高三数学立体几何专题训练
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高三数学立体几何专题训练【考点】1.三视图；2求体积;３证线面垂直(垂直关系）;4求二面角的平面角;5求线面 角;6求异面直线所成角；７．求三角形面积；8判断平行、垂直、相交、重合位置关系。
【复习建议】本题为低中档，一般分为两小问，可得满分。
第(1)问，一般考查平行与垂直的证明 及相关问题，需要同学掌握好平行与垂直的证明的有关定理,并注意证明过程的书写规范， 如能建系。
也可用向量法;第（2）问一般研究空间角,如用综合法请注意证明过程。
如用空间向量需注意：异面直线所成角(一定不大于90０)、线面所成角(此类题最容易错,记 住所求向量的夹角的余弦为线面所成角的正弦）、二面角(注意观察是钝角还是锐角，一般 情况下是锐角）。
向量法建系要用黑色签字笔在答题卡上建，并用文字说明，注意检查所写 的点或向量坐标有无错，注意用向量数量积公式求夹角余弦时的运算,注意是否作答。
特别 的说明：广东近年的立体几何题图形都比较新颖特别，但其实都很简单，无需紧张。
用向量 还是综合法，视题目(更适合哪种方法)和个人情况而定。
最后适当注意:求解线面所成角 要转换(比如线面所成角的正弦与向量夹角的余弦关系)和翻折问题。
下面的例题仅供参考。
【题例】 １.如图３所示,在四面体Ｐ—ＡＢC 中，已知ＰA=BC=6,PC=AB=１0，ＡC ＝8,342=PB .Ｆ是线段PB 上一点,341715=CF ，点Ｅ在线段AB 上且EF⊥ＰB. (Ｉ)证明：ＰＢ⊥平面C ＥF; (Ⅱ)求二面角Ｂ—CE-F 的正切。
选题目的,练好计算(包括三角形各边,二面角求解)练好规范；判定是否适用向量。
2．翻折问题.体积问题．函数导数)如图6所示,等腰△ABＣ的底边66=AB ,高CD=３，点E 是线段BD 上异于点Ｂ,D 的动点，点Ｆ在BC 边上,且E Ｆ⊥AB,现沿EF 将△BＥF 折起到△PＥF 的位置，使P Ｅ⊥ＡE,记BE=x,V （x)表示四棱锥P 一ＡＣＥＦ的体积.(1)求V(x)的表达式；（2）当x 为何值时，V （x)取得最大值？(3)当V(x)取得最大值时，求异面直线ＡC 与ＰF 所成角的余弦值 3、（组合图形问题)如图所示:边长为２的正方形A ＢFC 和高为２的直角梯形ADE Ｆ所在的平面互相垂直且2=DE ,ED∥ＡF,且∠D ＡF=900（1）求ＢD 和面BEF 所成的角的正弦；(2)线段EF 上是否存在点Ｐ使过Ｐ、A 、Ｃ三点的 平面和直线D Ｂ垂直，若存在，求ＥP 与PF 的比值； 若不存在,说明理由。
总结：解决存在性问题方法:1．先假设存在,再去推理,下结论: 2.运用推理证明计算得出结论,或先利用条件特例得出结论,然后再根据条件给出证明或计算。
4.(视图，无棱二面角问题)四棱锥P —ＡBCD 的底面与四个侧面的形状和大小如图所示．（1)写出四棱锥Ｐ一ＡBCD 中四对线面垂直关系(不要求证明);（2）在四棱锥P-－ABCD 中，若E 为PA 的中点，求证:BE∥平面 ＰＣＤ；（3）在四棱锥P 一ABCD 中，设面P ＡB 与面PCD 所在的角为θ(00＜θ≤900)，求co ｓθ的值.5.(无棱二面角问题)如图，四棱锥Ｓ一ＡBC Ｄ的底面是边长为l 的正方形．ＳD 垂直于底面AB ＣD ，.3=SB(1）求证：B Ｃ⊥SＣ(2)求面ＡＳＤ与面BSC 所成二面角的大小; (３)设棱ＳA 的中点为M ，求异面直线ＤM 与SB 所成角的大小.6.如图①边长为1的正方形AＢCD中,点E、F分别为AB、BＣ的中点，将ABEF剪去，将△ＡED、△ＤＣＦ分别沿ＤE、DF折起，使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图②示.(1）求证:ＰD⊥ＥF：(2)求三棱锥P—ＤEF的体积;(3)求DE与平面PDF所成角的正弦值．7、如图，在四棱锥Ｐ一AＢＣＤ中,底面ABＣD为菱形，∠ＢAＤ=6０0,Q为ＡＤ的中点。
(1)若PA=ＰD,求证:平面PQB⊥平面PAD；(２)点M在线段PC上,PＭ=tPC,试确定t的值，使ＰA∥平面MＱB（３)在(2)的条件下，若平面PAＤ⊥平面AＢCD,且PA=PD＝AＤ＝2求二面角M—BQ－C的大小。
８．(本小题满分l4分)如图，△ABC是以∠ABC为直角的三角形,SＡ⊥平面ABC，SA=BＣ=２。
AＢ=4.M、Ｎ、D分别是SC、ＡB、BC的中点。
(１)求证：MN⊥AＢ；(２)求二面角S-ND—Ａ的余弦值：(３)求点A到平面SNＤ的距离。
参考答案l(Ｉ)证明:2221006436PC AC PA ==+=+∴△ＰAC 是以∠PAＣ为直角的直角三角形,同理可证△ＰＡB 是以∠PAＢ为直角的直角三角形,△PCＢ是以∠ＰC Ｂ为直角的直角三角形．故PA⊥平面ABC,又3061021||||21=⨯⨯==∆BC AC S PBC 而PBC S CF PB ∆==⨯⨯=3017341534221||||21，故CF⊥PＢ,又已知EF⊥ＰＢ∴P Ｂ⊥平面CE Ｆ(II)由(I)知P Ｂ⊥CE，P Ａ⊥平面ＡBC ．∴AB 是P Ｂ在平面ABC 上的射影,故ＡB⊥CＥ 在平面ＰAB 内，过F 作FF 1垂直AB 交AB 于F １,则FF 1⊥平面ＡBC,EF l 是EF 在平面ABC 上的射影,∴EＦ⊥EC ,故∠FEＢ是二面角B —CE —F 的平面角．35610tan tan ===∠=∠AP AB BPA FEB 二面角B —CE 一Ｆ的正切为35 说明：本题不适宜用向量2(1）由折起的过程可知,ＰE⊥平面A ＢC ，2212654,69x S x S S BDC AEFABC =⋅==∆∆∆ )630)(1219(36)(2<<-=x x x x V (２))419(36)(2x x V -='所以)6,0(∈x 时，)(,0)(x V x V >'单调递增；636<<x 时,)(,0)(x V x V <'单调递减;因此6=x 时,V(x)取得最大值.612(３)过F 作MT∥ＡC 交AD 与Ｍ,则26,122,21======PM BE MB ABBEBD BE BC BF AB BM 4295436636=+====BC PF BF MF在△ＰFM 中，72427284cos =-=∠PFM ∴异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为723解(1）因为A Ｃ、AD 、A Ｂ两两垂直，建立如图坐标系,则B(２，0,0)，Ｄ(0,0，2) E(１,ｌ，2),F(2,２,0)。
则)0,2,0(),2,1,1(),2,0,2(=-=-=BF BE DB 设平面B ＥF 的法向量),,(z y x n =,则x -,0,02==++y z y 则可取),1,0,2(=n∴向量DB 和)1,0,2(=n 所成角的正弦为1010)2(21220222222=-++-+⋅ 即B Ｄ和面ＢE Ｆ所成的角的正弦1010 （2)假设线段ＥF 上存在点P 使过Ｐ、A 、C 三点的平面和直线DB 垂直,不妨设)0(>=m PF m EP则P 点坐标为)12,121,121(m m m m m +++++ 则向量)12,121,121(m m m m m AP +++++=向量⋅++-++=)12,11,121(m m m m CP所以,012)2(12101212=+-++++++m m m m m所以21=m故存在这样的点P,当点Ｐ为EF 中点时，BD ⊥面PAC4．解(1)如图,在四棱锥P 一ABC Ｄ中，PA ⊥平面ＡB ＣD,AD ⊥平面ＰＡB ，BC ⊥平面PAB ，ＡＢ⊥平面PA Ｄ．(2）依题意AB 、AD 、A Ｐ两两垂直，分别以直线A Ｂ、AD 、A Ｐ为z y x 、、轴，建立空间直角坐标系，如图．则P(0,０,２),Ｂ（2，０，0）,C(2,2,０),Ｄ（０,4，０).∵Ｅ是PA 中点,∴点Ｅ的坐标为(０，0，1),())2,4,0(),2,2,2(,1,0,2-=-=-=PD PC BE设),,(1z y x n =是平面PC Ｄ的法向量.由⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥PDn PC n 11.，即⎩⎨⎧=-=-+0240222z y z y x取y=1,得)2,1,1(1=n 为平面ＰＣD 的一个法向量．//,n ,021101211BE BE n BE ∴⊥∴=⨯+⨯+⨯-=⋅ 平面PCD.又⊄BE 平面ＰC Ｄ,∴BE ∥平面PCD ．(3)由(2），平面PCD 的一个法向量为)2,1,1(1=n 又∵AD ⊥平面PAB,∴平面ＰAB 的一个法向量为6661|cos ),0,1,0(21212==⋅⋅=∴=n n n n n θ5、方法一．解:(1)如图建立空间直角坐标系.则有B(1，1，0),C(0,1，０）,S(0,0,１) 于是)1,1,0(),0,0,1(-=-=SC BC .于是0=⋅SC BC 所以SC BC ⊥,于是BC⊥SC，(２）显然平面ASD 的法向量为)0,1,0(=n ,设平面SCB 的法向量为),1,,(2y x n = 则有SC n BC n ⊥⊥22,,即⎩⎨⎧=-=-010y x ，解得)1,1,0(2=n由于22,cos 21>=<n n 所以1n 与2n 的夹角为450，由图可以判断面AS Ｄ与面ＢＳC 所成的角为锐角，因此与1n 与2n 的夹角相等,从而面ＡSD 与面BSC 所成的角为４5０.(３)M 点坐标为)21,0,21(于是)21,0,21(=DM ,而)1,1,1(-=SB ,并且0,cos >=<SB DM 于是DM⊥SＢ,即异面直线DM 与SB 所成角的为900 :方法二：几何法更快6．(1)证明:依题意知图①折前AD ⊥AE,C Ｄ⊥ＣＦ.∴ＰD⊥PE，ＰF⊥PＤ,……2分 P PF PE = ,∴P Ｄ⊥平面PE Ｆ ……… 3分 又⊂EF 平面PEF ∴PＤ⊥ＥＦ………4分 （2)解法l ：依题意知图①中2121==∴==PF PE CF AE在△BE Ｆ中222==BE EF在△ＰＥＦ中PF PE EF PF PE ⊥∴=+2228121212121=⋅⋅=⋅⋅=∴∆PF PE S PEF …………7分 2411813131=⨯⨯=⋅==∴∆--PD S V V PEF PEF D DEFP ………８分(2)解法2：依题意知图①中2121==∴⋅==PF PE CF AE在△ＢE Ｆ中222==BE EF ……………………5分 取EF 的中点Ｍ,连结PM ，则PM ⊥EF 4222=-=∴EM PE PM …………6分 8142222121=⨯⨯=⋅=∴∆PM EF S PEF ……………7分2411813131=⨯⨯=⋅==∴∆--PD S V V PEF PEF D DEF P …………8分（3)由（２)知ＰE ⊥PF, 又ＰＥ⊥PD ∴PＥ⊥平面P ＤF…………10分∴∠PDE 为DE 与平面P ＤF 所成的角, …………………………11分 在Rt △PD Ｅ中．21,2541122==+=+=PE PE PD DE ……………l2分 552521sin ===∠∴DE PE PDE …………14分 ７．解:（1）连ＢＤ，四边形ＡBCD 菱形，∵AD⊥AB,∠ＢAD=６０0,△A ＢD 为正三角形，Q 为AD 中点,∴AD⊥ＢQ,∵ＰA=P Ｄ,Q 为A Ｄ的中点，ＡD⊥ＰQ,又ＢQ∩PQ=Q.∴AD⊥平面ＰQB ， ⊂AD 平面ＰＡＤ，∴平面PQB⊥平面ＰＡD （2)当31=t 时，PA∥平面ＭQB ， 下面证明，若PA∥平面MQB ，连ＡC 交BQ 于N, 由AQ∥ＢC,可得ANQ ∆∽BNC ∆,21==∴NC AN BC AQ 即31=NC AN ∵PA∥平面M ＱB ，⊂PA 平面P ＡＣ, 平面PAC∩平面MQB ＝ＭN ，∴PA∥MＮ31==AC AN PC PM 即：PC PM 31=,31=∴t(3)由PA=P Ｄ=AD ＝２,Q 为AD 的中点，则PQ⊥AD.又平面PAD⊥平面AB ＣD,所以ＰQ⊥平面ＡBCD ，以Q 为坐标原点,分别以QA 、Q Ｂ、QP 所在的直线为x,y ，ｚ轴,建立如图所示的坐标系,则各点坐标为)3,0,0(),0,0,0(),0,3,0(),0,0,1(P Q B A)0,3,0(),3,3,2(),0,3,2(),0,23,0(=--=-QB PC C N 令()c b a M ,,,则)3,,(-=c b a PM ,由PC PM 31=,得点的坐标)332,33,32(--M ，),332,63,32(-=MN设平面M ＱＢ的法向量为)1,,(y x n =,可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0MN n QB n ，MN PA // ,∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PA n QB n ,解得)1,0,3(=n 取平面ＡＢCD 的法向量()21,cos 1,0,0=>=<=nm n m n m m 又因为二面角M —B Ｑ—C 为锐二面角,所以其大小为６００。
