46化归思想方法在解题中的应用

分别过点 Ｅ作直线Ｅ ｆＡ ． 如下图所示 ， Ｆ Ｂ（ 与上图相对应）
图
３
图
１ ０
图
１ １
数 学 学 习 与研 究 ２ ０ ． ０ ９８
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解 题 技巧 与方 法
黪
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以上 各 图形 的 解 题 方 法 有 很 多 种 ， 们 仅 以一 种 方 法 我
说 明 其 与 “ 形 解 题 方 法 的 相 似 之 处 ． 于 以上 各 图 ， 们 Ｍ” 对 我
解 题 技 巧 与 方法
缔 酶
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●
什 么 是 划 归 思 想 ？举 一 个 简 单 的例 子 ， 你 面 前 有 很 在 多 颗 混 杂 在 一 起 的 两 种 珍 珠 ， 珍 珠 和 白珍 珠 ， 求 你 和 黑 要 你 的搭 档 迅 速 将 两 种珍 珠 分 开 ， 会 怎样 做 ？ 你 也 许 你 认 为 这 件 事 情很 简 单 ，一 人 捡 一 种 珍 珠 即 可 ， 可 是 对 于 这 个 问 题 ， 们 还 有 更 快 的 一 种 方 法 ： 人 同 时 我 两 捡 一 种 颜 色 的 珍珠 ， 样 可 以提 高 工 作 的效 率 ． 这 这 里 我们 就 用 到 了化 归 的 思 想 ． 谓 “ 归 ” 就 是 转 所 化 ， 化和归结 ， 常将待解决的问题 ， 常 通过 某种 转 化 过 程 ， 结 归 为 一 个 已 经解 决 或 者 比较 容 易解 决 的 问题 。 得 原 问 题 的 求
‘ ． ‘
Ｂ ／Ａ Ｆ／ Ｅ，
１＋ Ｅ ＝ １ ０ ． ８ 。
Ｅ ＝ Ｅ
‘ ．
．
又 ‘ Ｄ／ Ｂ ／ ＡＣ。
‘

５ 化繁 为 简
在数学解题 时， 繁 ” 遇“ 而思 “ ” 一条 更重 要 的 简 是
２ 化 未知 为 已知
把未知的、 陌生的问题 通过适 当的变形转化 为 已知 的、 常见的问题 ， 是数学解题 中经常使用 的化归途径． 这
例 ２ 已知 Ｙ ＝ ＋ 一Ｃ 一５ 当 ： 一 Ｘ ， ３时 ， Ｙ＝
例 ４ 已知 口 ｂＣ ，， 为整数 ， ０ ＋ｂ ＋ ４ ≤４ 且 ｃ ＋ ９ ｎ＋
三 角 形 ， Ｂ ＝Ｃ Ａ 与 Ｂ 且 Ｍ Ｎ， Ｍ Ｎ
之间 ， 一直 到 甲、 乙相 遇 为止． 问 狗 一共 跑 了 多 少千 请
米？
解析
这一题 若 正面分 开来 一 回一 回地计 算 狗跑
交于点 Ｐ， 厶４ Ⅳ： 则 Ｐ
解析 本 题 的 一 般 解 法 是 证
Ｂ Ｍ Ｃ
３≥ ０．
故 （ ＋ Ｉ＋
ａ ห้องสมุดไป่ตู้
Ｄ÷一（＋ ＋） ｎ３１ Ｃ ：Ｚ÷ ｘ１ ． ÷ ０ ＝ ＝ ） ） ６
即（ ＋ｂ ２ ） ３４ ａ＋ 一 ｂ （ Ｃ 一 ａ （ ｃ ２ ） ａ＋ｂ ２ ） 一 ｃ．
７ 动静互化 动与静是事物状态表现的两个方 面 ， 动中有静 ， 静中 寓动 ， 相互依存 ， 并在一定条件下相互转化． 在解决运动型
（ ２ ＋（ 一 ） ａ一 ） ｂ ３ ＋（ 一 ） ｃ ６ ≤０ ，
３ ６
而 （ ２ ＋（ 一 ） ｎ～ ） ｂ ３ ＋（ 一 ） ３０ Ｃ ６ ，
中。 ？（１ 第 期・ 中 ） ？ 擞． ２１ ５ 初 版 ０年
． 解题研究 ・
方程 的判别式结 构相 似． 于是 构造 一元 二 次方 程 （ ａ＋ｃ

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ １１化归法在解数学题中的应用化归法在解数学题中的应用Һ艾㊀玲㊀（沈阳理工大学理学院，辽宁㊀沈阳㊀１１０１５９）㊀㊀ʌ摘要ɔ化归法是数学中常用的一种研究和解决数学问题的方法，它的应用相当广泛，但化归法没有固定的模式，不易掌握．本文介绍了三种应用化归法解决数学问题的途径，其目的在于帮助学生掌握化归这种方法，从而提高学生的数学思维能力和解数学题的能力．ʌ关键词ɔ化归法；函数模型；复数模型化归，就是把新问题转化为已经解决的问题，许多数学问题在解法上凝聚与蕴含着化归思想．那么，在实际应用中如何进行化归，又向何处化归呢？主要有三条途径：向基本数学模型化归，一般向特殊化归，高层次向低层次化归．一㊁向基本数学模型化归我们知道，模型法是数学反映现实世界的基本方法．对于数学模型，已经建立了模式化的解题方法，若能把问题化归到已知的数学模型中，则解决问题的方法就由这种模型的模式化的方法呈现出来．这里以函数模型和复数模型为例作一说明．（一）化归到函数模型用导数判断函数的性态给我们提供了很有应用价值的模型，在此介绍函数的导数模型．例１㊀已知ａ，ｂ为实数，且ｅ＜ａ＜ｂ，其中ｅ为自然对数的底，求证：ａｂ＞ｂａ．思考㊀欲证ａｂ＞ｂａ，只需要证ｂｌｎａ＞ａｌｎｂ，即证ｌｎａａ＞ｌｎｂｂ，需要证ｙ＝ｌｎｘｘ在（ｅ，＋¥）内是减函数即可．证明㊀设ｙ＝ｌｎｘｘ，ｘɪ（ｅ，＋¥）．在（ｅ，＋¥）内，ｙᶄ＝１－ｌｎｘｘ２＜０，故ｙ＝ｌｎｘｘ在（ｅ，＋¥）内是减函数，所以当ｅ＜ａ＜ｂ时，ｌｎａａ＞ｌｎｂｂ，即ｂｌｎａ＞ａｌｎｂ，亦即ａｂ＞ｂａ，证毕．解此题的关键：先构造函数ｙ＝ｌｎｘｘ，再化归到函数的导数模型中求解．还有许多问题，如求极值㊁最值㊁证明某些等式都可以考虑这一方法．（二）化归到复数模型例２㊀求二元函数ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ－ｙ）２＋２－ｘ２－９ｙ()２的最小值．解㊀设ｚ１＝ｘ＋２－ｘ２ｉ，ｚ２＝ｙ＋９ｙｉ，而ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ－ｙ）２＋２－ｘ２－９ｙ()２＝｜ｚ１－ｚ２｜ȡ｜｜ｚ１｜－｜ｚ２｜｜＝ｘ２＋２－ｘ２()２－ｙ２＋９ｙ()２＝ｙ２＋８１ｙ２－２ȡ２ｙ㊃９ｙ－２＝２２，所以ｆ（ｘ，ｙ）ȡ８，等号当且仅当ａｒｇｚ１＝ａｒｇｚ２，且ｙ＝９ｙ成立，即ｘ＝１，ｙ＝３时，ｆ（ｘ，ｙ）取得最小值，最小值为８．本例是通过构造复数ｚ１，ｚ２，并用其表示ｆ（ｘ，ｙ），将所求问题化归到复数模型上去．二㊁向特殊化归对于一般性问题，我们总希望通过一些手段化为特殊的，再借助特殊性将一般性问题解决．向特殊化归的方法有许多种，这里以常见的正交变换为例说明化归法的基本思想．正交变换具有保持向量长度及夹角等度量不变的性质，即具有保持几何形状不变的优点．还有一些方法（对应有多个可逆的线性变换）能把二次型化成标准型，如配方法㊁雅可比法等，注意到在一般的可逆线性变换之下，向量的长度要改变．因此，正交变换是直角变换，它符合解析几何的要求．例３㊀作直角坐标变换，把二次曲面方程ｘ２＋２ｙ２＋２ｚ２－４ｙｚ－２ｘ＋２２ｙ－６２ｚ＋５＝０（１）化成标准方程，并指出它是什么曲面．㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ １１解㊀首先把二次曲面的二次项部分用正交变换化成平方和的形式．设ｆ＝ｘ２＋２ｙ２＋２ｚ２－４ｙｚ，该二次型的矩阵是Ａ＝１０００２－２０－２２æèçççöø÷÷÷，求出Ａ的特征值λ１＝１，λ２＝４，λ３＝０，不难求得正交矩阵Ｐ＝ｐ１，ｐ２，ｐ３()＝１０００１２１２０－１２１２æèçççççöø÷÷÷÷÷，作正交变换ｘｙｚæèçççöø÷÷÷＝Ｐｘᶄｙᶄｚᶄæèçççöø÷÷÷，（２）把二次型ｆ化成标准形为ｆ＝ｘᶄ２＋４ｙᶄ２．因此作直角坐标变换（２），也就是把ｘ＝ｘᶄ，ｙ＝１２ｙᶄ＋１２ｚᶄ，ｚ＝－１２ｙᶄ＋１２ｚᶄ代入二次曲面方程（１），整理，得ｘᶄ２＋４ｙᶄ２－２ｘᶄ＋８ｙᶄ－４ｚᶄ＋５＝０．将新方程的左端配方，得（ｘᶄ－１）２＋４（ｙᶄ＋１）２－４ｚᶄ＝０．作坐标系的平移ｘᶄ＝ｘ∗＋１，ｙᶄ＝ｙ∗－１，ｚᶄ＝ｚ∗，㊀ìîíïïïï（３）得到在直角坐标系Ｏ∗－ｘ∗ｙ∗ｚ∗下的方程ｘ∗２４＋ｙ∗２＝ｚ∗．上式是二次曲面（１）的标准方程，它是椭圆抛物面．把式（３）代入式（２）就得到化方程（１）为标准方程的直角坐标变换公式如下：ｘｙｚæèçççöø÷÷÷＝１０００１２１２０－１２１２æèçççççöø÷÷÷÷÷ｘ∗ｙ∗ｚ∗æèçççöø÷÷÷＋１－１２１２æèçççççöø÷÷÷÷÷．可见要判断二次曲面的类型，需要用直角坐标变换将其中三元二次型部分的交叉项消去，即变成标准形，再通过坐标平移，即可得到二次曲面的标准方程．变换就是改变形式，对于不同的数学对象，变换的形式和手法也是不同的，这里就不一一举例了．三㊁高层次向低层次化归一般地，事物的发展遵循从低层次向高层次过渡，但解决问题时，常把高层次逐步化归到低层次，把复杂化归到简单．这里以解高阶微分方程为例说明化归的基本思想．高阶方程没有一般解法，但对于几类特殊的高阶方程，可采用适当的变量置换化归为低阶方程来求解．（１）ｙ（ｎ）＝ｆ（ｘ）逐次积分即可求解（２）ｙᵡ＝ｆ（ｘ，ｙᶄ）方程不明显含ｙ令ｙᶄ＝ｐ，则ｙᵡ＝ｄｐｄｘ，方程可化为关于ｘ，ｐ的一阶方程：ｄｐｄｘ＝ｆ（ｘ，ｐ）．（３）ｙᵡ＝ｆ（ｙ，ｙᶄ）方程不明显含ｘ令ｙᶄ＝ｐ，则ｙᵡ＝ｐｄｐｄｙ，方程可化为关于ｙ，ｐ的一阶方程：ｐｄｐｄｙ＝ｆ（ｙ，ｐ）．例４㊀求解ｙᵡ＝－（１＋ｙᶄ２）３２．分析㊀方程不明显含ｙ，同时又不明显含ｘ，故有两种解法，这里只给出其中一种解法．解㊀令ｙᶄ＝ｐ，则ｙᵡ＝ｄｐｄｘ，方程可化为ｄｐｄｘ＝－（１＋ｐ２）３２，分离变量，积分得ｘ＋Ｃ１＝－ｐ１＋ｐ２，解得ｙᶄ＝ｐ，得ｄｙｄｘ＝ʃｘ＋Ｃ１１－（ｘ＋Ｃ１）２，积分，得方程的通解（ｘ＋Ｃ１）２＋（ｙ＋Ｃ２）２＝１．综上所述，可以看出化归法的应用范围很广，但化归法的应用比较灵活，没有固定的程式，对不同的问题要具体分析．学生只要平素多做练习，注意积累解题经验和技巧，化归法并不难掌握．ʌ参考文献ɔ［１］同济大学数学系．高等数学（第６版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７．［２］吕传汉．数学的学习方法［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９０．［３］艾玲，沙萍，等．线性代数（第１版）［Ｍ］．北京：机械工业出版社，２０１２．。

化归思想与化归方法在小学数学教学中的应用作者：戴巍来源：《新课程·小学》2018年第08期摘要：化归思想在小学数学中具有十分广泛的应用价值，可以说化归思想是一种根本性的解题思想，掌握划归思想也就掌握了数学的基本解决思路，这将显著提高学生的数学学习效率，提高数学教学的整体质量。

简要介绍了化归思想与化归方法，深入探究当今小学数学教学中的化归思想与化归方法的应用，希望为教学工作者提供更多新思路。

关键词：化归思想；化归方法；小学数学；应用思路小学数学是培养小学生数学思维的课程，是培养小学生用数学的方法思考，用数学的方法解决数学问题，掌握基本的数学知识、技能，数学思想和方法，从而获得广泛的数学活动经验。

化归思想与化归方法是小学数学学习中重要的思想与方法，是小学生逻辑思维与抽象思维能力逐渐成熟的体现，化归思想与化归方法的使用能让小学生将众多类似的问题归一，将复杂的问题进行简化，促进小学生对数学问题探究的深入与细致，随着思考的不断深入，随着化归的使用，能从表面深入到问题的本质，直达问题中心，从而帮助小学生快速解决数学问题。

一、化归思想与化归方法概述“化归”实际上指的是“转化”与“归结”，化归思想也就是人们在解决问题时采取一种由繁化简、由难化易、由抽象化直观的思路降低问题的难度、复杂程度从而达到高效解决问题的目标。

化归思想在生活中应用较多，它是一种基本的思维策略，仔细观察，我们会发现数学解题中化归思想无处不在。

在小学数学教学中常用的化归方法主要有整体代入、抽象到具体、待定系数、变形、分解、旋转等。

“化归”的本质是解题人要将精力放在追溯熟知结果上，进而层层解决问题，由已知探索未知。

二、化归思想与化归方法在小学数学教学中的应用1.化归思想与化归方法在几何教学中的应用例如，在学习人教版六年级教材中“圆的周长”这一课时，学生最初可能会觉得知识点比较抽象，难以理解。

数学教师可以应用化归思想和化归的方法让学生从已经学过的图形知识中寻找圆形周长的计算方法。