江西省抚州市临川第一中学2020届高三5月模拟考试数学(理)试题 (含答案)

答案1----6CDACCB 7----12 ADACDA13．14.15.16 5.17（解：（1）由题意得，解得，.又，，当时，的最小值是.（2）对恒成立，则，即恒成立，所以，解得，18（1）∵平面，又∵平面，平面平面.∴，同理，∵，，，∴，∴.同理. ∴，同理.又∵，是平面内的两相交直线.∴平面.（2）由（1）及异面直线，互相垂直知，直线，，两两垂直.作，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，∵轴平面，∴平面的一个法向量可设为，∵，∴.得，即，又∵轴平面，∴平面的一个法向量可设为.∴，得，即，设锐二面角的大小为，那么，∴二面角的正切值为.19解：（Ⅰ）记“小球落入4号容器”为事件，若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，∴理论上，小球落入4号容器的概率.（Ⅱ）落入4号容器的小球个数的可能取值为0，1，2，3，∴，，，，∴的分布列为：∴.20（1）设：，∴∴，∴∴（2）直线：∴即，∴，即直线：∴∴,∴三点共线∵∴∴. 21的极值点，又当时，，从而的极值点成立．（II）因为上为增函数，所以上恒成立．6分若，则，上为增函数不成产‘若所以上恒成立．令，其对称轴为因为从而上为增函数．所以只要即可，即所以又因为10分（III）若时，方程可得即上有解即求函数的值域．法一：令由，从而上为增函数；当，从而上为减函数．可以无穷小．15分法二：当，所以上递增；。

江西省临川一中5月高考模拟试卷数学（理）一.选择题（每小题5分,共50分,答案唯一） 1.设复数i Z -=11，i Z +=32,21Z Z Z =则Z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.设全集U=R ,若集合M ={}3222+-=x x y y ，N =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=x x y x 23lg，则N M C U )(=（ ）. A ．（－3，2） B. （－3，0） C. （－∞，1）∪（4，+∞） D.（－3，1） 3. 已知A ⊆{0，1，2，3}，且A 中至少有一个奇数，则这样的集合A 共有( )A 、11个B 、12个C 、15个D 、16个4.在△ABC 中，4=1=，S △ABC且∠A 是锐角，则AB ·的值为（ ） A －2 B ±2 C 2 D 45.设x x x f sin cos )(-=把)(x f y =的图象按向量)0,(ϕ= (ϕ>0)平移后，恰好得到函数y =f '(x )的图象，则ϕ的值可以为（ ）A 、2πB 、43πC 、πD 、23π6.已知数列{}n a 满足431=++n n a a （1≥n ）且91=a ，其前n 项之和为S n ，则满足不等式6--n S n 1251<的最小整数n 是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87.按如图1所示的程序框图运算，若输出2k =， 则输入x 的取值范围是（ ） A. 20072009,42⎛⎤⎥⎝⎦ B.⎥⎦⎤ ⎝⎛22011,42009 C .⎥⎦⎤ ⎝⎛22011,502 D.⎥⎦⎤⎝⎛505,420098. 点P 从O 点出发，按逆时针方向沿周长为l 的图 形运动一周，O ,P 两点连线的距离y 与点P 走过的 路程x 的函数关系如下图，那么点P 所走的图形是（ ）9．已知点A (2,2),点M 是椭圆222235y x +=1上的动点,F 2是椭圆的右焦点,则|MA|+|MF 2|的最大值是（ ）A.10+102B.10－102C. 22D. 10+2210.若⎩⎨⎧212212<-+->+x y x x y （y x ,Z ∈）则x 2+y 的最大值为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 二.填空题:（每小题5分,共25分,请将答案填在题中横线上.） 11.nxx )1(23+的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中不含x 的项是 .（填具体数）.12.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤=)2(0)23(4)3(1)(2x x x x x f ，则dx x x f ])([21+⎰-的值为 .13.在四面体ABC O -中，若点O处的三条棱两两垂，且其三视图均是底边长为的全等的等腰直角三角形，则在该四面体表面上与点A 距离为2的点形成的曲线长度之和为 .14.给出下列命题：①函数f (x )＝x －12x ＋1(x ≠－12)的对称中心是(－12，－12)；②已知S n 是等差数列{a n }(n ∈N ＊)的前n 项和，若S 7＞S 5则S 9＞S 3；③函数f (x )＝x |x |＋px ＋q (x ∈R)为奇函数的充要条件是q ＝0； ④已知a 、b 、m 均是正数，且a ＜b ，则a ＋mb ＋m ＞ab； 其中真命题的序号是 （将所有真命题的序号都填上）．15.（注意：本小题为选做题，A ，B 两题选做其中一题，若都做了，则按A 题答案给分） A.当21,1|1||1|,--=<++-y x u y x y x 变量时满足条件的取值范围是 . B ．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。

江西省名校（临川一中、南昌二中）2020届高三数学5月联合考试题理（含解析）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,满分150分，考试时间120分钟2.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填图在答题卡相应的位置。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2230,2A x x x B x x =+-≤=<，则A B ⋂=（ ）A. {}31x x -≤≤B. {}01x x ≤≤C. {}31x x -≤<D.{}10x x -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合A,B ，再求得解.【详解】{}{}31,04A x x B x x =-≤≤=≤<, 所以A B ⋂={}01x x ≤≤. 故选：B【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.复数12z i =+，若复数1z ， 2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =（ ） A. 5- B. 5C. 34i -+D. 34i -【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知22z i =-+，据此结合复数的乘法运算法则计算21z z 的值即可.【详解】由题意可知22z i =-+，所以212(2i)(2i)4i 5z z =+-+=-+=-，故选A ．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数的对称性，属于基础题.3.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%D. 互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前人数多 【答案】D 【解析】 【分析】本道题分别将各个群体的比例代入，即可。

江西省抚州市抚州一中第一次模拟测试卷理科数学本试卷共4页,23小题,满分150分.考试时间120分钟 注意事项：答卷前,考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上,并在相应位置贴好条形码； 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑:如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案；3.非选择题必须用黑色水笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改 动,先划掉原来答案,然后再写上新答案,不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效；4.考生必须保证答题卡整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.)已知集合A ＝{x ∈N |0≤x ≤4}，则下列说法正确的是( ) A ．0∉A B ．1⊆A C.2⊆A D ．3∈A2.设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |等于( )A.0B.12C.1D.23.设命题p ：函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x ＋1的值域为(0,1)，则下列命题是真命题的为( ) A ．p ∧q B ．p ∨q C ．p ∧(¬q ) D ．¬q4.函数y ＝212log (231)x x －＋的单调递减区间为( )A ．(1，＋∞)B.⎝⎛⎦⎤－∞，34C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 5.函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )6.如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )7.如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43C. 3 D ．28.已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}9.已知△ABC 外接圆的圆心为O ，AB ＝23，AC ＝22，A 为钝角，M 是BC 边的中点，则AM →·AO →等于( )A.3B.4C.5D.6 10.下图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为( )A.42＋23＋2 B .43＋4 C.22＋43＋2 D.82＋411.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠P AB ＝30°，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支12.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1D.⎣⎡⎭⎫34，1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2020届临川一中暨临川一中实验学校高三理科数学月考答案一、单选题1-5．ACCCA 6-10．DBBDB 11-12．DB 二、填空题13．2 14．120- 15． π41 16．4 三、解答题17．【答案】（1）3-（2）38法一：解：（1）在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin CD BC CBD BDC=∠∠，∴sin6sin 22CBD π∠== ∴0CBD π<∠<，∴3CBD π∠=或23CBD π∠= ………………3分当23CBD π∠=时，此时A B C 、、三点共线，矛盾 ∴3CBD π∠= ………………4分∴()2tan tan tan tan 333ABC ABD CBD πππ⎛⎫∠=∠+∠=+==⎪⎝⎭………………6分法二：由余弦定理222cos 242BD CD BC BDC BD BD BD CD +-∠====⋅或………………3分若2BD =时，此时23CBD π∠=，即A B C 、、三点共线，矛盾………………4分 ∴4BD =，此时3CBD π∠=∴()tan tan tan 33ABC ABD CBD ππ⎛⎫∠=∠+∠=+=⎪⎝⎭6分 （2）设BCD θ∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD θ=+-⋅(2222216θθ=+-⨯⨯=-……8分∴2111sin sin sin 222ABC BCD BAD D S S BC CD BA BD BC CD S θθθ∆∆=+=⋅+⋅=⋅四边形6cos 3πθθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭……………………11分当56πθ=时，四边形ABCD面积的最大值 ……………………12分 备注：（1）若第1问用正弦定理没写出23CBD π∠=，扣1分（2）若第1问用余弦定理没写出2BD =，并且排除2BD =，扣1分18.【答案】（1）见详细答案（2）25（1）如图，作EF PC ∥，交BC 于F ，连接AF .因为3PB BE =，所以E 是PB 的三等分点，可得23BF =. 因为2AB AD ==，23BC CD ==，AC AC =，所以ABC ADC △≌△， 因为BC ⊥AB ，所以90ABC ∠=︒，…………………1分 因为3tan 23AB ACB BC ∠===，所以30ACB ACD ∠=∠=︒，所以60BCD ∠=︒，（2分） 因为tan 323AB AFB BF ∠===，所以60AFB ∠=︒，所以AF CD ∥，……3分 因为AF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ∥平面PCD .……4分又EF PC ∥，EF ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .……………5分因为AF EF F =，AF 、EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ∥平面PCD ，所以AE ∥平面PCD .…6分 （2）因为PAB △是等边三角形，2AB =，所以2PB =.又因为4PC =，23BC =，所以222PC PB BC =+，所以BC PB ⊥.又BC ⊥AB ，,AB PB ⊂平面PAB ，AB PB B =，所以BC ⊥平面PAB .因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD .在平面PAB 内作Bz ⊥平面ABCD .………7分 以B 点为坐标原点，分别以,,BC BA Bz 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -， 则(23,0,0)C ，(0,2,0)A ，(0,1,3)P ，所以(23,0,0)BC =，(0,1,3)BP =，(23,2,0)AC =-，(0,1,3)AP =-.………8分设111(,,)x y z =m 为平面BPC 的法向量，则00BC BP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=m m ，即11123030x y z ⎧=+=⎪⎨⎪⎩， 令11z =-，可得(0,3,1)=-m .………………9分设222(,,)x y z =n 为平面APC 的法向量，则00AC AP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n ，即2222232030x y y z -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩，令21z =，可得(1,3,1)=n .………………10分 所以5,25cos ==⨯m n ………………11分 则25251()n s ,5i =-=m n ，所以二面角A PC B --的正弦值为25.……………………12分 备注：若第2问用几何法做对也给满分.19．【答案】（1）83107340340y x =+（2）分布列见详解，数学期望为1310. 解：解：（1）由题意可知2361021131518118x +++++++==，112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==，………………2分由公式12221ˆ34781138313088b11340ni ii ni i x y nx yx nx==-⨯⨯==-⨯-=-∑∑………………3分83107ˆˆ311340340ay bx =-=-⨯=………………4分 ∴83107340340y x =+……………5分 （2）药品A 的三类剂型123A A A 、、经过两次检测后合格分别为事件123B B B 、、,则()()()123142321322,,255432535p B P B P B =⨯==⨯==⨯=……………7分由题意，0,1,2,3X 可取()()()()()()()()2123212312312321231231231232190115250212212111112525525021221821125255225235p X p B B B p X p B B B B B B B B B p X p B B B B B B B B B p X p B B B ⎛⎫⎛⎫===--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=-⋅+-⋅⋅-⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=⋅-+-⋅⋅⋅=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=== ⎝212225⋅=⎪⎭………10分X ∴的分布列为9218213123.5050255010X ∴⨯+⨯+⨯+⨯=的期望为：EX=0…………12分20.【答案】(1) 椭圆方程为22163x y +=，准圆方程为229x y +=；①12l l ，方程为33y x y x =+=-+， ②见详解 【解析】（1）3c a b ==∴=，2分∴椭圆方程为22163x y +=， ………………3分 准圆方程为229x y +=．………………4分（2）（ⅰ）因为准圆229x y +=与y 轴正半轴的交点为(03)P ，， 设过点(03)P ，且与椭圆相切的直线为3y kx =+， 所以由223{163y kx x y =++=，，得22(12)12120k x kx +++=.……………5分 因为直线3y kx =+与椭圆相切，所以22144412(12)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，……………6分所以12l l ，方程为33y x y x =+=-+，．……………7分 121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥．……………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l斜率不存在， 则1l ：x =当1l ：6x =时，与准圆交于点(63)(63)-，，，， 此时2l 为y =y =，显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l ：x =12l l ，垂直……………9分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中22009x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022(){163y t x x y x y =-++=，，得2220000(12)4()2()60t x t y tx x y tx ++-+--=.……………10分由0∆=化简整理得()22200006230x t x y t y -++-=因为22009x y +=，所以有2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=.设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=， 所以20122616x t t x -⋅==--，即12l l ，垂直．……………11分 综合①②知：因为12l l ，经过点00()P x y ，，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直. 所以线段MN 为准圆229x y +=的直径，6MN ＝，所以线段MN 的长为定值6．……………12分 21．【答案】（1）()∞（2）22e π-解：（1）由()sin axf x e x =，得()()'sin cos axf x e a x x =+，……………1分由()f x 在63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上存在单调递增区间，可得()'0f x >在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，……………2分即sin cos 0a x x +>在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则min 1tan a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，∴a >∴a的取值范围为()∞.……………4分 （2）设()()sin axbx e x g x f x b x =-=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()'sin cos axg x e a x x b =+-.设()()sin cos axh x ea x xb =+-，则()()2'1sin 2cos 0ax h x e a x a x ⎡⎤=-+≥⎣⎦， ……………5分∴()h x 单调递增，即()'g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ∴()2'1,a g x b ae b π⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.……………6分当1b ≤时，()'0g x ≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()()00g x g ≥=，不符合题意；当2a b ae π≥时，()'0g x ≤，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()00g x g ≤=，符合题意；当21a b ae π<<时，由于()'g x 为一个单调递增的函数，而()'010g b =-<，2'02a g ae b ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得()0'0g x =， 从而()g x 在[]00,x x ∈上单调递减，在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ……………9分因此只需02g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴22a e b ππ≤，∴22a b e ππ≥，从而222a a eb ae πππ≤<，综上，b 的取值范围为22,a e ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，……………10分因此2222ab e a ee a ππ-≥-. 设()222aG a ee a ππ=-，则()22'ae a e G π=-，令()'0G a =，则41a π=>，∴()G a 在41,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在4,π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，……………11分 从而()242e G a G ππ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，∴2b e a -的最小值为22e π-.……………12分备注：第1问写)⎡+∞⎣扣1分22.（1）:40(0)l x y x +-=≠,22:20C x y y +-=（2【解析】（1）由82x t=+可得0x ≠， 由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．………………2分由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．…………………………5分（2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠，将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠，…………………………7分当()04θρπ=>时，A ρ=B ρ=|||||A B AB ρρ=-==．………………10分 备注：第1问没写0x ≠扣1分23.（1）(,0)(3,)-∞+∞ （2）见详解 【解析】（1）当0x <时，|4|()x f x x>等价于|||2|4x x +->-，该不等式恒成立； 当02x <≤时，|4|()x f x x>等价于24>，该不等式不成立； 当2x >时，|4|()x f x x >等价于2224x x >⎧⎨->⎩，解得3x >，…………………………3分 所以不等式|4|()x f x x>的解集为(,0)(3,)-∞+∞.…………………………5分 （2）因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=，当02x ≤≤时取等号，所以2M =,222a b c ++=，……7分由柯西不等式可得22222222224(22)(122)()9()a b c a b c a b c =++≤++++=++,当且仅当244,,999a b c ===时等号成立，所以22249a b c ++≥.…………………………10分备注：第1问结果没用集合或区间表示扣1分。

23322233⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1)(21OF OP OQ +=2020届临川一中高三模拟考试 理数试卷第一卷（选择题，共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数,2i z -=则zz 10+等于（ ） A. i -2 B. i +2 C.i 24+ D.i 36+2.设全集U = R ，A = {x |x - 2x + 1＜0}，B = {y | y = cos x ，x ∈A }，则A ∩B =( ) A.( cos2，1] C.(- 1，2 )B.[cos2，1] D.(- 1，cos2 ]3.已知 | a | = 5，| b | = 5，a ·b = - 3，则 | a + b | =( )A.23B.35C.2 11D.354.对任意非零实数b a ,，若b a *的运算原理如图所示，那么=*⎰πsin 2xdx （ ）A. B.C. D.5.某项测量中，测量结果X ~)0)(,1(2>σσN ，若X 在)1,0(内取的概率为4.0，则X 在)2,0(內取值的概率为（ ）A. 8.0B. 4.0C. 3.0D.2.06. ,0,0>>b a 设则“122≥+b a ”是“1+≥+ab b a ”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D.既不充分也不必要7.已知的展开式中的第五项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为（ ） A.128 B.64 C. 32 D.168.已知正数y x ,满足，则1log log 22++=y x z 的最大值为（ ） A.8 B.4 C. 2 D. 19.已知双曲线 上一点P 到F （3，0）的距离为6，O 为坐标原点，则15422=-y x=OQ （ ）A. 1B. 2C. 2或5D.1或5 10.已知函数)0)(sin(2)(>+=ωϕωx x f 的图像关于直线对称，且，则ω的最小值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 11.12． 已知x xxx f ln 1ln )(-+=，)(x f 在0x x =处取得最大值，以下各式正确的序号为（ ） ①00)(x x f <；②00)(x x f =；③00)(x x f >；④ 21)(0<x f ；⑤21)(0>x f .A ．①④B ．②④C ． ②⑤D ．③⑤第二卷（非选择题，共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上.13.若焦点在x 轴上的椭圆 的离心率为 ，则 ．14.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB = 2，AC = 3，则cos C 的值是 ．15.在矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 3，沿对角线AC 把矩形折成二面角D -AC -B 的平面角为060时，则=BD ．16.已知数列{}n a 的通项公式为,15+=n n a 数列{}n c 的通项公式为nn n a c )2(-+=λ，若数列{}n c 递增，则λ的取值范围是 .三、解答题:（共计70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17.(本小题满分12分)已知函数f (x ) = cos 2(x + π12)，g (x ) = 1 + 12 sin 2x .(1) 设x = x 0是函数y = f (x )图像的一条对称轴，求g (2x 0)的值； (2) 求函数h (x ) = f (x ) + g (x )，x ∈[ 0 , π4]的值域.1222=+my x 213π=x 0)12(=πf18．(本小题满分12分)某名校从2008年到2017年考入清华，北大的人数可以通过以下表格反映出来。

化学参考答案7C 8D 9C 10B 11D 12B 13C26.（15分）(1)过滤（1分），三颈烧瓶（1分）；(2)A（1分）CO(NH 2)2＋H 2O 2＝CO(NH 2)2·H 2O 2（1分）(3)铁、铜离子等会催化过氧化氢分解（2分）(4)①滴入最后一滴KMnO 4标准溶液时，溶液恰好变为浅红色，且半分钟内不褪色（2分）②不合格（1分）12.80%（2分）（5）以防由于分解速度过快使反应液喷溅到试管外（2分）（6）NaOH ＋H 2O 2＝NaHO 2＋H 2O （2分）27．（14分）（1）+2（1分），A （1分）（2）Fe 2(SO 4)3+3H 2SO 4+6CaCO 3=2Fe(OH)3+6CaSO 4+6CO 2↑（2分）Mg(OH)2CaSO 4（2分）（3）减小Li 2CO 3的溶解损失（1分）（4）Li 2CO 3+H 2C 2O 4+2FePO 4 煅烧 2LiFePO 4+3CO 2↑+H 2O↑（2分）（5）由K sp (FePO 4)可知c(PO 43-)=2251.310110--⨯⨯=1.3×10-17mol/L ，（1分）Q c [Mg 3(PO 4)2]=c 3(Mg 2+)·c 2(PO 43-)=×(1.3×10-17mol/L)2=1.69×10-37<K sp ，因此不会生成Mg 3(PO 4)2沉淀。

（2分）（共3分）（6）FePO 4+Li ++e -=LiFePO 4（2分）28．（14分）（1）11:12（2分）（2）①CO 2(g)+3H 2(g)CH 3OH(g)+H 2O(g)ΔH =-49.5kJ·mol -1（2分）②d （2分）a 点催化效率高，反应快，所以相同时间的2CO 的转化率大（2分）③2CH O （1分）B （2分）（3）①<（1分）②2（2分）35．（15分）（1）锌失去4s 1电子，而铜失去3d 10电子，后者全充满较稳定，更难失去(2分)（2）正四面体(1分)；sp 3(1分)；σ(1分)（3）10(1分)CN -(1分)(4)D (2分)(5)六方最密堆积(1分)c (1分)12(2分)12N A aρ(2分)32/0.2mol ⎪⎭⎫ ⎝⎛L36.（15分）（1）对羟基苯甲酸(或4-羟基苯甲酸)(1分)；取代反应(1分)。

2020届江西省抚州市临川第一中学高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|40}A x x x =->，2{|40}B x x =-≤，则A B =（ ）A ．[2,0]-B ．(,0)-∞C ．[2,0)-D ．[4,4]-【答案】C【解析】对集合A 和集合B 进行化简，然后根据集合的交集运算，得到答案. 【详解】由题得2{|40}{|0A x x x x x =->=<或4}x >，2{|40}{|22}B x x x x =-≤=-≤≤， 则{|20}AB x x =-≤<，故选：C ． 【点睛】本题考查解不含参的二次不等式，集合的交集运算，属于简单题.2．已知角α终边上一点M 的坐标为，则sin 2α=（ ）A ．12-B ．12C ．D 【答案】D【解析】根据题意，结合α所在象限，得到sin α和cos α的值，再根据公式，求得答案. 【详解】由角α终边上一点M 的坐标为(，得sin 2α=，1cos 2α=，故sin 22sin cos 2ααα==，【点睛】本题考查已知角的终边求对应的三角函数值，二倍角公式，属于简单题. 3．已知1(,),sin(2)22ααπ∈-0π-=-，则sin cos αα-=（ ）A ．5B ．52-C ．62D ．62-【答案】D【解析】由诱导公式得到1sin 22α=-，再根据二倍角公式展开，结合同角三角函数关系，得到()2sin cos αα-的值，结合α的范围得到答案. 【详解】因为1sin(2)2απ-=-，所以1sin 22α=-，即12sin cos 2αα=-，所以2(sin cos )1αα-=-132sin cos 122αα=+=， 又,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以sin cos αα<， 所以得到sin cos αα-=6-. 故选：D ． 【点睛】本题考查诱导公式，二倍角的正弦公式，同角三角函数关系，属于简单题. 4．函数2()(1)sin 21x f x x =-+在[2,2]-上的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断出()f x 是偶函数，排除C 、D ，再由()1f 的正负排除B ，从而得到答案.因为()()21sin 21xfx x -⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭2221sin 1sin ()1221x xx x x f x ⎛⎫⋅⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 所以函数()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当1x =时，1(1)sin103f =-<，排除B ，故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的识别，属于简单题.5．已知x ，y 满足约束条件1400y x y x y ≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．-8B ．-6C ．-3D ．3【答案】B【解析】根据约束条件画出可行域，然后将目标函数化为斜截式，得到过点B 时，直线的截距最小，从而得到答案. 【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示， 易求得(1,1),(2,2),(5,1)A B C ---， 2z x y =+，则1122y x z =-+， 当直线1122y x z =-+过点(2,2)B --时，z 取到最小值， 所以2z x y =+的最小值是22(2)6-+⨯-=-， 故选：B ．【点睛】本题考查线性规划求最值，属于简单题.6．已知函数22ln ,1()1,1x x f x x ax a x ≥⎧=⎨-+-+<⎩在R 上为增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．[1,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)+∞【答案】D【解析】由()f x 为增函数，得到其在每段上都为增函数，得到1x <时，二次函数对称轴大于等于1，且当1x =时，二次函数对应的值应小于等于对数函数的值，才能保证()f x 单调递增，从而得到答案.【详解】若函数()f x 在R 上为增函数， 则在两段上都应为单调递增函数， 当1x <时，()221f x x ax a =-+-+，对称轴为2a x =，所以12a≥， 且在1x =处，二次函数对应的值应小于等于对数函数的值， 即20a a ≤-所以得到2120a a a ⎧≥⎪⎨⎪-≤⎩，解得201a a a ≥⎧⎨≤≥⎩或所以2a ≥. 故选：D. 【点睛】本题考查分段函数的性质，根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题. 7．已知非零向量a 与b 的夹角为θ，tan θ=()()2a b a b -⊥+，则b a=（ ）A ．13B ．3CD 【答案】D 【解析】根据tan θ=得到cos θ的值，由()()2a b a b -⊥+，得()()20a b a b -⋅+=，按照向量数量积的运算律，得到关于a 和b 的方程，同除a ，设b x a=，解得x 的值，得到答案. 【详解】 根据tan θ=0θπ≤≤，得cos θ， 由()()2a b a b -⊥+，得()()20a b a b -⋅+=， 得2220a a b b -⋅-=， 又3cos 3a b a b a b θ⋅=⋅⋅=⋅， 所以223203a ab b -⋅-=，设bx a=，则2630x-=，即(20x x +=， 因为0x >，所以x =即33ba=， 故选：D ． 【点睛】本题考查向量垂直的数量积表示，向量数量积的运算律，属于中档题. 8．设0>ω，将函数sin()3y x ωπ=+的图象向左平移6π个单位长度后与函数cos()3y x πω=+的图象重合，则ω的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据题意得到平移后的解析式sin()63y x ωωππ=++，再将函数cos()3y x πω=+化为5sin()6y x ωπ=+，从而得到52636k ωπππ+=+π，得到ω的表达式，根据ω的范围，得到答案. 【详解】将函数sin()y x ωπ=+的图象向左平移π个单位长度后，得到函数sin()63y x ωωππ=++的图象， 又5cos()sin()36y x x ωωππ=+=+，所以52,636k ωπππ+=+π 整理得123()k k ω=+∈Z ， 又0>ω，所以ω的最小值为3 ， 故选：C ． 【点睛】本题考查正弦型函数的平移，正弦型函数的图像与性质，属于简单题.9．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 4.1)a g =，0.2(2)b g =-，()c g =π，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】先判断出()g x 的单调性和奇偶性，再判断出2log 4.1，0.22，π的大小，利用()g x 的奇偶性和单调性判断出a ，b ，c 的大小关系，得到答案. 【详解】因为奇函数()f x 在R 上是增函数， 所以当0x >时，()0f x >. 对任意的12(0+)x x ∈∞，，且12x x <， 有120()()f x f x <<，故12()()<g x g x ，所以()g x 在(0+)∞，上也是增函数， 因为()()()g x xf x xf x -=--=，所以()g x 为偶函数. 又2log 4.1(2,3)∈，0.22(1,2)∈， 所以0.2212log 4.1<<<π， 而0.20.2(2)(2)b g g =-=， 所以b a c <<， 故选:C ．本题考查函数的单调性和奇偶性的判断，根据函数的性质比较大小，属于中档题. 10．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a ，3a ，2a 成等差数列，2mS ，3S ，4S 成等比数列，则m =（ ）A ．78B ．85C ．1D ．95【答案】D【解析】根据1a ，3a ，2a 成等差数列，得到q 的值，再表示出2S ，3S ，4S ，再由2mS ，3S ，4S 成等比数列，得到关于m 的方程，解出m 的值，得到答案.【详解】设{}n a 的公比为(0q q ≠且1)q ≠， 根据1a ，3a ，2a 成等差数列，得3122a a a =+，即21112a q a a q =+，因为10a ≠，所以2210q q --=， 即(1)(21)0q q -+=. 因为1q ≠，所以12q =-， 则2112(1)3141a q a S q q -==⋅--，3113(1)9181a q a S q q -==⋅--，414(1)1a q S q -==-115161a q ⋅-. 因为2mS ，3S ，4S 成等比数列， 所以2324S mS S =⋅，即211193158141161a a am q q q ⎛⎫⋅=⋅⋅⋅⋅ ⎪---⎝⎭，211193151118416111a a a m ⎛⎫⎪ ⎪⋅=⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪------得95m =. 故选：D ． 【点睛】本题考查等比数列通项和求和的基本量计算，等差中项、等比中项的应用，属于中档题. 11．若0,1x y >>-且满足21x y +=，则22211x y x y +++的最小值是（ ） A ．3 B．32+ C．D．12+【答案】B【解析】对所求的22211x y x y +++进行化简，得到22211111x y x y x y ++=+++，根据212x y ++=，由基本不等式1的妙用，得到最小值，并研究等号成立条件，得到答案.【详解】2221111121111x y x y x y x y x y ++=+++-=++++， 因为212x y ++=，所以111(21)()21x y x y ++++1121(3)(3212y x x y +=++≥++， 当且仅当12=1y xx y ++，21x y +=时取等号，即23x y ==时取得最小值32+. 故选：B. 【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，1的妙用求最值，属于中档题.12．已知函数321,()3,x x x mf x x m x m⎧-+≤⎪=⎨⎪->⎩，若存在实数a ，使得函数()()g x f x a =-恰好有4个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,2) B ．(2,)+∞ C ．(0,3) D ．(3,)+∞【答案】B【解析】问题等价于直线y a =与函数()f x 图象的交点个数，利用导数得到3213y x x =-+的单调性、极值、最值，从而根据不同的m 的范围，画出()f x 的图像，再根据图像，得到直线y a =与函数()f x 图象有4个交点时，对应的m 的范围，得到【详解】()()g x f x a =-的零点个数等价于直线y a =与函数()f x 图象的交点个数.令3213y x x =-+，22y'x x =-+，当0x <或2x >时，'0y <， 当02x <<时，'0y >， 当2x >时，'0y <，所以函数3213y x x =-+在(,0)-∞，(2,)+∞上单调递减，在(0,2)上单调递增，画出函数()f x 的大致图象如图所示，由图可知当2m >时，存在直线y a =与函数()f x 图象的交点为4个； 当02m <≤时，直线y a =与函数()f x 图象的交点至多为3个； 当0m ≤时，直线y a =与函数()f x 图象的交点至多为2个； 所以m 的取值范围为(2,)+∞. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，画函数图像，函数与方程，根据零点个数求参数的范围，属于中档题.二、填空题13．已知函数2,4()(1),4x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则2(5log 6)f +的值为________．【答案】12【解析】根据题意可知4x >时，函数()f x 有周期性，判断25log 6+的范围，然后利用周期性，得到()()225log 61log 6f f +=+，代入4x ≤时的解析式，得到答案.由题意4x >时，函数()()1f x f x =-， 所以()f x 在()4,+∞时，周期为1，因为22log 63<<，所以()25log 67,10+∈，()21log 63,4+∈， 所以()()225log 61log 6f f +=+ 21log 622612+==⨯=.故答案为：12. 【点睛】本题考查函数的周期性，求分段函数的值，属于简单题.14．已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若253924,a a S S +==，则n S 的最大值为________． 【答案】72【解析】根据39S S =，得到670a a +=，结合25240a a +=>，得到数列{}n a 的前6项为正，从而得到6n =时，n S 的最大值，得到答案. 【详解】由39S S =，得4567890,a a a a a a +++++= 根据等差数列下标公式可得670,a a += 又25240a a +=>，所以数列{}n a 的前6项为正， 所以当6n =时，n S 有最大值，且616253()3()72S a a a a =+=+=.故答案为：72. 【点睛】本题考查等差数列的下标公式，前n 项和的最值，属于简单题.15．已知ABC △中，2,3,60,2,2AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=________．【答案】43用数量积的运算律进行计算，得到结果. 【详解】因为2BD DC =，2AE EC =，所以23AD BD BA BC BA =-=-，2133BE BC BA =+ 所以221333AD BE BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22414939BC BA BC BA =--⋅ 4149432cos60939=⨯-⨯-⨯⨯⨯︒ 4444333=--=. 故答案为：43.【点睛】本题考查向量的平面基本定理，向量数量积的运算律，属于中档题. 16．函数1()sin sin 22f x x x =+的最大值为________． 33【解析】对()f x 求导，利用导数，判断出()f x 的单调性，从而求出()f x 的最大值 【详解】因为1()sin sin 22f x x x =+求导得2()cos cos22cos cos 1f x x x x x '=+=+- (2cos 1)(cos 1)x x =-+，因为cos 10x +≥， 所以当1cos 2x >时，()0f x '>，当11cos 2x -<<时，()0f x '<，即当22,33ππππ-≤≤+∈k x k k Z 时，()f x 单调递增，当52+2,33k x k k πππ<<π+∈Z 时，()f x 单调递减，故()f x 在23x k k π=π+∈Z ，处取得极大值即最大值，所以max 11()sin sin(2)3232f x ππ=+⨯=.. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性和最大值，属于简单题.三、解答题17．已知函数2π()2sin()cos()23f x a x x π=--，且π()13f =.（1）求a 的值及()f x 的最小正周期；（2）若1()3f α=-，(0,)2πα∈，求sin2α．【答案】（1）2a =，π；（2）6【解析】（1）由π()13f =得到a 的值，再对()f x 进行整理化简，得到()π2sin(2)16f x x =--，从而得到()f x 的最小正周期；（2）由1()3f α=-得到π1sin(2)63α-=，判断出26πα-的范围，得到πcos(2)6α-=sin 2α转化为ππsin 266α⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用公式展开，从而得到答案. 【详解】（1）由已知π()13f =，得112122a ⨯⨯=，解得2a =.所以1()4cos cos )2f x x x x =-2cos 2cos x x x =-2cos21x x =--π2sin(2)16x =--.所以π()2sin(2)16f x x =--的最小正周期为π.（2）1()3f α=-，π12sin(2)163α--=-，π1sin(2)63α-=，因为(0,)2πα∈，所以π52(,)666αππ-∈-， 又π11sin(2)632α-=<，所以π2(0,)66απ-∈.所以πcos(2)6α-=则ππsin 2=sin[(2)]66αα-+ππππsin(2)cos cos(2)sin 6666αα=-+-1132==【点睛】本题考查利用三角函数公式进行化简求正弦型函数解析式，求正弦型函数的周期性，三角函数给值求值题型，利用两角和的正弦公式求值，属于简单题. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,n S n n =+数列{}n b 满足122212121nn n b b ba =++++++． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若,4n nn a b c n =-求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）2()n a n n *=∈N ，122()n n b n +*=+∈N ；（2）1(1)22n n T n +=-⋅+【解析】（1）根据2n ≥时，1n n n a S S -=-，验证1n =，从而得到n a 的通项，然后由122212121n n n b b ba =++++++，得到1122122212121n n b b b n --+++=-+++，通过作差得到nb 的通项公式；（2）根据（1）得到nc 的通项，利用错位相减法得到n c 的前n 项的和n T . 【详解】（1）因为2n S n n =+，所以当1n =时，112a S ==， 当2n ≥时221,(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=， 又12a =也满足上式，所以2()n a n n *=∈N . 又1222212121nn n b b ba n +++==+++， 所以1122122(2,)212121n n b b bn n n *--+++=-≥∈+++N ， 两式作差得，221nnb =+，所以122(2,)n n b n n +*=+≥∈N ， 当1n =时11,2,63b b ==，又16b =满足上式，所以122()n n b n +*=+∈N . （2）因为2,4n n nn a b c n n =-=⋅ 所以231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，23121222(1)22n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⋅，两式相减，得23122222n n n T n +-=++++-⋅，即11222n n n T n ++-=--⋅，所以1(1)22n n T n +=-⋅+.【点睛】本题考查根据n S 求n a 的通项，错位相减法求数列的前n 项的和，属于中档题. 19．如图，在ABC △中，,BAC ∠,B C ∠∠的对边分别是,,a b c ，60BAC ∠=︒，AD 为BAC ∠的平分线，3AD =.（1）若2DC BD =，求c ； （2）求ABC △面积的最小值. 【答案】（1）32c =；（23【解析】（1）根据已知条件，结合12ABD ADC S BD S DC ==△△，利用三角形面积公式，表示出面积，从而得到2AC AB =，在ABD △、ACD 中，利用余弦定理表示出cos BAD ∠和cos CAD ∠，然后代入已知条件，解得c 的值；（2）设BD x =，所以b DC x c=，在,ABD ACD △△中，22223()32323bx b c cb+-=得到关于,,x b c 的方程，消去x 得到关于,b c 的方程，得到()()0b c bc b c ---=，分类讨论，分别研究ABC △面积，从而得到其最小值.【详解】（1）因为2DC BD =，BAD CAD ∠=∠， 所以12ABD ADC S BD S DC ==△△， 所以1sin 1212sin 2AB AD BADAB AC AC AD CAD ⋅⋅∠==⋅⋅∠所以2AC AB =. 在ABD △、ACD 中，由余弦定理，得222cos 2AB AD BD BAD AB AD +-∠==⋅222cos 2AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅即22cos30︒==，22cos30︒= 解得32c =. （2）设BD x =，则由（1）可知BD AB DC AC=，所以bDC x c =，在,ABD ACD △△22223()bx b +-== 所以2233x c c =+-，222233b x b b c=+-，消去x ，得2222(33)(33)b c c c b b +-=+-， 化简，得()()0b c bc b c ---=.当b c =时，ABC △为等边三角形，此时2,ABC b c S ===△ 当bc b c =+时，由基本不等式可得bc b c =+≥2≥，即4bc ≥当2b c ==时取等号，此时1sin 602ABC S bc =︒=≥△综上可得，ABC △【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理解三角形，利用基本不等式求和的最小值，涉及分类讨论的思想，属于中档题.20．已知函数()(0,x f x a b a =+>且1)a ≠，满足(1)3f =，且(1)4()+3f n f n +=，其中n *∈N .（1）求函数()f x 的解析式； （2）求证：11114(1)(2)(3)()9f f f f n ++++<. 【答案】（1）()=41x f x -；（2）见解析【解析】（1）由(1)3f =，且(1)4()+3f n f n +=，得到()215f =，代入函数，得到关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，从而得到()f x 解析式；（2）由1()4134n n f n -=-≥⨯得到111()34n f n -≤⨯，从而得到1111(1)(2)(3)()f f f f n ++++211111(1)3444n -≤⨯++++，再利用等比数列求和公式，得到前n 项的和，从而得到证明. 【详解】（1）由(1)4()+3()f n f n n *+=∈N 得 (2)4(1)315f f =+=，即2315a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得41a b =⎧⎨=-⎩或36a b =-⎧⎨=⎩(舍去)， 所以()=41x f x -.（2）由（1）得()41().n f n n *=-∈N由于141n -≥，即1144341n n --⨯-⨯≥，所以14134n n --≥⨯， 即1()4134n n f n -=-≥⨯，111()34n f n -≤⨯， 所以1111(1)(2)(3)()f f f f n ++++ 211111(1)3444n -≤⨯++++ 111()1()11441333144n n --=⨯=⨯- 414(1)949n =⨯-<． 【点睛】本题考查求函数的解析式，等比数列求和，放缩法证明不等式，属于中档题. 21．已知函数ln +()x af x x x=+()a R ∈． （1）当0a =时，求曲线()f x 在=1x 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间(1,)+∞上有极值，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）210x y --=；（2）(2,)+∞【解析】（1）代入0a =，对()f x 求导，代入1x =得到斜率，再由点斜式写出直线方程；（2）对()f x 求导，令2()ln 1F x x x a =--+，然后再求导得到()F x '，可得(1,)x ∈+∞时，()0F'x >，所以函数()F x 在(1,)+∞上单调递增，再根据(1)2F a =-，按2a ≤和2a >进行分类讨论，得到函数()F x 在(1,)a 上存在唯一零点0x x =，从而得到若函数()f x 在区间(1,)+∞上有极值，则2a >． 【详解】（1）当0a =时，ln ()x f x x x =+，21ln ()1xf x x -'=+， 则(1)1f =，(1)2f '=，故曲线()f x 在1x =处的切线方程为：12(1)y x -=-，即210x y --=. （2）ln ()(1)x a f x x x x +=+>，22221ln ln 1()1x a x x a f 'x x x x ---+=+-=， 令2()ln 1F x x x a =--+，则2121()2x F'x x x x-=-=，当(1,)x ∈+∞时，()0F'x >，所以函数()F x 在(1,)+∞上单调递增， 又(1)2F a =-，故①当2a ≤时，()0F x >，()0f 'x >，()f x 在(1,)+∞上单调递增，无极值； ②当2a >时，(1)0F <，2()ln 1F a a a a =--+，令2()ln 1G x x x x =--+，则2121()21x x G'x x x x--=--=，当2x >时，()0G'x >，函数()G x 在(2,)+∞上单调递增，(2)3ln 20G =->， 所以在(2,)+∞上，()0G x >恒成立， 所以2()ln 10F a a a a =--+>，所以函数()F x 在(1,)a 上存在唯一零点0x x =，所以()f x 在0(1,)x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，此时函数()f x 存在极小值． 综上，若函数()f x 在区间(1,)+∞上有极值，则2a >． 故实数a 的取值范围为(2,)+∞. 【点睛】本题考查利用导数求函数在一点的切线，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，零点存在定理，涉及分类讨论的思想，属于中档题. 22．已知函数21()ln 2(0).2f x x x mx m =+->（1）判断函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有极大值点x t =，求证：2ln 1t t mt >-. 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【解析】（1）对()f x 求导，得到()f x '，然后判断()0f x '=的根的情况，得到()f x '的正负，然后得到()f x 的单调性；（2）由（1）可得1m ，且(0,1)t m =-=，由221()0,t mt f 't t -+==得212t m t+=，所以只需证32ln 20,(0,1)t t t t t --+>∈，令3()2ln 2h x x x x x =--+，0x >，利用导数研究出()h x 的单调性和最值，结合(1)0h =，得到(0,1)x ∈时，()0h x >，从而得以证明.【详解】（1）由题意，知221()(0)x mx f 'x x x-+=>，对于方程221=0x mx -+，24(1)m ∆=-， ①当01m <≤时，24(1)0m ∆=-≤，()0f 'x ≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增.②当1m 时，令()0f 'x =，则1x m =-，2x m =+当0x m <<()0f 'x >，函数()f x 单调递增；当m x m -<<()0f 'x <，函数()f x 单调递减，当x m >+()0f 'x >，函数()f x 单调递增. 综上所述，当01m <≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1m 时，()f x 在(0,m ，()m ++∞上单调递增，在(m m +上单调递减.（2）由（1）可知当1m 时，在x m =处时，函数()f x 取得极大值，所以函数()f x 的极大值点为x m =(0,1)t m =．由221()0,t mt f 't t -+==得212t m t+=， 要证2ln 1t t mt >-， 只需证2ln 10t t mt -+>，只需证221ln 102t t t t t+-⋅+>， 即32ln 20,(0,1)t t t t t --+>∈，令3()2ln 2h x x x x x =--+，0x >， 则2()2ln 31h'x x x =-+， 令2()2ln 31x x x ϕ=-+，0x >，则2226()6x 'x x x xϕ-=-=，当0x <<时，'()0x ϕ>，)'(h x 单调递增；当x >时，'()0x ϕ<，)'(h x 单调递减，max ()0h'x h'==<， 所以'()0h x <，()h x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)0h =， 故(0,1)x ∈时，32ln 20x x x x --+>， 又(0,1)t ∈，则32ln 20t t t t --+>， 从而可证明2ln 1t t mt >-. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，利用导数证明不等式，涉及分类讨论的思想，属于难题.。

江西省抚州市临川第一中学2020届高三数学下学期考前模拟考试试题 文（含解析）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上.1.已知i 为虚数单位,复数z 满足：()z 12i i +=-，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先求出z 并化简，从而确定复数z 对应的点的坐标为13(,)22-，进而判断其位于第四象限.【详解】因为2(2)(1)131312222i i i i z i i ----====-+， 所以复平面上复数z 对应的点为13(,)22-，位于第四象限，故选D .【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，属于基础题.2.已知集合{}0,1,2A =，若(z A B Z ⋂=∅ð是整数集合)，则集合B 可以为( ) A. {}|2,x x a a A =∈ B. {}|2,ax x a A =∈C. {}|1,x x a a N =-∈D. {}2|,x x a a N =∈【答案】C 【解析】 【分析】从选项出发，先化简集合B ，然后判断z A B ⋂ð是否等于∅，即可判断出正确的答案. 【详解】A 选项：若B ={}|2,{0,2,4}x x a a A =∈=，则{1}z A B ⋂=≠∅ð，不符合； B 选项：若B ={}|2,{1,2,4}ax x a A =∈=，则{0}z A B ⋂=≠∅ð，不符合；C 选项：若B ={}|1,={|1,}x x a a N x x x Z =-∈≥-∈且，则z A B ⋂=∅ð，符合；D 选项：若B ={}2|,x x a a N =∈，则B 集合的元素为所有整数的平方数：0,1,4,9,L ，则{2}z A B ⋂=≠∅ð，不符合.故答案选C.【点睛】本题主要考查了集合的化简和集合的运算，属于基础题.对于数集的化简，一般用列举法表示，或者化为范围的形式.3.已知向量(2,1),(,1)a b m ==-r r ，且()a a b ⊥-rr r ，则m的值为（ ）A. 1B. 3C. 1或3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】先求出a b -r r ，再利用向量垂直的坐标表示得到关于m 的方程，从而求出m . 【详解】因为(2,1),(,1)a b m ==-r r ，所以(2,2)a b m -=-rr ，因为()a a b ⊥-r r r ，则()2(2)20a a b m ⋅-=-+=rr r ，解得3m =所以答案选B.【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示，属于基础题.4.某民航部门统计2020年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表如图所示，根据图表，下面叙述不．正确的是( )A. 同去年相比，深圳的变化幅度最小且厦门的平均价格有所上升B. 天津的平均价格同去年相比涨幅最大且2020年北京的平均价格最高C. 2020年平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D. 同去年相比，平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、南京 【答案】A 【解析】 【分析】弄清楚条形图的意义，以及折线图的意义，即可对选项进行判断.【详解】根据条形图，可以判断2020年平均价格前三位分别为北京、深圳、广州， 根据折线图，可以判断涨幅前三位分别为天津、西安、南京，涨幅最小的是厦门， 由此可判断B 、C 、D 均正确，A 不正确. 故选A.【点睛】本题主要考查了统计图的理解与判断，属于基础题.5.已知平面直角坐标角系下，角α顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(4,3)P ，则πcos 2α2⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.2425B. 2425-C.2425或2425-D.725【答案】B 【解析】 【分析】根据角α的终边经过点(4,3)P ，即可利用公式求出sin α与cos α，再利用诱导公式和二倍角公式对式子πcos 2α2⎛⎫+⎪⎝⎭进行化简，然后代入求值. 【详解】因为角α的终边经过点(4,3)P ，所以34sin ,cos 55αα===，因为3424cos 2sin 22sin cos 225525παααα⎛⎫+=-=-=-⨯⨯=-⎪⎝⎭，故答案选B .【点睛】本题主要考查了已知角终边上一点坐标求三角函数值，以及诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题. 已知角α终边上一点坐标(,)P x y ，则2222sin ,cos ,tan (0)y x yx xx y x y ααα===≠++.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 33+B. 323+C. 23+D. 223+【答案】A 【解析】 【分析】先根据三视图还原几何体，结合几何体的特征求解表面积.【详解】该几何体为两个三棱锥组合体，直观图如图所示，所以表面积为141122S =⨯⨯⨯+()2321334⨯⨯+=+.故选A.【点睛】本题主要考查三视图组合体的表面积，考查空间想象能力.7.已知直线2y kx =-与抛物线24x y =相切，则双曲线2221x k y -=的离心率等于( )36 3 5【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，以及切线的相关知识即可建立方程求出2k ，再利用双曲线的标准方程以及相关性质，即可求出离心率.【详解】设切点坐标为00(,)x y ，而抛物线方程为214y x =，则12y x '=， 因为直线2y kx =-与抛物线24x y =相切，所以有0002001 224k x y kx x y ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，解得208x =，则220124k x ==，所以双曲线方程为2221x y -=，即标准方程为22112y x -=， 所以有2211,2a b ==，则22232c a b =+=，所以离心率212c e a ===，故答案选B.【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，切线方程问题以及双曲线离心率的求解，属于中档题.对于切线问题，关键是抓住这三个关系：（1）切点在曲线上；（2）切点在切线方程上；（3）曲线在切点处的导数等于切线的斜率.8.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ A.253B.503C.507D.1007【答案】D 【解析】根据题意可知，羊马牛的三主人应偿还的量构成了公比为2的等比数列，而前3项和为50升，即可利用等比数列求和公式求出1a ，进而求出马主人应该偿还的量2a . 【详解】因为5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为123,,a a a ， 由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且350S =则31(21)5021a -=-，解得1507a =， 所以马主人要偿还的量为：2110027a a ==， 故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列基本量求解，以及数学文化，属于基础题.9.设0.231log 0.6,log 20.6m n ==，则（ ） A. m n mn m n ->>+B. m n m n mn ->+>C. mn m n m n >->+D. m n m n mn +>->【答案】B 【解析】 【分析】利用单调性，通过取中间值，即可得到0,0m n ><.再不等式的性质，以及对数的运算，即可得到0>+n m .再通过作差法，即可得到m n m n ->+，从而得到,,m n m n mn -+的大小比较.【详解】因为0.30.32211log 0.6log 10,log 0.6log 1022m n =>==<=， 所以0,0mn m n <->，因为0.60.60.6112log 2log 0.250,log 0.30n m -=-=>=>，而0.60.6log 0.25log 0.3>， 所以110n m->>，即可得0>+n m ， 因为()()20m n m n n --+=->，所以m n m n ->+， 所以m n m n mn ->+>，【点睛】本题主要考查了比较大小的问题，涉及到单调性的运用、对数运算公式以及不等式的性质应用，属于中档题.对于比较大小问题，常用的方法有：（1）作差法，通过两式作差、化简，然后与0进行比较，从而确定大小关系；（2）作商法，通过两式作商、化简（注意分母不能为零），然后与1进行比较，从而确定大小关系；（3）取中间值法，通过取特殊的中间值（一般取0,1±等），分别比较两式与中间值的大小关系，再利用不等式的传递性即可得到两式的大小关系；（4）构造函数法，通过构造函数，使得两式均为该函数的函数值，然后利用该函数的单调性以及对应自变量的大小关系，从而得到两式的大小关系.10.已知如图正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上异于其中点的动点，Q 为棱1AA 的中点，设直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，以下关系中正确的是（ ）A. 1//m D QB. 1m Q B ⊥C. //m 平面11B D QD. m ⊥平面11ABB A【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体性质，以及线面平行、垂直的判定以及性质定理即可判断.【详解】因为在正方体1111ABCD A B C D -中，11//D B BD ，且11D B ⊄平面BDP ，BD ⊂平面BDP ，所以11//D B 平面BDP ，因为11D B ⊂平面11B D P ，且平面11B D P I 平面BDP m =， 所以有11//m D B ，而1111D Q D B D =I ，则m 与1D Q 不平行，故选项A 不正确；若1m Q B ⊥，则111B Q D B ⊥，显然1B Q 与11D B 不垂直，矛盾，故选项B 不正确； 若m ⊥平面11ABB A ，则11D B ⊥平面11ABB A ，显然与正方体的性质矛盾，故C 不正确； 而因为11D B ⊂平面11B D P ，m ⊄平面11B D P ， 所以有//m 平面11B D P ，所以选项C 正确，.【点睛】本题考查了线线、线面平行与垂直的关系判断，属于中档题.11.若函数()ln f x x a x =在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( ) A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C. ()0,∞+D.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，当12a ≤时，()f x 在(1,)+∞上为增函数， 且()(1)0f x f >=，即可判断其没有零点，不符合条件；当12a >时，()f x 在(1,)+∞上先减后增，有最小值且小于零，再结合幂函数和对数函数的增长速度大小关系，即可判断当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞，由零点存在性定理即可判断其必有零点，符合题意，从而确定a 的范围.【详解】因为函数()ln f x x a x =，所以22()12a x af x x x'=-=令()22g x x a =-，因为()2g x '==当(1,)x ∈+∞ 时，10,0>>，所以()0g x '> 所以()g x 在(1,)+∞上为增函数，则()(1)12g x g a >=-，当120a -≥时，()0g x >，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数， 则()(1)0f x f >=，所以()f x 在(1,)+∞上没有零点. 当120a -<时，即12a >，因为()g x 在(1,)+∞上为增函数，则存在唯一的0(1,)x ∈+∞，使得0()0g x =，且当0(1,)x x ∈时，()0g x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >；所以当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，当0x x =时，min 0()()f x f x =，因为0()(1)0f x f <=，当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞， 所以在0(,)x x ∈+∞内，()f x 一定存在一个零点. 所以1(,)2a ∈+∞， 故答案选D.【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，属于难题.对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况.12.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点(0,),(,0)24A B π， ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则()f x =（ ）A. sin 34x π⎛⎫+⎪⎝⎭B. 3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C. sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D.3sin 94x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由题意画出函数()f x 的图像，然后结合图像以及题目的条件，利用特殊点代入，结合参数范围，即可求出函数的解析式.【详解】根据题意可以画出函数()f x 的图像大致如下因为2(0)sin 2f ϕ==，由图可知，32,()4k k Z πϕπ=+∈ 又因为0ϕπ<<，所以34πϕ=，所以3()sin()4f x x πω=+， 因为3()sin()0444f πππω=+=，由图可知，3244k ππωππ+=+，解得18,k k Z ω=+∈，又因为24T ππω=<，可得8ω>，所以当1k =时，9ω=， 所以3()sin(9)4f x x π=+， 故答案选D.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图像与性质，属于中档题.这类型题的关键在于结合图像，以及各个参数的几何意义，利用特殊点代入求解.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13.已知实数,x y 满足101020x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-⎩…，则3z x y =-的最小值为_______.【答案】1- 【解析】 【分析】根据约束条件作出可行域，然后结合目标函数的几何意义找出最优解，从而求出最小值. 【详解】根据约束条件，画出的平面区域如阴影部分所示：由目标函数3z x y =-，得3y x z =-，画出直线3y x =并平移， 当直线:3l y x z =-经过点A 时，y 轴上的截距最大，则z 取得最小值，因为1010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得(0,1)A ，所以min 3011z =⨯-=-.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，属于基础题.利用线性规划求最值的一般步骤： （1）根据线性规划约束条件画出可行域； （2）设0z =，画出直线0l ；（3）观察、分析、平移直线0l ，从而找出最优解； （4）求出目标函数的最大值或最小值.14.已知函数())f x x x =-，则不等式(lg )0f x >的解集为________.【答案】()1,100 【解析】 【分析】根据()f x 的定义域以及()0f x >的解集，即可得到(lg )0f x >的等价条件，从而求出其解集.【详解】因为())f x x x =-，则0 30x x ≥⎧⎨->⎩，解得03x ≤<，所以定义域为[0,3)，因为())0f x x x =->等价于0ln(3)0x x ⎧>⎪⎨->⎪⎩，解得02x <<，因为(lg )0f x >，所以0lg 30lg 20 x x x ≤<⎧⎪<<⎨⎪>⎩，解得1100x <<，所以解集为(1,100).【点睛】本题主要考查了不等式的求解，涉及到对数运算以及函数定义域的求解，属于中档题.15.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,a b c ，,若cos cos 2cos b C c B a B +=,且4,6a b == ，则ABC ∆的面积为_______.【答案】+ 【解析】 【分析】利用余弦定理将恒等式cos cos 2cos b C c B a B +=中的角转化为边，化简即可求出cos B ，再利用余弦定理求出c ，即可用面积公式求解.【详解】因为cos cos 2cos b C c B a B +=，由余弦定理可得2222222222222a b c a c b a c b b c a ab ac ac+-+-+-⋅+⋅=⋅， 化简得222122a cb ac +-=，即1cos 2B =，因为0B π<<，所以3B π=， 又因为4,6a b ==，代入2222cos b a c ac B =+-，得24200c c --=解得2c =+2c =-，所以11sin 4(2222S ac B ==⨯⨯+⨯=【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的运用，以及面积公式得应用，属于中档题.对于解三角形中恒等式的处理，主要有两个方向：（1）角化成边，然后进行代数化简；（1）边化角，然后利用三角恒等变换相关公式进行化简.16.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线22(0)y px p =>，如图，一平行x 轴的光线射向抛物线上的点P ，经过抛物线的焦点F 反射后射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为6，则此抛物线的方程为_______.【答案】26y x = 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程，消去x 得到关于y 的方程，利用韦达定理得到1212,y y y y +的值，然后表示两平行光线距离，并求出其最小值为2p ，而由题意可知最小值为6，从而得到26p =，抛物线方程得解.【详解】设1122(,),(,)P x y Q x y ，设两平行光距离为d ， 由题意可知，12d y y =-， 因为(,0)2p F ，而直线PQ 过点F ，则设直线PQ 方程为：2px my =+，m R ∈因为22{2y pxp x my ==+，消去x 得2220y pmy p --=，由韦达定理可得21212,2y y pm y y p +==-，则22221244212d y y p m p p m p =-=+=+≥，所以26p =，故抛物线方程为26y x =.【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求解，涉及到韦达定理的应用，属于难题.对于涉及到直线与曲线相关的距离问题，常常运用到韦达定理以及弦长公式进行求解.三、 解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知数列{}n a 中，1a m =，且()*1321,n n n n a a n b a n n N +=+-=+∈.（1）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （2）当2m =时，求数列{}(1)nn a -的前2020项和2020S .【答案】（1）①01x ≠时，不是等比数列；②1m ≠-时，是等比数列；（2）2021340434-.【解析】 【分析】（1）将递推公式1321n n a a n +=+-变形为()113n n a n a n +++=+，则当01x ≠时，首项为零，{}n b 不是等比数列；当1m ≠-时，数列{}n b 是等比数列.（2）先求出{}n a 的通项，然后利用分组求和法、并项求和法以及公式法即可求出2020S . 【详解】（1）1321n n a a n +=+-Q ，()111321133n n n n n b a n a n n a n b ++∴=++=+-++=+=，∴①当01x ≠时，10b =，故数列{}n b 不是等比数列；②当1m ≠-时，数列{}n b 是等比数列，其首项为110b m =+≠，公比为3.（2）由(1)且当1m ≠-时有：1333n n n n b a n -=+=⨯=，即3nn a n =-，(1)(3)(1)n n n n a n ∴-=---，2020202031(3)S [(12)(34)(20192020)]1(3)⎡⎤-⨯--⎣⎦∴=--++-++⋯+-+--202120213334043101044-+-=-=. 【点睛】本题主要考查了等比数列证明、数列前n 项和的求解，属于中档题. 对于等比数列的证明主要有两种方法：（1）定义法，证得*1,0)(2,n n a qq n n N a -≠=≥∈即可，其中q 为常数；（2）等比中项法：证得211n n n a a a +-=即可.18.三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 的中点，点E 在侧棱1CC 上，//DE 平面11.AB C(1) 证明：E 是1CC 的中点；(2) 设603024x -=,四边形11ABB A 为边长为4正方形，四边形1ACCA 为矩形，且异面直线DE 与11B C 所成的角为30o ，求该三棱柱111ABC A B C -的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2)32. 【解析】 【分析】（1）利用棱柱的性质以及相似三角形判断定理，证得11~ADM B MA ∆∆，从而得到12A M MD =；连接11,A D A E 分别交11,AB AC 于,M N ，连MN ，利用线面平行性质定理证得//DE MN ，从而得到12A N NE =；再证得11~A NA ENC ∆∆，从而得到112CC EC =，结论得证.（2）取1BB 的中点F ，连接,EF DF ，则DEF ∠或其补角为异面直线DE 与11B C 所成的角，结合题目条件，设AC x =，分别求出,,DE DF EF ，再利用余弦定理，即可建立方程求出AC ，从而求出三棱柱111ABC A B C -的体积.【详解】(1)证明：连接11,A D A E 分别交11,AB AC 于,M N ，连MN ，∵//DE 平面11AB C ，DE Ì平面1A DE ，平面1A DE ⋂平面11AB C =MN ，∴//DE MN , 又∵在三棱柱侧面11A ABB 中，D 为AB 的中点，112A B AD ∴=由11//AD A B 可得，1111,MAD MB A MDA MA B ∠=∠∠=∠，所以11~ADM B MA ∆∆， 故12A M MD =，//DE Q MN ，∴12A N NE =，在平面11A ACC 中同理可证得11~A NA ENC ∆∆，1112CC AA EC ∴== 故有E 是1CC 的中点.(2)取1BB 的中点F ，连接,EF DF ，可知11//EF B C ， 故DEF ∠或其补角为异面直线DE 与11B C 所成的角， 设AC x =，则在DEF ∆中，可求DE DF EF BC ====则余弦定理可求：22cos 2DEF ∠==4x =，故1111(44)4322ABC A B C V -=⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了线面平行性质定理的应用，相似三角形的判断与性质应用，异面直线所成角以及三棱柱体积计算，属于中档题.19.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一,为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村扶贫. 此帮扶单位为了了解某地区贫困户对其所提供的帮扶的满意度，随机调查了40个贫困户，得到贫困户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名贫困户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据； （2）计算所抽到的10个样本的均值x 和方差2s ；（3）在（2）条件下，若贫困户的满意度评分在(,)x s x s -+之间，则满意度等级为“A 级”.运用样本估计总体的思想，现从（1）中抽到的10个样本的满意度为“A 级”贫困户中随机地抽取2户，求所抽到2户的满意度均评分均“超过80”的概率.5.92≈≈≈）【答案】（1）92，84，86，78，89，74，83，78，77，89；（2）83，33；（3）310. 【解析】 【分析】（1）根据系统抽样的规则，第一组编号为4，则随后第k 组编号为44(1)k +-，即可确定系统抽抽取的样本编号，从而得到对应的样本的评分数据。

抚州市临川第一中学2024届高三适应性测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（）A.93B.93.5C.94D.94.52.已知向量a ，b 满足1a b ⋅= ，π,3a b = ，则2a b a b ++- 的最小值为（）A.+ B.+ C.8D.23.过直线y x =上一点M 作圆C ：()2221x y -+=的两条切线，切点分别为P ，Q ．若直线PQ 过点()1,3，则直线PQ 的方程为（）A.520x y --=B.5140x y -+=C.580x y +-= D.5160x y +-=4.古城赣州最早有五大城门，分别为镇南门、百盛门、涌金门、建春门和西津门，赣州某学校历史兴趣小组决定利用两个周日的时间对五大城门的地理位置及历史意义进行调研．若约定：每个城门只调研一次，且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门，则恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为（）A.25B.13C.15D.455.数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1024n n S a +=，则数列{}n a 的前n 项积的最大值为（）A.552 B.452 C.92 D.1026.已知矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，将CBD △沿BD 折起至C BD ' ，当C B '与AD 所成角最大时，三棱锥C ABD '-的体积等于（）A.6B.2 C.15D.2557.已知()()()cos 140sin 110sin 130ααα︒-+︒+=︒-，求tan α=（）A.3B.3-C.D.8.若存在a ∈R ，使得对于任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()22ln e 2e ln e x ax bx x ≤+≤-+恒成立，则实数b 的最小值为（）A.32e e 1e 1++-- B.22e e e 1+-- C.1- D.e-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.{0}∅∈ B.集合{}|2,Z Z 2x x x n n x⎧⎫=∈=∈⎨⎬⎩⎭C.函数()R 1Q0Qx f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð的值域为[0,1]D.()f x x x =在定义域内单调递增10.如图，点,,A B C 是函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象与直线32y =相邻的三个交点，且ππ,0312BC AB f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，则（）A.4ω=B.9π182f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.函数()f x 在ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减D.若将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ的最小值为π2411.已知定义在(0,)+∞的函数()f x 满足：①对(0,)∀∈+∞x 恒有()()xf x f x x '-=；②对任意的正数m ，n 恒有()()()f mn nf m mf n mn =++．则下列结论中正确的有（）A.()11f =-B.过点()()e,e f 的切线方程1y x =-C.对(0,)∀∈+∞x ，不等式()e f x x ≥-恒成立D.若0x 为函数()2y f x x =+的极值点，则()0030f x x +>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复平面上一个动点Z 对应复数z ，若|4i |2z -≤，其中i 是虚数单位，则向量OZ扫过的面积为____________．13.已知实数x ，y 满足23ln 0x x y --=)R m ∈的最小值为________．14.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝1，AC ＝CD ＝DA ＝2，动点M 在边DC 上（不同于D 点），P 为边AB 上任意一点，沿AM 将△ADM 翻折成△AD 'M ，当平面AD 'M 垂直于平面ABC 时，线段PD '长度的最小值为_____．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是23，乙获胜的概率是13，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束．（1）求进行3局比赛决出冠亚军的概率；（2）若甲以2:1领先乙时，记X 表示比赛结束时还需要进行的局数，求X 的分布列及数学期望．16.设函数()ln f x x ax b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为63y x =-.（1）求,a b ；（2）证明：()35f x x>-.17.如图，AB 是半球O 的直径，4AB =，,M N 依次是底面 AB 上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且60PON ∠=︒．（1）证明：PB PM ⊥；（2）若点P 在底面圆上的射影为ON 中点，求直线PM 与平面PAB 所成的角的正弦值．18.已知双曲线22:14x C y -=，点(4,0)M ，经过点M 的直线交双曲线C 于不同的两点A 、B ，过点A ，B分别作双曲线C 的切线，两切线交于点E ．（二次曲线221Ax By +=在曲线上某点()00,x y 处的切线方程为001Ax x By y +=）（1）求证：点E 恒在一条定直线L 上；（2）若两直线与L 交于点N ，,AN MA BN MB λμ==，求λμ+的值；（3）若点A 、B 都在双曲线C 的右支上，过点A 、B 分别做直线L 的垂线，垂足分别为P 、Q ，记 AMP ，BMQ ，PMQ 的面积分别为123,,S S S ，问：是否存在常数m ，使得2123S S mS =？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．19.若各项为正的无穷数列{}n a 满足：对于*n ∀∈N ，221n n a a d +-=，其中d 为非零常数，则称数列{}n a 为D 数列.记1n n n b a a +=-.（1）判断无穷数列n a n =2n n a =是否是D 数列，并说明理由；（2）若{}n a 是D 数列，证明：数列{}n b 中存在小于1的项；（3）若{}n a 是D 数列，证明：存在正整数n ，使得112024ni ia=>∑.抚州市临川第一中学2024届高三适应性测试数学试题答案1.B 【分析】利用百分位数的定义即可得解.【详解】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为1080%8⨯=，所以这组数据的80%分位数第8个数与第9个数的平均值，即939493.52+=. 2.A 【分析】设,OA a OB b == 且,OA m OB n == ，建立直角坐标系，得到13(,0),(,)22a mb n n == ，求得2mn =，得到2a b a b ++-=+ ，结合基本不等式和函数()f t =上的单调性，即可求解.【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设,OA a OB b == 且,OA m OB n ==，因为π,3a b = ，可得1(,0),(,)22A m B n n ，则1(,0),(,)22a OA mb OB n n ==== ，所以1313(,),(,)2222a b m n n a b m n n +=+-=--，又因为向量,a b 满足1a b ⋅= ，可得1cos ,12a b a b a b mn ⋅=== ，解得2mn =，所以a b +=== ，a b -===则2a b a b ++-=+ ，设22t m n =+，因为2224t m n mn =+≥=，当且仅当m n ==所以2a b a b ++-=，又因为()f t =[4,)+∞上为单调递增函数，所以()()min 4f t f ==2a b a b ++-+故选：A.3.C 【分析】设(),M t t ，先利用两圆方程相减得到直线PQ 的方程，再利用直线PQ 过点()1,3求得t 的值，进而得到直线PQ 的方程.【详解】圆C ：()2221x y -+=的圆心为()2,0C ，设(),M t t ，则以MC 为直径的圆的方程为()()22222120224t t x y t t +⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+-=-+- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭与圆C 的方程()2221x y -+=两式相减可得直线PQ 的方程为()2230t x ty t -+-+=因为直线PQ 过点()1,3，所以23230t t t -+-+=，解得12t =-．所以直线PQ 的方程为5113022x y --++=，即580x y +-=． 4.A 【分析】根据题意，得到此次调研的基本事件的总数为2355C C +种，再由题设条件，分为两类求得恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的种数，集合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，每个城门只调研一次，且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门，共有2355C C 20+=种不同的调研方法，其中恰好在同一个周日调研百盛门和建春门，可得分为：①其中一个周日只调研百盛门和建春门，另一个周日调研其他三门，有12C 2=种方法；②其中一个周日调研百盛门、建春门和其中另一个门，另一个周日调研剩余的两门，有1123C C 6=种方法，共有268+=种不同的调研方法，所以恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为82205P ==.5.B【分析】根据给定的递推公式求出1a ，进而求出数列{}n a 通项，借助单调性求解即得.【详解】依题意，N n *∈，1024n n S a +=，则1512a =，当2n ≥时，111024n n S a --+=，两式相减得12n n a a -=，即112n n a a -=，因此数列{}n a 是以512为首项，12为公比的等比数列，于是1101512()22n n n a --=⨯=，显然数列{}n a 单调递减，当10n ≤时，1n a ≥，当11n ≥，1n a <，所以当9n =或10n =时，数列{}n a 的前n 项积最大，最大值为98720452222222⨯⨯⨯⨯⨯⨯= .6.A 【分析】根据异面直线所成角、锥体体积公式等知识求得正确答案.【详解】因为异面直线所成角的范围是π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故当C B AD '⊥时，C B '与AD 所成角最大，因为四边形ABCD 是矩形，所以AB AD ⊥，而,,AB C B B AB C B ''⋂=⊂平面ABC '，所以AD ⊥平面ABC '，因为AC '⊂平面ABC '，所以AD AC '⊥，在直角三角形ADC '中，1,2,AD C D AC ''===，而2221,2,BC AB BC AC AB '''==+=，所以BC AC ''⊥，所以111113326C ABD D ABC ABC V V S AD '''--===⨯⨯⨯=⋅ .【点睛】异面直线所成角的范围是π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，当两条直线所成角为0时，两直线平行或重合.求解锥体体积的问题，可以考虑利用转换定点的方法，然后利用体积公式13V Sh =来求得三棱锥的体积.7.D 【分析】利用三角函数诱导公式化简已知等式可得()()()cos 20cos 40cos 40ααα︒+=︒-+︒+，再利用两角和差的余弦公式结合同角三角函数关系化简可得cos 202cos40tan sin 20α︒-︒=︒，继而利用三角恒等变换，化简求值，即得答案.【详解】由题意知，()()()cos 140sin 110sin 130ααα︒-+︒+=︒-即()()()cos 40cos 20cos 40ααα-︒++︒+=︒-，故()()()cos 20cos 40cos 40ααα︒+=︒-+︒+，即cos 20cos sin 20sin 2cos40cos ααα︒-︒=︒，故cos 20cos 2cos40cos sin 20sin ααα︒-︒=︒，即sin cos 202cos40cos(3010)2cos(3010)tan cos sin 20sin 20ααα︒-︒︒-︒-︒+︒===︒︒33cos10sin1030)2022sin 20sin 20sin 20-︒+︒︒-︒︒====-︒︒︒【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用三角函数诱导公式以及两角和差的公式化简得出tan α的表达式之后，要利用拆角的方法，继而结合三角恒等变换公式，化简求值即可.8.C 【分析】将题干中的不等式变形为()2e 2e ln e ln x x ax b x x -+≤+≤，由题意可知直线y ax b =+恒位于函数()ln x f x x =图象的上方，函数()()2e 2e ln e x g x x-+=的图象的下方，b 代表直线y ax b =+在y轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过()e,e 1M -且与曲线ln xy x=相切时，b 最小，设切点坐标为000ln ,x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出0x 的值，即可得出b 的最小值.【详解】令()ln x f x x =，其中1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()21ln x f x x -'=，当1e e x <<时，()0f x ¢>，则函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()10f =，令()()2e2e ln ex g x x-+=，则()()2222e e ln e 3ex g x x-+-'=，因为函数()222e eln e3e y x =-+-在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()221e 2e 5e 0e g ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()1e 0e g '=-<，所以，存在01,e ex ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当01ex x <<时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，当0e x x <<时，()0g x '<，此时函数()g x单调递减，如下图所示：由题意得()2e 2e ln e ln x x ax b x x-+≤+≤，直线y ax b =+恒位于()y f x =的图象上方，()y g x =的图象下方，b 代表直线y ax b =+在y 轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过()e,e 1M -且与曲线ln xy x=相切时，b 最小．设切点为000ln ,x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则00200ln e 11ln e x x x x x -+-=-，整理可得()()20000e 12e ln e 0x x x x -+---=，令()()()2e 12e ln e h x x x x x =-+---，则()10h =，()()()()()e e2e 1121ln 2e 112ln h x x x x x x x'=-+-++=-+-+，而当1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()e2e 13x x -+≥，12ln 3x +≤，所以，()()e2e 112ln 0x x x-+-+>，所以当1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0h x '>，则函数()h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()h x 有唯一的零点1，所以01x =，此时直线方程为1y x =-，故min 1b =-.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的最值，解题的关键在于将不等式变形为()2e 2e ln e ln x x ax b x x-+≤+≤，通过作出图象，找出直线y ax b =+与函数ln x y x =相切时，b 最小，然后利用导数法进行求解.9.BD 【分析】根据空集的定义判断A ，根据集合元素的特征判断B ，根据所给函数解析式判断C ，将函数写成分段函数、再分析函数在各段的单调性即可判断D.【详解】对于A ：{0}∅⊆或∅{0}，故A 错误；对于B ：{}{}|2,Z ,6,4,2,0,2,4,6,8,x x n n =∈=--- ，又Z 2x ∈，令Z 2xk =∈，所以2x k =，Z k ∈，即{}{}Z 2,Z ,6,4,2,0,2,4,6,8,2x xx x k k ⎧⎫∈==∈=---⎨⎬⎩⎭，所以{}|2,Z Z 2x x x n n x⎧⎫=∈=∈⎨⎬⎩⎭，故B 正确；对于C ：因为()R 1Q0Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，所以()f x 的值域为{}0,1，故C 错误；对于D ：()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，因为2y x =在[)0,∞+上单调递增，2y x =-在(),0∞-上单调递增，且()f x 为连续函数，所以()f x 在R 上单调递增，故D 正确；10.ACD 【分析】令()32f x =求得,,A B C x x x 根据π3BC AB -=求得4ω=，根据π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得()f x 的解析式，再逐项验证BCD 选项.【详解】令()()3sin 2f x x ωϕ=+=得，π2π3x k ωϕ+=+或2π2π3x k ωϕ+=+，Z k ∈，由图可知：π2π3A x k ωϕ+=+，π2π+2π3C x k ωϕ+=+，2π2π3B x k ωϕ+=+，所以1π2π3C B BC x x ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，1π3B A AB x x ω=-=⋅，所以π12π2π33BC AB ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以4ω=，故A 选项正确，所以()()sin 4f x x ϕ=+，由π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得πsin 03ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π3k ϕ-+=+，Z k ∈，所以4π2π3k =+ϕ，Z k ∈，所以()4π4ππsin 42πsin 4sin 4333f x x k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，9π9ππ1sin 8232f ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误.当ππ,32x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5ππ4,2π333x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为sin y t =-在5ππ,2π33t ⎛⎫∈+⎪⎝⎭为减函数，故()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位得()πsin 443g x x θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，（0θ<时向右平移，0θ>时向左平移），()g x 为偶函数得ππ4π32k θ+=+，Z k ∈，所以ππ244k θ=+，Z k ∈，则θ的最小值为π24，故D 正确.11.ACD 【分析】由条件①结合导数的运算法则可设()ln f x x C x=+，再由条件②，求得()ln f x x x x =-，选项A ，B 易判断；对C ，构造函数()()e ln 2e g x f x x x x x =-+=-+，利用导数证明()0g x ≥即可；对D ，利用导数判断极值点0x 的范围，即可得证.【详解】 ()0,x ∀∈+∞恒有()()xf x f x x '-=，2()()()1f x xf x f x x x x ''-⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，∴可设()ln f x x C x=+（其中C 为常数），又对任意的正数,m n 恒有()()()f mn nf m mf n mn =++，∴对任意的正数,m n 恒有()()()1f mn f m f n mn m n=++，∴()ln ln ln 1mn C m C n C +=++++，∴1C =-，()ln 1f x x x∴=-，即()ln f x x x x =-，对于A ，由上式可得()11f =-，故A 正确；对于B ，()ln f x x '=，设切点为()()00,x f x ，则切线斜率为0ln k x =，()()0000000e ln ln eef x f x x x x x x --∴==--，化简得00eln x x =，解0e x =，所以点()()e,e f 就是切点，所以切线方程为e y x =-，故B 错误；对于C ，令()()e ln 2e g x f x x x x x =-+=-+，0x >，则()ln 1g x x '=-，令()0g x '>，可得e x >，()0g x '<，可得0e x <<，所以函数()g x 在()0,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增，()()e e ln e 2e e 0g x g ∴≥=-+=，所以()e f x x ≥-，对()0,x ∀∈+∞恒成立，故C 正确；对于D ，设22()()ln p x f x x x x x x =+=-+，()ln 2p x x x ='+，()p x '在()0+∞，上单调递增，且12(10eep =-+<'，(1)20p '=>，所以01,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()p x 在()00,x 上单调递减，()p x 在()0,x +∞上单调递增，∴o x x =为函数()p x 的极小值点且满足00ln 20x x +=，01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()2000000003ln 2222(1)0o f x x x x x x x x x +=+=-+=->，故D 正确.【点睛】思路点睛：本题属于导数的应用问题，难度较大.首先分析条件①，由导数的运算法则得2()()()f x xf x f x x x '-⎛⎫⎪⎝'= ⎭，可设()ln f x x C x =+，再由条件②，代入运算求得()ln f x x x x =-，再根据导数知识可依次判断各个选项得解.12.【分析】根据题意，利用复数的几何意义，得到复数z 表示以(0,4)C 为圆心，以2为半径的圆C 的圆面，过原点O 作圆C 的切线，切点为,A B ，结合三角形和扇形的面积公式，即可求解.【详解】因为|4i |2z -≤，根据复数的几何意义，可得复数z 表示以(0,4)C 为圆心，以2为半径的圆C 的圆面，如图所示，过原点O 作圆C 的切线，切点为,A B ，在直角OBC △中，可得4,2OC BC ==，所以π3OCB ∠=，且OB =，所以2π3ACB ∠=，所以复数向量OZ 扫过的面积为2112π8π22(2π)22233S =⨯⨯+⋅-⨯=+.故答案为：8π3.13.【分析】将题意转化为求曲线上一点到,22m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭距离最小值，通过求导求出点()1,1符合题意，进而求出答案.=，即求曲线23ln y x x =-上一点到,22m m ⎛⎫-⎪⎝⎭距离最小值，又因为,22m m ⎛⎫-⎪⎝⎭在直线y x =-上，所以当曲线与直线y x =-平行时，距离取得最小值，令321y x x'=-=-，解得1x =或32x =-（舍去），当1x =时，点()1,1到直线0x y +==，即所求曲线23ln y x x =-上一点到,22m m ⎛⎫-⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用.关键点在于将所求式子进行化简，进而转化为距离问题，通过导数研究曲线即可.本题考查转化与化归能力、计算能力，属于中档题.14.【分析】作DH ⊥直线AM 于点H ，连接PH ，则翻折后D H AM '⊥，设DAH θ∠=，由2DA =，得2sin DH θ=，2cos AH θ=，设AP x =，则[0x ∈，1]，根据条件得到222224cos cos()4cos 4sin 3PD x x πθθθθ'=--++，然后求出线段PD '长度的最小值．【详解】作DH ⊥直线AM 于点H ，连接PH ，则翻折后D H AM '⊥，平面AD M '⊥平面ABC ，AM 为两平面的交线，D H ∴'⊥平面ABC ，∴PD '设DAH θ∠=，由2DA =，得2sin DH θ=，2cos AH θ=，设AP x =，则[0x ∈，1]．由2AC CD DA ===知ACD 为正三角形，则23πBAD ∠=，∴23BAM πθ∠=-，在PAH 中，2222cos PH AP AH AP AH PAH =+-⋅⋅∠，即22224cos cos()4cos 3PH x x πθθθ=--+，∴222224cos cos()4cos 4sin 3PD x x πθθθθ'=--++，记22cos cos()3t πθθ=-，则222()4PD x t t '=-+-，由212cos cos()sin(2),03623t πππθθθθ=-=--< ，得112t -< ，又[0x ∈，1]，∴若10t -<<，则当0x =时，2'min ()4PD =；若102t ，则当x t =时，22min 115()4444PD t '=--=，∴min 15()2PD '=．故答案为：152．15.【分析】（1）分甲乙全胜两种情况相加得结果；（2）利用分布列步骤求解并求得期望.【小问1详解】甲3局全胜的概率为1222833327P =⨯⨯=,乙3局全胜的概率为2111133327P =⨯⨯=，∴进行3局比赛决出冠亚军的概率为81127273P =+=【小问2详解】X 的可能取值为1，2，()213P X ==，()12111233333P X ==⨯+⨯=，故X 的分布列为：X12P2313故()21412333E X =⨯+⨯=．16.【分析】（1）根据切线方程，求得切点与切线斜率，建立方程，可得答案；（2）由（1）写出函数解析式，化简整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可得答案.【小问1详解】函数()f x 的定义域为()()10,,f x a x∞'+=+.将1x =代入63y x =-，解得3y =，即()13f =，由切线方程63y x =-，则切线斜率()16f '=.故3,16a b a +=+=，解得5,2==-a b .【小问2详解】证明：由（1）知()ln 52f x x x =+-，从而()35f x x >-等价于23ln 525x x x x >-+-.设函数()ln g x x x =，则()1ln g x x ='+.所以当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0g x '<，当1,ex ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>.故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()g x 在()0,∞+上的最小值为11e eg ⎛⎫=-⎪⎝⎭.设函数()22312525555h x x x x ⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭，从而()h x 在()0,∞+上的最大值为12155eh ⎛⎫=-<- ⎪⎝⎭.故()()>g x h x ，即()35f x x>-.17.【分析】（1）根据题意证明ON ⊥面PMB ，得到ON PB ⊥，再结合线面垂直的判定定理得证；（2）根据题意建立空间直角坐标系，结合线面角的空间向量计算公式进行求解即可.【小问1详解】连接,,,AM OM MN PN ，因为,M N 依次是底面 AB 上的两个三等分点，所以四边形OMNB 是菱形，设MB ON Q ⋂=，则Q 为ON 中点，且ON MB ⊥，又因为,60OP ON PON ==︒∠，故OPN 是等边三角形，连接PQ ，则ON PQ ⊥，又因为,MB PQ ⊂面PMB ，MB PQ Q ⋂=，所以ON ⊥面PMB ，因为PB ⊂面PMB ，所以ON PB ⊥，因为,M N 依次是底面 AB 上的两个三等分点，所以//ON AM ，所以AM PB ⊥，又因为AB 是半球O 的直径，P 是半球面上一点，所以PB PA ⊥，因为,AM PA ⊂面PAM ，AM PA A ⋂=，所以PB ⊥面PAM ，又因为PM ⊂面PAM ，所以PB PM ⊥【小问2详解】因为点P 在底面圆上的射影为ON 中点，所以PQ ⊥面AMB ，因为,QM QN ⊂面AMB ，所以,PQ QM PQ QN ⊥⊥，又因为QM QN ⊥，所以以{},,QM QN QP为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，所以()()),,,2,0P MB A-，所以(),2,,2,0PM PA BA ==-=-，设平面PAB 的法向量(),,n x y z =，则2020n PA y n BA y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1x =，则()1n =- ，设直线PM 与平面PAB 所成角为π02θθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，则10sin cos ,5PM n PM n PM nθ⋅====⋅所以直线PM 与平面PAB所成角的正弦值为518.【分析】（1）设()()()001122,,,,,E x y A x y B x y ，由题意可证得点A ，B 都在直线0014x xy y -=上，直线l 过点(4,0)M ，可得01x =，即可证明点E 恒在定直线:1L x =上．（2）法一：设()31,N y ，由AN MA λ= 可得1311411x y y λλλ+⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将其带入双曲线方程可得22312430y λ--=，同理可得22312430y μ--=，由根与系数的关系可得0λμ+=．法二：由题意知，设l 的方程：(4)y k x =-，联立直线与双曲线的方程，设()31,N y ，由AN MA λ=可得1114x x λ-=-，同理2214x x μ-=-，将韦达定理代入λμ+即可得出答案.（3）设:4l x ty =+，与22:14xC y -=联立，设()()121,,1,P y Q y ，表示出123,,S S S ，将韦达定理代入化简即可得出答案.【小问1详解】证明：设()()()001122,,,,,E x y A x y B x y ，由题意得：切线EA 的方程为：1114x xy y -=，将点E 带入得：101014x x y y -=，同理可得：202014x x y y -=，易知点A ，B 都在直线0014x x y y -=上，所以直线l 的方程为：0014x xy y -=，因为直线l 过点(4,0)M ，所以01x =，所以点E 恒在定直线:1L x =上．【小问2详解】法一：设()31,N y ，因为AN MA λ=，所以()1131114,,x x y y y λλ⎧-=-⎨-=⎩整理得13114,11x y y λλλ+⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩因为点()11,A x y 在双曲线上，所以223141141y λλλ+⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭-= ⎪+⎝⎭，整理得22312430y λ--=，同理可得22312430y μ--=，所以，,λμ是关于x 的方程22312430x y --=的两个实根，所以0λμ+=．法二：由题意知，l 的斜率存在，设l 的方程：(4)y k x =-，联立()22414y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得：()()222214326440k x k x k -+-+=，()()()2222Δ324146440k k k =+-+>所以2212122232644,4141k k x x x x k k ++==--，设()31,N y ，因为AN MA λ=，所以()1114x x λ-=-，所以1114x x λ-=-，同理2214x x μ-=-，所以()()121212*********1144416x x x x x x x x x x x x λμ-++---+=+=---++222222128816032806441286416k k k k k k --+-+==+-+-.【小问3详解】设:4l x ty =+，与22:14xC y -=联立得：()2248120ty ty -++=，121222812,44ty y y y t t +=-=--，因为直线L 的方程为1x =，所以()()121,,1,P y Q y ，所以11111111113222S AP y x y ty y =⋅=-⋅=+⋅，同理222312133,22S ty y S y y =+⋅=-，所以()()2222221212121222231222121224193944414948489444t t y y t y y t y y t t t S S m S t y y t t ⋅⋅-+⋅+++---====⎡⎤⎛⎫---⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故存在14m =，使得212314S S S =．【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19.【分析】（1）代入定义计算即可得；（2）借助题目条件，借助放缩将等式转换为不等式后结合数列的函数性质即可得；（3）由题意将11ni i a =∑表示出来后，使用放缩技巧，通过放缩法结合裂项相消法求和以表示出与11ni ia =∑有关不等式即可证明.【小问1详解】n a =D 数列，2n n a =不是D 数列，理由如下：当n a =2n a n =，211n a n +=+，则22111n n a a n n +-=+-=，故是D 数列；当2n n a =时，222n na =，22212n n a ++=，则22222212232n n n n n a a ++-=-=⨯，故不是D 数列；【小问2详解】若{}n a 是D 数列，则0n a >且221n n a a d +-=，此时数列{}2n a 是以21a 为首项，d 为公差的等差数列，21故()2121n a n d a =+-，当0d <时，则总存在正整数n ，使()2110a n d +-<，与0n a >矛盾，故0d >恒成立，2210n n a a d +-=>，有()()21211n a n d n d a =+->-，1221n a nd nd a +=+>，即n a>+1n a >+1n n a a =>+则1+1n n n n n d b a a a a +=-=<+，n的增大而增大，故总存在正整数n1<，即数列{}n b 中存在小于1的项；【小问3详解】由（2）得()2121n a n d a =+-，故n a =即1n a ==2>=2d=，则112n i ia d =>++∑ )12d a=1a 随n 的增大而增大，且+n →∞时，)12+d a →∞，故对任意的0d >，总存在正整数n 使)122024a d >，即总存在正整数n ，使得112024n i ia =>∑.【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是通过放缩法结合裂项相消法求和以表示出与11n i i a =∑有关不等式.。

2020届临川一中暨临川一中实验学校高三理科数学月考答案一、单选题1-5．ACCCA 6-10．DBBDB 11-12．DB 二、填空题13．2 14．120- 15． π41 16．4 三、解答题17．【答案】（1）3-（2）38法一：解：（1）在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin CD BC CBD BDC=∠∠，∴sin6sin 22CBD π∠== ∴0CBD π<∠<，∴3CBD π∠=或23CBD π∠= ………………3分当23CBD π∠=时，此时A B C 、、三点共线，矛盾 ∴3CBD π∠= ………………4分∴()2tan tan tan tan 333ABC ABD CBD πππ⎛⎫∠=∠+∠=+==⎪⎝⎭………………6分法二：由余弦定理222cos 242BD CD BC BDC BD BD BD CD +-∠====⋅或………………3分若2BD =时，此时23CBD π∠=，即A B C 、、三点共线，矛盾………………4分 ∴4BD =，此时3CBD π∠=∴()tan tan tan 33ABC ABD CBD ππ⎛⎫∠=∠+∠=+=⎪⎝⎭6分 （2）设BCD θ∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD θ=+-⋅(2222216θθ=+-⨯⨯=-……8分∴2111sin sin sin 222ABC BCD BAD D S S BC CD BA BD BC CD S θθθ∆∆=+=⋅+⋅=⋅四边形6cos 3πθθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭……………………11分当56πθ=时，四边形ABCD面积的最大值 ……………………12分 备注：（1）若第1问用正弦定理没写出23CBD π∠=，扣1分（2）若第1问用余弦定理没写出2BD =，并且排除2BD =，扣1分18.【答案】（1）见详细答案（2）25（1）如图，作EF PC ∥，交BC 于F ，连接AF .因为3PB BE =，所以E 是PB 的三等分点，可得23BF =. 因为2AB AD ==，23BC CD ==，AC AC =，所以ABC ADC △≌△， 因为BC ⊥AB ，所以90ABC ∠=︒，…………………1分 因为3tan 23AB ACB BC ∠===，所以30ACB ACD ∠=∠=︒，所以60BCD ∠=︒，（2分） 因为tan 323AB AFB BF ∠===，所以60AFB ∠=︒，所以AF CD ∥，……3分 因为AF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ∥平面PCD .……4分又EF PC ∥，EF ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .……………5分因为AF EF F =，AF 、EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ∥平面PCD ，所以AE ∥平面PCD .…6分 （2）因为PAB △是等边三角形，2AB =，所以2PB =.又因为4PC =，23BC =，所以222PC PB BC =+，所以BC PB ⊥.又BC ⊥AB ，,AB PB ⊂平面PAB ，AB PB B =，所以BC ⊥平面PAB .因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD .在平面PAB 内作Bz ⊥平面ABCD .………7分 以B 点为坐标原点，分别以,,BC BA Bz 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -， 则(23,0,0)C ，(0,2,0)A ，(0,1,3)P ，所以(23,0,0)BC =，(0,1,3)BP =，(23,2,0)AC =-，(0,1,3)AP =-.………8分设111(,,)x y z =m 为平面BPC 的法向量，则00BC BP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=m m ，即11123030x y z ⎧=+=⎪⎨⎪⎩， 令11z =-，可得(0,3,1)=-m .………………9分设222(,,)x y z =n 为平面APC 的法向量，则00AC AP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n ，即2222232030x y y z -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩，令21z =，可得(1,3,1)=n .………………10分 所以5,25cos ==⨯m n ………………11分 则25251()n s ,5i =-=m n ，所以二面角A PC B --的正弦值为25.……………………12分 备注：若第2问用几何法做对也给满分.19．【答案】（1）83107340340y x =+（2）分布列见详解，数学期望为1310. 解：解：（1）由题意可知2361021131518118x +++++++==，112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==，………………2分由公式12221ˆ34781138313088b11340ni ii ni i x y nx yx nx==-⨯⨯==-⨯-=-∑∑………………3分83107ˆˆ311340340ay bx =-=-⨯=………………4分 ∴83107340340y x =+……………5分 （2）药品A 的三类剂型123A A A 、、经过两次检测后合格分别为事件123B B B 、、,则()()()123142321322,,255432535p B P B P B =⨯==⨯==⨯=……………7分由题意，0,1,2,3X 可取()()()()()()()()2123212312312321231231231232190115250212212111112525525021221821125255225235p X p B B B p X p B B B B B B B B B p X p B B B B B B B B B p X p B B B ⎛⎫⎛⎫===--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=-⋅+-⋅⋅-⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=⋅-+-⋅⋅⋅=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=== ⎝212225⋅=⎪⎭………10分X ∴的分布列为9218213123.5050255010X ∴⨯+⨯+⨯+⨯=的期望为：EX=0…………12分20.【答案】(1) 椭圆方程为22163x y +=，准圆方程为229x y +=；①12l l ，方程为33y x y x =+=-+， ②见详解 【解析】（1）3c a b ==∴=，2分∴椭圆方程为22163x y +=， ………………3分 准圆方程为229x y +=．………………4分（2）（ⅰ）因为准圆229x y +=与y 轴正半轴的交点为(03)P ，， 设过点(03)P ，且与椭圆相切的直线为3y kx =+， 所以由223{163y kx x y =++=，，得22(12)12120k x kx +++=.……………5分 因为直线3y kx =+与椭圆相切，所以22144412(12)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，……………6分所以12l l ，方程为33y x y x =+=-+，．……………7分 121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥．……………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l斜率不存在， 则1l ：x =当1l ：6x =时，与准圆交于点(63)(63)-，，，， 此时2l 为y =y =，显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l ：x =12l l ，垂直……………9分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中22009x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022(){163y t x x y x y =-++=，，得2220000(12)4()2()60t x t y tx x y tx ++-+--=.……………10分由0∆=化简整理得()22200006230x t x y t y -++-=因为22009x y +=，所以有2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=.设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=， 所以20122616x t t x -⋅==--，即12l l ，垂直．……………11分 综合①②知：因为12l l ，经过点00()P x y ，，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直. 所以线段MN 为准圆229x y +=的直径，6MN ＝，所以线段MN 的长为定值6．……………12分 21．【答案】（1）()∞（2）22e π-解：（1）由()sin axf x e x =，得()()'sin cos axf x e a x x =+，……………1分由()f x 在63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上存在单调递增区间，可得()'0f x >在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，……………2分即sin cos 0a x x +>在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则min 1tan a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，∴a >∴a的取值范围为()∞.……………4分 （2）设()()sin axbx e x g x f x b x =-=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()'sin cos axg x e a x x b =+-.设()()sin cos axh x ea x xb =+-，则()()2'1sin 2cos 0ax h x e a x a x ⎡⎤=-+≥⎣⎦， ……………5分∴()h x 单调递增，即()'g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ∴()2'1,a g x b ae b π⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.……………6分当1b ≤时，()'0g x ≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()()00g x g ≥=，不符合题意；当2a b ae π≥时，()'0g x ≤，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()00g x g ≤=，符合题意；当21a b ae π<<时，由于()'g x 为一个单调递增的函数，而()'010g b =-<，2'02a g ae b ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得()0'0g x =， 从而()g x 在[]00,x x ∈上单调递减，在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ……………9分因此只需02g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴22a e b ππ≤，∴22a b e ππ≥，从而222a a eb ae πππ≤<，综上，b 的取值范围为22,a e ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，……………10分因此2222ab e a ee a ππ-≥-. 设()222aG a ee a ππ=-，则()22'ae a e G π=-，令()'0G a =，则41a π=>，∴()G a 在41,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在4,π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，……………11分 从而()242e G a G ππ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，∴2b e a -的最小值为22e π-.……………12分备注：第1问写)⎡+∞⎣扣1分22.（1）:40(0)l x y x +-=≠,22:20C x y y +-=（2【解析】（1）由82x t=+可得0x ≠， 由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．………………2分由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．…………………………5分（2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠，将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠，…………………………7分当()04θρπ=>时，A ρ=B ρ=|||||A B AB ρρ=-==．………………10分 备注：第1问没写0x ≠扣1分23.（1）(,0)(3,)-∞+∞ （2）见详解 【解析】（1）当0x <时，|4|()x f x x>等价于|||2|4x x +->-，该不等式恒成立； 当02x <≤时，|4|()x f x x>等价于24>，该不等式不成立； 当2x >时，|4|()x f x x >等价于2224x x >⎧⎨->⎩，解得3x >，…………………………3分 所以不等式|4|()x f x x>的解集为(,0)(3,)-∞+∞.…………………………5分 （2）因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=，当02x ≤≤时取等号，所以2M =,222a b c ++=，……7分由柯西不等式可得22222222224(22)(122)()9()a b c a b c a b c =++≤++++=++,当且仅当244,,999a b c ===时等号成立，所以22249a b c ++≥.…………………………10分备注：第1问结果没用集合或区间表示扣1分。

高考某某省抚州市某某第一中学2020届高三数学5月模拟考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1. 已知i 为虚数单位，若复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为(2,1)，(1,2)-，则复数12iz z ⋅=（ ） A. 34i -- B. 34i -+C. 43i --D. 3-【答案】A 【解析】 【分析】根据题意12z i =+，212z i =-，故()()12212i i z z i i+-⋅=，计算得到答案. 【详解】根据题意12z i =+，212z i =-，故()()122124334i i z z ii i i i+-⋅-===--. 故选：A.【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. 2. 已知集合{|20}A x x =-≥，{|ln(1)}B x y x =∈=+Z ，则A B =A. [1,2]-B. (1,2]-C. {0,1,2}D.{1,0,1,2}-【答案】C 【解析】【详解】因为{|20}{|2}A x x x x =-≥=≤，{|ln(1)}{|1}B x y x x x =∈=+=∈>-Z Z ，所以{0,1,2}AB =.故选C ．高考3. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若41012222a a a ++=，则14S =（ ） A .56B. 66C. 77D. 78【答案】C 【解析】 【分析】化简得到11411a a +=，代入公式计算得到答案.【详解】()()()()410124104127811422222a a a a a a a a a a a ++=+++=+=+=，故11411a a +=，()1141414772a a S +==.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列求和，确定11411a a +=是解题的关键.4. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令2log 3a =，12211,log 162b c -⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ） A. ()()()f a f b f c << B. ()()()f a f c f b << C. ()()()f b f a f c << D. ()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】 【分析】化简得到()()2f b f =，()()1f c f =，12a <<，根据函数单调性得到答案.【详解】()()()()12142216f b f f f f -⎛⎫⎛⎫ ⎪===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()21log 112f c f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，2221log 2log 3log 42a =<=<=，函数在区间[]1,2上是减函数，故()()()f b f a f c <<. 故选：C.【点睛】本题考查了根据函数单调性比较函数值大小，意在考查学生的计算能力和对于函数性质的灵活运用.5. 若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则sin 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（ ） A. 3-5B.35C. 4-5D.45【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到tan 2α，再利用齐次式计算得到答案.【详解】点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，故tan 2α，222222cos sin 1tan 3sin 2cos 22cos sin 1tan 5παααααααα--⎛⎫+====- ⎪++⎝⎭， 故选：A.【点睛】本题考查了三角函数定义，齐次式求值，意在考查学生的计算能力和转化能力. 6. 在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )A. 2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B. 2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C. 2019年我国居民每月消费价格逐月递增D. 2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降【答案】D【解析】【分析】根据统计折线图以及同比和环比的概念，对四个选项逐个分析可得答案.【详解】根据统计折线图以及同比增长率的概念可知2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比都是上涨的，故A不正确；2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格涨幅最高，不是消费价格最高，故B不正确；2019年我国居民每月消费价格有涨有跌，故C.不正确；2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降，下降了0.4个百分点，故D正确. 故选：D【点睛】本题考查了对统计折线图的分析和理解能力，考查了同比和环比的概念，属于基础题.7. 已知1111114357941π≈-+-+-+，如图是求π的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入（）A. ()1121nin+-=+B. (1)21nin-=+C. ()112nii+-=+D. (1)2nii-=+【答案】B【解析】【分析】根据计算公式：计算数据正负交替，分母为首项是1，公差为2的等差数列，得到答案. 【详解】根据计算公式：计算数据正负交替，分母为首项是1，公差为2的等差数列，故填写(1)21nin-=+.故选：B.【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.8. 已知实数,x y满足约束条件2202201,1x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩，则2x y+的取值X围是A. (3,6]- B. [3,6]- C. 3(,6]2-D. 3[,6]2-【答案】B 【解析】【详解】作出不等式组2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设2z x y =+，则2y x z =-+，平移该直线，当直线2y x z =-+经过点A 时，z 取到最大值，由220220x y x y -+=⎧⎨--=⎩得22x y =⎧⎨=⎩，即(2,2)A ，则max 426=+=z ；当直线2y x z =-+经过点C 时，z 取到最小值，易得(1,1)C --，则min 213=--=-z ，所以2x y +的取值X 围是[3,6]-.故选B ．9. 函数1()ln ||1xf x x+=-的图象大致为（ ） A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】判断出函数为奇函数,即排除B;代入特殊点后又能排除两个选项,即可得到正确答案. 【详解】由题可得函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠±.因为1()ln ||1x f x x --==+1ln ||()1xf x x+-=-- 所以函数()f x 为奇函数,排除选项B;又(1.1)ln 211f =>,(3)ln 21f =<，所以排除选项A 、C 故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像,考查了对数的运算.在选择正确的函数图像时,一般都不是直接画函数图像,而是运用排除法.首先判断函数的定义域、奇偶性、单调性进行排除,然后代入特殊点,进行排除.10. 2019年10月1日，中华人民某某国成立70周年，举国同庆.将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（ ） A. 72 B. 84 C. 96 D. 120【答案】B 【解析】 【分析】先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有96种，其中1和0排在一起形成10和原来的10有重复，共有12种，得到答案.【详解】先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有144496C A ⋅=种，其中1和0排在一起形成10和原来的10有重复，考虑1和0相邻时，且1在0的左边，和剩余数字共有4！=24种排法， 其中一半是重复的，故此时有12种重复. 故共有961284-=种. 故选：B.【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.11. 已知1F，2F是椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点，过2F的直线交椭圆于,P Q两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF依次构成等差数列，且1||PQ PF=，则椭圆C的离心率为（）A.23B.34C. 155D. 105【答案】D【解析】【分析】设2211||,||,||,||QF PF PF QF依次构成等差数列{}n a，其公差为d，可得12344a a a a a+++=，及123a a a+=，进而可求得1234,,,a a a a的表达式，然后在12PF F△和1PFQ中，利用余弦定理得到12cos F PF∠的表达式，进而可求出离心率的值.【详解】如图所示，设2211||,||,||,||QF PF PF QF依次构成等差数列{}n a，其公差为d.根据椭圆定义得12344a a a a a+++=，又123a a a+=，则1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d aa a d a d++++++=⎧⎨++=+⎩，解得25d a=，12342468,,,5555a a a a a a a a====.所以18||5QF a=，16||5PF a=，24||5PF a=，6||5PQ a=.在12PF F△和1PFQ中，由余弦定理得2222221246668()()(2)()()()55555cos 4666225555a a c a a a F PF a a a a +-+-∠==⨯⨯⨯⨯， 整理得22715a c =,则c e a ==. 故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，考查椭圆定义的应用，考查等差数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.12. 已知0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，则a 的取值X 围是（ ） A. (],1-∞- B. (,1]-∞C. [0,)+∞D. [1,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】求导得到()22tan cos xf x ax x x'=--，导函数为奇函数，根据题意得到()00f ''≤，计算得到答案.【详解】()(tan )f x x ax x =-，则()22tan cos xf x ax x x'=--， 易知()f x '为奇函数，又0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，故()00f ''≤，()2241cos sin cos 2cos cos x x x xf x a x x+''=--，代入计算得到1a ≤. 易知()f x ''为偶函数，当1a ≤时，取0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2241cos sin cos 22110cos cos x x x xf x a x x+''=--<--=，故函数()f x '在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()00f '=，满足条件.故选：B.【点睛】本题考查了根据极值点求参数，确定''(0)0f ≤是解题的关键.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅.若()()13,3,1a b =--=,，则a b ⨯=____________.【答案】2 【解析】 【分析】 计算3cos a b a bθ⋅==-⋅得到1sin 2θ=，代入公式得到答案. 【详解】(1a =--,，3,1b，则23cos a b a bθ⋅-===⋅ []0,θπ∈，故1sin 2θ=，故sin 2a b a b θ⨯=⋅⋅=.故答案为：2.【点睛】本题考查了向量的新定义，意在考查学生的计算能力和理解能力. 14. 若2a xdx =⎰，则()51x ay +-的展开式中22x y 的系数为___________.【答案】120- 【解析】 【分析】计算2a =，()521x y +-的展开式的通项为：()()51521rrrr T C x y -+=+⋅-，()52rx y -+的展开式的通项为：()5152mm r mm r T C xy --+-=⋅，计算得到答案.【详解】2220122a xdx x ===⎰，故()521x y +-的展开式的通项为：()()51521rrr r T C x y -+=+⋅-.()52rx y -+的展开式的通项为：()5152mmr mm r T C xy --+-=⋅，取2m =，1r =得到系数为：()2214521120C C ⋅⋅⋅-=-.故答案为：-120.【点睛】本题考查了定积分的计算，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 15. 在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11A D 的中点，若三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为_______________. 【答案】41π 【解析】 【分析】AC 中点1O 为ABC 外心，故球心O 在平面ABC 的投影为1O ，Q 为AD 中点，OM PQ ⊥于M ，连接1QO ，设1OO h =，则()22224R h =+-，()22222R h =+，解得答案.【详解】如图所示：AC 中点1O 为ABC 外心，故球心O 在平面ABC 的投影为1O ，QAD 中点，OM PQ ⊥于M ，连接1QO ，OC ，则12MO QO ==，122OC =， 设1OO h =，则()22224R h =+-，()22222R h =+，解得412R =， 故2441S R ππ==. 故答案为：41π.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.16. 已知1(3,0)A -，2(3,0)A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点，双曲线C 的渐近线上存在一点P 满足122||||PA PA =，则b 的最大值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意知：3a =，根据对称性不妨设渐近线为3by x =，设()3,P m bm ，代入计算得到()2227390270b mm +-+=，根据0∆≥得到答案.【详解】根据题意知：3a =，根据对称性不妨设渐近线为3by x =，设()3,P m bm ， 122||||PA PA =，则()()()()2222334334m bm m bm ++=-+，整理得到：()2227390270b mm +-+=，()22904272730b ∆=-⨯⨯+≥，解得4b ≤.故答案为：4.【点睛】本题考查了双曲线中参数的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在平面四边形ABCD 中，2BC =，23CD =，且AB BD DA ==.（1）若6CDB π∠=，求tan ABC ∠的值；（2）求四边形ABCD 面积的最大值. 【答案】（1）3-2）83【解析】【分析】（1）根据正弦定理得到3CBD π∠=，()tan tan ABC ABD CBD ∠=∠+∠，计算得到答案.（2）根据余弦定理得到216BD θ=-，计算3ABCD S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭四边形，计算得到答案.【详解】（1）在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin CD BCCBD BDC=∠∠，∴sin6sin 22CBD π∠==，∵0CBD π<∠<，∴3CBD π∠=或23CBD π∠=， 当23CBD π∠=时，此时、、A B C 三点共线，矛盾 ∴3CBD π∠=，∴()2tan tan tan tan 333ABC ABD CBD πππ⎛⎫∠=∠+∠=+==⎪⎝⎭.（2）设BCD θ∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD θ=+-⋅(2222216θθ=+-⨯⨯=-，∴11sin sin 22AB BCD BA CD D S S BC C B S D A BD θθ∆∆=+=⋅+⋅四边形 21sin 2BC CD θ=⋅+6cos 3πθθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭当56πθ=时，四边形ABCD 面积的最大值【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB △是等边三角形，BC ⊥AB ，BC CD ==2AB AD ==.（1）若3PB BE =，求证：//AE 平面PCD ； （2）若4PC =，求二面角A PC B --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（225【解析】 【分析】（1）作//EF PC ，交BC 于F ，连接AF ，分别证明//AF 平面PCD ，//EF 平面PCD ，进而可证明平面AEF //平面PCD ，可得//AE 平面PCD ；（2）计算可知222PC PB BC =+，所以BC PB ⊥，结合BC ⊥AB ，可知BC ⊥平面PAB ，从而可知平面PAB ⊥平面ABCD ，在平面PAB 内作Bz ⊥平面ABCD ，以B 点为坐标原点，分别以,,BC BA Bz 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，求出平面BPC 的法向量m ，平面APC 的法向量n ，再结合cos ,m n m n m n⋅=，可求出sin ,m n .【详解】（1）如图，作//EF PC ，交BC 于F ，连接AF . 因为3PB BE =，所以E 是PB 的三等分点，可得12333BF BC ==. 因为2AB AD ==，23BC CD ==AC AC =，所以ABC ADC △≌△， 因为BC ⊥AB ，所以90ADC ABC ∠=∠=︒，因为3tan23ABACBBC∠===，所以30ACB ACD∠=∠=︒，所以60BCD∠=︒，因为tan323ABAFBBF∠===，所以60AFB∠=︒，所以//AF CD，因为AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以//AF平面PCD.又//EF PC，EF⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以//EF平面PCD.因为AF EF F=，AF、EF⊂平面AEF，所以平面AEF//平面PCD ，所以//AE平面PCD .（2）因为PAB△是等边三角形，2AB=，所以2PB=.又因为4PC=，23BC=，所以222PC PB BC=+，所以BC PB⊥.又BC⊥AB，,AB PB⊂平面PAB，AB PB B⋂=，所以BC⊥平面PAB.因为BC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD.在平面PAB内作Bz⊥平面ABCD，以B点为坐标原点，分别以,,BC BA Bz所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz-，则(23,0,0)C，(0,2,0)A，3)P，所以(23,0,0)BC=，3)BP=，(23,2,0)AC=-，(0,3)AP=-.设111(,,)zm x y=为平面BPC的法向量，则m BCm BP⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=，即1113030xy z⎧=+=⎪⎨⎪⎩，令11z =-，可得(0,3,1)m =-.设222(,,)x n y z =为平面APC 的法向量，则00n AC n AP ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪=⎩，即2222200y y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， 令21z =，可得(1,3,1)n =.所以2c s ,o m n m n m n⋅===⨯，则1sin,m n =-=， 所以二面角A PC B --. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查利用空间向量求二面角，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.19. 2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急.为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下：（1）根据数据用最小二乘法求出y 与x 的线性回归方程y bx a =+（系数用分数表示，不能用小数）；（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测.第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，34，35，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为45，23，23.两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的分布列与数学期望.附：（1）1221ni ii ni i x y nx yb a y bx x nx==-==--∑∑,（2）882113471308i i i i i x y x ====∑∑，.【答案】（1）83107340340y x =+（2）分布列见解析，1310【解析】 【分析】（1）直接利用回归方程公式计算得到答案.（2）X 可取0,1,2,3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】（1）2361021131518118x +++++++==，112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==，由公式12221ˆ34781138313088b11340ni ii ni i x y nx yx nx==-⨯⨯==-⨯-=-∑∑， 83107ˆˆ311340340a y bx =-=-⨯=， ∴83107340340y x =+. （2）药品A 的三类剂型123A A A 、、经过两次检测后合格分别为事件123B B B 、、， 则()()()123142321322,,255432535p B P B P B =⨯==⨯==⨯=， 由题意，X 可取0,1,2,3，()()21232190115250p X p B B B ⎛⎫⎛⎫===--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()21231231232122121111125255250p X p B B B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=-⋅+-⋅⋅-⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()212312312321221821125255225p X p B B B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=⋅-+-⋅⋅⋅=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()212321235225p X p B B B ⎛⎫===⋅=⎪⎝⎭. X ∴的分布列为：X123p950 2150 825 22592182130123.5050255010EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查了回归方程，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20. 给定椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为(30)F ,，其短轴上的一个端点到F 的距离为6.（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12,l l 交“准圆”于点,M N . ①当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12,l l 的方程并证明12l l ⊥； ②求证：线段MN 的长为定值.【答案】（1）椭圆方程为22163x y +=，准圆方程为229x y +=；（2）①12:33:l y x l y x =+=-+,，证明见解析；②证明见解析【解析】 【分析】（1）根据题意c a b ===.（2）（ⅰ）设直线为3y kx =+，联立方程计算0∆=得到1k =±，得到答案.（ⅱ）考虑斜率存在和不存在两种情况，设点00(,)P x y ，切线为00()y t x x y =-+，联立方程得到2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=，20122616x t t x -⋅==--，得到直线12l l ，垂直，得到线段MN 为准圆的直径，得到答案.【详解】（1）3c a b ==∴=，∴椭圆方程为22163x y +=，准圆方程为229x y +=. （2）（ⅰ）因为准圆229x y +=与y 轴正半轴的交点为(03)P ，， 设过点(03)P ，且与椭圆相切的直线为3y kx =+， 所以由223163y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(12)12120k x kx +++=.因为直线3y kx =+与椭圆相切，所以22144412(12)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，所以12l l ，方程为33y x y x =+=-+，，121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥.（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l斜率不存在， 则1l ：x=1l ：x =1l与准圆交于点， 此时2l为y =y =，显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l ：x =12l l ，垂直 ②当12l l ，斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中22009x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+，所以由0022()163y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2220000(12)4()2()60t x t y tx x y tx ++-+--=.由0∆=化简整理得()22200006230x t x y t y -++-=，因为22009x y +=，所以有2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=.设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=， 所以20122616x t t x -⋅==--，即12l l ，垂直. 综合①②知：因为12l l ，经过点00()P x y ，，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直. 所以线段MN 为准圆229x y +=的直径，6MN ＝，所以线段MN 的长为定值6.【点睛】本题考查了椭圆方程，证明直线垂直，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21. 已知函数()sin axf x e x =.（1）若()f x 在,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上存在单调递增区间，某某数a 的取值X 围； （2）设1a ≥，若0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，恒有()f x bx ≤成立，求2b e a -的最小值. 【答案】（1）()∞（2）22e π-【解析】 【分析】（1）求导得到()()sin cos axf x e a x x '=+，根据题意得到sin cos 0a x x +>在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则min1tan a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，计算得到答案.（2）设()()g x f x bx =-，()()()sin cos axh x g x ea x xb ==+-'，计算得到()h x 单调递增，故()21,a g x b ae b π⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦'，讨论1b ≤，2a b ae π≥，21a b ae π<<三种情况，得到b 的取值X 围为22,a e ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，设()222a G a e e a ππ=-，根据函数的单调性得到答案.【详解】（1）由()sin axf x e x =，得()()sin cos axf x ea x x '=+，由()f x 在63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上存在单调递增区间，可得()0f x '>在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即sin cos 0a x x +>在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则min 1tan a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，∴a >∴a 的取值X围为()∞.（2）设()()sin axg x f x bx e x bx =-=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()sin cos axg x e a x x b =+'-.设()()sin cos axh x ea x xb =+-，则()()21sin 2cos 0ax h x e a x a x ⎡-'⎤=+≥⎣⎦， ∴()h x 单调递增，即()g x '在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ∴()21,a g x b ae b π⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦'.当1b ≤时，()0g x '≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()()00g x g ≥=，不符合题意； 当2ab ae π≥时，()0g x '≤，()g x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()00g x g ≤=，符合题意； 当21a b ae π<<时，由于()g x '为一个单调递增的函数，而()010g b ='-<，202a g ae b ππ⎛⎫='-> ⎪⎝⎭，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得()00g x '=，从而()g x 在[]00,x x ∈上单调递减，在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，因此只需02g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴22a e b ππ≤，∴22a b e ππ≥，从而222a a eb ae πππ≤<，综上，b 的取值X 围为22,a e ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，因此2222ab e a ee a ππ-≥-.设()222aG a ee a ππ=-，则()22aG a e e π-'=，令()0G a '=，则41a π=>，∴()G a 在41,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在4,π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 从而()242e G a G ππ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，∴2b e a -的最小值为22e π-.【点睛】本题考查了根据单调区间求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为8,242x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若射线4πθ=（0ρ>）与直线l 和曲线C 分别交于A ，B 两点，求AB 的值.【答案】（1）40x y +-=（0x ≠），2220x y y +-=；（2. 【解析】 【分析】（1）将直线l 的参数方程消参，即可得直线l 的普通方程，要注意0x ≠；将曲线C 的极坐标方程两边同乘ρ，再将sin y ρθ=，222x y ρ+=代入，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）先将直线l 的直角坐标方程化为极坐标方程，再将4πθ=（0ρ>）代入直线l 和曲线C的极坐标方程中，可得点A ，B 对应的极径，利用||A B AB ρρ=-计算，即可求解.【详解】（1）由82x t=+得0x ≠， 将8,242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）消去参数t ， 得直线l 的普通方程为40x y +-=（0x ≠）.由2sin ρθ=得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，得2220x y y +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=.（2）由（1）可知直线l 的普通方程为40x y +-=（0x ≠）， 化为极坐标方程得cos sin 40ρθρθ+-=（2πθ≠），当4πθ=（0ρ>）时，设A ，B 两点的极坐标分别为,4A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，,4B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，则A ρ=2sin4B πρ==，所以|||A B AB ρρ=-==【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化及参数的几何意义，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于常考题. 23. 已知()|||2|f x x x =+-. （1）求不等式|4|()x f x x>的解集； （2）若()f x 的最小值为M ，且22(,,)a b c M a b c ++=∈R ，求证：22249a b c ++≥.【答案】（1）(,0)(3,)-∞⋃+∞；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分0x <、02x <≤和2x >三种情况，分别解不等式，进而可得出答案； （2）先求出()f x 的最小值，可求出的M 的值，再结合柯西不等式，可证明结论. 【详解】（1）当0x <时，|4|()x f x x>等价于|||2|4x x +->-，该不等式恒成立； 当02x <≤时，()|||2|2f x x x =+-=，则|4|()x f x x>等价于24>，该不等式不成立； 当2x >时，()|||2|22f x x x x =+-=-，则|4|()x f x x >等价于2224x x >⎧⎨->⎩，解得3x >， 所以不等式|4|()x f x x>的解集为：(,0)(3,)-∞⋃+∞. （2）因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=，当02x ≤≤时取等号，所以2M =，222a b c ++=，由柯西不等式可得22222222224(22)(122)()9()a b c a b c a b c =++≤++++=++，当且仅当244,,999a b c ===时等号成立，所以22249a b c ++≥.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想的应用，考查学生的推理论证能力，属于基础题.。

2019－2020届临川一中上学期第一次联合考试数学答案（理）二、填空题13．－221 14．2315．16．2三、解答题17．解（1）∵a cos B ＝(4c －b )cos A ，由正弦定理得：sin A cos B ＝(4sin C －sin B )cos A ，…………2分即sin A cos B ＋cos A sin B ＝4sin C cos A ，即sin C ＝4 cos A sin C ，…………4分在中，，所以cos A ＝41…………………………5分（2）→AB ＋→AC ＝2→AM，两边平方得：……6分由b ＝4，|→AM |＝，cos A ＝41得c 2＋b 2＋2×c ×b ×41＝4×10， (8)分可得c 2＋16＋2c ＝40……………………10分解得：c ＝4或c ＝－6（舍） ………………11分所以△ABC 的面积s ＝21bc sin A ＝2 ………………12分18．解：(1)证明：∵AC ＝2，BC ＝2，AB ＝6，∴AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴∠ACB ＝90°，∴cos ∠ABC ＝63＝33.又易知BD ＝2， ∴CD 2＝22＋(2)2－2×2×2cos ∠ABC ＝8， ∴CD ＝2，又AD ＝4， ∴CD 2＋AD 2＝AC 2， ∴CD ⊥AB .∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，CD ⊂平面ABC ， ∴CD ⊥平面PAB ，又PD ⊂平面PAB ，∴CD ⊥PD ，∵PD ⊥AC ，AC ∩CD ＝C ，∴PD ⊥平面ABC .……………………5分 (2)由(1)知PD ，CD ，AB 两两互相垂直， ∴可建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，∵直线PA 与平面ABC 所成的角为45°，即∠PAD ＝45°， ∴PD ＝AD ＝4，则A (0，－4,0)，C (2，0,0)，B (0,2,0)，P (0,0,4)，∴―→CB ＝(－2，2,0)，―→AC ＝(2，4,0)，―→PA＝(0，－4，－4)． ∵AD ＝2DB ，CE ＝2EB ， ∴DE ∥AC ，由(1)知AC ⊥BC ， ∴DE ⊥BC ，又PD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PD ⊥BC ， ∵PD ∩DE ＝D ， ∴CB ⊥平面PDE ，∴―→CB＝(－2，2,0)为平面PDE 的一个法向量． 设平面PAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则―→AC ―→PA ＝0，PA 即－4y －4z ＝0，2x ＋4y ＝0，令z ＝1，得x ＝，y ＝－1， ∴n ＝(，－1,1)为平面PAC 的一个法向量． ∴cos<n ，―→CB >＝12－4－2＝－23，∴平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角的余弦值为23，故平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角为30°.……………………12分19．解：由e ＝a c ＝23，又由于a ＞b ＞0，一个长轴顶点在直线y ＝x ＋2上，可得：a ＝2，c ＝，b ＝1（1）故此椭圆的方程为4x2＋y 2＝1………………5分（2）设P (x 1，y 1)，Q (x 1，y 1)，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m 联立椭圆的方程得： (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0由△＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)( 4m 2－4)＞0，可得m 2＜4k 2＋1则x 1＋x 2＝－4k2＋18km ，x 1·x 2＝4k2＋14m2－4|PQ |＝·|x 1－x 2|＝·＝4·4k2＋14k2－m2＋1又点O 到直线y ＝kx ＋m 的距离d ＝k2＋1|m|S △OPQ ＝21·d ·|PQ |＝2|m |·4k2＋14k2－m2＋1由于k 1·k 2＝x1x2y1y2＝x1x2x1＋x2＋m2＝－ 41，可得：4k 2＝2m 2－1 故S △OPQ ＝2|m |·2m22m2－1－m2＋1＝1当直线PQ 的斜率不存在时，可算得：S △OPQ ＝1故△OPQ 的面积为定值1……………………12分20．（1）X 可能取值为3，4，5，6P (X ＝3)＝(31)3 ＝271P (X ＝4)＝C 31 (32)(31)2＝276…………1分 P (X ＝5)＝C 32 (32)2(31) ＝2712 P (X ＝6)＝ (32)3 ＝278…………2分E (X )＝5………………4分（2）①总分恰为m 的概率A m ＝(31)m ……………………6分 故S 6＝31＝729364……………………8分②已调查过的累计得分恰为n 分的概率为B n ，得不到n 分的情况只有先得n －1分，再得2分，概率为32B n －1，而B 1＝31…………9分 故1－B n ＝32B n －1，即B n ＝－32B n －1＋1…………10分 可得B n －53＝－32( B n －1－53)，B 1－53＝－154…………11分可得B n ＝53＋52·(－32)n ……………………12分21．解：（1）f / (x )＝x ln x －a ln x ＋a －x ＝(x －a )(ln x －1)，x ∈(0，＋∞)………………1分 ①当a ＝e 时，f / (x ) ＝(x －e )(ln x －1)≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增…………2分②当a ≤0时，x －a ＞0，f (x )在(0，e ) 上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增…………3分 ③当0＜a ＜e 时， f (x )在(a ，e ) 上单调递减，在(0，a )，(e ，＋∞)上单调递增…………4分 ④当a ＞e 时， f (x )在(e ，a ) 上单调递减，在(0，e )，(e ，＋∞)上单调递增…………6分（2）假设存在a ∈(－∞，e ]，使得f (x )＞3＋41sin 4aπ对任意x ∈[1，＋∞)恒成立 则f (1)＝2a －43＞3＋41sin 4aπ，即8a －sin 4aπ－15＞0…………7分 设g (x )＝8x －sin 4πx －15，g / (x )＝8－4πcos 4πx＞0，则g (x )单调递增由于g (2)＝0，所以a ＞2①当a ＝e 时，f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)，所以a ＞2， 从而a ＝e 满足题意…………8分②当2＜a ＜e 时， f (x )在(a ，e ) 上单调递减，在(0，a )，(e ，＋∞)上单调递增所以414aπ414aπ4aπ，可4aπ－e2－12＞0aπ（1）…………9分设h (x )＝4ex －sin 4πx －e 2－12，h /(x )＝4e －4πcos 4πx＞0，则h (x )是单调递增函数…………10分由于h (2)＝8e －e 2－13＞0可得h (x )的零点小于2，从而不等式组（1）的解集为(2，＋∞) 所以2＜a ＜e …………11分综上，存在a ∈(－∞，e ]，使得f (x ) ＞3＋41sin 4aπ对x ∈[1，＋∞]恒成立，且a 的取值范围是(2，e ] …………12分 22．(1)C ：x 2＋y 2＝1，曲线C 1：y/＝sinαx/＝2cosα，得x /2＋4y /2＝4…………2分即ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4………………5分（2）ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4θ＝β，有ρ21＝4cos2θ＋sin 2θ…………7分 ∴|OA|21＝4cos2θ＋sin 2θ，…………8分同理|OB|21＝2＋sin 2(θ＋2π)＝4sin2θ＋cos 2θ…………9分故|OA|21＋|OB|21＝45………………10分23．（1）f (x )＝|x －2|＋|x －1|≥5可解得x ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)…………5他（2）由|x －a a2＋1|＋|x －1|≤4－|x ＋1|在[1，2]上恒成立，由于a ＞0，可得a a2＋1≥2…………6分等价于a a2＋1－x ＋x －1≤4－x －1在[1，2]上恒成立…………7分即a a2＋1≤4－x 在[1，2]上恒成立，…………8分 即a a2＋1≤2，可得a ＝1，…………9分故a 的取值集合为{1}…………10分。

我爱我师 教学目标 教学设计思路 新课程确立了知识，能力，情感、态度、价值观三位一体的课程与教学目标，这是发展性教学的核心内涵。

体现在课堂教学目标上，就是注重追求知识，能力，情感、态度、价值观三个方面的有机整合，突出学生能力方面的培养。

学习本框题有三重目标：一、是让学生通过课前对教师的访谈，使学生更深入地了解教师；二是让学生在讨论的基础上明确教师的地位是不可取代的。

三是让学生在爱师的基础上，让学生发自内心地赞美教师，并用实际行动来回报，真正让学生达到“我知我师，我爱我师”。

这三重目标是层层递进，环环相扣，相辅相成的。

针对这个情况，本人拟通过情景教学法、讨论法、启发式谈话法使目标达成，但是由于学生存在个体差异，在每一个目标达成的过程中，其体验也不尽相同。

因此在整个教学过程中，始终要坚持以学生为主体，注重学生的个体差异的原则。

教学准备 安排学生分小组对某一位老师进行深入的访谈，并作访谈记录；要求对访谈记录进行整理； 收集歌颂教师的诗歌和事迹，信息时代对教师职业冲击的材料，了解本班同学与任课教师之间的关系。

教学方法与策略 （1）采用情境教学方式。

（2）采用案例教学方式。

（3）注重培养学生创新思维能力。

（4）采用亲身体验教学方式。

（5）坚持以正面教育为主。

教学过程 师引入：爱是世界上最美的情感，同学们，世界上有一种爱，比父爱更严峻，比母爱更细腻，比友爱更纯洁。

它是严冬里的碳火，酷暑里的浓荫，雾海中的航灯。

这种爱，太阳一般温暖，清泉一般甘甜。

大家想一想，这是一种什么爱呢？ 生：师爱。

师：对，老师是最值得我们感恩和爱戴的人。

老师给了我们智慧和开启知识大门的金钥匙，教给我们做人的道理，引领我们走好人生之路。

这是一种最伟大、最无私的爱，是一份博大宽广的爱。

我们是怎样与老师相处的呢？我们应当怎样热爱尊敬我们的老师呢？这是本节课我们所要探究、学习的问题。

（设计意图：通过创设音乐情境，营造出温馨、和谐的氛围，调动学生的情绪，激发学生强烈的求知欲望，从而使学生在高度热情的状态下进入新课。

江西省临川一中2020届高三下学期联合检测数 学（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为 120分钟。

2．本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内， 做在第Ⅰ卷的无效。

3．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡相应的位置。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。

1．已知集合{}1->∈=x Z x A ,集合{}2log 2<=x x B ，则=B A I A ．{}41<<-x xB ．{}40<<x xC ．{}3,2,1,0D ．{}3,2,1 2．设复数)(1R b bi z ∈+=，且i z 432+-=，则z 的虚部为 A ．i 2B ．i 2-C ．2D ．2-3．在等比数列}{n a 中，11=a ，2715386=++a a a a ，则6a 的值为 A ．271B ．811 C ．2431D ．7291 4．右图的框图中，若输入1615=x ，则输出的i 值为A ．3B ．4C ．5D ．65．已知8.0log 3=a ，8.03=b ，1.23.0=c ，则A ．c ab a <<B ．c b ac <<C ．C a ab <<D ．b ac c <<6．已知某函数的图像如图所示，则其解析式可以是 A ．)sin(xx e e y -+= B ．)sin(xxe e y --= C ．)cos(xxe e y --= D ．)cos(xxe e y -+=7． 《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式h L y 2361≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周 率π近似值为.3那么近似公式h L v 21123≈相当于将圆锥体积公式中的π近似值为 A ．722B ．825C ．928D ．27828．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，)1(+x f 是偶函数，且当(]1,0∈x 时，23)(-=xx f ， 则=+)2020()2019(f fA ．1-B ．0C ．1D ．29．甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制，在一局比赛中，先得l1分的运动员为胜方， 但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个 球，若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为21，甲接发球赢球的概率为,52则在比分为10:10后 甲先发球的情况下，甲以13:11赢下此局的概率为 A ．252B ．103C ．101 D ．253 10．己知()、0,1x A ()0,2x B 两点是函数()()),0(,01sin 2)(πϕωϕω∈>++=x x f 与x 轴的两个交 点，且满足3min21π=-x x ，现将函数)(x f 的图像向左平移6π个单位，得到的新函数图像关于 y 轴对称，则ϕ的可能取值为 A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π11．已知直线a x 2=与双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线交于点,P 双曲线C 的左，右焦点分别为21,F F ,且41cos 2-=∠F PF ，则双曲线C 的渐近线方程为A ．x y 15±=B ．x y 11153±= C ．x y 11152±= D ．1115315±=±=或x y12．已知R k ∈，设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤+-=1,)1(1,22)(32x e e k x x k kx x x f x ，若关于x 的不等式0)(≥x f 在R x ∈上恒成立，则k 的取值范围为 A ．],0[2eB ．],2[2eC ．]4,0[D ．]3,0[第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置． 13．已知向量)1,1(-=a ，向量)1,0(=b =-b a14．已知抛物线)0,(:2=/∈=m R m mx y C 过点)4,1(-P ,则抛物线C 的准线方程为 15．已知数列{}n a ,{}n b ,其中数列{}n a 满足)(10++∈=N n a a n n ,前n 项和为n S 满足21ln 22+--=n S n )10,(≤∈+n N n ；数列{}n b 满足)(12++∈=N n b b n n ，且,11=b )12,(,1.1≤∈+=++n N n b n n b n n ，则数列}{n n b a ⋅的第2020项的值为 16．如图，四棱锥ABCD P -中，底面为四边形ABCD .其中 ACD ∆为正三角形，又AB DB DC DB DB DA ⋅=⋅=⋅3 设三棱锥ABCD P -,三棱锥ACD P -的体积分别是,1V2V ,三棱锥ABD P -，三棱锥ACD P -的外接球的表面积分别是21,S S .对于以下结论：①21V V <;②21V V =;③21V V >;④21S S <;⑤;21S S =⑥21S S >其中正确命题的序号为三、解答题：共70分。