实验五 连续信号与系统的S域分析
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一、实验目的
1. 熟悉拉普拉斯变换的原理及性质
2. 熟悉常见信号的拉氏变换
3. 了解正/反拉氏变换的MATLAB实现方法和利用MATLAB绘制三维曲面图的方法
4. 了解信号的零极点分布对信号拉氏变换曲面图的影响及续信号的拉氏变换与傅氏变换的关系
二、实验原理
拉普拉斯变换是分析连续时间信号的重要手段。对于当t
∞时信号的幅值不衰减的时间信号，即在f(t)不满足绝对可积的条件时，其傅里叶变换可能不存在，但此时可以用拉氏变换法来分析它们。连续时间信号f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)的定义为：
拉氏反变换的定义为：
显然，上式中F(s)是复变量s的复变函数，为了便于理解和分析F(s)随s 的变化规律，我们将F(s)写成模及相位的形式：。其中，|F(s)|为复信号F(s)的模，而为F(s)的相位。由于复变量s=σ+jω，如果以σ为横坐标（实轴），jω为纵坐标（虚轴），这样，复变量s就成为一个复平面，我们称之为s平面。从三维几何空间的角度来看，和分别对应着复平面上的两个曲面，如果绘出它们的三维曲面图，就可以直观地分析连续信号的拉氏变换F(s)随复变量s的变化情况，在MATLAB语言中有专门对信号进行正反拉氏变换的函数，并且利用 MATLAB的三维绘图功能很容易画出漂亮的三维曲面图。
①在MATLAB中实现拉氏变换的函数为：
l F=laplace( f ) 对f(t)进行拉氏变换，其结果为F(s)
l F=laplace (f,v) 对f(t)进行拉氏变换，其结果为F(v)
l F=laplace ( f,u,v)对f(u)进行拉氏变换，其结果为F(v)
②拉氏反变换
l f=ilaplace ( F ) 对F(s)进行拉氏反变换，其结果为f(t)
l f=ilaplace(F,u) 对F(w)进行拉氏反变换，其结果为f(u)
l f=ilaplace(F,v,u ) 对F(v)进行拉氏反变换，其结果为f(u)
注意：在调用函数laplace( )及ilaplace( )之前，要用syms命令对所有需要用到的变量（如t,u,v,w）等进行说明，即要将这些变量说明成符号变量。对laplace( )中的f及ilaplace( )中的F也要用符号定义符sym将其说明为符号表达式。具体方法参见第一部分第四章第三节。
例①：求出连续时间信号的拉氏变换式，并画出图形
求函数拉氏变换程序如下：
syms t s %定义符号变量
ft=sym('sin(t)*Heaviside(t)'); %定义时间函数f(t)的表达式
Fs=laplace(ft) %求f(t)的拉氏变换式F(s)
运行结果：Fs = 1/(s^2+1)
绘制拉氏变换三维曲面图的方法有2种：
方法一：syms x y s
s=x+i*y; %产生复变量s
FFs=1/(s^2+1); %将F(s)表示成复变函数形式
FFss=abs(FFs); %求出F(s)的模
ezmesh(FFss); %画出拉氏变换的网格曲面图
ezsurf(FFss); %画出带阴影效果的三维曲面图
colormap(hsv); %设置图形中多条曲线的颜色顺序
方法二：figure(2) %打开另一个图形窗口
x1=-5: 0.1:5; %设置s平面的横坐标范围
y1=-5: 0.1: 5; %设置s平面的纵坐标范围
[x,y]=meshgrid(x1,y1); %产生矩阵
s=x+i*y; %产生矩阵s来表示所绘制曲面图的复平面
区域，
%其中矩阵s包含了复平面-6<σ<6，-60.01取样的所有样点
fs=1./(s.*s+1); %计算拉氏变换在复平面上的样点值
ffs=abs(fs); %求幅值
mesh(x,y,ffs); %绘制拉氏变换的三维网格曲面图
surf(x,y,ffs); %绘制带阴影效果的三维曲面图
axis([-5,5,-5,5,0,8]); %设置坐标显示范围
colormap(hsv); %设置图形中多条曲线的颜色顺序
说明：从拉普拉斯变换的三维曲面图中可以看出，曲面图上有象山峰一样突出的尖峰，这些峰值点在s平面的对应点就是信号拉氏变换的极点位置。而曲面图上的谷点则对应着拉氏变换的零点位置。因此，信号拉氏变换的零极点位置决定了其曲面图上峰点和谷点位置。
例②：求出函数的拉氏反变换式
MATLAB程序如下：
syms t s %定义符号变量
Fs =sym('1/(1+s^2)'); %定义F(s)的表达式
ft=ilaplace(Fs) %求F(s)的拉氏反变换式f(t)
运行结果：
ft=
sin(t)
注意: 在MATLAB中，求拉氏反变换的函数ilaplace()，在默认情况下是指拉氏右变换，其运行结果是单边函数。如例②中的运行结果为ft= sin(t)，实际上是指ft= sin(t)。
三、实验内容
1. 求出下列函数的拉氏变换式，并用MATLAB绘制拉氏变换在s平面的三维曲面图
①
解：
syms t s
ft=sym('(-2*exp(-t)+5*exp(-3*t))*Heaviside(t)');
Fs=laplace(ft)
syms x y s
s=x+i*y;
FFs=-2/(s+1)+5/(s+3);
FFss=abs(FFs);
ezmesh(FFss);
ezsurf(FFss);
colormap(hsv
②
解：
syms t s
ft=sym('Heaviside(t)-Heaviside(t-2)'); Fs=laplace(ft)
syms x y s
s=x+i*y;
FFs=1/s-exp(-2*s)/s;
FFss=abs(FFs);
ezmesh(FFss);
ezsurf(FFss);
