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一元二次函数的图像和性质

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§ 3.4一元二次函数的图象和性质 复习目标 1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。

知识回顾

1．函数)0(2acbxaxy叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3．任何一个二次函数)0(2acbxaxy都可把它的解析式配方为顶点式：

abacabxay44)2(22，

性质如下： （1）图象的顶点坐标为)44,2(2abacab，对称轴是直线abx2。 （2）最大（小）值 ① 当0a，函数图象开口向上，y有最小值，abacy442min，无最大值。

② 当0a，函数图象开口向下，y有最大值，abacy442max，无最小值。 （3）当0a，函数在区间)2,(ab上是减函数，在),2(ab上是增函数。 当0a，函数在区间上),2(ab是减函数，在)2,(ab上是增函数。 【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。 2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴； 但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。

例题精解 一、一元二次函数的图象的画法 【例1】求作函数64212xxy的图象

【解】 )128(21642122xxxxy 2-4)(214]-4)[(21 2222xx 以4x为中间值，取x的一些值，列表如下： x … -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 …

y …

25 0 23 -2 23 0 2

5 …

【例2】求作函数342xxy的图象。 【解】)34(3422xxxxy 7)2[(]7)2[(22xx 先画出图角在对称轴2x的右边部分，列表

【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表； (3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。 二、一元二次函数性质

【例3】求函数962xxy的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。

【解】 7)3(79626222xxxxxy 由配方结果可知：顶点坐标为)73(，，对称轴为3x； 01 ∴当3x时， 7miny 函数在区间]3(，上是减函数，在区间)3[，上是增函数。 【例4】求函数1352xxy图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的单调区间。 103)5(232ab，2029)5(431)5(44422abac ∴函数图象的顶点坐标为)2029,103(，对称轴为2029x 05 ∴当103x时，函数取得最大值2029mazy 函数在区间]103,(上是增函数，在区间),3[上是减函数。 【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：

x -2 -1 0 1 2

y 7 6 5 4 3 (1) 配方法；如例3 (2) 公式法：适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例4，可避免出错。

任何一个函数都可配方成如下形式：)0(44)2(22aabacabxay 三、二次函数性质的应用 【例5】(1)如果cbxxxf2)(对于任意实数t都有)3()3(tftf，那么（ ）

（A）)4()1()3(fff （B） )4()3()1(fff （C）)1()4()3(fff （D）)1()3()4(fff 【解】 ∵)3()3(tftf对于一切的Rt均成立 ∴ )(xf的图像关于3x对称 又01a ∴ 抛物线开口向上。 ∴ )3(f是)(xf的最小值。

3431， ∴ )1()4()3(fff (2)如果cbxxxf2)(对于任意实数t都有)2()2(tftf，则)1(f )1(f。(用“”或“”填空)

【解】∵)2()2(tftf对于一切的Rt均成立 ∴ )(xf的图像关于2x对称 又01a ∴ 抛物线开口向下。 )2(1)2(1，

∴ )1()1(ff 【点评】1.当0a时，对称轴通过它的最低点(此时函数有最小值)，如果这时有一个点离图象对称轴越远，则对应的函数值就越大。如例5(1)中当1x所对应的点比当4x所对应的点离对称轴远，所以1x时对应的函数值也比较大。 2．1.当0a时，对称轴通过它的最高点(此时函数有最大值)，如果这时有一个点离图象对称轴越远，则对应的函数值就越小。如例5(2)中当1x所对应的点比当1x所对应的点离对称轴远，所以1x对应的函数值也比较小。

【例6】求函数522xxy 在给定区间]5,1[上的最值。 【解】（1）原函数化为615222xxxy ∵01a ∴ 当1x时，6miny 又∵1511 ∴当5x时，106)15(2maxy （2）原函数可化为：910)31(2xy，图象的对称轴是直线31x 注意到当21x时，函数为减函数 ∴313134412322)2(2minfy

【例7】已知函数1)2(2nxxny是偶函数，试比较)2(f，)2(f，)5(f的大小。 【解】解法一：∵1)2(2nxxny是偶函数，

∴ 0n, ∴122xy ∴ 可知函数的对称轴为直线0x 又∵02a，020205

∴)5()2()2(fff 解法二： ∵32)1(2mxxmy是偶函数， ∴ 0n, ∴122xy 可知122xy在),0(上单调递减 又∵1)2(2nxxny是偶函数， ∴)5()5(ff 而225 ∴)5()2()2(fff ∴)5()2()2(fff 三、一元二次函数、一元二次方程的关系。 【例8】求当k为何值时，函数kxxy422的图象与x轴(1)只有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)没有公共点. 【解】令0422kxx，则022kxx的判别式kacb81642 (1)当0，即0816k，2k时，方程有两个相等的实根，这时图象与x轴只有一个公共点； (2) 当0，即0816k，2k时，方程有两个不相等的实根，这时图象与x轴有两个公共点； (3) 当0，即0816k，2k时，方程有两个不相等的实根，这时图象与x轴无公共点；

同步训练 一．选择题 1．二次函数522xxy的值域是（ ）

Ａ．)4，　［ Ｂ．),4( Ｃ．(4， ］ Ｄ．)4,(　 2．如果二次函数452mxxy在区间)1,(上是减函数，在区间),1[上是增函数，则m（ ） Ａ．2 Ｂ．-2 Ｃ．10 Ｄ．-10

3．如果二次函数)3(2mmxxy有两个不相等的实数根，则m的聚值范围是（ ）

Ａ．),6()2,( Ｂ．)6,2( Ｃ．)6,2[ 0 Ｄ．}6,2{ 4．函数3212xxy的最小值是（ ） Ａ．-3. Ｂ．.213 Ｃ．3 Ｄ．.213 5．函数2422xxy具有性质（ ） Ａ．开口方向向上，对称轴为1x，顶点坐标为（-1，0） Ｂ．开口方向向上，对称轴为1x，顶点坐标为（1，0） Ｃ．开口方向向下，对称轴为1x，顶点坐标为（-1，0） Ｄ．开口方向向下，对称轴为1x，顶点坐标为（1，0） 6．下列命题正确的是（ ）

Ａ．函数3622xxy的最小值是23 Ｂ．函数3622xxy的最小值是415

Ｃ．函数342xxy的最小值为7 Ｄ．函数342xxy的最大值为7 7．函数（1）3422xxy；（2）3422xxy；（3）3632xxy；（4）3632xxy中，对称轴是直线1x的是（ ）

Ａ．（1）与（2） Ｂ．（2）与（3） Ｃ．（1）与（3） Ｄ．（2）与（4） 8．对于二次函数xxy822，下列结论正确的是（ ）

Ａ．当2x 时，y有最大值8 Ｂ．当2x 时，y有最大值8 Ｃ．当2x 时，y有最小值8 Ｄ．当2x 时，y有最小值8 9．如果函数)0(2acbxaxy，对于任意实数t都有)2()2(tftf，那么下列选项中正确的是（ ） Ａ．)4()1()2(fff Ｂ．)4()2()1(fff

Ｃ．)1()4()2(fff Ｄ．)1()2()4(fff 10．若二次函数1422xxay有最小值，则实数a＝（ ） Ａ．2 Ｂ．2 Ｃ．2 Ｄ．2 二．填空 1．若函数12)(2xxxf，则)(xf的对称轴是直线

2．若函数322bxxy在区间]2,(上是减函数，在区间],2(是增函数，则b 3．函数9322xxy的图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 、 4．已知6692xxy，则y有最 值为 5．已知12842xxy，则y有最 值为 三．解答题 1．已知二次函数342xxy，（1）指出函数图象的开口方向；（2）当x为何值时0y；（3）求函数图象的顶点坐标、对称轴和最值。

2.如果二次函数)8()(2kkxxxf与x轴至多有一个交点，求k的值。 3．已知二次函数222)1(2)(mmmxxf， （1）如果它的图象经过原点，求m的值。 （2）如果它的图象关于y轴对称，写出函数的关系式。

（3）如果它的图象关于y轴对称，试比较)2()3()2(fff、、。

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一元二次函数知识点汇总

一元二次函数知识点汇总

一元二次函数知识点汇总1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。

②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线，记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x . ③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值(0>a 时)]，坐标为(h ,k )。

6.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=,故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab 时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab 时,对称轴在y 轴右侧. (3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ① 0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab .8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.9.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。

《二次函数的图像》第一课时教学课件

《二次函数的图像》第一课时教学课件


1 顶点坐标
顶点的x坐标为-Vx，y坐标为Vy。
2 轴对称线方程
轴对称线的方程为x = Vx。
二次函数图像的几个特殊情况
当二次函数的a、b和c的值满足特定条件时，图像可能具有一些特殊的形状和 性质。这些特殊情况需要我们额外关注和分析。
一元二次方程与二次函数的联 系
一元二次方程的一元二次项系数可以决定二次函数的图像开口方向以及顶点 的坐标。通过对一元二次方程进行因式分解，可以找到对应的二次函数的顶 点。
二次函数图像的坐标变化规律
1
沿x轴方向平移
2
当在二次函数中加上或减去常数时，
图像会沿x轴左右平移。
3
缩放
4
当对二次函数进行拉伸或压缩时， 图像会沿x轴或y轴方向进行缩放。
二次函数图像的基本性质
开口方向
当a大于0时，图像开口向上；当a小于0时， 图像开口向下。
顶点
顶点是图像的最高点或最低点，记为(Vx, Vy)。当a大于0时，Vy是最小值；当a小于 0时，Vy是最大值。
轴对称线
轴对称线是通过顶点并垂直于x轴的直线。 它将图像分成对称的两部分。
零点
零点是二次函数图像与x轴相交的点，即 使y等于0的点。
《二次函数的图像》第一 课时教学课件
欢迎来到《二次函数的图像》第一课时教学课件！本课程将介绍二次函数的 定义、图像的基本性质、与一元二次方程的联系，以及图像的坐标变化规律。 还将讨论平移、翻折和缩放，特殊情况的图像以及顶点坐标和轴对称线。
二次函数的定义
二次函数是一个以二次方程表示的函数，形如：y = ax^2 + bx + c。其中，a、b 和c是常数，a不等于0。
沿y轴方向平移
一元二次函数的图像性质

一元二次函数的图像性质

一、新授内容1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。

2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。

3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式：ab ac a b x a y 44)2(22-++=， 性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2ab ac a b --，对称轴是直线a bx 2-=。

（2）最大（小）值① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442min-=，无最大值。

② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max -=，无最小值。

（3）当0>a ，函数在区间)2,(a b --∞上是减函数，在),2(+∞-a b上是增函数。

当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab--∞上是增函数。

【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。

2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴； 但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。

例题精解一、一元二次函数的图象的画法 【例1】求作函数64212++=x x y 的图象教师姓名 学生姓名 上课时间 年级 初三学科数学课时计划教学内容 一元二次函数的图像性质 教学重难点 函数图像及其性质 教学目标熟练掌握二次函数的图像性质审核校区主任： 时间：【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。

【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表；(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。

二、一元二次函数性质【例3】求函数962++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。

【例4】求函数1352++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值。

5.2 二次函数的图像和性质(1)

5.2 二次函数的图像和性质(1)


抛物线关于y轴对称．
当x＜0时，y随x增大 而增大．
当x＞0时，y随x增大 而减小． 抛物线开口向下．
5.2 二次函数的图像和性质(1)
比较函数y＝－x2与y＝x2图像，说出图像
特征的异同点．
5.2 二次函数的图像和性质(1)
在同一坐标系上画函数y＝2x² ，y＝－2x² ，
y＝
1 x² 和y＝ - 1x² 图像，并说出图像特征． 2 2
解：列表如下：
2 4 3 9 ... ...
描点、连线得函数图像如下：
5.2 二次函数的图像和性质(1)
观察函数y＝x2图像，说出图像特征．
抛物线关于y轴对称． 当x＜0时，y随x增大 而减小． 当x＞0时，y随x增大 而增大．
图像有最低点（0,0） ， 即x=0时，y有最小值0
抛物线开口向上．
5.2 二次函数的图像和性质(1)
5.2 二次函数的图像和性质(1)
我们学习了一次函数和反比例函数的图像 的画法，并借助图像研究了它们的的性质 ，那 么二次函数的图像是怎样的？二次函数有什么 性质？我们将用类似方法来研究二次函数,本节 课我们来研究比较特殊的二次函数y=ax2的 图像 与性质。
5.2 二次函数的图像和性质(1)
根据二次函数解析式y=x2，你能说出它的图 像有什么特征？ （1）图像过原点； （2）图像位于x轴及其上方； （3）图像向左、右无限延伸； （4）图像过关于y轴对称。
5.2 二次函数的图像和性质(1)
画函数图像步骤： 列表
描点
连线
研究函数性质方法： 数形结合
二次函数的图像是怎样的？ 二次函数有什么性质？
Hale Waihona Puke 5.2 二次函数的图像和性质(1)