高中数学知识要点重温(13)直线及线性规划知识点分析

高中数学知识要点重温（13）直线及线性规划1．直线的倾斜角的范围：[0，)π，x 轴及平行于x 轴的直线倾斜角是0而不是π；y 轴及平行于y 轴的直线的倾斜角为2π而不是没有倾斜角（只是斜率不存在）；已知斜率（的范围）会求倾斜角（的范围），记住：当倾斜角α是锐角时，斜率k 与α同增同减，当α是钝角时，k与α也同增同减。

斜率的求法：①依据直线方程②依据倾斜角③依据两点的坐标④方向向量（以=（m,n ）（m ≠0）为方向向量的直线的斜率为m n）。

关注斜率在求一类分式函数值域时的运用。

[举例1]已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l 的倾斜角是直线倾斜角的一半，则直线l 的斜率为： ． 解析：记直线l 的倾斜角为α，则直线AB 的倾斜角为2α，其斜率tan2α=43⇒43tan 1tan 22=-αα ⇒tan α=-3或tan α=31而由tan2α=43>0得2α是锐角，则α∈（0，4π），∴tan α=31。

[举例2] 函数θθC o s S i n y +-=31的值域为 。

解析：记P （cos θ,sin θ）,A(-3,1)则y=kPA ，P 点的轨迹是圆心为原点 的单位圆，如右图：当直线PA 与圆相切时，其斜率分别为0和43-，[ ∴y=kPA ∈[43-，0]。

注：这里存在一个kPA 在0与43-“之间”还是“之外”的问题，原则是其间是否有斜率不存在的情况，若有则在“之外”，若无则在“之间”。

[巩固1] 已知直线l ：02cos =++y x θ则l 倾斜角的范围是： 。

[巩固2]实数x,y 满足24,012222--=+--+x y y x y x 则的取值范围为 （ ）A ．),34[+∞B ．]34,0[ C ．]34,(--∞ D ．)0,34[- [迁移] 点P 是曲线323+-=x x y 上的动点，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π B 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,432,0 C 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 D 、⎥⎦⎤ ⎝⎛43,2ππ 2．“点斜式”是直线方程的最基本形式，是其它各种形式的源头，但它不能表示斜率不存在的直线；解决“直线过定点”的问题多用“点斜式”。

“斜截式”最能体现直线的函数性质（一次函数，一次项系数是斜率），“斜截式”中所含的参数最少（2个，而其它各种形式中都是3个），所以用待定系数法求直线方程时多设为“斜截式”，它也不能表示斜率不存在的直线。

“截距式”最能反映直线与坐标轴的位置关系；注意：截距是坐标而不是距离；在两坐标轴上截距相等的直线斜率为-1或过原点；“截距式”不能表示斜率为0、斜率不存在以及过原点的直线。

“两点式”完全可以由“点斜式”替代，“两点式”不能表示斜率为0和斜率不存在的直线，但它的变形（“积式”）：))(())((112112x x y y y y x x --=--却能表示所有的直线。

“一般式”能表示所有的直线，它是直线方程的“终极”形式。

[举例]已知直线l ：kx+y-k+2=0和两点A （3，0），B （0，1），下列命题正确的是（填上所有正确命题的序号）。

①直线l 对任意实数k 恒过点P （1，-2）；②方程kx+y-k+2=0可以表示所有过点P （1，-2）的直线；③当k=±1及k=2时直线l 在坐标轴上的截距相等； ④若1300=+y x ，则直线)1)(2()2)(1(00-+=+-x y y x 与直线AB 及直线l 都有公共点；⑤使得直线l 与线段AB 有公共点的k 的范围是[-3，1]；⑥使得直线l 与线段AB 有公共点的k 的范围是-∞(，-3]∪[1，)∞+。

解析：①直线l ：y +2= - k （x -1）恒过P （1，-2），②方程kx+y-k+2=0不能表示直线x=1，③当k= -1时直线l 在坐标轴上的截距相反；④若1300=+y x ，则点M （x0,y0）在直线AB 上（截距式），又点P （1，-2）在直线l ，而直线)1)(2()2)(1(00-+=+-x y y x 过点M ，P （两点式），即与直线AB 有公共点M ，与直线l 有公共点P ；⑤⑥直线l 与线段AB 有公共点，不宜先解方程组再解不等式组（麻烦），数形结合易见，直线l 应在直线PA 到PB 之间，而其间有斜率不存在的位置，故命题⑥正确。

[巩固]已知圆C ：x2+(y-2)2=1，则在坐标轴上的截距相等且与圆相切的直线有 条？[迁移] 对任意实数m ，直线（m+2）x-(2m-1)y-(3m-4)=0和椭圆1922=+m y x 恒有公共点，则m 的取值范围是 。

3.“到角”的范围：（0，π），“到角公式”就是两角差的正切公式，多用于解决与角平分线有关的问题；“夹角”的范围：（0，2π]。

两直线1l ：A1x+B1y+C1=0,2l ：A2x+B2y+C2=0平行、垂直的条件有“比”和“积”两种形式（重合只有“比式”），如：1l ⊥2l ⇔A1A2+B1B2=0，若1l 、2l 不重合，则1l ∥2l ⇔A1B2=A2B1；判断两直线位置关系时要特别注意斜率不存在及斜率为0的情形。

[举例1]直线1l ：x=1到直线2l ：2x+y+1=0的角是： （ ）A ．arctan2,B ．arctan 21C ．π- arctan2D ． arctan(-21)解析：记直线1l 到2l 的角为α，直线2l 的倾斜角为β，作图可见α=β-2π，tan α=-cot β =21,故选B 。

[举例2]①已知P （x0,y0）是直线l ：f(x,y)=0外一点，则直线f(x,y)+f （x0,y0）=0与直线l 的位置关系是 ； ②设a 、b 、c 分别是⊿ABC 中角A 、B 、C 的对边，则直线:0sin =++c ay A x 与直线0sin sin =+-C B y bx 的位置关系是 。

解析：①方程f(x,y)=0与f(x,y)+f （x0,y0）=0两变量的系数完全相同，而f （x0,y0）≠0，即常数项不同，故平行；②由正弦定理知：0sin sin =-B a A b ，故垂直。

[巩固]已知直线l1的方程为y=x ，直线l2的方程为y=ax+b(a,b 为实数)，当直线l1与l2夹角的范围为［0，12π)时，a 的取值范围是：A.(33,1)∪(1,3) ，B.(0，1) ， C.(33,3) ， D.(1,3)[迁移]直线012=++y a x 与直线()0312=+-+by x a 互相垂直，,,R b a ∈则||ab 的最小值是：A ．1 B ．2 C ．4 D ．5 （ ）4．点到直线的距离公式在求三角形的面积、判断直线与圆的位置关系、求圆的弦长、解决与圆锥曲线的第二定义有关的问题等场合均有运用，推导两平行线间的距离公式也是它的一个运用。

[举例] 已知5x ＋12y ＝60，则x y 22+的最小值是: A. 6013 B. 135 C. 1312 D. 1 解析：x y 22+表示直线l ：5x ＋12y ＝60上的动点到原点的距离，其最小值即原点到直线l 的距离，选A 。

注：此题若代入消元、配方求最值则很麻烦。

[巩固]直线l 过点（1，0），且被两平行直线3x+y-6=0和 3x+y+3=0所截得的线段长为9，则直线l 的方程为 。

[迁移] 若动点P （x,y ）满足|x+2y-3|=22)2()1(++-y x ，则P 点的轨迹是：A ．圆B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线[提高]若a 、b 、c 为实数，恒存在实数x,y,使得ay-bx=c 22)()(b y a x -+-≠0,则a 、b 、c 满足: A.c2≥a2+b2 B.c2>a2+b2 C.c2<a2+b2 D.c2≤a2+b25.点M(m,n)关于直线y=±x+b 的对称点M’(±n b ，±m+b)，即：将M 点的坐标代入对称轴方程求得M/的坐标；但对称轴斜率不为±1时，只可根据中、垂建立方程组(即MM/与对称轴垂直且其中点在对称轴上)，解出对称点坐标。

光线反射问题、角平分线问题、到两定点距离之和（差）的最值问题等都与对称有关。

[举例1]将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A （0，2）与点B （4，0）重合，若此时点C （7，3）与点D （m ，n ）重合，则m+n 的值是 。

解析：“折痕”是AB 的中垂线l ：y=2x-3，C （7，3）、D （m ，n ）关于l 对称，则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---+=+21733723m n m n ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==53153n m ⇒m+n=534。

[举例2]在⊿ABC 中，已知A （2，3），角B 的平分线为Y 轴，角C 的平分线为l ：x+y=4,求BC边所在的直线方程解析：由题意知直线BA 、BC 关于Y 轴对称，即A 关于Y 轴的对称点A1(-2,3)在直线BC 上；直线CA 、CB 关于l 对称，即A 关于l 的对称点A2(1,2)在直线CB 上；∴直线BC 即直线A1A2：x+3y-7=0,[巩固]已知点A 在x 轴上，点B 在直线l ：y=x 上，C （2，1），则⊿ABC 的周长的最小值为 。

[迁移] 已知点A(1、1)，曲线C 上的点(x 、y)满足：⎩⎨⎧+=+=a y a x sin 27cos 25 ，一束光线从点A 出发经y轴反射到曲线C 上的最短路程是： （ ）A 226-B 225-C 8D 106.不等式ax+by+c>0(a>0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的右侧，不等式ax+by+c<0(a>0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的左侧；a ﹤0时情况相反。

也可以说：不等式ax+by+c>0(b>0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的上方，不等式ax+by+c<0(b>0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的下方；b ﹤0时情况相反。

目标函数z=mx+ny(m>0)在“可行域”D 内的最值：令mx+ny=0, 在“可行域”D 内平移直线mx+ny=0使之位于最左侧，此时z 取得最小值; 位于最右侧，此时z 取得最大值;m<0时情况相反。

如果z=mx+ny(n>0), 也可以说：在“可行域”D 内平移直线mx+ny=0使之位于最下方，此时z 取得最小值; 位于最上方，此时z 取得最大值;n<0时情况相反。

若线性目标函数的最优解不止一个，则目标函数为0的直线与“可行域”的一个边界平行或重合。

[举例] 已知x,y 满足约束条件：2x-y ≥0,x+y-2≥0,6x+3y ≤18,且z=ax+y(a>0)取得最小值的最优解有无穷多个, 求a 的值。