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4-1 对三个余弦信号x1(t)=cos2πt，x2(c)=cos6πt，x3(t)=cos10πt进行理想采样，采样频率fs=4Hz，求三个采样输出序列，比较这三个结果，画出x1(t)、x2(t)、x3(t)的波形及采样点的位置，并解释频率混叠现象。
4-2 已知信号x(t)=1+sinω0t+2cos3ω0t，试用傅里叶级数展开式求其复数形式的幅值谱与相位谱，再用傅里叶变换式求其幅值谱密度和相位谱，并绘出图形作比较。
4-3 试说明在A/D转换过程中产生量化误差的原因以及减小量化误差的方法。
答：量化过程实际上是把采样信号经过舍入或截尾的方法变为只有有限个有效数字的数的过程。
该过程是将被测信号的变化范围划分为若干区间，每个区间都用同一个整量化数字夹代替。
显然只有那些正好位于区间量化电平上的离散值，才能精确的转换为量化的数字值，而那些位于区间内的离散值，只能用舍入的办法，近似到最近的量化电平上，经过舍入或截尾的方法变为有限值时，量化误差就产生了，最大量化误差为。
减小量化误差，可以增加等分数，越小，量化误差越小。
4-4 电桥有哪两种类型?各有什么特点?电桥是如何进行平衡的?答：根据所用的激励电源的类型，电桥可分为直流电桥和交流电桥两大类；直流电桥采用直流电源作为激励电源，直流电源稳定性高，电桥的输入时直流量，可以用直流仪表测量，精度高。
电桥与后接仪表间的连线不会形成分布参数，因此对导线连接方式要求较低。
另外，电桥的平衡电路简单、调整容易，只要对纯电阻的桥臂进行调整即可。
直流电桥的缺点是易引入人工干扰。
由于输入为直流量，而后续放大器一般都比较复杂，易受零漂和接地电位的影响，所用直流电桥一般只适用于静态量的测量。
交流电桥在使用中影响测量精度及误差的因素比直流的多的多，且一般情况下，激励电源必须具有良好的电压波形和频率稳定性。
作为交流电桥电源，一般采用5kHz~10kHz的声频交流电源。
这样电桥输出将为调制波，外界工频干扰不易被引入电桥线路中，并且后接交流放大电路既简单而又无零漂问题。
![2008 机械工程测试技术 第四章 [3]](https://img.taocdn.com/s1/m/71fe3204bed5b9f3f90f1ced.png)
机械工程测试技术课后习题及答案第一章传感器及检测系统的基本概念1、检测系统由哪几部分组成？说明各部分的作用2、怎样选择仪表的量程大小？3、测量误差可以分为哪几类？引起各类误差的原因是什么？4、传感器按照被测物理量来分，可以分为哪几种？5、某电路中的电流为10A，用甲乙两块电流表同时测量，甲表读数为10.8A，乙表读数为9.5A，请计算两次测量的绝对误差和相对误差。
6、用1.0级量限100V的电压表甲，0.5级量限250V的电压表乙分别测量某电压，读数皆为80V，试比较两次测量结果的准确度。
7、有三台测温仪表，量程均为0～800℃，精度等级分别为2.5级、2.0级和1.5级，现要测量500℃的温度，要求相对误差不超过2.5%，选哪台仪表合理？解答：1、一个完整的工程检测系统包括：传感器、信号调理电路、信号处理电路和显示记录部分。
各部分作用：传感器——感受被测量，并将其转换为电信号；信号调理电路——将传感器输出信号进行放大和转换；信号处理电路——对电信号进行计算和分析；显示记录部分——显示记录测试结果。
2、应根据被测量的大小，兼顾仪表的准确度等级和量程，使其工作在不小于满度值2/3以上的区域。
3、测量误差可以分为：系统误差、随机误差和疏失误差三类。
引起的原因如下:系统误差——仪器误差、零位误差、理论误差、环境误差和观察者误差等随机误差——温度、磁场，零件摩擦、间隙，气压和湿度的变化，测量人员分辨本领的限制等疏失误差——操作、读数、记录和计算等方面的人为误差等4、传感器按被测物理量可以分为：位移传感器、速度传感器、加速度传感器、温度传感器、压力传感器等。
5、绝对误差：△I= I﹣I=10.8-10=+0.8A；△I= I﹣I=9.5-10=﹣0.5A相对误差：γ甲=△I甲/ I0=+0.8/10=8%；γ乙=△I乙/ I0=﹣0.5/10=﹣5%6、最大绝对误差：△V m甲=±K%·V m甲=±1.0%×100=±1.0V；△V m乙=±K%·V m乙=±0.5%×250=±1.25V最大相对误差：γm甲=△V m甲/ V=±1.0/80=±1.25%；γm乙=△V m乙/ V=±1.25/80=±1.56%故：甲表测量结果的准确度高于乙表。
1 求周期方波的傅立叶级数（复指数函数形式），画出|cn|-ω和ϕ-ω图。
(1)方波的时域描述为：(2) 从而：2 . 求正弦信号的绝对均值和均方根值。
(1)(2)3.求符号函数和单位阶跃函数的频谱解：(1)因为不满足绝对可积条件，因此，可以把符合函数看作为双边指数衰减函数：其傅里叶变换为：(2)阶跃函数：4. 求被截断的余弦函数的傅里叶变换。
解：(1)被截断的余弦函数可以看成为：余弦函数与矩形窗的点积，即：(2)根据卷积定理，其傅里叶变换为：5.设有一时间函数f(t)及其频谱如图所示。
现乘以余弦函数cosω0t（ω0>ωm）。
在这个关系中函数f(t)称为调制信号，余弦函数cosω0t称为载波。
试求调幅信号的f(t)cosω0t傅氏变换，并绘制其频谱示意图。
又：若ω0<ωm将会出现什么情况？解：(1)令(2) 根据傅氏变换的频移性质，有：频谱示意图如下：(3) 当ω0<ωm时，由图可见，出现混叠，不能通过滤波的方法提取出原信号f(t)的频谱。
6.求被截断的余弦函数的傅立叶变换。
解：方法一：方法二：(1)其中为矩形窗函数，其频谱为：(2)根据傅氏变换的频移性质，有：第二章4. 求指数衰减函数的频谱函数，（）。
并定性画出信号及其频谱图形。
解：（1）求单边指数函数的傅里叶变换及频谱（2）求余弦振荡信号的频谱。
利用函数的卷积特性,可求出信号的频谱为其幅值频谱为a a`b b`c c`题图信号及其频谱图注：本题可以用定义求，也可以用傅立叶变换的频移特性求解。
5 一线性系统，其传递函数为，当输入信号为时，求：（1）；（2）；（3）；（4）。
解：(1) 线性系统的输入、输出关系为：已知，则由此可得：(2) 求有两种方法。
其一是利用的傅立叶逆变换；其二是先求出，再求，其三是直接利用公式求。
下面用第一种方法。
（3）由可得：(4) 可以由的傅立叶逆变换求得，也可以直接由、积分求得：第三章1.说明线性系统的频率保持性在测量中的作用。
第一章习题1.测试技术的静态特性是什么?其用哪些性能指标来描述?它们一般用哪些公式表示?①测试技术的静态特性是指被测量的值处于稳定状态时，测试技术的输入与输出之间的关系。
②衡量测试技术静态特性的主要指标有线性度、灵敏度、迟滞、重复性、分辨率、阈值、稳定性、漂移和静态误差。
③线性度、灵敏度、迟滞、重复性、分辨率、阈值、稳定性、漂移和静态误差。
2.测试技术的动态特性是什么?其分析方法有哪几种①测试技术的动态特性是指测试技术的输出对随时间变化的输入量的响应特性，它反映了输出值真实再现变化着的输入量的能力。
②阶跃响应、频率响应3.测试技术数学模型的一般描述方法有哪些?传感器数学模型可分为静态和动态数学模型。
其中传感器静态数学模型一般多用多项式来描述，而动态数学模型通常采用微分方程和传递函数等来描述。
4.测试技术系统有哪些典型环节?写出不同环节的微分方程。
输入，输出方程、传递函数、频率响应和单位阶跃5.为什么说零阶测试技术的动态特性是最理想的?因为零阶没有滞后6.简述系统误差和随机误差出现的原因及特点。
系统误差：系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素所造成的。
系统误差的特征是：在同一条件下多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变；或当条件改变时，按一定规律变化。
系统误差在某些情况下对测量结果的影响还比较大，因此，研究系统误差产生的原因，发现、减小或消除系统误差，使测量结果更加趋于正确和可靠，是误差理论的重要课题之一，是数据处理中的一个重要的内容。
随机误差：随机误差是由于感官灵敏度和仪器精密程度的限制、周围环境的干扰及伴随着测量而来的不可预料的随机因素的影响而造成的。
它的特点是大小无定值，一切都是随机发生的，因而又把它称为偶然误差7.标准误差的意义是什么?标准误越小，抽样误差越小，样本对总体的代表性越好8.有效数字的运算原则和规则是什么?有效数字的确定方法是什么? 一般规定，数值中的可靠数字与所保留的1位(或2位)可疑数字统称为有效数字。
第一章习题一、选择题1.描述周期信号的数学工具是（ ）。
A.相关函数B.傅氏级数C. 傅氏变换D.拉氏变换2. 傅氏级数中的各项系数是表示各谐波分量的（ ）。
A.相位B.周期C.振幅D.频率3.复杂的信号的周期频谱是（ ）。
A ．离散的 B.连续的 C.δ函数 D.sinc 函数4.如果一个信号的频谱是离散的。
则该信号的频率成分是（ ）。
A.有限的B.无限的C.可能是有限的，也可能是无限的5.下列函数表达式中，（ ）是周期信号。
A. 5cos10()0x t ππ ≥⎧= ⎨≤⎩当t 0当t 0 B.()5sin2010cos10)x t t t t ππ=+ (-∞<<+∞ C.()20cos20()at x t e t t π-= -∞<<+∞6.多种信号之和的频谱是（ ）。
A. 离散的B.连续的C.随机性的D.周期性的７.描述非周期信号的数学工具是（ ）。
A.三角函数B.拉氏变换C.傅氏变换D.傅氏级数８.下列信号中，（ ）信号的频谱是连续的。
A.12()sin()sin(3)x t A t B t ωϕωϕ=+++B.()5sin 303sin 50x t t t =+ C.0()sin at x t e t ω-=⋅９.连续非周期信号的频谱是（ ）。
A.离散、周期的B.离散、非周期的C.连续非周期的D.连续周期的10.时域信号，当持续时间延长时，则频域中的高频成分（ ）。
A.不变B.增加C.减少D.变化不定11.将时域信号进行时移，则频域信号将会（ ）。
A.扩展B.压缩C.不变D.仅有移项12.已知 ()12sin ,()x t t t ωδ=为单位脉冲函数，则积分()()2x t t dt πδω∞-∞⋅-⎰的函数值为（ ）。
A ．6 B.0 C.12 D.任意值13.如果信号分析设备的通频带比磁带记录下的信号频带窄，将磁带记录仪的重放速度（ ），则也可以满足分析要求。
第二章 信号描述及其分析【2-1】 描述周期信号的频率结构可采用什么数学工具? 如何进行描述? 周期信号是否可以进行傅里叶变换? 为什么?参考答案：一般采用傅里叶级数展开式。
根据具体情况可选择采用傅里叶级数三角函数展开式和傅里叶级数复指数函数展开式两种形式。
不考虑周期信号的奇偶性,周期信号通过傅里叶级数三角函数展开可表示为:n A =(2022()cos T n T a x t n tdt T ω-=⎰ 202()sin T n T b x t n tdt T ω-=⎰ ) 式中，T 为信号周期, 0ω为信号角频率, 02T ωπ=。
n A ω-图为信号的幅频图, n ϕω-图为信号的相频图。
周期信号通过傅里叶级数复指数函数展开式可表示为:n C 是一个复数,可表示为:n C ω-图为信号的幅频图, n ϕω-图称为信号的相频图。
▲ 不可直接进行傅里叶变换,因为周期信号不具备绝对可积条件。
但可间接进行傅里叶变换。
参见书中第25页“正弦和余弦信号的频谱”。
【2-2】 求指数函数()(0,0)at x t Ae a t -=>≥的频谱。
参考答案：由非周期信号的傅里叶变换，()()j t X x t e dt ωω∞--∞=⎰，得由此得到，幅频谱为：()A X ω= 相频谱为： ()arctan()a ϕωω=-【2-3】 求周期三角波（图2-5a ）的傅里叶级数（复指数函数形式） 参考答案：周期三角波为： (2)20()(2)02A A t T t x t A A T tt T +-≤<⎧=⎨-≤≤⎩ 则 0221()T jn t n T C x t e dt T ω--=⎰ 积分得 02222204(1cos )(1cos )2n A T A C n n n T n ωπωπ=-=-即 22()1,3,5,00,2,4,n A n n C n π⎧=±±±=⎨=±±⎩L L又因为周期三角波为偶函数，则0n b =，所以arctan 0n nI nR C C ϕ== 所以，周期三角波傅里叶级数复指数形式展开式为：【2-4】 求图2-15所示有限长余弦信号()x t 的频谱。
第一章单元测试1、多选题：测试系统由（）组成。
选项：A:测量装置B:试验装置C:数据处理装置D:显示记录装置答案: 【测量装置;试验装置;数据处理装置;显示记录装置】2、单选题：下列哪一种是人工产生信号经自然的作用影响而形成的信号（）。
选项：A:振动信号B:机械探伤信号C:地震信号D:物理信号答案: 【机械探伤信号】3、判断题：试验装置是使被测对象处于预定的状态下，并将其有关方面的内在联系充分显露出来，以便进行有效测量的一种专门装置（）选项：A:对B:错答案: 【对】4、判断题：测试装置是将测量装置输出的信号进一步进行处理，以排除干扰和噪声污染，并清楚地估计测量数据的可靠程度。
（）选项：A:错B:对答案: 【错】5、判断题：显示记录装置是测试系统的输出环节，它可将对被测对象所测得的有用信号及其变化过程显示或记录（或存储）下来，数据显示可以用各种表盘、电子示波器和显示屏等来实现。
（）选项：A:对B:错答案: 【对】第二章单元测试1、单选题：下列函数表达式中，（）是周期信号。
选项：2、单选题：.()sin2cos3 fttt =+ 的基本周期是（）。
选项：A:4πB:2πC:πD:3π答案: 【3π】3、单选题：信号可以分为能量信号和（）。
选项：A:功率信号B:物理信号C:振动信号D:确定信号答案: 【功率信号】4、多选题：δ函数的性质有（）。
选项：A:视域扩散性B:偶函数对称性C:原点对称性D:抽样特性答案: 【视域扩散性;偶函数对称性;抽样特性】5、判断题：在信号分析中，以信号的实际用途加以分类，这样信号可以分为确定性信号与非确定性信号、能量信号与功率信号、时限信号与频限信号、连续时间信号与离散时间信号等。
（）选项：A:错B:对答案: 【错】第三章单元测试1、多选题：（）不属于测试系统的静特性。
选项：A:回程误差B:阻尼系数C:线性度D:灵敏度答案: 【阻尼系数;线性度;灵敏度】2、单选题：从时域上看，系统的输出是输入与该系统（）响应的卷积选项：A:阶跃B:斜坡C:脉冲D:正弦答案: 【脉冲】3、判断题：一线性系统不满足“不失真测试”条件，若用它传输一个1000Hz的正弦信号，则必然导致输出波形失真。
4-1 对三个余弦信号x 1(t)=cos2πt ，x 2(c)=cos6πt ，x 3(t)=cos10πt 进行理想采样，采样频率
f s =4Hz ，求三个采样输出序列，比较这三个结果，画出x 1(t)、x 2(t)、x 3(t)的波形及采样点的位置，并解释频率混叠现象。
4-2 已知信号x(t)=1+sinω0t+2cos3ω0t ，试用傅里叶级数展开式求其复数形式的幅值谱与相位
谱，再用傅里叶变换式求其幅值谱密度和相位谱，并绘出图形作比较。
4-3 试说明在A/D 转换过程中产生量化误差的原因以及减小量化误差的方法。
答：量化过程实际上是把采样信号)(t x s 经过舍入或截尾的方法变为只有有限个有效数字的数的过程。
该过程是将被测信号的变化范围划分为若干区间，每个区间都用同一个整量化
数字夹代替。
显然只有那些正好位于区间量化电平上的离散值，才能精确的转换为量化的数字值，而那些位于区间内的离散值，只能用舍入的办法，近似到最近的量化电平上，经过舍入或截尾的方法变为有限值时，量化误差就产生了，最大量化误差为2/x ∆。
减小量化误差，可以增加等分数，x ∆越小，量化误差越小。
4-4 电桥有哪两种类型?各有什么特点?电桥是如何进行平衡的?
答：根据所用的激励电源的类型，电桥可分为直流电桥和交流电桥两大类；
直流电桥采用直流电源作为激励电源，直流电源稳定性高，电桥的输入0U 时直流量，可以用直流仪表测量，精度高。
电桥与后接仪表间的连线不会形成分布参数，因此对导线连接方式要求较低。
另外，电桥的平衡电路简单、调整容易，只要对纯电阻的桥臂进行调整即可。
直流电桥的缺点是易引入人工干扰。
由于输入为直流量，而后续放大器一般都比较复杂，易受零漂和接地电位的影响，所用直流电桥一般只适用于静态量的测量。
交流电桥在使用中影响测量精度及误差的因素比直流的多的多，且一般情况下，激励电源必须具有良好的电压波形和频率稳定性。
作为交流电桥电源，一般采用5kHz~10kHz 的声频交流电源。
这样电桥输出将为调制波，外界工频干扰不易被引入电桥线路中，并且后接交流放大电路既简单而又无零漂问题。
直流电桥的平衡，常用的是差动串联平衡和差动并联平衡。
交流电桥的平衡，交流电桥平衡必须同时满足模和阻抗角的两个条件。
4-5 以阻值R=120Ω、灵敏度S g =2的电阻丝应变片与阻值为120Ω的固定电阻组成电桥，供
桥电压为3V ，假定负载电阻为无穷大，当应变片的应变为2με和2000με 时，分别求出单臂、双臂电桥的输出电压，并比较两种情况下的电桥灵敏度。
解:(1)单臂电桥输出电压。
①当应变片为2με时，
②当应变片为2000με时，
（2）双臂电桥输出电压。
①当应变片为2με时，
②当应变片为2000με时，
（3）双臂电桥比单臂电桥的电压输出灵敏度提高一倍。
4-6 有人在使用电阻应变仪时，发现灵敏度不够，于是试图在工作电桥上增加电阻应变片数
来提高灵敏度。
试问，下列情况是否可以提高电阻应变仪的灵敏度?为什么? (1)半桥双臂各串联一片； (2)半桥双臂各并联一片。
答：（1）这种情况不能提高电阻应变仪的灵敏度，因为半桥双臂时，其输出电压为：
12o i R u u R
∆=
当两桥臂各串联电阻应变片时，其电阻的相对变化量为
22R R
R R
∆∆= 即仍然没有发生变化，故灵敏度不变。
（2）半桥双臂各并联一片，桥臂上的等效电阻变化和等效总电阻都降低了一半，电阻的相
对变化也没有增加，故这个方法也不能提高灵敏度。
4-7 用电阻应变片连接成全桥，测量某构件的应变，已知其变化规律为 Ε(t)=Acos10t 十Bcos100t
如果电桥激励电压u 0=Csin10000t ，试求此电桥的输出信号频谱。
解：全桥时，电桥输出电压为：，k 为常数，应变片的灵敏度及电桥的接
法有关，则
4-8 调制与解调在时域和频域分别是什么样的运算过程?
4-9 实现幅值调制解调有哪几种方法?各有何特点? 答：幅值调制的解调常用的有三种方法：
（1）同步解调：该方法是将调幅波再次与原载波信号相乘，则频域的频谱图形将再一次被搬
移，使原信号的频谱图形平移到0和0f 2±的频率处。
再使用低通滤波器过滤掉0f 2±处的高频成分，即可保留原信号的频谱。
同步解调方法简单，单要求有良好的线性乘法器，否则将引起信号的失真。
（2）整流检波：整流解调的关键是准确加、减偏置电压。
若锁甲偏置电压未能使调制信号电压位于零位的同一侧，那么在调幅后边不能简单的通过整流滤波来恢复原信号。
（3）相敏检波：特点是可以鉴别调制信号的极性，所以采用此方法不必再加直流偏置。
4-10 已知调幅波x a(t)=(100+30cosωt+20cos3ωt)cosω0t
其中载波频率f0=2πω0=10kHz，调制信号基频f1=2πω1=500Hz，试求：
(1)x a(t)所包含的各分量的频率及幅值；
(2)绘出调制信号与调幅波的频谱。
解：（1）
各频率分量的频率幅值分别为：10000Hz/100，9500Hz/15，10500Hz/15，
8500Hz/10，11500Hz/10.
2）调制信号，
各分量频率/幅值分别为：0Hz/100，500Hz/30，1500Hz/20。
调制信号与调幅的频谱如图所示。
4-11 试从调幅原理说明，为什么某动态应变仪的电桥激励电压频率为10kHz，而工作频率为0～1500Hz?
解答：为了不产生混叠，以及解调时能够有效地滤掉高频成分，要求载波频率为5-10倍调制信号频率动态应变仪的电桥激励电压为载波，频率为10kHz，所以工作频率（即允许的调制信号最高频率）为0～1500Hz是合理的。
4-12 试述频率调制与解调的原理。
4-13 信号滤波的作用是什么?滤波器的主要功能和作用有哪些?
答：滤波是让被测信号中的有效成分通过而降其中不需要的成分或噪声抑制或衰减掉的一种过程。
4-14 根据滤波器的选频方式一般可将滤波器分为哪四种类型?图示其幅频特性，并简述其特征。
答：①低通滤波器0﹤f﹤f2之间为通频带，f﹥f2的频率成分极大地衰减；
②高通滤波器f1﹤f﹤∞之间为通频带，f﹤f1的频率成分极大地衰减；
③带通滤波器f1﹤f﹤f2之间为通频带，其它的频率成分极大地衰减；
④带阻滤波器f1﹤f﹤f2之间为通频带，其它的频率成分通频带。
4-15 什么是滤波器的分辨力?它与哪些因素有关?
答：滤波器的分辨力是指滤波器分辨相邻频率成分的能力。
与滤波器带宽B、品质因数Q、倍频程选择性、滤波器因数等有关。
带宽越小、品质因数越大、倍频程选择性越小、滤波器因数越小，分辨力越高。
4-16 若将高、低通网络直接串联，如题图4—l所示，问是否能组成带通滤波器?试写
出串联网络的传递函数，分析其幅频、相频特性，并讨论R、C的取值对传输特性的影响。
图4-1
解：
，，，
，，，，可以直接组成带通滤
波器，如下图所示。
4-17一个磁电指示机构和内阻为R i的信号源相连，其转角θ和信号源电压U i的关系可用二阶微分方程来描述，即
设其中动圈部件的转动惯量I=2.5×10-5kg·m2，弹簧刚度k=10-3N·m·rad-1”，线圈匝数n=100，线圈横截面积A=10-4m2，线圈内阻R1=75Ω，，磁通密度B=150Wb·m-1，信号内阻R i=125Ω。
(1)试求该系统的静态灵敏度(rad·V-1)。
(2)为了得到0.7的阻尼比，必须把多大的电阻附加在电路中?改进后系统的灵敏度是多少? 解：1）
式中:，,
静态灵敏度：
阻尼比：
固有频率角：
2）设需要串联的电阻为R，则
解得：，
改进后的系统的灵敏度：
4-18 一个1/3倍频程带通滤波器，当其中心频率f0=80Hz时，其上、下截止频率f c1、f c2分别为多少?
解：由于：，
，
当f n=80Hz时，则有，
4-19 如题图4-2所示电路，当输入信号u x=sinl0t、R=100kΩ、C=1μF时，求输出信号u y。
图4-2
4-20 设一带通滤波器的上截止频率为f c2、下截止频率为f c1、中心频率为f0，试指出下列记述中的正确与错误。
(1)倍频程滤波器人；
(2)；
(3)滤波器的截止频率是指通带幅值衰减3dB处的频率；
(4)倍频程滤波器和1/3倍频程滤波器的下截止频率相同时，前者的中心频率是后者
中心频率的倍，，
解答：1）错误，倍频程滤波器n=1，正确的是f c2=2′f c1=2 f c1
2）正确。
3）正确。
4）正确。
4-21 已知低通滤波器的频率响应函数H(ω)=1/(1+jωr)，式中τ=0.05s，当输入信号
x(t)=0.5cos(10t)+0.2cos(100t-45°)
时，求输出了y(t)，并比较丁y(t)与x(t)的幅值与相位有何区别。
解：
,
,。
