弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程

为结构由无穷多质量点组成，并用空间连续函数来反映结构的运动状
态，所以又称为无限多自由度体系，比有限自由度体振动理论更为严
密。其研究也更加复杂和困难。弹性薄板就是典型的弹性体，其在工程
中的应用非常广泛，薄板类零件的振动会对整体结构产生很大影响，甚
至会破坏结构的稳定性和完整性。要研究弹性薄板的横向振动性能就
由振动的基本问题归结为在给定初始条件下定解方程（１）。
２、边界条件
薄板振动所应满足的边界条件和薄板静力问题一样，一般有固支、
简支、自由、弹性支承、弹性嵌固等几种。这里列出平行于 ｘ 轴的直线边
ｙ＝ｙ０ 的边界条件（平行 ｙ 轴边界也类似）。
（１）固定边 若平板边界是完全固定边或平夹边（沿平面方向可自
挠度理论。目前工程上一般认为 ｗ ≤ １ 就可按小挠度问题处理，否则 ｈ５
必须考虑几何非线性的大挠度问题。这里也采用的薄板小挠度理论。
二、薄板横向振动基本方程
１、薄板横向自由振动的基本微分方程
考虑一具有任意边界形状的各向同性匀质等厚度薄板，如下图所
示。
取板件的中面为 ｘｏｙ 平面。板厚为 ｈ，ｚ＝－ ｈ 为受载面，中面挠曲函 ２
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高校理科研究
弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程
乐山职业技术学院机电系 杨丽媛
［摘 要］薄板振动属于弹性体振动，本文主要介绍弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程，介绍薄板小挠度理论，给出弹性薄板 横向振动的振动方程和不同边界条件的数学模型。 ［关键词］弹性薄板 横向振动 基本理论 振动方程
弹性体振动理论分析质量和刚度都是连续分布的结构，本质上认
挠度平板理论。建立了弹性薄板振动的基本方程，并列出各种边界条件
的数学模型，介绍了求解弹性薄板振动方程的求解思路，为不同边界条
件，不同尺寸的弹性薄板振动方程的求解提供了理论支持和思路指导。
参考文献 ［1］黄炎.弹性薄板理论［M］.北京：国防科学技术大学出版社，1992 ［2］曹志远.板壳振动理论［M］.北京：中国铁道出版社，1989 ［3］张英世，刘宗德.矩形薄板的横向振动［J］.工程力学，1997 增刊: 515- 518
必须掌握其基本理论和基本的振动方程。
一、基础理论
中面为一平面的扁平连续体称为平板。当厚度远小于中面尺寸时
则称为薄板。平板重要承受垂直中面的横向载荷，将外载荷传递到支撑
处，此时板件发生垂直中面的横向挠曲，相应动力学问题是薄板的横向
振动。
平板振动也是一种弹性体振动，是一种三维问题。但对于厚度尺寸
远小于平面上另两个尺寸的薄板来说，可以采用一系列反映薄板力学
＋μ
鄣２ｗ 鄣ｘ２
＝０，ｋｗｗ －Ｄ
ｙ＝ｙ０
鄣３ｗ 鄣ｙ３
－（２－μ）Ｄ
鄣３ｗ 鄣ｘ２鄣ｙ
＝０
ｙ＝ｙ０
（２ｄ）
（５）弹性嵌固边 若平板边界连接在垂直方向不可移动，但在垂直
边界平面内可转动（可用弹簧常数为 ｋΦ 的螺旋弹簧表示）的结构上，其 边缘上各点挠度为零，而弯矩由弹簧支承力矩产生，即：
鄣 鄣 （ｗ
剪力为零，即：
鄣 鄣 鄣 鄣 鄣２ｗ 鄣ｙ２
＋μ
鄣２ｗ 鄣ｘ２＝０，Biblioteka ｙ＝ｙ０鄣３ｗ 鄣ｙ３
＋（２－μ）鄣鄣ｘ３２ｗ鄣ｙ
＝０
ｙ＝ｙ０
（２ｃ）
（４）弹性支承 若平板边界铰接支承在可用垂直线弹簧（弹簧常数）
表示的结构或地基上，其边缘上各点弯矩保持为零，而合剪力由弹簧支
承力产生，即：
鄣 鄣 鄣 鄣 鄣２ｗ 鄣ｙ２
形状态只取决于中面挠曲面形状，从而使求解三维变形体问题变为确
定二维挠曲面问题，并使问题大为简化。从力学角度看，假定（ａ）认为直
法线永远与中面垂直，即横向剪切变形为零，也即横向剪应力比平面方
向弯曲应力要小很多；假定（ｂ）则认为垂直方向法应力也比弯曲应力小
得多。
在 假 定 （ａ）、（ｂ ）、（ｃ）下 建 立 的 平 板 理 论 一 般 称 为 泊 松 — 克 希 霍 夫
特性的简化，是原始三维问题简化为二维问题来分析，这些假设是：
（ａ）变形前垂直于中面的直线在变形后仍为一直线，并保持与中面
垂直。
（ｂ）忽略沿中面垂直方向的法向应力。
（ｃ）只记入质量的移动惯性力，而略去其转动惯性力矩。
（ｄ）无沿中面内方向的变形。
假定（ａ）即所谓“直法线”假定，这一假定的实质是使板件内整个变
）ｙ＝ｙ０
＝
０，ｋΦ
鄣ｗ 鄣ｙ
＋Ｄ
鄣２ｗ 鄣ｙ２
＋μＤ
鄣２ｗ 鄣ｘ２
＝０
ｙ＝ｙ０
（２ｅ）
３、矩形薄板自由振动的解
设方程（１）的解为：
ｗ （ｘ，ｙ，ｔ）＝Ｗ （ｘ，ｙ）ｓｉｎ（ωｔ＋φ）
（３）
式中 Ｗ （ｘ，ｙ）为主振动，将式（３）代入式（１）中，可得：
鄣４Ｗ 鄣ｘ４
＋2
鄣４Ｗ 鄣ｘ２鄣ｙ２
＋
鄣４Ｗ 鄣ｙ４
（Ｐａｓｓｉｏｎ－Ｋ ｉｒｃｈｈｏｆｆ）平板理论即薄板理论。目前工程上一般认为板厚 ｈ
与板的最小平面跨度 ｂ 之比 ｈ ｂ
≤
１ ６
就可看成薄板。
假定（ｄ）认为中面内不产生拉压、剪切，从而也没有中面内变形，即
认为中面内薄膜力远小于横向载荷产生的弯曲应力，这只有在板的挠
曲 ｗ 远小于板的厚度 ｈ 时才成立。采用假定（ｄ）的平板理论一般称为小
由滑动），其边缘上各点挠度为零并且沿该边垂直方向的挠度斜率为
零，即：
鄣 鄣 （ｗ ）ｙ＝ｙ０ ＝０，
鄣ｗ 鄣ｙ
＝０
ｙ＝ｙ０
（２ａ）
（２）简支边 若平板边界是铰接支承（无论水平方向可以或不可以
滑动），其边缘上各点挠度以及弯矩为零，即：
鄣 鄣 （ｗ ）ｙ＝ｙ０ ＝０，
鄣２ｗ 鄣ｙ２
＝０
ｙ＝ｙ０
（２ｂ）
（３）自由边 若平板边界完全不受力，应该有边缘上各点弯矩、扭矩、
－α４Ｗ ＝０
（４）
式中：α４＝ω２ ρh D
Ｗ （ｘ，ｙ）为 ｘ，ｙ 的函数，具体表达式和边界条件有关，根据各种不同的
边界条件写出 Ｗ （ｘ，ｙ）的形式，带入方程（４）和其相应的边界条件，可求出
Ｗ （ｘ，ｙ）的表达式。
三、总结
本文介绍了基于泊松—克希霍夫（Ｐａｓｓｉｏｎ－Ｋ ｉｒｃｈｈｏｆｆ）平板理论的小
数为 ｗ （ｘ，ｙ，ｔ）。则薄板横向自由振动的基本微分方程为：
鄣４ｗ ＋２ 鄣４ｗ ＋ 鄣４ｗ ＋ ρh 鄣２ｗ ＝０
（１）
鄣ｘ４ 鄣ｘ２鄣ｙ２ 鄣ｙ４ Ｄ 鄣ｔ２
式中：Ｄ ＝ Eh １２（１－μ２）
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其中：Ｅ 为材料的弹性模量，ρ 为材料密度，μ 为材料泊松比。
式（１）是关于挠曲面函数 ｗ （ｘ，ｙ，ｔ）的四阶偏微分方程，薄板小挠度自