【教育课件】苏科版数学八年级上册1.3《探索三角形全等的条件》2课件.ppt

1.3 探索三角形全等的条件(2)
通过本节课的学习你有什么体会？
初中数学 八年级(上册)
1.3 探索三角形全等的条件(2)
三角形全等的判定方法一：
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 （简写成“边角边”或“SAS”）．
1.3 探索三角形全等的条件(2)
问题情境：
（1）如图，AB＝AC，还需补充条件
根据“SAS ”证明△ABE≌△ACD.
，就可1.3 探索三角形来自等的条件(2)A12
B
D
E
C
1.3 探索三角形全等的条件(2)
合作探究： 例2 已知：如图，AB、CD相交于点E，且
E是AB、CD 的中点．
求证：①△AEC ≌△BED ． ②AC∥DB．
1.3 探索三角形全等的条件(2)
合作探究：
例3 已知：如图，点E、F在CD上，且CF ＝ DE，AE ＝BF, AE ∥BF. ①求证：△AEC ≌△BFD ． ②你还能证得其他新的结论吗？
问题情境： （2）“三月三，放风筝．”如图是小东同学自己动手制 作的风筝，他根据AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，不用度 量，就知道AD＝CD．请你用所学的知识给予说明．
1.3 探索三角形全等的条件(2)
合作探究：
例1 如图，已知：点D、E在BC上，且BD＝CE，AD ＝AE，∠1＝∠2，由此你能得出哪两个三角形全等？ 请给出证明．

N P
G Q
A
B
1. 如图,AC与BD相交于点 O，已知OA=OC，OB=OD ，说明△AOB≌△COD的 D 理由。
O C
注意: 要充分利用图形中“对顶角相 等”这个条件.
2、如图：AB=AC，AD=AE，△ABE和
△ACD全等吗？请说明理由。
你还能得到哪些相等 B
的线段?说明理由.
D
A
E C
1.3探索三角形全等的条件 （1.1）
A
D
B
C
E
F
已知： △ABC≌ △DEF 找出其中相等的边和角
△ABC≌ △DEF
AB=DE,BC=EF,CA=FD ∠ A= ∠ D, ∠ B= ∠ E, ∠ C= ∠ F
反之，判别两个三角形全等需要哪些条件？
大家一起做下面的实验：
1、画∠MAN=45°；
A
分析:△ ABD ≌△ CBD
B
(SAS) 边: AB=CB (已知)
角: ∠ABD=∠CBD (已知)
边: ？
现在例1的已知条件不改变,而问题改变成:
问:AD与CD相等吗，BD平分∠ADC吗？
D C
例题推广
已知：如图,AB=CB,∠ABD=∠CBD . 问: AD与CD相等吗？
A
BD 平分∠ ADC 吗？
练一练1: 在下列三角形中,哪两个三角形 全等?
4
5
⑴
⑵
6 4
⑶
⑷
⑸
⑹
解:全等的三角形有:⑴和⑷, ⑶和⑸.
两边以及其中一边的对角对应相等的两 个三角形全等吗？
以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长 度为2.5cm的边所对的角为40°，情 况又怎样？动手画一画，

能完全重合.
1 . 3 探索三角形全等的条件 操 作 按下列作法，用直尺和圆规作
△ABC，使 AB＝a，∠A＝ ∠α，∠B＝∠β.
作法
图形
1.作AB＝α. 2. 在AB的同一侧分别作∠MAB＝
∠α，∠NBA＝∠β，AM、BN 相交于点C. △ABC 就是所求作的三角形.
1 . 3 探索三角形全等的条件 你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗?
1 . 3 探索三角形全等的条件 本课小结
全等三角形
利用两角一边判 定，三角形全等
两角及其夹边 (ASA)
两角和其中一角 的对边(AAS)
1 . 3 探索三角形全等的条件
证明：∵DE//AC，DF// AB(已知)， ∴∠EDB＝∠C，∠B＝∠FDC
(两直线平行，同位角相等).
∵D 是 BC 的中点(已知)， ∴BD＝DC(线段中点的定义). 在△EBD 和△FDC 中，
1 . 3 探索三角形全等的条件
∠EDB＝∠C (已证). BD＝DC (已证)， ∠B＝∠FDC (已证)， ∴△EBD ≌△FDC (ASA). ∴ BE＝DF，DE＝CF
∴△ACD≌△ABE (ASA). ∴AD＝AE.
1 . 3 探索三角形全等的条件
练 习
1. 找出图中的全等三角形，并说明理由.
1 . 3 探索三角形全等的条件 解：图中全等二角形共有三组： (1) ①与⑥全等.
理由如下：在△ABC 和△MNG 中， ∠A＝∠M， AB＝MN， ∠B＝∠N，
∴△ABC ≌ △MNG(ASA).
能
1 . 3 探索三角形全等的条件
1 . 3 探索三角形全等的条件
例6 已知：如图1－16，点A、B、C、D 在一条直 线上，EA ∥FB，EC∥FD，EA＝FB.

B A E C D
1.3 探索三角形全等的条件（3）
根据要求画图
（1）作AB＝3 cm （2）在AB的同一侧分别作∠MAB＝450 ， ∠NBA＝ 600 ，AM、BN相交于点C．
基本事实：
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
（简写成“角边角”或“ASA”） ．
1.3 探索三角形全等的条件（3）
初中数学
八年级(上册)
1.3
探索三角形全等的条件(2)
复习：
判断两个三角形全等，需要具备什么条件？
基本事实： 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 （简写成“边角边”或“SAS”） ．
1.3 探索三角形全等的条件(2)
如图，AC＝AD，还需补充条件____，就可根据“SAS ” 证明△ABC≌△AED.
E F
B
D
C
例1：如图,O是AC的中点，∠A=∠C， 点O也是BD的 A 中点吗？为什么？
B D C
O A D
E
B
F
C
例2：已知：如图，在△ABC中，F是BC的中点，点 D、E分别在AB、AC上，且DF//AC，EF//AB． 求证：BD＝FE．
1.3 探索三角形全等的条件(1)
变式拓展：
如图，已知∠BAC ＝∠DAC，图中的两个三 角形全等吗？
D
A
C
B
1.3 探索三角形全等的条件(2)
变式拓展：
已知：如图，点E、F在CD上，且DE ＝CF， AC ∥BD，图中的两个三角形全等吗？
A F E D B CLeabharlann 学科网①②
分别挡住两个三角形的一部分，你能还 原它们的本来形状吗？
1.3 探索三角形全等的条件（3）

1、画∠MAN=45O；
2、在AM上截取AB=8cm； 在AN上截取AC=6cm；
3、连接BC。
剪下所得的△ABC，与 周围同学所剪的比较一下， 它们全等吗？
N
C\
45O
A
B′ M
两边和它们的夹角对应相等的两个三角 形全等，简写成“边角边”或“SAS”
A
D
\\
\\
B
\
CE
\
F
在△ABC和△ DEF中，
A
△ABC≌ △ADC，
因为AB=AD∠BAC=∠DAC，
AC=AC，
B
D 根据“SAS”，可以得到
C
△ABC≌ △ADC，
1、如图：AB=AC，AD=AE，△ABE和△ACD全 等吗？请说明理由。
B D
△ABE≌ △ACD，
因为AB=AC∠BAE=∠CAD， A AE=AD，
E
根据“SAS”，可以得到
：
两个三角形，需要有多少组边或角对应 相等时，才一定会全等呢？
三角形共有6个元素(3条边、3个角)
两边和它的夹角
两边一角 两边和它一边的对角
共有4
角角角
研究下面的两个三角形：
\\
\\
\
\
有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形一定全等吗？
大家一起做下面的实验：
(2)当两个三角形有2组边或角相等时， 它们全等吗？
（两个角对应相等）
//
//
（两条边对应相等）
两个角对应相等的两个三角形不一定全等；
两条边对应相等的两个三角形不一定全等；
（2)当两个三角形有1组边和1个
角相等时，它们全等吗？
①

A
D
B
E
F
C
巩固提高
已知：三角形ABC是等腰三角形，
其中AB=AC。∠B和∠C相等吗？说明 提示：过点A
你的理由。
A 作AD⊥BC。
B D
C
归纳小结
通过这节课的学习， 你有什么收获吗？
已知：如图∠ACB= ∠BDA= 90°，要使 △ABC ≌ △BAD，还需要增加一个什么条件？ 把增加的条件填在横线上，并将相应的根据填 在括号内。
A
理由:∵ A B⊥AC，CD ⊥AC
∴∠1=∠2=90°
1
在Rt△BAC与Rt△DCA中B CB＝AD（已知）
D
2
C
AC=CA(公共边) ∴Rt△BAD≌Rt△DCA (HL)
例2、如图，AD 、BC相交于点O，AC⊥BC， AD⊥BD，垂足分别为C、D，AC = BD. Rt△ABC与Rt△BAD全等吗？ AO=BO，CO=DO吗？
E
1 ∠CAB= ∠DBA （ AAS ）
2 ∠CBA= ∠DAB （ AAS ）
3 AC=BD （ HL ）
4 CB=DA （ HL ）
F
图中还有全等的三角形吗?
发挥你的聪明才智！
如图，∠C=∠D=90度，A, C=AD, 请你
添加一个条件使△ABC 与△ABD全等,并
说说你的理由.
C
A
B
D
A
B
O
C
D
1、如图,AC=AD,∠C=∠D=90°,试 说明BC与BD相等
2、如图:AB=DF,CF=EB,AC⊥CE,DE ⊥CE,垂足分别为C,E.△ABC和△DFE 全等吗,为什么？
数学实验室
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向 的长度DF相等，两个角∠ABC和∠DEF大小有什么关系？

A
D
O
B
C
拓展延伸：
如图，AB=AD，CB=CD，E是AC上一
点，BE与DE相等吗？
A
E
B
C
D
小结： ⒈判定两个三角形全等必须具备三个条件：
SAS—两边和它们的夹角对应相等的两个 三角形全等
ASA—两角和它们的夹边对应相等的两个 三角形全等
AAS—两角和其中一角的对边对应相等的 两个三角形全等
SSS—三边对应相等的两个三角形全等
F
上面的结论告诉我们，如果一个三角形 三边的长度确定，那么这个三角形的形状 和大小就完全确定。如左图是用3根木条 钉成的框架，它的形状和大小完全确定。
三角形的这种性质叫做：三角形的稳定性
如右图四边形是否具有稳定性？
四边形和其它多边形都不具有稳定性
试一试 四边形不具有稳定性，你能想出什
么方法让它们的形状不发生改变吗？
小结：
⒉已知三边长，会用直尺和圆规作三角形。
⒊了解 了三角形的稳定性，及其在生产和 生活中的广泛应用。
⒋善于从题意中找出条件,要注意充分利用 隐含条件.如公共边,公共角,对顶角等.
三、知识应用
2．如图，C点是线段BF的中点，AB＝DF，
AC＝DC.△ABC和△DFC全等吗？
A
D
B EC F
变式2：若将上题中的三角形继续向左平移（如图）， 若AB＝DC，AC＝DB， 问：△ABC≌△DCB 吗？
练习:
1.如图,AB=AC，AD=AE，
BD=CE，那么∠ BAC= ∠ DAE。
尝试练习
1.已知：如图，AB＝CD，AD＝CB，
求证：∠B＝∠D.
D
C 证明：连结AC，

已知：△ABC与△DEF中， AB＝DE，
∠A＝∠D，BC＝EF. 根据条件能判断两个三角形全等吗？
A
D
B
C
E
F
1.3 探索三角形全等的条件（4）
已知：△ABC与△DEF中， ∠A＝∠D， BC＝EF , ∠B＝∠E
根据条件能判断两个三角形全等吗？
A
D
B
C
E
F
推论（定理）：“角角边”或“AAS”．
初中各学科优质课件
初中课件
初中数学 八年级(上册)
1.3 探索三角形全等的条件(3)
学科网
复习：
我们们学习了哪几种方法来判断两个三角 形全等？
基本事实：
1、 “边角边”或“SAS” 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
2、“角边角”或“ASA” 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
1.3 探索三角形全等的条件（4）
两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等．
1.3 探索三角形全等的条件（4）
1、如图，已知∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，
（1）根据“ASA”, 判断△ABC≌△DEF，
应补充一个直接条件___________；
（2）根据“AAS”，判断△ABC≌△DEF，
应补充一个直接条件__________； 学科网
求证：AD＝PE
1.3 探索三角形全等的条件(2)
如图，AB＝AE，∠C= ∠D，
求证：△ABC≌△AED.
D
B A
E C
感谢各位老师！
祝： 身体健康
万事如意
（3）根据“SAS”,判断△ABC≌△DEF， A
应补充一个直接条件___________；
F

求证：∠B＝∠C.
问：除可证得AD ⊥ BC
外，还可得到哪些结论？
证明：作△ABC 的中线AD．
在△ABD和△ACD中，
A
AB＝AC（已知），
BD＝CD（辅助线作法），
AD＝AD（公共边）， B
∴ △ABD ≌△ ACD（SSS）．
D
C
∴ ∠B＝∠C （全等三角形的对应角相等）．
1.3 探索三角形全等的条件（6）
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F（全等三角形的对应角相等)
知识回顾
两个三角形全等需要三个条件：
(1)两边一角：边角边 角边角
(2)两角一边： 角角边
思考：三条边对应相等的两个三角形全等吗？
1.3 探索三角形全等的条件（6）
自主探究
用直尺和圆规作△ABC，使AB＝c，AC＝b,BC＝a.
a
步骤：
苏科版初中数学 八年级(上册)
1.3 探索三角形全等的条件（sss）
知识回顾
1、 全等三角形的定义
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
2、 全等三角形有什么性质？
A
D
B
C
E
F
如图,已知△ABC≌△DEF
问题1：其中相等的边有：
(全等三角形的对应边相等）
AB=DE, BC=EF, AC=DF 问题2：其中相等的角有：
1.3 探索三角形全等的条件（6）
知识应用
2．如图，C点是线段BF的中点，AB＝DF，
AC＝DC.△ABC和△DFC全等吗？
A
D
B EC F
变式2：若将上题中的三角形继续向左平移（如图）， 若AB＝DC，AC＝DB， 问：△ABC≌△DCB 吗？

角平分线AD，并说明正确的理由.
B
作法：
A
C
1、以点A为圆心，适当的长为半径， 与角的两边分别交于E、F两点.
1
2两、条分圆别弧以交E于、∠F为BA圆C心内，一大点于D.2 EF长为半径作圆弧，
3、过点A、D作射线AD.
射线AD为所求的平分线.
请同学们说说理由
学以致用
1.如图，有一个三角形钢架，AB =AC ，AD 是连接 点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ．
例题学习
例1、如图，在四边形ABCD中，AB=CD，
AD=CB，则∠A= ∠C，请说明理由.
解：在△ABD和△CDB中，
AB=CD （已知）
A
AD=CB（已知）
D
C
B
BD=DB（公共边）
∴ △ABD ≌ △CDB（SSS） ∴ ∠A= ∠C （全等三角形的对应角相等）
例2、 已知∠BAC，用直尺和圆规作∠BAC的
（2）在（1）的基础上， F
求证：AB∥EF．
E
C
D A
B
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）探索三角形全等的条件，其基本思路是什么？ （3）“SSS”判定方法有何作用？
画法: （1）画线段B′C′=BC ；
（2）分别以B′、C′为圆心，BA、BC 为半径画弧，两
弧交于点A′；
（3）连接线段A′B′，A′Ｃ′.
注：过程详见平台上对应动画
探究归纳
思考 作图的结果反映了什么规律？你能用文字语 言和符号语言概括吗？
边边边公理： 三边对应相等的两个三角形全等．简写为“边边 边”或“SSS”.
用符号语言表达: