9647-+=；而{5}的交替和是5，则集合{1,2,3,4,5,6}M =的所有非空子集的交替和的总和为（）A ．32B ．64C ．80D ．192【答案】D【分析】依次计算集合{1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4}的所有非空子集的交替和的总和，然后归纳猜想出规律即可得．【详解】集合{1}的所有非空子集的交替和的总和为1=1S ，集合{1,2}的所有非空子集的交替和的总和为212(21)4S =++-=，集合{1,2,3}的所有非空子集的交替和的总和为3123(21)(32)(31)(321)12S =+++-+-+-+-+=，集合{1,2,3,4}的所有非空子集的交替和的总和为41234(21)(32)(43)(31)S =++++-+-+-+-(42)(41)+-+-(321)+-+(432)+-+(421)(431)(4321)32+-++-++-+-=，由此猜测集合{1,2,3,,}n 的所有非空子集的交替和的总和为12n n S n -=⋅，证明如下：将集合{1,2,3,,}n 中所有的子集分为两类：第一类，集合中无n ，第二类，集合中有n 这个元素，每类中集合的个数为12n -我们在两类集合之间建立如下一一对应关系：第一类中集合A 对应着第二类中集合{}A n ，此时这两个集合的交替和为n ，故集合{1,2,3,,}n 的所有非空子集的交替和的总和为12n n S n -=⋅，所以5662192S =⨯=．故选：D ．14．（2022秋·北京海淀·高一人大附中校考期中）若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若{,,}{1,2,3,4,5}A a b c =⊆，且A 为互斥集，则111a b c++的最大值为（）A ．116B ．1312C ．74D ．4760【答案】C【分析】由集合的新定义先确定集合A ，而要想111a b c++取得最大值，则,,a b c 要最小，从而确定,,a b c ，即可求解【详解】因为{,,}{1,2,3,4,5}A a b c =⊆，所以A 为{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,3,4,1,3,5,1,4,5,2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5又且A 为互斥集，所以A 为{}{}{}{}{}{}1,2,4,1,2,5,1,3,5,2,3,4,2,4,5,3,4,5，要想111a b c++取得最大值，则,,a b c 要最小，此时{},,1,2,4a b c ∈，不妨令1,2,4a b c ===，则11111171244a b c ++=++=，故选：C15．（2022·上海·高一专题练习）设X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中有限个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；②τ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}；③τ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}；④τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}．其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是（）A ．②B ．①③C ．②④D ．②③【答案】D【分析】利用集合X 上的拓扑的3个要求，依次判断即可．【详解】解：①中由于{a ，b }∪{a ，c }＝{a ，b ，c }∉τ，故①不是集合X 上的一个拓扑；②中满足拓扑集合的3个要求，故②是集合X 上的一个拓扑；③中满足拓扑集合的3个要求，故③是集合X 上的一个拓扑；④中{a }∪{c }＝{a ，c }∉τ，故④不是集合X 上的一个拓扑；因此集合X 上的拓扑的集合τ的序号是②③，故选：D ．16．（2022秋·上海浦东新·高一上海市建平中学校考开学考试）定义集合运算{=A B x x A -∈且}x B ∉称为集合A 与集合B 的差集；定义集合运算()()A B A B B A ∆=--U 称为集合A 与集合B 的对称差，有以下4个命题：①A B B A∆=∆②()()A B C A B C ∆∆=∆∆③()()()A B C A B A C ∆=∆I I I ④()()()A B C A B A C ∆=∆U U U 则4个命题中是真命题的是（）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【答案】B【分析】利用题中定义可判断①的正误；利用韦恩图法可判断②④；利用题中定义与集合运算可判断③的正误.【详解】对于①，()()()()B A B A A B A B B A A B ∆=--=--=∆ ，①对；对于②，{=A B x x A -∈且}{x B x x A ∉∈且()}()=x A B A A B ∉⋂-⋂，同理()B A B A B -=- ，则()()()()A B A B B A A B A B ∆=--=- ，所以，()()()A B C A B C A B C ∆∆=∆-∆ 表示的集合如下图中的阴影部分区域所示：同理()()()A B C A B C A B C ∆∆=∆-∆ 也表示如上图阴影部分区域所示，故()()A B C A B C ∆∆=∆∆，②对；对于③，()()()()A B C A B C B C A B C A B C ∆=-=- ()()()()()()A B A C A B A C A B A C =-=∆ ，③对；对于④，如下图所示：所以，()()()A B C A B A C ∆≠∆U U U ，④错.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查集合中的新定义问题，解题的关键在于利用韦恩图法来表示集合，利用数形结合思想来进行判断.二、多选题17．（2022秋·江苏苏州·高一星海实验中学校考期中）整数集Z 中，被4除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，其中{}0,1,2,3k ∈，记为[k ，即[]{}4,Z k x x n k n ==+∈，以下判断正确的是（）A ．[]20221∈B ．[]33-∈C ．[][][][]0123Z = D ．若[]0a b -∈，则整数a ，b 属于同一个类【答案】CD【分析】根据给定的定义，计算判断A ，B ；推理判断C ，D 作答.【详解】{}0,1,2,3k ∈，[]{|4,Z}k x x n k n ==+∈，202245052=⨯+，即2022[2]∈，而[1][2]=∅ ，因此2022[1]∉，A 不正确；34(1)1-=⨯-+，即3[1]-∈，而[1][3]=∅ ，因此33[]-∉，B 不正确；因任意一整数除以4，所得余数只能为0或1或2或3，即[][][][]()Z 0123⊆⋃⋃⋃，反之，集合[][][][]0123⋃⋃⋃中任一数都是整数，即[][][][]()0123Z ⋃⋃⋃⊆，所以[][][][]0123Z = ，C 正确；,Z a b ∈，不妨令1122124,4,,Z,a n k b n k n n =+=+∈{}12,0,1,2,3k k ∈，则12124()()a b n n k k -=-+-，因[]0a b -∈，于是得120k k -=，即12k k =，因此整数a ，b 属于同一个类，D 正确.故选：CD18．（2022秋·山西运城·高一山西省运城中学校期中）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(,)M N 为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（）A ．{{Q Q M x x N x x =∈<=∈≥满足戴德金分割B ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素C ．M 没有最大元素，N 没有最小元素D ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素【答案】ABC【分析】根据戴德金分割的定义可判断A ；举例{}{Q 0},Q 0M x x N x x =∈<=∈≥判断B;结合A 中例子可判断C;假设M 有一个最大元素m ，N 有一个最小元素n ,根据戴德金分割定义判断D.【详解】对于A ，{{Q Q M x x N x x =∈<=∈≥满足戴德金分割的定义，A 正确；对于B,取{}{Q 0},Q 0M x x N x x =∈<=∈≥，符合戴德金分割，M 没有最大元素，N 有一个最小元素，B 正确；对于C ，取{{Q Q M x x N x x =∈<=∈≥满足戴德金分割的定义，M 没有最大元素，N 没有最小元素，C 正确；对于D ，假设M 有一个最大元素m ，N 有一个最小元素n ,根据戴德金分割定义，必有m n <，则无法满足Q M N ⋃=，D 错误，故选：ABC .19．（2022秋·四川眉山·高一校考阶段练习）给定集合A ，若对于任意a ，b A ∈，有a b A +∈，且a b A -∈，则称集合A 为闭集合，以下结论正确的是（）A ．集合{}0A ＝为闭集合；B ．集合{}42024A =--,，，，为闭集合；C ．集合{}3|A n n k k =∈Z ＝，为闭集合；D ．若集合12A A 、为闭集合，则12A A ⋃为闭集合．【答案】AC【分析】根据闭集合的定义和集合知识综合的问题,分别判断a b A +∈,且a b A -∈是否满足即可得到结论.【详解】对于A ：按照闭集合的定义，000,000,0.A +=-=∈故A 正确;对于B ：当4,2a b =-=-时,()()426a b A +=-+-=-∉.故{}42024A =--,，，，不是闭集合.故B 错误;对于C ：由于任意两个3的倍数,它们的和、差仍是3的倍数,故{}3|A n n k k =∈Z ＝，是闭集合.故C 正确;对于D ：假设{}1|3,Z A n n k k ==∈,{}2|5,Z A n n k k ==∈.不妨取123,5A A ∈∈,但是,12358A A +=∉⋃,则12A A ⋃不是闭集合.故D 错误.故选：AC三、填空题20．（2022秋·江苏常州·高一常州高级中学校考期中）设集合{}1,2,3,I A I =⊆，若把集合M A I ⋃=的集合M 叫做集合A 的配集，则{}1,2A =的配集有___________个.【答案】4【分析】直接按定义求出符合条件的集合M ，计算个数，得到答案.【详解】解：由题意，M 可以是{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共4个.故答案为：4.21．（2023·全国·高三专题练习）对于非空集合{}()123,,,,0,1,2,3,n i A a a a a a i n =≥= ，其所有元素的几何平均数记为()E A ，即()E A =．若非空数集B 满足下列两个条件：①B A ；②()()E B E A =，则称B 为A 的一个“保均值真子集”，据此，集合{}1,2,4,8,16的“保均值真子集”有__个．【答案】6【分析】求出()4E A =，由此利用列举法能求出集合{}1,2,4,8,16的“保均值真子集”的个数．【详解】因为集合{}1,2,4,8,16A =，则()4E A ==，所以，集合{}1,2,4,8,16的“保均值真子集”有：{}4、{}1,16、{}2,8、{}1,4,16、{}2,4,8，{}1,2,8,16，共6个.故答案为：6.22．（2020秋·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）设集合{}1,2,3,,n S n = ，若n X S ⊆，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量（若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若X 的容量为奇（偶）数，则称X 为n S 的奇（偶）子集，则5S 的所有奇子集的容量之和为______.【答案】47【分析】写出所有的奇子集，从而求出所有奇子集的容量之和.【详解】当5n =时，{}51,2,3,4,5S =，含有一个元素的奇子集为{}{}{}1,3,5，含有两个元素的奇子集为{}{}{}1,3,1,5,3,5，含有三个元素的奇子集为{}1,3,5，故所有奇子集的容量之和为13513153513547+++⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.故答案为：47.23．（2022秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，若1k A -∉，且1k A +∉，则称k 是A 的一个“孤立元”，集合{}1235T =,,,中的“孤立元”是___________；对给定的集合{}123456S =,,,,,，由S 中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有___________个．【答案】56【分析】①根据题意，依次判断每个元素是否为“孤立元”即可；②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k 相邻的元素，依次写出满足不含“孤立元”的集合即可.【详解】解：①对于1，112T +=∈，则1不是“孤立元”；对于2，211T -=∈，且213T +=∈，则2不是“孤立元”；对于3，312T -=∈，则3不是“孤立元”；对于5，514T -=∉，且516T +=∉，则5是“孤立元”；②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k 相邻的元素，所以由S 中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有{}1,2,3,4，{}1,2,4,5，{}1,2,5,6，{}2,3,4,5，{}2,3,5,6，{}3,4,5,6，共6个，故答案为：5；6.24．（2021秋·上海徐汇·高一位育中学校考阶段练习）若一个非空数集F 满足：对任意,a b F ∈，有a b +，a b -，ab F ∈，且当0b ≠时，有a F b∈，则称F 为一个数域，以下命题中：（1）0是任何数域的元素；（2）若数域F 有非零元素，则2021F ∈；（3）集合{|3,Z}P x x k k ==∈为数域；（4）有理数集为数域；真命题的个数为________【答案】3【分析】根据新定义逐一判断即可求解【详解】（1）当a b =时，0a b -=属于数域，故（1）正确，（2）若数域F 有非零元素，则1b F b=∈，从而112,21,,202012021F F F +=∈+∈+=∈ ，故（2）正确；（3）由集合P 的表示可知得x 是的倍数，当6,3a b ==时，623a Pb ==∉，故（3）错误，（4）若F 是有理数集，则当a ，b F ∈，则a b +，a b -，ab F ∈，且当0b ≠时，a F b ∈”都成立，故（4）正确，故真命题的个数是3.故答案为：325．（2022秋·北京·高一校考阶段练习）已知集合A ，B 满足：（1）A B =Q ，A B ⋂=∅；（2）1x A ∀∈，若2Q x ∈且21x x <，则2x A ∈；（3）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈.给出以下命题：①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数；②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数；③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数；④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数.其中，所有正确结论的序号是___________.【答案】②③【分析】根据集合中元素的特点进行判断A ，B 的关系．【详解】解：依题意可判断集合A 中的元素都小于集合B 中的元素，若集合A 的元素没有最大数，则必然存在一个数x ，使得1x A ∀∈，1x x <；如果x 是有理数，则x B ∈，且1y B ∀∈，1y x ≥，则B 有最小数为x ；如果x 是无理数，则x B ∉，且1y B ∀∈，1y x >，则B 没有最小数；故②正确；若集合A 的元素有最大数，则必然存在一个有理数x ，使得1x A ∀∈，1x x ≤；1y B ∀∈，1y x >，则B 没有最小数；故③正确；故答案为：②③．26．（2022秋·江苏淮安·高三校联考期中）用()Card A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()()()()()()()(),,Card A Card B Card A Card B A B Card B Card A Card A Card B ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩ ，若{}2,3A =，()(){}2210B x x mx x mx =+++=，且1A B = ，若B 中元素取最少个数时m =______.若B 中元素取最多个数时，请写出一个符合条件的集合B =______.【答案】0{}2,1,0--或{}0,1,2【分析】由题意，分情况求得()Card B ，可得方程根的情况，可得答案．【详解】由题意，可知()2Card A =，当()()Card B Card A >时，()()1A B Card B Card A =-= ，则()3Card B =；当()()Card A Card B ≥时，()()1A B Card A Card B =-= ，则()1Card B =；故B 中元素最少个数为1，此时，方程()()2210x mx x mx +++=存在唯一根，由2()x mx x x m +=+知该方程必有一个根为0，故0m -=，即0m =；同时，也可知B 中元素最多个数为3，则方程()()2210x mx x mx +++=存在三个根，则0m ≠，此时，20x mx +=必定存在两个不等实根10x =和2x m =-，则方程210x mx ++=存在唯一实根或存在两个不相等的实根但其中一个根为m -，①当210x mx ++=存在唯一实根时，由240m ∆=-=得2m =±，当m ＝2时，方程为2210x x ++=，其根31x =-，同时22x =-，故此时{}0,2,1B =--；当m ＝－2时，方程为2210x x -+=，其根31x =，同时22x =，故此时{}0,2,1B =；②当210x mx ++=存在两个不相等的实根但其中一个为m -时，()()210m m m -+⋅-+=，不成立；综上，B 中元素最多个数为3时，{}0,2,1B =--或{}0,2,1．故答案为：0；{}0,2,1--或{}0,2,1．【点睛】根据题目中的新定义，直接应用，求得结论，根据集合中元素的个数，可得方程根的情况，结合二次方程的解法，可得答案．27．（2022秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）对于集合{|}x a x b ≤≤，我们把b a -称为该集合的长度，设集合2{|1927},{|(21094)(1094)0}A x a x a B x x b x b b =≤≤+=--+-≤，且,A B 都是集合{|02022}U x x =≤≤的子集，则集合A B ⋂的长度的最小值是_______．【答案】999【分析】根据题中定义，结合解一元二次不等式的方法、子集的定义、交集的定义分类讨论进行求解即可.【详解】()(){}{}221094109401094B xx b x b b x b x b =--+-≤=-≤≤∣，因为,A B 都是集合{}02022U xx =≤≤∣的子集，所以019272022001094109420222022a a ab b b ≤⎧⎪+≤≤≤⎧⎪⇒⎨⎨≤-≤≤⎩⎪⎪≤⎩，所以{}10941927A B x b x a ⋂=-≤≤+或{}A B x a x b ⋂=≤≤，所以A B ⋂的长度为1927(1094)3021a b a b +--=-+或b a -，所以当0,2022a b ==时，或95,1094a b ==，A B ⋂的长度的最小值为999故答案为：99928．（2023·全国·高一专题练习）设S 、T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：（ⅰ）(){}T f x x S =∈；（ⅱ）对任意12,x x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：①N A =，B 为正整数集；②{}13A x x =-≤≤，{}810B x x =-≤≤；③{}01A x x =<<，R B =．其中，“保序同构”的集合对的序号______．（写出所有“保序同构”的集合对的序号）【答案】①②③【分析】利用两个集合“保序同构”的定义，能够找出存在一个从S 到T 的函数进行判断即可【详解】条件（ⅰ）（ⅱ）说明S 到T 是一个一一映射，且函数为单调递增函数.对于①，可拟合函数1()y x x N =+∈满足上述两个条件，故是保序同构；对于②，可拟合函数8,(1)5(1),(13)2x y x x -=-⎧⎪=⎨--<≤⎪⎩满足上述两个条件，故是保序同构；对于③，可考虑经过平移压缩的正切函数也满足上述两个条件，故都是保序同构；故答案为：①②③四、解答题29．（2022秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）已知M 是满足下列条件的集合：①0M ∈，1M ∈；②若x y M ∈，，则x y M -∈；③若x M ∈且0x ≠，则1M x∈.（1）判断1M -∈是否正确，说明理由；（2）证明：13M ∈；（3）证明：若x y M ∈，，则x y M +∈且xy M ∈.【答案】（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据定义确定M 包含元素1-；（2）根据定义依次确定M 包含元素11,2,3,3-；（3）根据定义确定M 包含元素y -，即得x y M +∈结论；根据定义依次确定M 包含元素2221111()()1,,,(1),,,,1(1)22x y x y x x x x xy x x x x x +---=---,即得xy M ∈结论．【详解】（1）1M -∈正确，证明如下：由①知0M ∈，1M∈由②可得011M -=-∈；（2）证明：由（1）知1M -∈，又1M∈∴()112M --=∈，()213M--=∈由③得13M ∈；（3）证明：由①知0M∈由题知y M ∈，∴由②可得0y y M-=-∈又∵x M ∈，∴()x y M --∈，即x y M +∈；证明：由x M ∈，y M ∈，当0x =时，则0=∈xy M ；当1x =时，则=∈xy y M ；当0x ≠且1x ≠时，由②可得1x M -∈，再由③可得1M x∈，11M x ∈-∴111M x x -∈-即()11M x x ∈-，∴()1x x M -∈即2x x M -∈，∴2x M ∈即当x M ∈，2x M∈又因为当,x y M ∈，x y M +∈，∴112M x x x +=∈，∴2M x∈∴当,x y M ∈，可得()22222,,,22x y x y x y M ++∈∴()22222x y x y xy M ++-=∈．【点睛】关键点点睛：本题考查新定义判断元素与集合关系，正确理解新定义是解题的关键．30．（2022秋·北京·高一北京市第十三中学校考期中）设A 是实数集的非空子集，称集合{},,B u v u v A u v =+∈≠且为集合A 的生成集．(1)当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；(2)若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值．【答案】(1){}5,7,8(2)7【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解；（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解.【详解】（1）根据题意，{}2,3,5A =，235,257,358+=+=+=，{}5,7,8B ∴=（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，12131415253545a a a a a a a a a a a a a a ∴+<+<+<+<+<+<+所以B 中元素个数大于等于7个，所以生成集合B 中元素个数最小值为7.。

2008年高考数学创新试题赏析江西省吉水中学 周湖平 331600纵观2008年全国各地的高考试题，出现了一引些内容立意深，情境设置新、设问方式新或题型结构新的创新试题，它与新课标要求学生“对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，才是解决问题的思路，创造性解决问题”的思想相吻合，体现出高考支持课改并服务于课改的指导思想。

突出考查学生的探究能力、创新意识，创新试题构成了高考试题中一道亮丽的风景线。

本文将对08年高考全国各地卷中创新试题归纳分析，以供参考。

1 定义新集合例 1 定义集合运算:{},,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B * 的所有元素之和为 （ ）A ．0B ．2C ．3D ．6（2008年江西省数学高考试题） 分析：由题意得，*{0,2,4}A B =，其所有元素和为6，故选D点评：利用集合描述法中的P 的性质，直接求出Z 的所有可能取值，注意不要遗漏，求解过程中运用了简单的分类讨论思想。

新集合在高考中常考常新，如曾经出现的差集、幂集等。

2 定义新函数例2 设［x ］表示不超过x 的最大整数（如［2］=2, ［54］=1）,对于给定的n ∈N *,定义[][](1)(1)(1)(1)x n n n n x C x x x x --+=--+ ，x ∈[)1,+∞,则当x ∈3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，函数8x C 的值域是（ ）A.16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.284,3⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭[)28,56 D.16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦（2008年湖南省数学高考试题）分析：依题意，当,2⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭3x 2时，[]1x =，此时88164,3x c x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦；[)2,3x ∈当时，[]2=x ，此时8875628,28(1)(1)3x c x x x x ⨯⎛⎤==∈ ⎥--⎝⎦。

有关实数新题赏析
一、开放型
例1．在图所示的两个集合中各有一些实数，请你分别从中选出2个有理数和2个无理数，再用+，－，×，÷中的3种符号将选出的4个数进行3次运算，使得运算的结果是一个正整数.
解析：因为有理数之间进行加减乘除运算后仍是有理数，所以解题的关键是如何选择2个无理数，再进行合适的运算，使其结果为有理数（正整数）.注意到同类二次根式的积或商可能是有理数，因此可以构造下列运算式子（不唯一）：7)8(203=-⨯-+.
二、定义新运算型
例2．定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为3n+5，②当n 为偶数时，结果为k 2n （其中k 是使k
2n 为奇数的正整数），运算重复进行下去.例如，取n=26，运算如图.
若449n =，则第449次“F 运算”的结果是__________.
解析：乍一看，好像没有什么规律.这时需要不畏困难、勇于探索的精神.先模仿范例对449n =算几次看一看，如下图.
继续算下去，会发现结果总是1和8循环出现，而且第奇数次“F运算”的结果是8，故填8.。