江西省抚州市七校2017届高三数学上学期联考试题 理(扫描版)

2017年江西省七校联考高考数学一模试卷（理科）一、选择题：1．（5分）计算：＝（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i2．（5分）若log a（3a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．a＜B．＜a＜C．a＞1D．＜a＜或a＞13．（5分）设α、β、γ是三个互不重合的平面，l是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l∥α，l⊄β，则l∥β．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．②④D．③④4．（5分）已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这正三棱柱的体积是（）A．18B．16C．12D．85．（5分）已知函数y＝f（x）图象如图，则y＝f（﹣x）sin x在区间[0，π]上大致图象是（）A．B．C．D．6．（5分）已知两个集合，，若A∩B≠∅，则实数λ的取值范围是（）A．[2，5]B．（﹣∞，5]C．D．7．（5分）a＞0，a≠1，函数f（x）＝log a|ax2﹣x|在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是（）A．或a＞1B．a＞1C．D．或a＞18．（5分）设函数y＝f（x）在x0处可导，f′（x0）＝a，若点（x0，0）即为y ＝f（x）的图象与x轴的交点，则[nf（x 0﹣）]等于（）A．+∞B．a C．﹣a D．以上都不对9．（5分）已知椭圆E的离心率为e，两焦点分别为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，点P为这两条曲线的一个交点，若e||＝||，则e的值为（）A．B．C．D．不能确定10．（5分）已知抛物线y2＝2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有（）A．0个B．2个C．4个D．6个11．（5分）掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A+发生的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任意两名学生不能相邻，那么不同的排法共有（）A．36种B．72种C．108种D．120种二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上）13．（4分）在二项式（1+x）n的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数n（n∈N*）的最小值为．14．（4分）若函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a 的取值范围是．15．（4分）已知抛物线y2＝4x的准线是圆x2+y2﹣2Px﹣16+P2＝0的一条切线，则圆的另一条垂直于x轴的切线方程是．16．（4分）下列命题中①A+B＝是sin A＝cos B成立的充分不必要条件．②的展开式中的常数项是第4项．③在数列{a n}中，a1＝2，S n是其前n项和且满足S n+1＝+2，则数列{a n}为等比数列．④设过函数f（x）＝x2﹣x（﹣1≤x≤1）图象上任意一点的切线的斜率为K，则K的取值范围是（﹣3，1）把你认为正确的命题的序号填在横线上．三、解答题（本大题共6小题，满分74分．第17-21题每题12分，第22题14分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知向量＝（sin B，1﹣cos B），且与向量＝（2，0）所成角为，其中A，B，C是△ABC的内角．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求sin A+sin C的取值范围．18．（12分）.有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，最后据各队积分决出名次．规定每场比赛必须决出胜负，其中胜方积2分，负方积1分，已知球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为，且各场次胜负情况彼此没有影响．（1）甲队至少胜一场的概率；（2）求球队甲赛后积分ξ的概率分布和数学期望．19．（12分）设a∈R，函数f（x）＝（ax2+a+1），其中e是自然对数的底数．（1）判断f（x）在R上的单调性；（2）当﹣1＜a＜0时，求f（x）在[1，2]上的最小值．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面P AD是正三角形，且侧面P AD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若AD＝AB，试求二面角A﹣PC﹣D的正切值；（4）当为何值时，PB⊥AC？21．（12分）设f（x）＝（a＞0）为奇函数，且|f（x）|min＝，数列{a n}与{b n}满足如下关系：a1＝2，，．（1）求f（x）的解析表达式；（2）证明：当n∈N+时，有b n≤．22．（14分）已知方向向量为的直线l过点A（）和椭圆的焦点，且椭圆C的中心O和椭圆的右准线上的点B 满足：，||＝||．（1）求椭圆C的方程；（2）设M、N是椭圆C上两个不同点，且M、N的纵坐标之和为1，记u为M、N的横坐标之积．问是否存在最小的常数m，使u≤m恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．2017年江西省七校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．（5分）计算：＝（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i【解答】解：＝＝＝2，故选：A．2．（5分）若log a（3a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．a＜B．＜a＜C．a＞1D．＜a＜或a＞1【解答】解：∵log a（3a﹣1）＞0，∴log a（3a﹣1）＞log a1，当a＞1时，函数是一个增函数，不等式的解是a＞0，∴a＞1；当0＜a＜1时，函数是一个减函数，不等式的解是＜a＜，∴＜a＜综上可知a的取值是a＞1或＜a＜．故选：D．3．（5分）设α、β、γ是三个互不重合的平面，l是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l∥α，l⊄β，则l∥β．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【解答】解：对于①，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ或α，γ相交，故①不正确；对于②，若l上两个点A、B满足线段AB的中点在平面内，则A、B到α的距离相等，但l与α相交，故②不正确；对于③，若l⊥α，l∥β，则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故③正确；对于④，若α∥β且l∥α，可得l∥β或l在β内，而条件中有l⊄β，所以必定l ∥β，故④正确．故选：D．4．（5分）已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这正三棱柱的体积是（）A．18B．16C．12D．8【解答】解：∵一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，设这正三棱柱棱长为2a，如图，则AB＝a，AO′＝a．OO′＝a，∴7＝a2+a2＝a2．整理，得a2＝3，∴a＝．∴棱长为2a＝2．∴这正三棱柱的体积：V＝＝18．故选：A．5．（5分）已知函数y＝f（x）图象如图，则y＝f（﹣x）sin x在区间[0，π]上大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵y＝f（x）图象如图，则y＝f（﹣x）的图象把f（x）的沿y轴对折，再向右平移的单位，当0＜x＜时，sin x＞0，f（﹣x）＞0，故y＞0，当＜x＜π时，sin x＞0，f（﹣x）＜0，故y＜0，故选：D．6．（5分）已知两个集合，，若A∩B≠∅，则实数λ的取值范围是（）A．[2，5]B．（﹣∞，5]C．D．【解答】解：A∩B≠∅，即是说方程组有解．由①得4﹣cos2β＝λ+sinβ，得出λ＝3+sin2β﹣sinβ＝（sinβ﹣）2+；∵sinβ∈[﹣1，1]，∴当sinβ＝时，λ的最小值为，当sinβ＝﹣1时，λ的最大值为5．故选：D．7．（5分）a＞0，a≠1，函数f（x）＝log a|ax2﹣x|在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是（）A．或a＞1B．a＞1C．D．或a＞1【解答】解：∵a＞0，a≠1，令g（x）＝|ax2﹣x|作出其图象如下：∵函数f（x）＝在[3，4]上是增函数，若a＞1，则或，解得a＞1；若0＜a＜1，则，解得≤a≤；故选：A．8．（5分）设函数y＝f（x）在x0处可导，f′（x0）＝a，若点（x0，0）即为y ＝f（x）的图象与x轴的交点，则[nf（x 0﹣）]等于（）A．+∞B．a C．﹣a D．以上都不对【解答】解∵f（x o）＝0，∴nf（x o﹣）＝﹣，∵f（x）在x o处可导，﹣）＝﹣＝﹣＝∴nf（x﹣f′（x0）＝﹣a，故选：C．9．（5分）已知椭圆E的离心率为e，两焦点分别为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，点P为这两条曲线的一个交点，若e||＝||，则e的值为（）A．B．C．D．不能确定【解答】解：作PT垂直椭圆准线l于T，则由椭圆第二定义：丨PF1丨：丨PT 丨＝e又＝e，故丨PT丨＝丨PF2丨，由抛物线定义知l为抛物线准线故F1到l的距离等于F1到F2的距离，即（﹣c）﹣（﹣）＝c﹣（﹣c），整理得：a＝c，e＝＝，故选：C．10．（5分）已知抛物线y2＝2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有（）A．0个B．2个C．4个D．6个【解答】解：如图所示，过焦点F作PF⊥x轴，交抛物线于点P，P′．则△OFP、△OFP′都是直角三角形．而＝＝2＞1，∴∠POF＞45°．∴∠POP′＞90°．∴△POP′不是直角三角形．综上可知：使得△POF是直角三角形的抛物线上的点P有且只有2个．故选：B．11．（5分）掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A+发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：掷一个骰子的试验，基本事件总数n＝6，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A+发生包含的基本事件有：1，2，3，4，共有4个元素，∴一次试验中，事件A+发生的概率为：p＝＝．故选：C．12．（5分）三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任意两名学生不能相邻，那么不同的排法共有（）A．36种B．72种C．108种D．120种【解答】解：设三个学校分别为A，B，C，对应的学生为1，2，3名，分两类：第一类是A、B两个学校的三个学生分别被C学校的三个学生分别隔开有2＝72种；第二类是A、B两个学校中其中一名学生相邻有＝48．根据分类计数计数原理得共有72+48＝120种．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上）13．（4分）在二项式（1+x）n的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数n（n∈N*）的最小值为11．【解答】解：二项式（1+x）n的展开式中，存在系数之比为5：7的相邻两项，∴＝，∴＝，∴k＝，当k＝5时，n min＝11，故答案为：1114．（4分）若函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a 的取值范围是（0，1）∪（1，4]．【解答】解：函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，其真数在实数集上恒为正，即恒成立，即存在x∈R使得≤4，又a＞0且a≠1故可求的最小值，令其小于等于4∵∴4，解得a≤4，故实数a的取值范围是（0，1）∪（1，4]故应填（0，1）∪（1，4]15．（4分）已知抛物线y2＝4x的准线是圆x2+y2﹣2Px﹣16+P2＝0的一条切线，则圆的另一条垂直于x轴的切线方程是x＝﹣9或x＝7．【解答】解：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，而圆方程为（x﹣P）2+y2＝16，又（﹣1，0）在圆上，∴（P+1）2＝16，即P＝﹣5或P＝3，∴另一条切线方程为x＝﹣9或x＝7，故答案为：x＝﹣9或x＝7．16．（4分）下列命题中①A+B＝是sin A＝cos B成立的充分不必要条件．②的展开式中的常数项是第4项．③在数列{a n}中，a1＝2，S n是其前n项和且满足S n+1＝+2，则数列{a n}为等比数列．④设过函数f（x）＝x2﹣x（﹣1≤x≤1）图象上任意一点的切线的斜率为K，则K的取值范围是（﹣3，1）把你认为正确的命题的序号填在横线上①③．【解答】解：①A+B＝，可得A＝﹣B，∴sin A＝cos B，反之sin A＝cos B，A+B＝+2kπ（k∈Z），∴A+B＝是sin A＝cos B成立的充分不必要条件，正确．②的展开式，通项为，令r﹣3＝0，可得r＝2，常数项是第3项，不正确．③在数列{a n}中，a1＝2，S n是其前n项和且满足S n+1＝+2，可得S n＝S n﹣+2，两式相减可得a n+1＝a n，故数列{a n}为等比数列，正确；1④f（x）＝x2﹣x（﹣1≤x≤1），则f′（x）＝2x﹣1∈[﹣3，1]，K的取值范围是[﹣3，1]，不正确．故答案为①③．三、解答题（本大题共6小题，满分74分．第17-21题每题12分，第22题14分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知向量＝（sin B，1﹣cos B），且与向量＝（2，0）所成角为，其中A，B，C是△ABC的内角．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求sin A+sin C的取值范围．【解答】解：（I）∵＝（sin B，1﹣cos B），且与向量＝（2，0）所成角为，∴＝tan＝，∴tan＝，又0＜B＜π，∴0＜＜，∴＝，即B＝，A+C＝；…（6分）（II）由（1）可得sin A+sin C＝sin A+sin（﹣A）＝sin A+cos A﹣sin A＝sin A+cos A＝sin（A+），∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴sin（A+）∈（，1]，则sin A+sin C∈（，1]，当且仅当A＝C＝时，sin A+sin C＝1．…（13分）18．（12分）.有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，最后据各队积分决出名次．规定每场比赛必须决出胜负，其中胜方积2分，负方积1分，已知球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为，且各场次胜负情况彼此没有影响．（1）甲队至少胜一场的概率；（2）求球队甲赛后积分ξ的概率分布和数学期望．【解答】解：（1）∵球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为，且各场次胜负情况彼此没有影响．甲队至少胜一场的对立事件是甲三场比赛全负，∴甲队至少胜一场的概率p＝1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝．（2）由题意知球队甲赛后积分ξ的可能取值为3，4，5，6，P（ξ＝3）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，P（ξ＝4）＝（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×＝，P（ξ＝5）＝××（1﹣）+（1﹣）××+×（1﹣）×＝，P（ξ＝6）＝××，∴ξ的分布列为：．19．（12分）设a∈R，函数f（x）＝（ax2+a+1），其中e是自然对数的底数．（1）判断f（x）在R上的单调性；（2）当﹣1＜a＜0时，求f（x）在[1，2]上的最小值．【解答】解：（1）由已知f′（x）＝﹣e﹣x（ax2+a+1）+e﹣x•2ax＝e﹣x（﹣ax2+2ax﹣a﹣1）．因为e﹣x＞0，以下讨论函数g（x）＝﹣ax2+2ax﹣a﹣1值的情况：当a＝0时，g（x）＝﹣1＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数．当a＞0时，g（x）＝0的判别式△＝4a2﹣4（a2+a）＝﹣4a＜0，所以g（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数．当a＜0时，g（x）＝0有两个根x1＝，并且＜，，2所以在区间（﹣∞，）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数；在区间（，）上，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在此区间上是减函数．在区间（，+∞）上，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数．综上，当a≥0时，f（x）在R上是减函数；当a＜0时，f（x）在（﹣∞，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（2）当﹣1＜a＜0时，＝1+＜1，＝1+＞2，所以在区间[1，2]上，函数f（x）单调递减．所以函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（2）＝．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面P AD是正三角形，且侧面P AD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若AD＝AB，试求二面角A﹣PC﹣D的正切值；（4）当为何值时，PB⊥AC？【解答】解：（1）证明：连DB，设DB∩AC＝O，则在矩形ABCD中，O为BD中点．连EO．因为E为DP中点，所以，OE∥BP．又因为OE⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，所以，PB∥平面EAC．（2）正三角形P AD中，E为PD的中点，所以，AE⊥PD，又面PDC∩面P AD＝PD，所以，AE⊥平面PCD．（3）在PC上取点M使得．由于正三角形P AD及矩形ABCD，且AD＝AB，所以PD＝AD＝AB＝DC 所以，在等腰直角三角形DPC中，EM⊥PC，连接AM，因为AE⊥平面PCD，所以，AM⊥PC．所以，∠AME为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在Rt△AEM中，．即二面角A﹣PC﹣D的正切值为．（4）设N为AD中点，连接PN，则PN⊥AD．又面P AD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD．所以，NB为PB在面ABCD上的射影．要使PB⊥AC，需且只需NB⊥AC在矩形ABCD中，设AD＝1，AB＝x则，解之得：．所以，当＝时，PB⊥AC．21．（12分）设f （x ）＝（a ＞0）为奇函数，且|f （x ）|min ＝，数列{a n }与{b n }满足如下关系：a 1＝2，，．（1）求f （x ）的解析表达式； （2）证明：当n ∈N +时，有b n ≤．【解答】解：由f （x ）是奇函数，得b ＝c ＝0，由|f （x ）min |＝，由基本不等式可得2＝2得a ＝2，故f （x ）＝（2）＝，＝＝b n 2∴b n ＝b n ﹣12＝b n ﹣24═，而b 1＝∴b n ＝当n ＝1时，b 1＝，命题成立，当n ≥2时∵2n ﹣1＝（1+1）n ﹣1＝1+C n ﹣11+C n ﹣12++C n ﹣1n ﹣1≥1+C n ﹣11＝n ∴＜，即b n ≤．22．（14分）已知方向向量为的直线l 过点A （）和椭圆的焦点，且椭圆C 的中心O 和椭圆的右准线上的点B满足：，||＝||．（1）求椭圆C的方程；（2）设M、N是椭圆C上两个不同点，且M、N的纵坐标之和为1，记u为M、N的横坐标之积．问是否存在最小的常数m，使u≤m恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）解法一：由点B满足：，||＝||．可得O点和B点关于直线l对称．直线l：y＝x﹣2①过原点垂直l的直线方程为②解①②得，∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴．∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c＝2，a2＝6，b2＝2．故椭圆C的方程为．解法二：直线l：y＝x﹣2，设原点关于直线l对称点为（p，q），则解得p＝3．∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴．∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c＝2，a2＝6，b2＝2．故椭圆C的方程为．（2）若直线MN平行于y轴，则y1+y2＝0，不合题意．若直线MN不平行于y轴，设过M、N两点的直线方程为y＝kx+b，由得（2+6k2）x2+12kbx+6b2﹣12＝0，△＝144k2b2﹣4（2+6k2）（6b2﹣12）＞0，即（2+6k2）﹣b2＞0①设M（x1，y1），N（x2，y2），则，∴，由已知，代入①得：4b﹣b2＞0，即0＜b＜4，，∵，∴u在（0，4）上是增函数，∴，故不存在最小的常数m，使u≤m成立．。

2017年江西省赣州市、吉安市、抚州市七校联考高考数学模拟试卷（理科）（2）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，a∈R，若（a+1）（a﹣1+i）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣1或1 B．1 C．﹣1 D．32．已知全集U=R，集合A={x|x2+x﹣6＞0}，B={y|y=2x﹣1，x≤2}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣3，3]B．[﹣1，2]C．[﹣3，2]D．（﹣1，2]3．已知函数f（x）=x2+，则“0＜a＜2”是“函数f（x）在（1，+∞）上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a∥α，a∥β，则α∥βC．若a∥b，a⊥α，则b⊥α D．若a∥α，α⊥β，则α⊥β5．运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为log43和log34，则输出M的值是（）A．0 B．1 C．3 D．﹣16．如图，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点．那么=（）A．B．C．D．7．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器﹣商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中x的为（）A．2.5 B．3 C．3.2 D．48．设x，y满足约束条件，若目标函数2z=2x+ny（n＞0），z的最大值为2，则y=tan（nx+）的图象向右平移后的表达式为（）A．y=tan（2x+）B．y=tan（x﹣）C．y=tan（2x﹣）D．y=tan2x9．直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1=，q：∃a＞0，|AB|＜|CD|．则的交点为C，D．给出下列命题：p：∀a＞0，S△AOB下面命题正确的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．p∧￢q D．￢p∧q10．函数y=（其中e为自然对数的底）的图象大致是（）A．B．C．D．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣e，0），F2（e，0），以线段F1F2为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P，若直线PF2与圆E：（x﹣）2+y2=相切，则双曲线的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x12．已知函数f（x）=（e为自然对数的底）．若函数g（x）=f（x）﹣kx恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，e）B．（e，10] C．（1，10]D．（10，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知直线x+2y﹣1=0与直线2x+my+4=0平行，则它们之间的距离是．14．对于函数g（x）=，若关于x的方程g（x）=n（n＞0）有且只有两个不同的实根x1，x2，则x1+x2=．15．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且pq∈N*，）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）=q﹣p，例如f（12）=4﹣3=1．数列{f（3n）}的前100项和为．16．已知双曲线C：﹣=1的离心率为，实轴为AB，平行于AB的直线与双曲线C交于点M，N，则直线AM，AN的斜率之积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知由实数组成的等比数列{a n}的前项和为S n，且满足8a4=a7，S7=254．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对n∈N*，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（c﹣2a）=c•（1）求B的大小；（2）已知f（x）=cosx（asinx﹣2cosx）+1，若对任意的x∈R，都有f（x）≤f （B），求函数f（x）的单调递减区间．19．已知三棱台ABC﹣A1B1C1中，平面BB1C1C⊥平面ABC，∠ACB=90°，BB1=CC1=B1C1=2，BC=4，AC=6（1）求证：BC1⊥平面AA1C1C（2）点D是B1C1的中点，求二面角A1﹣BD﹣B1的余弦值．20．已知椭圆C：﹣=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点、上顶点分别为A，B，直线AB被圆O：x2+y2=1截得的弦长为（1）求椭圆C的方程；（2）设过点B且斜率为k的动直线l与椭圆C的另一个交点为M，=λ（），若点N在圆O上，求正实数λ的取值范围．21．已知f（x）=aln（x2+1）+bx存在两个极值点x1，x2．（1）求证：|x1+x2|＞2；（2）若实数λ满足等式f（x1）+f（x2）+a+λb=0，试求λ的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线，曲线C2的参数方程为：，（θ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）射线与C1的异于原点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+5﹣a|（1）若不等式f（x）﹣|x﹣a|≤2的解集为[﹣5，﹣1]，求实数a的值；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）＜4m+m2，求实数m的取值范围．2017年江西省赣州市、吉安市、抚州市七校联考高考数学模拟试卷（理科）（2）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，a∈R，若（a+1）（a﹣1+i）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣1或1 B．1 C．﹣1 D．3【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵（a+1）（a﹣1+i）=（a2﹣1）+（a+1）i是纯虚数，∴a2﹣1=0且a+1≠0，∴a=1，故选：B．2．已知全集U=R，集合A={x|x2+x﹣6＞0}，B={y|y=2x﹣1，x≤2}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣3，3]B．[﹣1，2]C．[﹣3，2]D．（﹣1，2]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求解x2+x﹣6＞0的解集得出集合A，解出y=2x﹣1，x≤2的值域可得集合B，再根据集合的基本运算即可求（∁U A）∩B；【解答】解：全集U=R，由不等式x2+x﹣6＞0，解得：x＞2或x＜﹣3∴集合A={x|x＞2或x＜﹣3}，∴∁U A=[﹣3，2]由函数y=2x﹣1，x≤2，是增函数，可得值域为（﹣1，3]∴集合B=（﹣1，3]那么（∁U A）∩B=（﹣1，2]故选D．3．已知函数f（x）=x2+，则“0＜a＜2”是“函数f（x）在（1，+∞）上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出函数的导数，问题转化为2x3≥a在区间（1，+∞）上恒成立，求出a的范围，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：f′（x）=2x﹣≥0，即2x3≥a在区间（1，+∞）上恒成立，则a≤2，而0＜a＜2⇒a≤2，故选：A．4．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a∥α，a∥β，则α∥βC．若a∥b，a⊥α，则b⊥α D．若a∥α，α⊥β，则α⊥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由线面平行的性质即可判断A；由线面平行的性质和面面平行的判定，即可判断B；由线面垂直的性质：两条平行线中一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，可判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质，即可判断D．【解答】解：A．若a∥α，b∥α，则a∥b，或a，b异面或a，b相交，故A错；B．若a∥α，a∥β，则α∥β，或α∩β=b，故B错；C．若a∥b，a⊥α，则b⊥α，故C正确；D．若a∥α，α⊥β，则a⊂β或a∥β或a⊥β，故D错．故选：C．5．运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为log43和log34，则输出M的值是（）A．0 B．1 C．3 D．﹣1【考点】程序框图．【分析】确定log34＞log43，可得M=log34•log43﹣2，计算可得结论．【解答】解：∵log34＞1，0＜log43＜1，∴log34＞log43，∴M=log34•log43﹣2=﹣1，故选：D．6．如图，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点．那么=（）A．B．C．D．【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【分析】利用向量的数乘运算和向量加减法的几何意义，结合正方体进行求解．【解答】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴==，∵=，∵，∴=．故选D ．7．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器﹣商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中x 的为（ ）A ．2.5B ．3C ．3.2D ．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：（5.4﹣1.6）•x ×1+=12.6，π=3．解得x=3， 故选：B ．8．设x ，y 满足约束条件，若目标函数2z=2x +ny （n ＞0），z 的最大值为2，则y=tan （nx +）的图象向右平移后的表达式为（ ）A ．y=tan （2x +）B ．y=tan （x ﹣）C ．y=tan （2x ﹣）D ．y=tan2x【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用z的最大值求出n，利用三角函数的图象变换化简求解即可．【解答】解：作出x，y满足约束条件下的可行域，目标函数2z=2x+ny（n＞0）可化为：y=+，基准线y=，由线性规划知识，可得当直线z=x+过点B（1，1）时，z取得最大值，即1+=2，解得n=2；则y=tan（nx+）的图象向右平移个单位后得到的解析式为y=tan[2（x﹣）+]=tan（2x﹣）．故选：C．9．直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1=，q：∃a＞0，|AB|＜|CD|．则的交点为C，D．给出下列命题：p：∀a＞0，S△AOB下面命题正确的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．p∧￢q D．￢p∧q【考点】命题的真假判断与应用；直线与圆的位置关系．【分析】利用已知条件求出三角形的面积，判断p的真假；求出|AB|与|CD|的差，判断大小，推出真假，然后判断选项即可．【解答】解：直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A（，0），B（0，a），S△AOB==，∴p是真命题；直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A（，0），B（0，a），|AB|=，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D．d=，|CD|=2，|AB|2﹣|CD|2=≥0，∴|AB|≥|CD|，所以q假，故选：C．10．函数y=（其中e为自然对数的底）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象．【分析】利用函数的导数，求出函数的极大值，判断函数的图形即可．【解答】解：当x≥0时，函数y==，y′=，有且只有一个极大值点是x=2，故选：A．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣e，0），F2（e，0），以线段F1F2为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P，若直线PF2与圆E：（x﹣）2+y2=相切，则双曲线的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出|PF1|=4r=b，所以|PF2|=2a+b，因此b2+（2a+b）2=4c2，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：设切点为M，则EM∥∥PF1，又=，所以|PF1|=4r=b，所以|PF2|=2a+b，因此b2+（2a+b）2=4c2，所以b=2a，所以渐近线方程为y=±2x．故选：D．12．已知函数f（x）=（e为自然对数的底）．若函数g（x）=f（x）﹣kx恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，e）B．（e，10] C．（1，10]D．（10，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】令g（x）=0得出f（x）=kx，做出y=kx与y=f（x）的函数图象，则两图象有两个交点，求出y=f（x）的过原点的切线的斜率即可得出k的范围．【解答】解：令g（x）=0得f（x）=kx，∵g（x）有两个零点，∴直线y=kx与y=f（x）有两个交点，做出y=kx和y=f（x）的函数图象，如图所示：设y=k1x与曲线y=e x相切，切点为（x0，y0），则，解得．∵y=kx与y=f（x）有两个交点，∴k的取值范围是（e，10]．故选B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知直线x+2y﹣1=0与直线2x+my+4=0平行，则它们之间的距离是．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线平行易得m值，可得方程，代入平行线间的距离公式可得．【解答】解：由直线x+2y﹣1=0与直线2x+my+4=0平行，可得，∴m=4，直线2x+4y+4=0可化为x+2y+2=0，∴d==．故答案为．14．对于函数g（x）=，若关于x的方程g（x）=n（n＞0）有且只有两个不同的实根x1，x2，则x1+x2=1．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出g（x）的函数图象，根据函数图象的对称性得出x1+x2．【解答】解：作出函数y=g（x）的图象如图所示：∵关于x的方程g（x）=n（n＞0）有且只有两个不同的实根x1，x2，∴x1，x2关于直线x=对称，∴x1+x2=1．故答案为1．15．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且pq∈N*，）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）=q﹣p，例如f（12）=4﹣3=1．数列{f（3n）}的前100项和为350﹣1．【考点】数列的求和．【分析】当n为偶数时，f（3n）=0；当n为奇数时，f（3n）=﹣=2×，再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：当n为偶数时，f（3n）=0；当n为奇数时，f（3n）=﹣=2×，∴S100=2（30+31+…+349）==350﹣1．故答案为：350﹣1．16．已知双曲线C：﹣=1的离心率为，实轴为AB，平行于AB的直线与双曲线C交于点M，N，则直线AM，AN的斜率之积为﹣2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的离心率求出a，b关系，设出M，N，利用斜率公式，转化求解即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1的离心率为，可得=，∴=，设点M（x，y），则N（﹣x，y）则﹣=1，A（﹣a，0），B（a，0）；可得，所以k AM•k AN==﹣==﹣2．故答案为：﹣2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知由实数组成的等比数列{a n}的前项和为S n，且满足8a4=a7，S7=254．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对n∈N*，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，由8a4=a7，可得8==q3，解得q．由S7=254，=254，解得a1．（2）b n===，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由8a4=a7，可得8==q3，解得q=2．∵S7=254，∴=254，解得a1=2．∴a n=2n．（2）b n===，∴T n=++…+=1﹣．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（c﹣2a）=c•（1）求B的大小；（2）已知f（x）=cosx（asinx﹣2cosx）+1，若对任意的x∈R，都有f（x）≤f （B），求函数f（x）的单调递减区间．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据向量的数量积定义和三角恒等变换化简即可求出cosB，得出B 的值；（2）化简f（x）的解析式，根据f（B）为f（x）的最大值求出f（x）的解析式，利用正弦函数的单调区间列不等式解出．【解答】解：（1）∵（c﹣2a）=c•，即（c﹣2a）accos（π﹣B）=abccosC，∴2accosB=bcosC+ccosB，∴2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB，∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∴cosB=，∴B=．（2）f（x）=cosx（asinx﹣2cosx）+1=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣φ），∵对任意的x∈R，都有f（x）≤f（B）=f（），∴sin（﹣φ）=1，∴φ=，∴f（x）=sin（2x﹣），令，解得≤x≤+kπ，k∈Z．∴函数f（x）的单调递减区间是[， +kπ]，k∈Z．19．已知三棱台ABC﹣A1B1C1中，平面BB1C1C⊥平面ABC，∠ACB=90°，BB1=CC1=B1C1=2，BC=4，AC=6（1）求证：BC1⊥平面AA1C1C（2）点D是B1C1的中点，求二面角A1﹣BD﹣B1的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明BC1⊥CC1，BC1⊥AC，即可证明BC1⊥平面AA1C1C（2）以CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，点C为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求二面角A1﹣BD﹣B1的余弦值．【解答】（1）证明：梯形BB1C1C中，BB1=CC1=B1C1=2，BC=4得：，从而BC1⊥CC1，因为平面BB1C1C⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BB1C1C，因此BC1⊥AC，因为AC∩CC1=C，所以BC1⊥平面AA1C1C；（2）解：如图，以CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，点C为原点建立空间直角坐标系，则A（6，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），C1（0，1，），B（0，3，），D（0，2，），A1（3，1，），1平面BB1D的法向量=（1，0，0），设平面AB1D的法向量为=（x，y，z），则，令z=，得（，），所以所求二面角的余弦值是﹣=﹣．20．已知椭圆C：﹣=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点、上顶点分别为A，B，直线AB被圆O：x2+y2=1截得的弦长为（1）求椭圆C的方程；（2）设过点B且斜率为k的动直线l与椭圆C的另一个交点为M，=λ（），若点N在圆O上，求正实数λ的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意离心率可得a=2b，设出AB所在直线方程，由圆心到直线的距离求得b，则椭圆方程可求；（2）设点M的坐标为（x0，y0）（y0≠0），由已知向量等式得点N的坐标为（λx0，λ（y0+1）），结合N在圆上，M在椭圆上，分离参数λ求解．【解答】解：（1）由，得，∴a=2b，∴直线AB的方程为，即x+2y﹣2b=0，圆心O（0，0）到直线AB的距离为d=，∴，得b=1，椭圆C的方程为；（2）设点M的坐标为（x0，y0）（y0≠0），则点N的坐标为（λx0，λ（y0+1）），∴，得，又，∴，y0∈（﹣1，1），得，∴正实数λ的取值范围是[）．21．已知f（x）=aln（x2+1）+bx存在两个极值点x1，x2．（1）求证：|x1+x2|＞2；（2）若实数λ满足等式f（x1）+f（x2）+a+λb=0，试求λ的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）由f（x）的导数，可设g（x）=f′（x），即有方程g（x）=0有两个不同的非零实根x1，x2，可得＞1，结合韦达定理可得结论；（2）若实数λ满足等式f（x1）+f（x2）+a+λb=0，化简整理可得﹣λ=ln﹣，设t=＞2，则﹣λ=tlnt﹣t，求出右边函数的导数，判断单调性，进而可得λ的取值范围．【解答】证明：（1）由f（x）=aln（x2+1）+bx的导数为f′（x）=+b=，令g（x）=bx2+2ax+b，由题意可得g（x）=0有两个不同的非零实根，得△=4a2﹣4b2＞0，因此a＞b＞0，所以＞1；所以x1+x2=﹣＜﹣2，即|x1+x2|＞2；解：（2）由（1）知x1x2=1，f（x1）+f（x2）+a=aln[x12x22+（x12+x22）+1]+b（x1+x2）+a=aln[（x12+x22）+2]+b（x1+x2）+a=aln[（x1+x2）2]+b（x1+x2）+a=2aln﹣a，由f（x1）+f（x2）+a+λb=0得﹣λ=ln﹣，设t=＞2，则﹣λ=tlnt﹣t，令h（t）=tlnt﹣t，t＞2．h′（t）=1+lnt﹣=lnt+＞0，h（t）在（2，+∞）是增函数．因此﹣λ＞2ln2﹣1，即为λ＜1﹣2ln2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线，曲线C2的参数方程为：，（θ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）射线与C1的异于原点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）将代入曲线C1方程可得曲线C1的极坐标方程．曲线C2的普通方程为，将代入，得到C2的极坐标方程．（2）射线的极坐标方程为，与曲线C1的交点的极径为ρ1，射线与曲线C2的交点的极径满足，解得ρ2．可得|AB|=|ρ1﹣ρ2|．【解答】解：（1）将代入曲线C1方程：（x﹣1）2+y2=1，可得曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C2的普通方程为，将代入，得到C2的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）=2．（2）射线的极坐标方程为，与曲线C1的交点的极径为，射线与曲线C2的交点的极径满足，解得所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+5﹣a|（1）若不等式f（x）﹣|x﹣a|≤2的解集为[﹣5，﹣1]，求实数a的值；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）＜4m+m2，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1））问题转化为|x+5﹣a|≤2，求出x的范围，得到关于a的不等式组，解出即可；（2）问题转化为4m+m2＞f（x）min，即4m+m2＞5，解出即可．【解答】解：（1）∵|x+5﹣a|≤2，∴a﹣7≤x≤a﹣3，∵f（x）﹣|x﹣a|≤2的解集为：[﹣5，﹣1]，∴，∴a=2．（2）∵f（x）=|x﹣a|+|x+5﹣a|≥5，∵∃x0∈R，使得f（x0）＜4m+m2成立，∴4m+m2＞f（x）min，即4m+m2＞5，解得：m＜﹣5，或m＞1，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）．2017年4月2日。

专题7 以崭新的数列递推式为背景的专题训练题型一 以复杂数列关系为载体的数列问题1．【2017届江西抚州市七校高三理上学期联考】若数列{}n a 满足()()()()1123252325lg 1n n n a n a n n n +⎛⎫+-+=+++⎪⎝⎭，且15a =，则数列23n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的第100项为（ ）A ．2B ．3C ．1lg99+D ．2lg99+ 【答案】B2.【2017届山西省怀仁县第一中学高三上学期期末】数列满足，，，，则（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 因为，所以数列成等差数列，公差为，因此，选B.3.【2017届浙江省宁波市高三上学期期末】已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设，在数列中，，则实数的取值范围为__________. 【答案】4.【2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考】已知数列{}n x 各项为正整数，满足1, 21,nn n nn x x x x x +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数，为奇数，*n ∈N ．若343x x +=，则1x 所有可能取值的集合为__________． 【答案】{}1,2,3,4,8 【解析】试题分析： 由题意得34341,22,1x x x x ====或；当31x =时，22x =，从而114x =或；当32x =时，214x =或，因此当21x =时，12x =；当24x =时，183x =或，综上1x 所有可能取值的集合为{}1,2,3,4,85. 【2017届江西抚州市七校高三理上学期联考】在数列{}n a 及{}n b 中，11111,1n n n n n n a a b b a b a b ++=+=+==．设112n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前n 项和为_____________． 【答案】224n +-6.【2017届河北省衡水中学高三上学期六调】已知满足，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得__________．【答案】 【解析】 由①；得②；①+②得：．所以．7.【2017届河北武邑中学高三理周考】已知数列{}n a中，11a=，且点()()*1n nP a a n N+∈，在直线10x y-+=上．⑴求数列{}n a的通项公式；⑵若函数()123123nnf nn a n a n a n a=++++++++…（n N∈，且2n≥），求函数()f n的最小值；⑶设1nnba=，nS表示数列{}n b的前n项和，试问：是否存在关于n的整式()g n，使得()()12311n nS S S S S g n-++++=-⋅…对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出()g n 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．【答案】(1)na n=；（2）65)2(=f；(3)nng=)(，证明见解析.【解析】试题解析：⑴ 点）（1,+nnaaP在直线01=--yx上，即11=-+nnaa，且11=a，∴数列}{na是以1为首项，1为公差的等差数列，)2(1)1(1≥=⋅-+=∴n n n a n ，11=a 也满足，n a n =∴⑵ n n n n n f 22211)(+++++=， ∴22112213221)1(+++++-+++++=+n n n n n n n n n f ， 0)()1(≥-+∴n f n f ，)(n f ∴是单调递增的，故)(n f 的最小值是65)2(=f ． ⑶ n S n b n n 1312111++++=⇒= ，)2(11≥=-∴-n nS S n n ，即1)1(11+=----n n n S S n nS ，1,,1)2()1(112221+=-+=---∴---S S S S S n S n n n n ，,1-n 1211++++=-∴-n n S S S S nS)2()1(121≥⋅-=-=+++∴-n n S n nS S S S n n n ，n n g =∴)(．故存在关于n 的整式n n g =)(，使等式对于一切不小于2的自然数n 恒成立． 法二：先由3,2==n n 的情况，猜想出n n g =)(，再用数学归纳法证明．题型二 以函数为载体的数列递推式问题8.【2017届福建南平浦城县高三文上学期期中】对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{}n x 满足12x =，且对任意*n N ∈，点1(,)n n x x +都在函数()y f x =的图象上，则1232016x x x x ++++…的值为（ ）A ．9400B ．9408C ．9410D ．9414 【答案】B9.【2017届河北沧州市高三9月联考】已知函数()y f x =的定义域为()0+∞，，当1x >时，()0f x >，对任意的()0x y ∈+∞，，，()()()f x f y f x y +=⋅成立，若数列{}n a 满足()11a f =，且()()()*121N n n f a f a n +=+∈，则2017a 的值为（ ） A ．20141a - B ．20151a - C ．20161a - D ．20171a - 【答案】C 【解析】试题分析：∵()()()f x f y f x y +=⋅，∴()()()111f f f +=，∴()10f =，()110a f ==，设120x x <<，211x x >，∵()()()f x f y f x y +=⋅，∴()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，∴()()21f x f x >，所以()y f x =为增函数．()()()()()11121210121n n n n n n a f a f a f a f a f f a +++⎛⎫=+-+=== ⎪+⎝⎭，，1121n n aa +=+，121n n a a +=+，()1121n n a a ++=+，112n n a -+=，121n n a -=-，∴2016201721a =-． 10.【2017届云南曲靖一中高三理上学期月考】已知α为锐角，且tan 1α=，函数2()tan 2sin(2)4f x x x παα=+⋅+，数列{}n a 的首项112a =，1()n n a f a +=，则1n a +与n a 的大小关系为 ． 【答案】1n n a a +>11.【湖南省2017届高三长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学第一次联考】已知函数，数列中，，则数列的前100项之和__________． 【答案】10200 【解析】因为，所以同理可得：,的前100项之和.故答案为：.12.【2017届湖北宜昌葛洲坝月考】设数列{}n a 是首项为0的递增数列，()()[]*11sin,,,n n n n f x x a x a a n N n+=-∈∈，满足：对于任意的[)()0,1,n b f x b ∈=总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式为_________ 【答案】()12n n n a π-= 【解析】试题分析：∵10a =，当n=1时，f 1（x ）=|sin （x-a 1）|=|sinx|，x∈， 又∵对任意的b∈，a 2=π 又f 2（x ）=|sin 12（x-a 2）|=|sin 12（x-π）|=|cos 2x|，x∈ ∵对任意的b∈∵对任意的b∈[0，1），f 1（x ）=b 总有两个不同的根，∴a 4=6π…（6分）由此可得1n n a a n π+-=，∴()()()()12111012n n n n n a a a a a a n πππ--=+-++-=+++-=∴()12n n n a π-=13.【2017届四川凉山州高三理上学期一诊考试】已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=，*n N ∈．（1）若函数()sin(2)f x A x ϕ=+（0A >，0ϕπ<<）在6x π=处取得最大值41a +，求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域； （2）求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）5,52⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）1222,2,n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数..【解析】试题解析：（1）∵12n n n a a +=，则1122n n n a a +++=，∴22n na a +=， 又11a =，故1122a a =，即22a =， ∴32a =，44a =，∴415A a =+=，故()5sin(2)f x x ϕ=+，又6x π=时，()5f x =，∴sin()13πϕ+=，且0ϕπ<<，解得6πϕ=，∴()5sin(2)6f x x π=+，而,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故720,66x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而1sin(2),162x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， 综上知5(),52f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．（2）由（1）得：11a =，22a =，12n na a +=， ∴当n 为奇数时，1122122n n n a a --=⨯=；当n 为偶数时，222222n n n a a -=⨯=．∴数列{}n a 的通项公式为1222,2,n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数.题型三 以平面向量为载体的数列递推式问题14.【2017届湖南郴州市高三理第二次质监】在ABC ∆中，11,A B 分别是边,BA CB 的中点，22,A B 分别是线段11,A A B B 的中点，,,n n A B 分别是线段*11,(1)n n A A B B n N n --∈>，的中点， 设数列{},{}n n a b 满足：向量*()n n n n B A a CA b CB n N =+∈ ，有下列四个命题，其中假命题是：（ ）A ．数列{}n a 是单调递增数列，数列{}n b 是单调递减数列B ．数列{+}n n a b 是等比数列 C.数列{}nna b 有最小值，无最大值D ．若ABC ∆中，90C =，CA CB =，||n n B A ，则最小时，12n n a b +=【答案】C 【解析】试题分析：由111(1)(1)(),222n n n n n BA BA CA CB B B CB =-=--=，111(1)(1)22n n n n n n B A B B BA CA CB -=+=-+- ，所以1111,122n n n n a b -=-=-，所以C 为假命题，故选C.15.【2017届湖南衡阳市八中月考】我们把一系列向量(1,2,3,,)i a i n = 按次序排成一列，称之为向量列，记作{}n a ，已知向量列{}n a满足：()1,11=a ，11111(,)(,)2n n n n n n n a x y x y x y ----==-+ ()2n ≥．（1）证明：数列{}n a是等比数列；（2）设n θ表示向量n a 与1n a - 间的夹角，若2n n n b θπ=，对于任意正整数n，不等式(2)a a ++>+ 恒成立，求实数a 的范围 （3）设2l o g n n n c a a =⋅，问数列{}n c 中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）(11--；（3）存在最小项，最小项是325322c -=-⋅试题解析：（1）∵ ()()11111,,2n n n n n n n a x y x y x y ----==-+ ()2n ≥，∴1n n a -=== ，∴数列{}n a是等比数列；（2）∵ 11cos n n n n na a a a θ--⋅==⋅ ，∴4n πθ= ，24n n b = ，(2)a a +>+ 对任意正整数n 恒成立． 设222122n T n n n=++++ ． 又 ()122222021*******n n T T n n n n n +-=+-=->+++++， ∴ 数列{}n T 单调递增，()1min 1n T T ==，要使不等式恒成立，只要1(2)a a >+， 212a a ->，得11a -<-∴ 使不等式对于任意正整数恒成立的a的取值范围是．(11---（3）∵12222n nn a --==⎭，∴ 22222nn n c --=⋅， 假设{}n c 中的第 n 项最小，由1c =，20c =，∴210c c ≤<， 当3n ≥时，有0n c <，由1n n c c +≤可得()()212222122222n nn n -+--+-⋅≤⋅，即12221n n --≥-，∴22112n n -⎛⎫≥ ⎪-⎝⎭，2670n n -+≥，3n ≥+3n ≤， ∴ 5n ≥，即有567c c c <<< ，由1n n c c +≥，得35n ≤≤， 又210c c ≤<，∴ 541c c c <<< ；故数列{}n c 中存在最小项，最小项是325322c -=-⋅题型四 以数学文化和新定义为载体的数列递推式问题16.【2017届陕西省西安市铁一中学高三上学期第五次模拟考试】如图，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下依次为第1群，第2群，…第群…，且第群恰好有个数，则第群中个数的和是__________．【答案】17.【2017届云南曲靖一中高三理上学期月考四】把数列121n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的所有数按照从大到小的原则写出如图所示的数表，第k 行有12k -个数，第t 行的第s 个数（从左数起）记为(,)A t s ，则数列121n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭中的项1287应记为 ．【答案】(8,17)A 【解析】试题分析：令14428712=⇒=-n n ⇒1287是数列121n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的第144项，由125121277=--=S ⇒(8,17)A ．18.【2017届安徽蚌埠怀远县高三上学期摸底考】对于任意实数[],x x 表示不超过x 的最大整数，如[]0,21-=-，[]1.721=，已知()*,3n n n a n N S ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦为数列{}n a 的前项和，则2017S =___________．【答案】67771219.【2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考】“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，则（Ⅰ）__________； （Ⅱ）若，则__________．（用表示）【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）; （Ⅱ）因为所以 叠加得因为所以20.【2017届吉林省吉林市普通中学高三毕业班第二次调研测试】艾萨克·牛顿（1643年1月4日----1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：满足，我们把该数列称为牛顿数列。

江西省抚州市七校2017届⾼三上学期联考理数试题（解析版）.doc⼀、选择题（本⼤题共12个⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.）1.若集合{}|6M x N x =∈<，{}2|11180N x x x =-+<，则M N 等于（）A ．{}3,4,5B ．{}|26x x <<C ．{}|35x x ≤≤D ．{}2,3,4,5 【答案】A 【解析】试题分析:由题意得{}5,4,3,2,1,0=M ，{}92<<=x x N ，故{}5,4,3=N M ，故选A. 考点：（1）⼀元⼆次不等式的解；（2）集合的运算.2.A ，B ，C 三个学⽣参加了⼀次考试，A ，B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格．在下列四个命题中，为p 的逆否命题的是（）A ．若及格分不低于70分，则A ，B ，C 都及格 B ．若A ，B ，C 都及格，则及格分不低于70分 C ．若A ，B ，C ⾄少有1⼈及格，则及格分不低于70分D ．若A ，B ，C ⾄少有1⼈及格，则及格分⾼于70分【答案】C 【解析】考点：原命题与逆否命题. 3.设1()()2x xf xg x tdt ++=，x R ∈，若函数()f x 为奇函数，则()g x 的解析式可以为（） A ．3x B ．1x + C ．cos x D ．xxe 【答案】B试题分析：()()()121222112+=-+===x x x t tdt x g x f x xx x，则()()x g x x f -+=12，代⼊()1+=x x g ，得()x x f =为奇函数，满⾜题意，故选B. 考点：（1）函数的奇偶性；（2）定积分的计算.4.在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2cos cos b A a B c +=，2a b ==，则△ABC 的周长为（）A ．7.5B ．7C ．6D ．5 【答案】D 【解析】试题分析：由正弦定理得C c B A A B sin cos sin cos sin =+，即C c C sin sin =得1=c ，故ABC ?的周长为5122=++=++c b a ，故选D. 考点：正弦定理.5.在正项等差数列{}n a 中，21592a a a =-，且56718a a a ++=，则（） A ．1a ，2a ，3a 成等⽐数列 B ．4a ，6a ，9a 成等⽐数列 C ．3a ，4a ，8a 成等⽐数列 D ．2a ，3a ，5a 成等⽐数列【答案】B 【解析】考点：（1）等差数列的性质；（2）等⽐数列的性质. 6.若1sin()63x π+=，则tan(2)3x π+=（）A ．79 B ．79± CD ．【答案】D试题分析：由316sin =??? ?+πx ，得322)6sin(16cos ±=+-±=??+ππx x ，故 tan 2tan 236x x ππ+=+ ?22tan 61-tan 6x x ππ?==??+ ?，故选D. 考点：（1）两⾓和的正弦；（2）三⾓恒等式.7.在Rt △AOB 中，0OA OB ?=，||OA =||OB =AB 边上的⾼线为OD ，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ?= ，则向量EA在向量OD 上的投影为（）A ．32B ．1C ．1或12D ．12或32【答案】D 【解析】考点：向量的数量积.8.已知函数()f x 与'()f x 的图象如下图所⽰，则函数()()x f x g x e=的递减区间（）A ．(0,4)B ．(,1)-∞，4(,4)3C ．4(0,)3D ．(0,1)，(4,)+∞【答案】D 【解析】试题分析：()()()()()()xx xx f x f e e x f e x f x g -'=-'='2，令()0<'x g 即()()0<-'x f x f ，由图可得()()+∞∈,41,0 x ，故函数单调减区间为()()0,1,4,+∞，故选D. 考点：利⽤导数研究函数的单调性. 9.将函数()2sin(2)6f x x π=+的图象向左平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图象．若12()()9g x g x =，且1x ，[]22,2x ππ∈-，则122x x -的最⼤值为（） A ．4912π B ．356π C ．256πD ．174π【答案】A 【解析】考点：三⾓函数的性质.10.若数列{}n a 满⾜11(23)(25)(23)(25)lg(1)n n n a n a n n n++-+=+++，且15a =，则数列23n a n +??的第100项为（） A ．2 B ．3 C ．1lg99+ D ．2lg99+ 【答案】B 【解析】考点：数列递推式.【⽅法点晴】本题主要考查了通过数列递推式，构造特殊数列求数列的通项公式，解决该题的关键是寻找式⼦的特征，在递推式两边同时除以()()5232++n n ，难度中档；在求数列的通项公式中，形如()n f a a n n =-，⽤累加法求通项公式，即11221a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=-- ；形如()n g a a n n=-1时，利⽤累乘法求其通项，即112211a a a a a a a a n n n n n =--- ，在该题中利⽤累加法.11.已知函数()25x f x =-，2()4g x x x =-，给出下列3个命题：1p ：若x R ∈，则()()f x f x -的最⼤值为16．2p :不等式()()f x g x <的解集为集合{}|13x x -<<的真⼦集．3p :当0a >时，若1x ?，2x [],2a a ∈+，12()()f x g x ≥恒成⽴，则3a ≥．那么，这3个命题中所有的真命题是（）A ．1p 、2p 、3pB ．2p 、3pC ．1p 、2pD ．1p 【答案】A 【解析】试题分析：由()52-=x x f 得()52-=--x x f ，故()()()()()252526522x x x xfx f x ---=--=-+265216≤-?=，当且仅当x x -=22，即0=x 时取等号，故其最⼤值为16，即1p 为真；如图所⽰作出()()225,4xf xg x x x =-=-的简图，且()()11-<-g f 由图可知不等式()()f x g x <的解集为集合{}|13x x -<<的真⼦集，即2p 为真；要使[]()()1212,,2,x x aa f x g x∈+≥恒成⽴，只需()()max min x g x f ≥即可，通过观察图象可知3a ≥，即3p 正确，故选A.考点：（1）基本不等式；（2）恒成⽴问题.【⽅法点晴】本题主要考查了函数的解析式以及利⽤基本不等式求函数最值问题，同时还考查了数形结合在函数中的重要性，画出函数()x f 、()x g 的简图是判断2p 、3p 正确性的关键所在；对于1p 代⼊()x f -的解析式结合基本不等式可直接得到最⼤值；要使不等式()()f x g x <成⽴，即()x f y =的图象始终在()x g y =图象的下⽅；[]()()1212,,2,x x a a f x g x ?∈+≥恒成⽴，即在给定区间内()x f y =的最低点不低于()x g y =的最⾼点.12.已知函数2,0,()1,0,x x a x f x x x++=?->??的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是（）A ．1(,)4-∞B ．(2,)+∞C ．1(2,)4- D ．1(,2)(,)4-∞+∞ 【答案】C 【解析】考点：利⽤导数研究曲线上某点处的切线⽅程.【⽅法点晴】本题主要考查了导数的⼏何意义等基础知识，考查了推理论证能⼒、运算能⼒、创新意识，考查了函数与⽅程、分类与整合、转化与化归等思想⽅法．先根据导数的⼏何意义写出函数()x f 在点A 、B 处的切线⽅程，再利⽤两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从⽽得出a 的表达式，构造()412214124+--=t t t t h ，（10<第Ⅱ卷（⾮选择题共90分）⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，每题5分，满分20分．） 13.sin 63cos18cos63cos108??+??= ．【答案】2【解析】试题分析：原式()2245sin 18sin 63cos 18cos 63sin 1890cos 63cos 18cos 63sin ==-=++=，故答案为2. 考点：（1）诱导公式；（2）两⾓差的正弦. 14.设函数621log ,4,()(),4,x x f x f x x +≥?=?【答案】4 【解析】考点：分段函数的值.15.在△ABC 中，D 为线段BC 上⼀点（不能与端点重合），3ACB π∠=，AB ，3AC =，1BD =，则AD = ．【解析】试题分析：在ABC ?，BCAC AB BC AC ??-+=23cos 222π，化简得0232=+-BC BC ，得1=BC （舍去）2=BC ，1=-=∴BD BC CD ，在ACD ?中721312192=?-+=AD ，则7=AD ，故答案为7.考点：余弦定理.16.在数列{}n a 及{}n b 中，1n n n a a b +=+1n n n b a b +=+，11a =，11b =．设112()n n n nc a b =+，则数列{}n c 的前n 项和为．【答案】224n +-【解析】考点：数列求和.三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知0m ≠，向量(,3)a m m = ，向量(1,6)b m =+，集合{}2|()(2)0A x x m x m =-+-=．（1）判断“//a b ”是“||a =（2）设命题p ：若a b ⊥，则19m =-．命题q ：若集合A 的⼦集个数为2，则1m =．判断p q ∨，p q ∧，q ?的真假，并说明理由．【答案】（1）充分不必要条件；（2）q p ∨为真命题p q ∧为假命题q ?为真命题. 【解析】试题分析：（1）由a b ，得)1(36+=m m m 可得1=m 的值，由a = 1±=m ，故可得a b” 是“a = （2）先判断p 、q 的真假，然后判断复合命题的真假.试题解析：（1）若a b，则()631,1(0m m m m m =+∴==舍去），此时，()1,3,a a ==若a = 1m =±，故“a b” 是“a = .（2）若a b ⊥，则()1180,19(0m m m m m ++=∴=-=舍去),p ∴为真命题.由()()220x mx m -+-=得2x m=，或2x m =-，若集合A 的⼦集个数为2，则集合A中只有1个元素，则22,1m m m =-∴=或2-，故q 为假命题p q ∴∨为真命题p q ∧为假命题q ?为真命题.考点：（1）充分条件、必要条件的判断；（2）复合命题的真假.【⽅法点睛】本题主要以向量平⾏、垂直的关系和真⼦集的个数为背景，考查了充分条件、必要条件的判断以及复合命题的真假的判断，注重了对基础的考查，难度不⼤；假设A 是条件，B 是结论；由A 可以推出B ，由B 不可以推出A ，则A 是B 的充分不必要条件(B A ?)；若由A 不可以推出B ，由B 可以推出A ，则A 是B 的必要不充分条件(A B ?)；q p ∨只要有⼀个为真即为真，q p ∧有⼀个为假即为假，q ?的真假性和q 相反.18.已知△ABC AB AC ? ，且2AC =，3AB =．（1）求sin sin AB；（2）若点D 为AB 边上⼀点，且△ACD 与△ABC 的⾯积之⽐为1:3．（i ）求证：AB CD ⊥；（ii ）求△ACD 内切圆的半径r ．【答案】（1）27；（2）（i ）证明见解析；（ii ）213-=r . 【解析】（2）（i ）∵△ACD 与△ABC 的⾯积之⽐为:1:3AD AB =，∴1AD =，由余弦定理得CD =，∴222AD CD AC +=，∴AD ⊥CD ，即AB ⊥CD ．（ii ）在Rt △ADC 中，2AD CD AC r +-==考点：（1）余弦定理；（2）三⾓形⾯积公式；（3）三⾓形内切圆.【⽅法点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合运⽤，以及三⾓形中的⾯积和三⾓形的内切圆的性质，是平⾯向量和解三⾓形的综合，⽐较注重基础，难度⼀般；⾸先将⾯积公式和向量数量积的公式同时代⼊可得A ，在三⾓形中已知两边及其夹⾓运⽤余弦定理解三⾓形，结合正弦定理baB A =sin sin 得所求；运⽤勾股定理证明垂直也是常⽤的⼀种⼿段. 19.⾷品安全问题越来越引起⼈们的重视，农药、化肥的滥⽤对⼈民群众的健康带来⼀定的危害，为了给消费者带来放⼼的蔬菜，某农村合作社每年投⼊200万元，搭建了甲、⼄两个⽆公害蔬菜⼤棚，每个⼤棚⾄少要投⼊20万元，其中甲⼤棚种西红柿，⼄⼤棚种黄⽠，根据以往的种菜经验，发现这种西红柿的年收⼊P 、种黄⽠的年收⼊Q 与投⼊a （单位：万元）满⾜80P =+，11204Q a =+．设甲⼤棚的投⼊为x （单位：万元），每年能两个⼤棚的总收益为()f x （单位：万元）．（1）求(50)f 的值；（2）试问如何安排甲、⼄两个⼤棚的投⼊，才能使总收益()f x 最⼤？【答案】（1）5.277；（2）甲⼤棚128万元，⼄⼤棚72万元时，总收益最⼤, 且最⼤收益为282万元. 【解析】（2）()()118020012025044f x x x =+-+=-+,依题意得202018020020x x x ≥??≤≤?-≥?,故()()1250201804f x x x =-+≤≤.令t ?=?,则()(221125028244f x t t =-++=--+,当t =即128x =时,()max 282f x =,所以投⼊甲⼤棚128万元，⼄⼤棚72万元时，总收益最⼤, 且最⼤收益为282万元. 考点：⼆次函数的应⽤.20.已知数列{}n a 的前n 项和21n n S n a =+-，且1a ，4a 是等⽐数列{}n b 的前两项，记n b 与1n b +之间包含的数列{}n a 的项数为n c ，如1b 与2b 之间包含{}n a 中的项为2a ，3a ，则12c =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a c 的前n 项和．【答案】（1）21n a n =+，nn b 3=；（2）n n n n 2321--?+.【解析】（2）3n n b =，113n n b ++=，因为数列{}n a 是由连续的奇数组成的数列，⽽n b 和1n b +都是奇数，所以n b 与1n b +之间包含的奇数个数为1331312n nn +--=-，所以31n n c =-． (21)(31)(21)3(21)n n n n a c n n n =+-=+-+．设{}(21)3n n +的前n 项和为n T ， 123335373(21)3n nT n =?+?+?+++…，①2313 3353(21)3(21)3n n n T n n +=?+?++-++…,②①-②，得1193292(21)313n n n T n ++--=+?-+-123n n +=-?，则13n n T n +=?，所以数列{}n n a c 的前n 项和为1232n n n T S n n n +-=?--．考点：（1）数列的通项公式；（2）数列求和.【⽅法点睛】本题主要考查的是等差、等⽐数列的定义和等差、等⽐数列的通项公式以及数列的前n 项和公式，注重对基础的考查，有⼀定难度；解题中，利⽤1--=n n n S S a 是数列中常见的恒等式，常见的数列求和的⽅法有公式法即等差等⽐数列求和公式，分组求和类似于n n n b a c +=，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11+=n n a n ，错位相减法类似于n n n b a c ?=，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等⽐数列等；在该题中错位相减法和分组求和相结合.21.已知函数()()x f x x a e =+，其中a R ∈．（1）若曲线()y f x =在点(0,)A a 处的切线l 与直线|22|y a x =-平⾏，求l 的⽅程；（2）若[]1,2a ?∈，函数()f x 在(,2)a b e -上为增函数，求证：232ae b e -≤<+．【答案】（1）43y x =+，4133y x =+；（2）证明见解析. 【解析】（2）由题意可得'()(1)0x f x x a e =++≥对(,2)ax b e ∈-恒成⽴，∵0xe >，∴10x a ++≥，即1x a ≥--对(,2)ax b e ∈-恒成⽴，∴1aa b e --≤-，即1ab e a ≥--对[]1,2a ∈恒成⽴，设()1a g a e a =--，[]1,2a ∈，则'()10ag a e =->，∴()g a 在[]1,2上递增，∴2max ()(2)3g a g e ==-，∴23b e ≥-．⼜2a b e -<，∴232ae b e -≤<+．考点：（1）利⽤导数研究函数在某点处的切线；（2）利⽤导数研究函数的单调性.【⽅法点睛】本题考查利⽤导数研究切线⽅程、函数的单调性，考查学⽣分析解决问题的能⼒，是⼀道基础题．切线与22y a x =-平⾏，由导数的⼏何意义以及直线平⾏时斜率间的关系可得()220-='a f ；将函数在某个区间内为增函数转化为在该区间内()0>'x f 恒成⽴，在该题中分离参数1ab e a ≥--对[]1,2a ∈恒成⽴，在转化为()max 1--≥a e b a 即可.22.记{}max ,m n 表⽰m ，n 中的最⼤值，如{max ={}2()max 1,2ln f x x x =-，2221()max ln ,()242g x x x x a x a a ??=+-+-++．（1）设21()()3()(1)2h x f x x x =---，求函数()h x 在(0,1]上零点的个数；（2）试探讨是否存在实数(2,)a ∈-+∞，使得3()42g x x a <+对(2,)x a ∈++∞恒成⽴？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）2个；（2）存在，ln 21(,2]4-. 【解析】试题解析：（1）设2()12ln F x x x =--，22(1)(1)'()2x x F x x x x-+=-=，令'()0F x >，得1x >，()F x 递增；令'()0F x <，得01x <<，()F x 递减．∴min ()(1)0F x F ==，∴()0F x ≥，即212ln x x -≥，∴2()1f x x =-．设21()3()(1)2G x x x =--，结合()f x 与()G x 在(0,1]上图象可知，这两个函数的图象在(0,1]上有两个交点，即()h x 在(0,1]上零点的个数为2．（ii ）若2(2)()0x x a +->对(2,)x a ∈++∞恒成⽴，则22a a +≥，∴[]1,2a ∈-．由（i ）及（ii ）得，ln 21(,2]4a -∈．故存在实数(2,)a ∈-+∞，使得3()42g x x a <+对(2,)x a ∈++∞恒成⽴，且a 的取值范围为ln 21(,2]4-．考点：（1）函数零点个数的判断；（2）利⽤导数研究函数的最值.。

2017年江西省七校联考高考数学一模试卷（理科）一、选择题：1．计算：=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i2．若log a（3a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．a＜B．＜a＜C．a＞1 D．＜a＜或a＞13．设α、β、γ是三个互不重合的平面，l是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l∥α，l⊄β，则l∥β．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．②④D．③④4．已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这正三棱柱的体积是（）A．18 B．16 C．12 D．85．已知函数y=f（x）图象如图甲，则y=f（﹣x）sinx在区间[0，π]上大致图象是（）A．B． C．D．6．已知两个集合，，若A∩B≠∅，则实数λ的取值范围是（）A．[2，5]B．（﹣∞，5]C． D．7．a＞0，a≠1，函数f（x）=在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是（）A．或a＞1 B．a＞1 C．D．或a＞18．设函数y=f（x）在x0处可导，f′（x0）=a，若点（x0，0）即为y=f（x）的图象与x轴的交点，则 [nf（x0﹣）]等于（）A．+∞ B．a C．﹣a D．以上都不对9．已知椭圆E的离心率为e，两焦点分别为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，点P为这两条曲线的一个交点，若e||=||，则e的值为（）A． B．C．D．不能确定10．已知抛物线y2=2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有（）A．0个B．2个C．4个D．6个11．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A+发生的概率为（）A．B．C．D．12．三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任意两名学生不能相邻，那么不同的排法共有（）A．36种B．72种C．108种D．120种二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上）13．在二项式（1+x）n的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数n（n∈N*）的最小值为．14．若函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a的取值范围是．15．已知抛物线y2=4x的准线是圆x2+y2﹣2Px﹣16+P2=0的一条切线，则圆的另一条垂直于x轴的切线方程是．16．下列命题中①A+B=是sinA=cosB成立的充分不必要条件．②的展开式中的常数项是第4项．=+2，则数列{a n}为等比③在数列{a n}中，a1=2，S n是其前n项和且满足S n+1数列．④设过函数f（x）=x2﹣x（﹣1≤x≤1）图象上任意一点的切线的斜率为K，则K的取值范围是（﹣3，1）把你认为正确的命题的序号填在横线上．三、解答题（本大题共6小题，满分74分．第17-21题每题12分，第22题14分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知向量=（sinB，1﹣cosB），且与向量=（2，0）所成角为，其中A，B，C是△ABC的内角．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．18．.有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，最后据各队积分决出名次．规定每场比赛必须决出胜负，其中胜方积2分，负方积1分，已知球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为，且各场次胜负情况彼此没有影响．（1）甲队至少胜一场的概率；（2）求球队甲赛后积分ξ的概率分布和数学期望．19．设a∈R，函数f（x）=（ax2+a+1），其中e是自然对数的底数．（1）判断f（x）在R上的单调性；（2）当﹣1＜a＜0时，求f（x）在[1，2]上的最小值．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD，E 为侧棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若AD=AB，试求二面角A﹣PC﹣D的正切值；（4）当为何值时，PB⊥AC？21．设f（x）=（a＞0）为奇函数，且|f（x）|min=，数列{a n}与{b n}满足如下关系：a1=2，，．（1）求f（x）的解析表达式；时，有b n≤．（2）证明：当n∈N+22．已知方向向量为的直线l过点A（）和椭圆的焦点，且椭圆C的中心O和椭圆的右准线上的点B满足：，||=||．（1）求椭圆C的方程；（2）设M、N是椭圆C上两个不同点，且M、N的纵坐标之和为1，记u为M、N的横坐标之积．问是否存在最小的常数m，使u≤m恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．2017年江西省七校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．计算：=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先求出（1﹣i）2的值，代入所求式子，利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质进行化简．【解答】解：===2，故选A．2．若log a（3a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．a＜B．＜a＜C．a＞1 D．＜a＜或a＞1【考点】指、对数不等式的解法．【分析】先把0变成底数的对数，再讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果．【解答】解：∵log a（3a﹣1）＞0，∴log a（3a﹣1）＞log a1，当a＞1时，函数是一个增函数，不等式的解是a＞0，∴a＞1；当0＜a＜1时，函数是一个减函数，不等式的解是＜a＜，∴＜a＜综上可知a的取值是a＞1或＜a＜．故选D．3．设α、β、γ是三个互不重合的平面，l是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若l 上两点到α的距离相等，则l ∥α； ③若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β；④若α∥β，l ∥α，l ⊄β，则l ∥β． 其中正确的命题是（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对各个选项分别加以判断：对①和②举出反例可得它们不正确；结合空间直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定和性质，对③和④加以论证可得它们是真命题．【解答】解：对于①，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ或α，γ相交，故①不正确； 对于②，若l 上两个点A 、B 满足线段AB 的中点在平面内，则A 、B 到α的距离相等，但l 与α相交，故②不正确；对于③，若l ⊥α，l ∥β，则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故③正确； 对于④，若α∥β且l ∥α，可得l ∥β或l 在β内，而条件中有l ⊄β，所以必定l ∥β，故④正确． 故选D ．4．已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这正三棱柱的体积是（ ） A ．18 B ．16 C ．12 D ．8 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设这正三棱柱棱长为2a ，由勾股定理得7=a 2+a 2=a 2．从而求出棱长为2a=2．由此能求出这正三棱柱的体积．【解答】解：∵一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，设这正三棱柱棱长为2a ，如图，则AB=a ，AO′=a ．OO′=a ，∴7=a 2+a 2=a 2．整理，得a 2=3，∴a=．∴棱长为2a=2．∴这正三棱柱的体积：V==18．故选：A．5．已知函数y=f（x）图象如图甲，则y=f（﹣x）sinx在区间[0，π]上大致图象是（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】分：当0＜x＜时，sinx＞0，f（﹣x）＞0，故y＞0，当＜x＜π时，sinx＞0，f（﹣x）＜0，故y＜0，即可判断函数的图象．【解答】解：∵y=f（x）图象如图，则y=f（﹣x）的图象把f（x）的沿y轴对折，再向右平移的单位，当0＜x＜时，sinx＞0，f（﹣x）＞0，故y＞0，当＜x＜π时，sinx＞0，f（﹣x）＜0，故y＜0，故选：D．6．已知两个集合，，若A∩B≠∅，则实数λ的取值范围是（）A．[2，5]B．（﹣∞，5]C． D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；集合关系中的参数取值问题．【分析】A∩B≠∅，即是说方程组有解，两式消去α得出4﹣cos2β=λ+sinβ后，移向得出λ=sin2β﹣sinβ﹣3，根据sinβ的有界性求出λ的取值范围．【解答】解：A∩B≠∅，即是说方程组有解．由①得4﹣cos2β=λ+sinβ，得出λ=3+sin2β﹣sinβ=（sinβ﹣）2+；∵sinβ∈[﹣1，1]，∴当sinβ=时，λ的最小值为，当sinβ=﹣1时，λ的最大值为5．故选：D．7．a＞0，a≠1，函数f（x）=在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是（）A．或a＞1 B．a＞1 C．D．或a＞1【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】对a分a＞1与0＜a＜1，利用复合函数的单调性结合函数g（x）=|ax2﹣x|的图象列出符合条件的不等式组，解之即可．【解答】解：∵a＞0，a≠1，令g（x）=|ax2﹣x|作出其图象如下：∵函数f（x）=在[3，4]上是增函数，若a＞1，则或，解得a＞1；若0＜a＜1，则，解得≤a＜；故选A．8．设函数y=f（x）在x0处可导，f′（x0）=a，若点（x0，0）即为y=f（x）的图象与x轴的交点，则 [nf（x0﹣）]等于（）A．+∞ B．a C．﹣a D．以上都不对【考点】极限及其运算．【分析】根据f（x o）=0可将[nf（xo﹣）]等价变形为﹣，再结合f（x）在x o处可导即可求解．【解答】解∵f（x o）=0，∴nf（x o﹣）=﹣，∵f（x）在x o处可导，∴nf（x o﹣）=﹣=﹣=﹣f′（x0）=﹣a，故选：C．9．已知椭圆E的离心率为e，两焦点分别为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，点P为这两条曲线的一个交点，若e||=||，则e的值为（）A． B．C．D．不能确定【考点】抛物线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的第二定义及e||=||，求得丨PT丨=丨PF2丨，则（﹣c）﹣（﹣）=c﹣（﹣c），即可求得a与c的关系，即可求得e的值．【解答】解：作PT垂直椭圆准线l于T，则由椭圆第二定义：丨PF1丨：丨PT 丨=e又=e，故丨PT丨=丨PF2丨，由抛物线定义知l为抛物线准线故F1到l的距离等于F1到F2的距离，即（﹣c）﹣（﹣）=c﹣（﹣c），整理得：a=c，e==，故选C．10．已知抛物线y2=2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有（）A．0个B．2个C．4个D．6个【考点】抛物线的简单性质．【分析】如图所示，过焦点F作PF⊥x轴，交抛物线于点P，P′．则△OFP、△OFP′都是直角三角形．而==2＞1，可得∠POF＞45°．即∠POP′＞90°．于是△POP′不是直角三角形．即可得出符合条件的点P的个数．【解答】解：如图所示，过焦点F作PF⊥x轴，交抛物线于点P，P′．则△OFP、△OFP′都是直角三角形．而==2＞1，∴∠POF＞45°．∴∠POP′＞90°．∴△POP′不是直角三角形．综上可知：使得△POF是直角三角形的抛物线上的点P有且只有2个．故选B．11．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A+发生的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n=6，利用列举法求出一次试验中，事件A+发生包含的基本事件个数，由此能求出一次试验中，事件A+发生的概率．【解答】解：掷一个骰子的试验，基本事件总数n=6，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A+发生包含的基本事件有：1，2，3，4，共有4个元素，∴一次试验中，事件A+发生的概率为：p==．故选：C．12．三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任意两名学生不能相邻，那么不同的排法共有（）A．36种B．72种C．108种D．120种【考点】计数原理的应用．【分析】分两类，第一类，A、B两个学校的三个学生分别被C学校的三个学生分别隔开，第二类，是A、B两个学校中其中一名学生相邻，根据分类计数原理可得．【解答】解：设三个学校分别为A，B，C，对应的学生为1，2，3名，分两类：第一类是A、B两个学校的三个学生分别被C学校的三个学生分别隔开有2=72种；第二类是A、B两个学校中其中一名学生相邻有=48．根据分类计数计数原理得共有72+48=120种．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上）13．在二项式（1+x）n的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数n（n∈N*）的最小值为11．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理的展开式写出满足题意的表达式，然后求出n的最小值．【解答】解：二项式（1+x）n的展开式中，存在系数之比为5：7的相邻两项，∴=，∴=，∴k=，当k=5时，n min=11，故答案为：1114．若函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a的取值范围是（0，1）∪（1，4] ．【考点】对数函数的值域与最值．【分析】函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则其真数在实数集上恒为正，将这一关系转化为不等式求解参数的范围即可．【解答】解：函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，其真数在实数集上恒为正，即恒成立，即存在x∈R使得≤4，又a＞0且a≠1故可求的最小值，令其小于等于4∵∴4，解得a≤4，故实数a的取值范围是（0，1）∪（1，4]故应填（0，1）∪（1，4]15．已知抛物线y2=4x的准线是圆x2+y2﹣2Px﹣16+P2=0的一条切线，则圆的另一条垂直于x轴的切线方程是x=﹣9或x=7．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的准线方程，将（﹣1，0）代入圆的方程，求得P的值，即可求得圆的另一条垂直于x轴的切线方程．【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，而圆方程为（x﹣P）2+y2=16，又（﹣1，0）在圆上，∴（P+1）2=16，即P=﹣5或P=3，∴另一条切线方程为x=﹣9或x=7，故答案为：x=﹣9或x=7．16．下列命题中①A+B=是sinA=cosB成立的充分不必要条件．②的展开式中的常数项是第4项．=+2，则数列{a n}为等比③在数列{a n}中，a1=2，S n是其前n项和且满足S n+1数列．④设过函数f（x）=x2﹣x（﹣1≤x≤1）图象上任意一点的切线的斜率为K，则K的取值范围是（﹣3，1）把你认为正确的命题的序号填在横线上①③．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①A +B=，可得A=﹣B ，∴sinA=cosB ，反之sinA=cosB ，A +B=+2kπ（k ∈Z ），∴A +B=是sinA=cosB 成立的充分不必要条件，正确．②的展开式，通项为，令r ﹣3=0，可得r=2，常数项是第3项，不正确．③在数列{a n }中，a 1=2，S n 是其前n 项和且满足S n +1=+2，可得S n =S n ﹣1+2，两式相减可得a n +1=a n ，故数列{a n }为等比数列，正确；④f （x ）=x 2﹣x （﹣1≤x ≤1），则f′（x ）=2x ﹣1∈[﹣3，1]，K 的取值范围是[﹣3，1]，不正确． 故答案为①③．三、解答题（本大题共6小题，满分74分．第17-21题每题12分，第22题14分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知向量=（sinB ，1﹣cosB ），且与向量=（2，0）所成角为，其中A ，B ，C 是△ABC 的内角． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求sinA +sinC 的取值范围．【考点】两角和与差的正弦函数；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（I ）由与的夹角为，根据锐角三角函数定义列出关系式，利用半角公式及特殊角的三角函数值化简，求出tan的值，由B 的范围，求出的范围，利用特殊角的三角函数值求出的度数，进而确定出B 的度数，得到A +C 的度数；（II ）由A +C 的度数，表示出C ，代入sinA +sinC 中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，合并整理再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出正弦函数的值域，确定出sinA+sinC的范围即可．【解答】解：（I）∵=（sinB，1﹣cosB），且与向量=（2，0）所成角为，∴=tan=，∴tan=，又0＜B＜π，∴0＜＜，∴=，即B=，A+C=；…（II）由（1）可得sinA+sinC=sinA+sin（﹣A）=sinA+cosA﹣sinA=sinA+cosA=sin（A+），∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴sin（A+）∈（，1]，则sinA+sinC∈（，1]，当且仅当A=C=时，sinA+sinC=1．…18．.有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，最后据各队积分决出名次．规定每场比赛必须决出胜负，其中胜方积2分，负方积1分，已知球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为，且各场次胜负情况彼此没有影响．（1）甲队至少胜一场的概率；（2）求球队甲赛后积分ξ的概率分布和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）甲队至少胜一场的对立事件是甲三场比赛全负，由此利用对立事件概率计算公式能求出甲队至少胜一场的概率．（2）由题意知球队甲赛后积分ξ的可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）∵球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为，且各场次胜负情况彼此没有影响．甲队至少胜一场的对立事件是甲三场比赛全负，∴甲队至少胜一场的概率p=1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）=．（2）由题意知球队甲赛后积分ξ的可能取值为3，4，5，6，P（ξ=3）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（ξ=4）=（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=，P（ξ=5）=××（1﹣）+（1﹣）××+×（1﹣）×=，P（ξ=6）=××，∴ξ的分布列为：．19．设a∈R，函数f（x）=（ax2+a+1），其中e是自然对数的底数．（1）判断f（x）在R上的单调性；（2）当﹣1＜a＜0时，求f（x）在[1，2]上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）对函数f（x）进行求导然后整理成f′（x）=e﹣x（﹣ax2+2ax﹣a﹣1）的形式，因为e﹣x＞0，根据导函数大于0原函数单调递增，导函数小于0原函数单调递减通过讨论函数g（x）=﹣ax2+2ax﹣a﹣1值的情况来确定原函数的单调性．（2）先根据a的范围确定导函数等于0的两根的范围，进而可判断函数在区间[1，2]上的单调性，最后可得到最小值．【解答】解：（1）由已知f′（x）=﹣e﹣x（ax2+a+1）+e﹣x•2ax=e﹣x（﹣ax2+2ax﹣a﹣1）．因为e﹣x＞0，以下讨论函数g（x）=﹣ax2+2ax﹣a﹣1值的情况：当a=0时，g（x）=﹣1＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数．当a＞0时，g（x）=0的判别式△=4a2﹣4（a2+a）=﹣4a＜0，所以g（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数．=，并且＜，当a＜0时，g（x）=0有两个根x1，2所以在区间（﹣∞，）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数；在区间（，）上，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在此区间上是减函数．在区间（，+∞）上，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数．综上，当a≥0时，f（x）在R上是减函数；当a＜0时，f（x）在（﹣∞，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（2）当﹣1＜a＜0时，=1+＜1，=1+＞2，所以在区间[1，2]上，函数f（x）单调递减．所以函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（2）=．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD，E 为侧棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若AD=AB，试求二面角A﹣PC﹣D的正切值；（4）当为何值时，PB⊥AC？【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（1）连DB，设DB∩AC=O，面EAC内的直线OE与面外直线BP平行，即可证明PB∥平面EAC（2）要证AE⊥平面PCD，可以证明面PDC⊥面PAD，再利用面面垂直的性质定理，证明AE⊥平面PCD．（3）在PC上取点M使得．证出∠AME为二面角A﹣PC﹣D的平面角，在Rt△AEM中解即可．（4）设N为AD中点，连接PN，要使PB⊥AC，需且只需NB⊥AC，在矩形ABCD中，设AD=1，AB=x列方程并解即可．【解答】解：（1）证明：连DB，设DB∩AC=O，则在矩形ABCD中，O为BD 中点．连EO．因为E为DP中点，所以，OE∥BP．又因为OE⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，所以，PB∥平面EAC．（2）正三角形PAD中，E为PD的中点，所以，AE⊥PD，又面PDC∩面PAD=PD，所以，AE⊥平面PCD．（3）在PC上取点M使得．由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，所以PD=AD=AB=DC所以，在等腰直角三角形DPC中，EM⊥PC，连接AM，因为AE⊥平面PCD，所以，AM⊥PC．所以，∠AME为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在Rt△AEM中，．即二面角A﹣PC﹣D的正切值为．（4）设N为AD中点，连接PN，则PN⊥AD．又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD．所以，NB为PB在面ABCD上的射影．要使PB⊥AC，需且只需NB⊥AC在矩形ABCD中，设AD=1，AB=x则，解之得：．所以，当=时，PB⊥AC．21．设f（x）=（a＞0）为奇函数，且|f（x）|min=，数列{a n}与{b n }满足如下关系：a 1=2，，．（1）求f （x ）的解析表达式；（2）证明：当n ∈N +时，有b n ≤．【考点】函数奇偶性的性质；数列递推式．【分析】（1）利用f （x ）为奇函数，且|f （x ）|min =，求出a ，b ，c 即可的f（x ）的解析表达式（2）先有f （x ）的解析表达式，求得a n 与a n +1的关系，在求出b n 的通项公式，来证明【解答】解：由f （x ）是奇函数，得b=c=0，由|f （x ）min |=，得a=2，故f （x ）=（2）=，==b n 2∴b n =b n ﹣12=b n ﹣24═，而b 1=∴b n =当n=1时，b 1=，命题成立，当n ≥2时∵2n ﹣1=（1+1）n ﹣1=1+C n ﹣11+C n ﹣12++C n ﹣1n ﹣1≥1+C n ﹣11=n∴＜，即b n ≤．22．已知方向向量为的直线l 过点A （）和椭圆的焦点，且椭圆C 的中心O 和椭圆的右准线上的点B满足：，||=||．（1）求椭圆C的方程；（2）设M、N是椭圆C上两个不同点，且M、N的纵坐标之和为1，记u为M、N的横坐标之积．问是否存在最小的常数m，使u≤m恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）方法一、由题意可得O点和B点关于直线l对称．求出直线l的方程和过原点垂直l的直线方程，解方程可得椭圆的右准线方程，由题意可得c=2，a2=6，b2=2，进而得到椭圆方程；方法二、设原点关于直线l对称点为（p，q），由点关于直线对称的特点，解方程可得p=3，即有椭圆右准线方程，进而得到c=2，a2=6，b2=2，可得椭圆方程；（2）若直线MN平行于y轴，不合题意．若直线MN不平行于y轴，设过M、N两点的直线方程为y=kx+b，联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理，以及点满足直线方程，化简整理，可得0＜b＜4，求得u的函数，运用导数判断单调性，即可得到结论．【解答】解：（1）解法一：由点B满足：，||=||．可得O点和B点关于直线l对称．直线l：y=x﹣2①过原点垂直l的直线方程为②解①②得，∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴．∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c=2，a2=6，b2=2．故椭圆C的方程为．解法二：直线l：y=x﹣2，设原点关于直线l对称点为（p，q），则解得p=3．∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴．∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c=2，a2=6，b2=2．故椭圆C的方程为．（2）若直线MN平行于y轴，则y1+y2=0，不合题意．若直线MN不平行于y轴，设过M、N两点的直线方程为y=kx+b，由得（2+6k2）x2+12kbx+6b2﹣12=0，△=144k2b2﹣4（2+6k2）（6b2﹣12）＞0，即（2+6k2）﹣b2＞0①设M （x1，y1），N （x2，y2），则，∴，由已知，代入①得：4b﹣b2＞0，即0＜b＜4，，∵，∴u在（0，4）上是增函数，∴，故不存在最小的常数m，使u≤m成立．2017年4月11日。

江西省抚州市临川区2017届高三数学4月模拟检测试题理（扫描版）
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理科数学第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1。

已知i 为虚数单位，a R ∈，若()()11a a i +-+是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．1-或1 B ．1 C ．1- D ．3 2。

已知全集U R =,集合{}260A x x x =+->，{}21 2xB y y x ==-≤，，则()UCA B =( ）A ．[]3 3-，B ．[]1 2-，C ．[]3 2-，D ．(]1 2-，3.已知函数()2af x x x=+，则“02a <<”是“函数()f x 在()1 +∞，上为增函数”的（ )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4。

设 a b ，是两条不同的直线, αβ，是两个不同的平面，则( ） A ．若a α∥，b α∥，则a b ∥ B ．若a α∥，αβ∥,则αβ∥ C 。

若a b ∥,a α⊥，则b α⊥ D ．若a α∥,αβ⊥,则a β⊥5。

运行如图所示框图的相应程序，若输入 a b ，的值分别为4log 3和3log 4，则输出M 的值是( )A ．0B ．1C 。

3D ．1-6.在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点,点F 是BC 的一个三等分点（靠近点B ）,那么EF =（ )A ．1123AB AD- B ．1142AB AD + C 。

1132AB AD + D ．1223AB AD -7。

中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3,其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为( )A ．2.5B ．3C 。

3.2D ．4 8.设 x y ，满足约束条件430 0x yy x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩，，若目标函数()220z x ny n =+>，z 最大值为2，则tan 6y nx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π后的表达式为（ ） A ．tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．cot 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.tan 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．tan 2y x =9。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合{}{}2|6,|11180M x N x N x x x =∈<=-+<，则MN 等于（ ）A ．{}3,4,5B ．{}|26x x <<C ．{}|35x x ≤≤D ．{}2,3,4,5 【答案】A考点：集合的表示方法及交运算.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 2.,,A B C 三个学生参加了一次考试，,A B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题:p 若及格分低于70分，则,,A B C 都没有及格．在下列四个命题中，为p 的逆否命题的是（ ） A ．若及格分不低于70分，则,,A B C 都及格 B ．若,,A B C 都及格，则及格分不低于70分 C ．若,,A B C 至少有一人及格，则及格分不低于70分 D ．若,,A B C 至少有一人及格，则及格分高于70分 【答案】C【解析】试题分析：根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p ：若及格分低于70分，则,,A B C 都没有及格，p 的逆否命题的是：若,,A B C 至少有1人及格，则及格分不低于70分．故选：C ． 考点：原命题与它的逆否命题之间的关系．3.设()()2,f x x g x x R -=∈，若函数()f x 为偶函数，则()g x 的解析式可以为（ ） A ．3x B ．cos x C ．1x + D ．xxe 【答案】B 【解析】试题分析：由题意，只要()g x 为偶函数即可，由选项可知，只有选项B 的函数为偶函数；故选：B ．考点：函数奇偶性的运用．4.若0cos sin 63cos18cos63cos108x =+，则cos 2x 等于（ ） A ．12-B ．34-C ．0D ．12【答案】C 【解析】 试题分析：0000cos sin 63cos18cos63sin18sin 452x =-=︒=21cos 22cos 12102x x =-=⨯-=.考点：三角函数的恒等变换.5.在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2c o s c o s ,2b A a B c a b +===，则ABC∆的周长为（ ）A ．7.5B ．7C ．6D ．5 【答案】D考点：余弦定理在解三角形中的应用. 6.设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n na a +<，若353520,64a a a a +==，则6S 等于（ ）A ．63或126B ．252C ．126D ．63 【答案】C 【解析】 试题分析：因为11n na a +<，所以01q <<，又因为 353520,64a a a a +==，所以35,a a 是方程220640x x -+= 的两根，易得：3516,4a a == ，从而得到114,2a q ==，所以6126S =. 考点：等比数列通项及求和. 7.2cos 3x x +=，则7tan 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．79±B．7± C．± D．4± 【答案】D考点：三角函数恒等变换.【思路点晴】三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.8.已知点O 为ABC ∆内一点，0120,1,2AOB OA OB ∠===，过O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 为线段OD 的中点，则OE EA 的值为（ ） A ．514 B ．27 C ．314 D ．328【答案】D 【解析】试题分析：如图，点O 为ABC ∆内一点，0120,1,2AOB OA OB ∠===，过O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 为线段OD 的中点，∴0OD AD ∙=，则1()222OD AO ADOE EA AE OD +∙=∙-=-∙∙4AO OD OD AD ∙+∙=-2cos 444OA OD AOD ODOA OD ∙∙∠∙===.AOB ∆中，利用余弦定理可得AB =,因为11sin120,22AOB S AB OD OA OB ∆=∙∙=∙∙︒可得111222OD =∙∙，所以OD =328OE EA =，故选：D.考点：向量数量积与解三角形.9.已知函数()f x 与()f x '的图像如下图所示，则函数()()x f x g x e=的递减区间为（ ）A ．()0,4B ．()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ． 40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()()0,1,4,+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：结合图象，）（1,0x ∈和），（∞+∈4x 时，0)()(<-'x f x f ，而xe xf )(x f x g -'='）（）（，故）（x g 在）（1,0,），（∞+4递减，故选：D ．考点：函数的单调性.10.已知函数()sin cos f x a x b x =-（其中,a b 为正实数）的图象关于直线6x π=-对称，且12,x x R ∀∈，12x x ≠且()()124f x f x ≤恒成立，则下列结论正确的是（ ）A ．1a b ==B ．不等式()()124f x f x ≤取到等号时21x x -的最小值为2πC ．函数()f x 的图象的一个对称中心为2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．函数()f x 在区间,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】B考点：命题的真假的判断与应用与三角函数的最值. 11.若数列{}n a 满足112523n n a an n +-=++，且15a =，则数列{}n a 的第100项中，能被5整除的项数为（ ）A ．42B ．40C ．30D ．20 【答案】B 【解析】试题分析：由数列{}n a 满足112523n n a a n n +-=++，即112(1)323n n a an n +-=+++，所以11213a =⨯+，∴数列{}23n a n +是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴23n a n n =+，∴223n a n n =+，由题意可知：∴每10中有4项能被5整除，∴数列{}n a 的前100项中，能被5整除的项数40，故答案选：B ．考点：求通项公式的方法，考查等差数列通项公式，考查数列的周期性. 12.已知函数()()225,4x f x g x x x =-=-，给出下列3个命题：1:p 若x R ∈，则()()f x f x -的最大值为16．2:p 不等式()()f x g x <的解集为集合{}|13x x -<<的真子集． 3:p 当0a >时，若[]()()1212,,2,x x a a f x g x ∀∈+≥恒成立，则3a ≥．那么，这3个命题中所有的真命题是（ ）A ．123p p p 、、B ．23p p 、C ．12p p 、D ．1p 【答案】A考点：命题的真假判断与应用.【思路点晴】本题考查了简易逻辑、均值不等式、不等式的解集、恒成立等问题，属于中等题.处理最值问题常考方法有：二次函数的最值、基本不等式求最值、三角换元求最值、导数法等等，根据所给函数的结构合理选择；解不等式问题常用方法：借助单调性解不等式、数形结合法、对称法等等；而恒成立问题往往转化为最值问题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.等比数列{}214n +的公比为_____________．【答案】16 【解析】试题分析：35212a =4a =4q=4=16⇒，. 考点：等比数列基本运算.14.设函数()()621log ,4,4x x f x f x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则()()34f f +=_____________． 【答案】4 【解析】试题分析：,9log 1)9(3f 6+==f ）（4log 14f 6+=）（,()()34f f +=436log 26=+. 考点：分段函数与对数运算.15.在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c，已知222a b c +-=，且sin ac B C =，则CA CB = _____________．【答案】3考点：向量的数量积与解三角形.【方法点晴】平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解．16.若函数()423x x f x k x-=-有3个零点，则实数k 的取值范围是_____________．【答案】()()2,00,2-【解析】试题分析：4233=0k=x 3,(0)x x k x x x---≠，得：，结合图象易知，实数k 的取值范围是()()2,00,2-.考点：函数的零点.【方法点晴】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.本题采用第二种方法，首先令()0f x =，变为两个函数3,3y k y x x ==-，先画出33y x x =-的图象，然后将y k =的图象上下平动，得到二者交点的情况.注意函数的定义域是本题的易错点.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知0m ≠，向量(),3a m m =，向量()1,6b m =+，集合()(){}2|20A x x m x m =-+-=.（1）判断“//a b ”是“a =（2）设命题:p 若a b ⊥，则19m =-.命题:q 若集合A 的子集个数为2，则1m =.判断p q ∨，p q ∧，q ⌝的真假，并说明理由.【答案】（1）充分不必要条件；（2）p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，q ⌝为真命题.试题解析：解：（1）若//a b ，则()631m m m =+，∴1m =（0m =舍去），．．．．．．．．．．．．．1分此时()1,3,a a ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分若a =1m =±，若“//a b ”是“a =．．．．．．．．．．．4分（2）若a b ⊥，则()1180m m m ++=，∴19m =-（0m =舍去），∴p 为真命题，．．．．．5分由()()220x mx m -+-=得2x m=，或2x m =-，若集合A 的子集个数为2，则集合A 中只有1个元素，则22m m =-，∴1m =或2- ，故q 为假命题，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∴p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，q ⌝为真命题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：简易逻辑知识.18.在等差数列{}n a 中，2134a a +=，且56718a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若124,,a a a 成等比数列，求数列()122n n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和n S【答案】（1）38782525n a n =-,n a n =；（2）22n nS n =+.（2）若124,,a a a 成等比数列，则n a n =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∵()()111111222121n n a n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∴1111111111222312122n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：等差等比数列基本运算及裂项相消法求和.19.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a （单位：万元）满足1801204P Q a =+=+.设甲大棚的投入为x （单位：万元），每年两个大棚的总收益为()f x （单位：万元）（1）求()50f 的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益()f x 最大？【答案】（1）277.5；（2）投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.（2）()()118020012025044f x x x =+-+=-+， 依题意得202018020020x x x ≥⎧⇒≤≤⎨-≥⎩，故()()1250201804f x x x =-+≤≤．．．．．．8分令t ⎡=⎣，则()(221125028244f x t t =-++=--+，当t =128x =时，()max 282f x =，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．．．．．．．．．．．12分考点：函数的实际应用问题.20.如图所示，在ABC ∆中，点D 为BC 边上一点，且1,BD E =为AC 的中点，32,cos ,273AE B ADB π==∠=．（1）求AD 的长；（2）求ADE ∆的面积．【答案】（1）2AD =；（2）4ADE S ∆=. 【解析】试题分析：（1）在ABD ∆中, 求出sin 14BAD ∠=，利用正弦定理求AD 的长；（2）在A C D ∆中由余弦定理得1DC =124ADE ACD S S ∆∆==.（2）由（1）知2AD =，依题意得23AC AE ==，在ACD ∆中由余弦定理得2222cos AC AD DC AD CD ADC =+-∠， 即29422cos3DC CD π=+-⨯⨯,∴2250DC DC --=，解得1DC =+．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∴(11sin 2122ACD S AD DC ADC ∆=∠=⨯⨯+，从而12ADE ACD S S ∆∆==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：解三角形.【思路点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.21.（本小题满分12分）已知函数()()()3x f x x a e x =+>-，其中a R ∈.（1）若曲线()y f x =在点()0,A a 处的切线l 与直线22y a x =-平行，求l 的方程；（2）讨论函数()y f x =单调性.【答案】（1）43y x =+,4133y x =+；（2）当2a <时，()f x 的增区间为()1,a --+∞，减区间为()3,1a ---，当2a ≥时，()f x 在()3,-+∞上递增.（2）令()()10xf x x a e '=++=得1x a =--， 当13a --≤-，即2a ≥时，()()()10,x f x x a e f x '=++>在()3,-+∞上递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分当13a -->-即2a <时，令()0f x '>得1x a >--，()f x 递增；令()0f x '<得()31,x a f x -<<--递减，综上所述，当2a <时，()f x 的增区间为()1,a --+∞，减区间为()3,1a ---；当2a ≥时，()f x 在()3,-+∞上递增，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：导数的应用.22.记{}max ,m n 表示,m n 中的最大值，如{max =已知函数(){}(){}22max 1,2lnx ,max ln ,f x x g x x x ax x =-=++.（1）求函数()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）试探讨是否存在实数a ，使得()342g x x a <+对()1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）3,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）存在，ln 21,04-⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】试题分析：（1）根据题意，明确给定范围上的()f x 的表达式，然后求值域；（2）根据题意，明确给定范围上的()g x 的表达式，然后恒成立问题就转化为最值问题.（2）①当0a ≤时，∵()1,x ∈+∞，∴()22ln ln 0x x ax x x ax +-+=->，∴2ln x x ax x +>+，∴()ln g x x x =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分 若()342g x x a <+，对()1,x ∈+∞恒成立，则1ln 42x x a -<对()1,x ∈+∞恒成立， 设()1ln 2h x x x =-，则()11222x h x x x -'=-=， 令()0h x '>，得()12,x h x <<递增；令()0h x '<，得()2,x h x >递减．∴()()max 2ln 21h x h ==-，∴4ln 21a >-，∴ln 214a ->，∵0a ≤，∴ln 21,04a -⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．．．．9分②当0a >时，由（1）知3ln 42x x x a +<+，对()1,x ∈+∞恒成立， 若()342g x x a <+对()1,x ∈+∞恒成立，则2342ax x x a +<+对()1,x ∈+∞恒成立， 即2280ax x a --<对()1,x ∈+∞恒成立，这显然不可能． 即当0a >时，不满足()342g x x a <+对()1,x ∈+∞恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分故存在实数a ，使得()342g x x a <+对()1,x ∈+∞恒成立，且a 的取值范围为ln 21,04-⎛⎤ ⎥⎝⎦．．．．．．．12分 考点：导数应用.【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题；利用导数来判断函数的单调性，进一步求最值；属于难题．本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.。

江西省抚州市崇仁县2017届高三数学模拟考试试题理（扫描版）135数学（理科）•答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1.【答案】A【解析】依题意，()(){}{}64046A x x x x x =-+<=-<<，{}{}11B x y x x x ==+=≥-，故[)1,6A B =-I ，故选A.2.【答案】D【解析】依题意，()()()2017122121212125i i i i i z i i i i +-+====---+，故复数的虚部为15，故选D. 3.【答案】B，由抛物线定义可知，123456PF P F P F P F P F P F+++++1234563x x p+++，故4p =，故抛物线C 的方程为28y x =，故选B. 4.【答案】D【解析】依题意，6411135392a a a d a d a d=⇒+=+⇒=-，其中0d ≠；()10411104532525S a a d a d d d =⇒+=+⇒=⇒=λλλλ，故选D.5.【答案】A【解析】依题意，()()2215522270C aC ⨯-+-=，解得1a =，故选A.6.【答案】D 【解析】依题意，所求表面积为()()2221222321211522152πππππππ⨯+⨯⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=+，故选D.7.【答案】C【解析】如图，连接OA 交EF 于G ；设3OG =，则阴影部分面积11623632S =⨯⨯⨯=，圆O 的面积()222312S ππ=⨯=，故所求概率12633S P S ===，故选C.8.【答案】C【解析】运行该程序6,1,0,1r c m n ====；第一次，34,6,4,5,1,1,6a b r q m n c =======；第二次，6,4,2,1,1,6,7a b r q m n c =======；第三次，4,2,0,2,6,7,20a b r q m n c =======，此时停止运行，故输出的c 的值为20，故选C. 9.【答案】D【解析】依题意，()2sin 22sin 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()222242++Z k x k k πππππ-≤-≤∈，故()322244++Z k x k k ππππ-≤≤∈，解得()388++Z k x k k ππππ-≤≤∈，故选D.10.【答案】B【解析】不妨设直线的方程为23ay x ab⎛⎫=-⎪⎝⎭，即223ax by a--=；圆心Ω到直线的距离为3c=，即2233ac acc-=，化简可得22320c ac a-+=，解得2c a=，故b=，故双曲线C的渐近线方程为y=，故选B.11.【答案】C【解析】对四棱锥P ABCD-进行补型，得到三棱柱'PAD P BC-的外接球球心即为三棱柱'PAD P BC-面积27284433S Rπππ==⨯=，故选C.12.【答案】A【解析】因为()()22'3f x f x+>，故()()232'0x xe f x e f x-+>⎡⎤⎣⎦，故(){}23'0xe f x->⎡⎤⎣⎦，令()()23xg x e f x=-⎡⎤⎣⎦，故()g x在R上单调递增，因为()()()()11230231xxf x e f x eg x ge--+>⇔->-⇔>⎡⎤⎣⎦，解得1x>，故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.【答案】1-【解析】依题意，2325a b a x⋅=⇒-=r r r，解得1x=-.14.【答案】1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知，1BD CDyk kx≤≤+，故1231yx≤≤+.15.【答案】127【解析】显然1q ≠，否则()126368S S qS -=不成立，故()126363681802S S q q q q S -=⇒-=⇒=，故的值为12. 16.【答案】9ln 22+【解析】依题意，()()3322x g x f x e -=-+=+；在同一直角坐标系中分别作出函数()g x 、()h x 的图像如下所示，观察可知，要使得()()h x g x ≥，则有()36422x xee --+≥+，故294x e -≥，解得29ln 4x -≤，故9ln 22x ≤+，即λ的最大值为9ln 22+.三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.解：（1）依题意，()cos cos cos 2sin cos b B A C a B C +=，故()cos cos cos 2sin cos b B A C b A C +=，所以cos cos cos 2sin cos B A C A C +=， 所以()cos cos cos 2sin cos A C A C A C -++=，即cos cos sin sin cos cos 2sin cos A C A C A C A C -++=，即sin sin 2sin cos A C A C =，因为sin 0A ≠，所以tan 2C =，故25sin C =可得2510sin 25sin 4a C A c ===（6分） （2）记AB 边上的中线为CD ，故2CA CB CD +=uu r uu r uu u r，所以()222242=++CD CA CB CA CB CA CB =+⋅uu u r uu r uu r uu r uu r uu r uu r ，结合（1）可知55cos =C ，解得2CA =uu r所以ABC ∆的面积12510242S ==.（12分） 18.解：（1）依题意，所求概率31462644881114C C C P C C =+=；（3分）（2）乙通过自主招生初试的概率3434313189'444256P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（5分）因为1118914256>，故甲通过自主招生初试的可能性更大.（6分） （3）依题意，X 的可能取值为2,3,4；（7分）()2262483214C C P X C ===；()316248843=147C C P X C ===；()46483414C P X C ===；故X（10分）所以()343234314714E X =⨯+⨯+⨯=.（12分） 19.解：（1）取SD 的中点H ，连接QH ，HC ，因为ABCD 是正方形，所以AD BC ，AD BC =；（2分）因为Q,H 分别是SA ,SD 的中点，所以QH AD ,12QH AD =；（3分）又因为PC AD 且12PC AD =，所以QH PC ，QH PC =，所以四边形QHCP 是平行四边形, 所以PQ HC .因为所以,,90D DC SD SDA =⋂︒=∠AD ⊥平面SDC ，又，平面SDC HC ⊂故AD HC ⊥，故AD PQ ⊥；（6分）（2）如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DS 分别为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系；设0SD a(a )=>，则()()()0000220S ,,a R ,,B ,,，，1．因为SD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m .（7分） 设平面SRB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，()10 S R ,,a =-uu r ，()120 RB ,,=uu r ，则0,=0.SR RB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩uu r uu r n n 即0+2=0x az x y -=⎧⎨⎩，，令x =1，得11,2z y a==-，所以11(1,,)=-n ，（9分）由已知，二面角S BR D --，所以得 cos <,>||||⋅===m n m n m n a =2，所以SD =2．（12分）20.解：（1）92分）解得22220,5,15a b c ===，故椭圆C 的方程为221205x y +=；（4分） （2）120k k +=，下面给出证明：设()11,P x y ，()22,Q x y ，将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200x mx m ++-=，（6分） ()()228204200m m ∆=-->，解得55m -<<，且.3-≠m故1285mx x +=-，2124205m x x -=，（7分）则()()()()()()1221121212121414114444y x y x y y k k x x x x --+----+=+=----， 分子=()()()()()()()1221121214142581x m x x m x x x m x x m +--++--=+-+--()()()224208581055m m m m --=---=，故12k k +为定值，该定值为0. （12分）21.解：（1）依题意，()2xf x x e -=，()2'2xx f x xex e --=-，故()1'1f e=，（2分） 又()11f e =，故所求切线方程为()111y x e e -=-，即1y x e=；（3分）（2）令()21xg x x =+，故函数()g x 的定义域为R ，()()())'(()x x x x g x x --+==++2222211111． 当变化时，()'g x ，()g x 的变化情况如下表：因为(0)0g =，（6分） 因为2'()(+2)e axf x ax x =． 因为0a <，令'()0f x =得，10x =，2x a=-．（ⅰ）当22a-≥，即10a -≤<时，在[0,2]上'()0f x ≥，所以函数()f x 在[0,2]上单调递增，所以函数2max [()](2)4e af x f ==．由24e 1a ≤得，ln 2a ≤-，所以1ln 2a -≤≤-．（9分）（ⅱ）当202a <-<，即1a <-时, 在2[0,)a -上'()0f x ≥，在2(,2]a-上'()0f x <，所以函数()f x 在2[0,)a -上单调递增，在2(,2]a-上单调递减，所以max 2224[()]()e f x f a a =-=，由2241e a ≤得，2ea ≤-，所以1a <-．（11分） 综上所述，的取值范围是(,ln 2]-∞-.（12分）请考生从第22、23题中任选一题做答. 如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时请写清题号. 22.解：（1）依题意，曲线C 的普通方程为()2239x y +-=，即2260x y y +-=，故226x y y +=，故26sin ρρθ=，故所求极坐标方程为6sin ρθ=；（3分）（2）设直线1,2:2,x l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），将此参数方程代入2260x y y +-=中，化简可得270t --=，显然0∆>；设,M N 所对应的参数分别为12,t t，故12127,t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩12121167PM PNt t PM PN PM PN t t +-+====⋅.（10分） 23.解：（1）依题意，()3,2,1221,21,3,1,x f x x x x x x ≤-⎧⎪=--+=---<<⎨⎪-≥⎩由2210x -<--<，解得1122x -<<，故11,22A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（5分）（2）由（1）可知，2211,44m n <<；因为22144mn m n ---()()()()22222218164241410mn m n m mn n m n =-+--+=-->，故22144mn m n ->-，故142mn m n ->-.（10分）。

专题1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件真题回放1.【2017年全国一卷理数（3）】设有下面四个命题1p ：若复数满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B2.【2017年卷理数第6题】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：若0λ∃<，使m n λ=，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<T ，若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A. 3.【2017年某某卷理数第4题】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A4.【2017年某某数学第6题】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 +S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：由d d a d a S S S =+-+=-+)105(22110211564，可知当0>d ，则02564>-+S S S ，即5642S S S >+，反之，02564>⇒>+d S S S ，所以为充要条件，选C ．【考点】 等差数列、充分必要性 考点分析考点 了解A 掌握B 灵活运用C命题的概念 A 四种命题的相互关系 B 全称命题与特称命题 B 充分条件与必要条件C高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有两个：一是考查命题的四种形式以及真假判断，考查等价转化数学思想；二是以函数、方程、不等式、立体几何线面关系为背景的充分条件和必要条件的判定以及由充分条件和必要条件探求参数的取值X 围． 融会贯通题型一 四种命题的关系及真假判断【典例1】【2017届某某某某市高三理一诊】命题“若a b >，则a c b c +>+”的否命题是（ ）．A ．若a b ≤，则a c b c +≤+B ．若a c b c +≤+，则a b ≤C ．若a c b c +>+，则a b >D ．若a b >， 则a c b c +≤+ 【答案】A 【解析】试题分析：“若p 则”的否命题是“若p ⌝则q ⌝”，所以原命题的否命题是“若b a ≤，则c b c a +≤+”，故选A.考点：四种命题【例2】有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题，其中真命题的序号是________.【答案】②③解题方法与技巧：(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p ，则q ”的形式，应先改写成“若p ，则q ”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．(4) 否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法． 【变式训练】【2017届某某抚州市七校高三理上学期联考】,,A B C 三个学生参加了一次考试，,A B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题:p 若及格分低于70分，则,,A B C 都没有及格．在下列四个命题中，为p 的逆否命题的是（ ） A ．若及格分不低于70分，则,,A B C 都及格 B ．若,,A B C 都及格，则及格分不低于70分 C ．若,,A B C 至少有一人及格，则及格分不低于70分D ．若,,A B C 至少有一人及格，则及格分高于70分 【答案】C考点：原命题与它的逆否命题之间的关系． 知识： 一．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 二．四种命题及其关系 1．四种命题 命题 表述形式 原命题 若p ，则q 逆命题 若q ，则p 否命题 若p ⌝，则q ⌝逆否命题若q ⌝，则p ⌝即：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。