高中数学(人教版A版必修五)配套单元检测：第3章：3.3.2 简单的线性规划问题(二)

3.3.2 简单的线性规划问题内 容 标 准学 科 素 养 1.了解线性规划中的基本概念． 2.会用图解法解决线性规划问题．3.能利用线性规划解决实际应用问题. 应用直观想象 提升数学运算 强化数学建模[基础认识]知识点一线性规划的基本概念 阅读教材P 87－91，思考并完成以下问题 若x ，y 满足不等条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2x ≥1y ≥0，那么当x ，y 取何值时，z ＝2x ＋y 有最大值，有最小值． 在上述问题中 (1)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2x ≥1y ≥0的点(x ，y )有多少个？提示：无穷多个，构成一个三角形区域(包括边界)． (2)求z ＝x ＋y 的最大值、最小值，相当于求直线 x ＋y －z ＝0的什么量？提示：相当于直线x ＋y －z ＝0在y 轴上的截距的最值． 知识梳理名称 意义约束条件 变量x ，y 满足的一组条件 线性约束条件 关于x ，y 的二元一次不等式目标函数 欲求最大值或最小值且涉及变量x ，y 的解析式线性目标函数 目标函数是关于x ，y 的一次解析式线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解思考并完成以下问题如何求出x ，y 的值，使z 最大、最小？(1)若将直线2x ＋y －z ＝0看作平行直线，进行移动．当由下而上移动时，动直线y ＝－2x ＋z 最先达可行域的哪个点？此时z 最大还是最小？ 提示：(0,1)，z 最小为1.(2)最后离开可行域的哪个点？此时z 最大还是最小？ 提示：(1,1)，z 最大为3.知识梳理在确定约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤为： (1)在平面直角坐标系中画出可行域；(2)将目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)变形为y ＝－a b x ＋zb ，将求z 的最值问题转化为求直线y ＝－a b x ＋z b 在y 轴上的截距zb的最值问题； (3)画出直线y ＝－a b x ＋zb 并平行移动，在平移过程中，一般最先或最后经过的点为最优解；(4)求出最优解并代入目标函数，从而求出目标函数的最值．[自我检测]1．若⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2答案：B2．z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0,1)B ．(－1，－1)C ．(1,0) D.⎝⎛⎭⎫12，12答案：C授课提示：对应学生用书第64页 探究一求线性目标函数的最值与范围[教材P 91练习1(2)]求z ＝3x ＋5y 的最大值和最小值，使x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ≤15y ≤x ＋1x －5y ≤3解析：题中约束条件表示的可行域如上图所示，易知直线z ＝3x ＋5y 经过点B 时，z 取得最大值，经过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，x －5y ＝3和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，5x ＋3y ＝15，可得点A (－2，－1)和点B (1.5,2.5)． 所以z max ＝17，z min ＝－11.[例1] (1)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9[解析]根据线性约束条件画出可行域，如图(阴影部分)．作出直线l 0：y ＝－2x .平移直线l 0，当经过点A 时，目标函数取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋3＝0，y ＋3＝0得点A 的坐标为(－6，－3)． ∴z min ＝2×(－6)＋(－3)＝－15.故选A. [答案]A(2)已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，求z ＝2x －3y 的取值范围．[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3得平面区域如图中的阴影部分所示．由图得当z ＝2x －3y 分别过点A ，B 时取最小值、最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－1，x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，∴B (1，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴A (3,1)．∴2×3－3×1＜z ＝2x －3y ＜2×1－3×(－2)， 即3＜z ＜8，故z ＝2x －3y 的取值范围是(3,8)．延伸探究1.若本例(1)条件不变，求z ＝2x ＋y 的最大值．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －3＝0y ＝－3得B 点(6，－3)平移直线y ＝－2x ＋z 过B 点时，z 最大． z max ＝2×6－3＝9.2．若本例(1)条件不变，求z ＝13x ＋y －1的最大值．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3＝02x －3y ＋3＝0得C 点(0,1)．由z ＝13x ＋y －1得y ＝－13x ＋z ＋1知斜率k ＝－13＞－23∴z ＝13x ＋y －1过C 点时，z 有最大值．z max ＝0＋1－1＝0.3．若本例(1)条件不变，求|2x ＋y |的取值范围．解析：设z ＝2x ＋y ，当z ＝0时，即直线y ＝－2x ＋z 过(0,0)时，|z |min ＝0. 当y ＝－2x ＋z 过A (－6，－3)时z min ＝－15，|z |＝15. 当y ＝－2x ＋z 过B (6，－3)时z max ＝9，∴|z |＝9. 综上，|2x ＋y |的范围为[0,15]．方法技巧 (1)解线性规划问题的关键是作出可行域，若可行域为封闭区域，则区域的顶点很可能就是目标函数取得最大值或最小值的点，因此我们在解决这些问题时，可以根据这些点快速找到目标函数取得最值时对应的x ，y 的值，再代入目标函数中即可求得最值．(2)求解线性规划问题时，经常需要比较相关直线的斜率的大小，以决定它们的倾斜程度，从而找出最优解，所以要熟悉直线斜率与倾斜角之间的关系．(3)线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界处取得，当表示线性目标函数表示的直线与可行域的某边重合时，其最优解可能有无数个．探究二非线性目标函数的最值范围 [教材P 104第5题]已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0当x 、y 取何值时，x 2＋y 2取得最大值、最小值？并求其最值． 探究：由题意可画出不等式组所表示的可行域，如图所示． 因为x 2＋y 2是点(x ，y )到原点的距离的平方，所以当⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0，即x ＝2，y ＝3时，x 2＋y 2最大，且最大值为13.又易知x 2＋y 2的最小值为原点到直线BC 的距离的平方，为45.[例2]已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．[解析]作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示， 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，故z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率， 因此y ＋1x ＋1的最值是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，由图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小， 又∵B (0,2)，C (1,0)， ∴z max ＝k MB ＝3，z min ＝k MC ＝12.∴z 的最大值为3，最小值为12.方法技巧非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．(2)常见代数式的几何意义主要有： ①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离； (x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离．②yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．延伸探究4.若本例条件不变，把目标函数改为z ＝3y ＋12x ＋1，求z 的取值范围．解析：z ＝32×y ＋13x ＋12，设k ＝y ＋13x ＋12表示(x ，y )与点M (－12，－13)斜率．k MB ＝2＋1312＝143，k MC ＝131＋12＝29.∴z max ＝32×143＝7，z min ＝32×29＝13.z 的范围为[13，7]．5．若本例条件不变，求z ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2的取值范围． 解析：(x ＋1)2＋(y ＋1)2表示点(x ，y )与点M (－1，－1)的距离．∴z max ＝|MA |＝(2＋1)2＋(3＋1)2＝5.由于k MC ＝12，故直线MC 与边界线2x ＋y －2＝0垂直．故z min ＝|MC |＝(1＋1)2＋12＝ 5.探究三已知目标函数的最值求参数[例3]若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －a ≥0，目标函数t ＝x －2y 的最大值为2，则实数a 的值是________．[解析]如图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋2y －a ＝0.得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝a －22，代入x －2y ＝2中，解得a ＝2.[答案]2方法技巧含参数的线性目标函数问题的求解策略(1)约束条件中含有参数：此时可行域是可变的，应分情况作出可行域，结合条件求出不同情况下的参数值．(2)目标函数中含有参数：此时目标函数对应的直线是可变的，如果斜率一定，则对直线作平移变换；如果斜率可变，则要利用斜率与倾斜角间的大小关系分情况确定最优解的位置，从而求出参数的值．跟踪探究1.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解析：作出可行域如图．①当a ＜0时，显然z ＝ax ＋y 的最大值不为4；②当a ＝0时，z ＝y 在B (1,1)处取得最大值为1，不符合题意；③当0＜a ＜1时，z ＝ax ＋y 在B (1,1)处取得最大值，z max ＝a ＋1＝4，故a ＝3，舍去；④当a ＝1时，z ＝x ＋y 的最大值为2；⑤当a ＞1时，z ＝ax ＋y 在A (2,0)处取得最大值，z max ＝2a ＝4，得a ＝2，符合题意．综上，a ＝2.答案：B探究四简单的线性规划问题的实际应用[教材P 88－90的例5、例6、例7]方法步骤： (1)列出约束条件和目标函数． (2)利用线性规划求最值、最优解．[例4]某公司仓库A 存有货物12吨，仓库B 存有货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店．从仓库A 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B 运货到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元．问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？[解析]将已知数据列成下表：商店每吨运费仓库甲乙丙A 8 6 9 B345设仓库A 运给甲、乙商店的货物分别为x 吨，y 吨，则仓库A 运给丙商店的货物为(12－x －y )吨，从而仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7－x )吨、(8－y )吨、[5－(12－x －y )]＝(x ＋y －7)吨，于是总运费为z ＝8x ＋6y ＋9(12－x －y )＋3(7－x )＋4(8－y )＋5(x ＋y －7)＝x －2y ＋126.∴线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧12－x －y ≥0，7－x ≥0，8－y ≥0，x ＋y －7≥0，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，0≤x ≤7，0≤y ≤8，x ＋y ≥7，目标函数为z ＝x －2y ＋126.作出上述不等式组表示的平面区域，其可行域如图中阴影部分所示．作出直线l ：x －2y ＝0，把直线l 平行移动，显然当直线l 移动到过点(0,8)时，在可行域内，z ＝x －2y ＋126取得z min ＝0－2×8＋126＝110，即x ＝0，y ＝8时总运费最少．安排的调运方案如下：仓库A 运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨，仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．方法技巧解线性规划应用问题的一般步骤 (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答．跟踪探究2.某学校用800元购买两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A ，B 应各买的件数为( )A ．2,4B ．3,3C ．4,2D ．不确定解析：设购买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N *，100x ＋160y ≤800.求z ＝800－100x －160y 最小时的整数解(x ，y )，求得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.故要使剩下的钱最少，A ，B 应各买的件数为3,3，所以选B. 答案：B授课提示：对应学生用书第66页[课后小结](1)画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图中操作尽可能规范．(2)作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．(3)在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．[素养培优]1．弄错目标函数与直线的截距间的关系致误如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，x ＋y ＋1≤0，那么z ＝2x －y 的最大值为________．易错分析此题易错在于没有弄清直线y ＝2x －z 在y 轴上的截距与z 的关系，误以为在y 轴上的截距最大时z 取最大值，事实上，直线y ＝2x －z 在y 轴上的截距是－z ，因此当直线在y 轴上的截距最大时，z 反而取最小值．自我纠正画出不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分)．由z ＝2x －y 可得y ＝2x －z ，因此平移直线y ＝2x －z ，当直线经过可行域中的点B 时，直线在y 轴上的截距最小，则z 取得最大值，而B (0，－1)，所以z max ＝0×2－(－1)＝1.答案：12．忽视边界线与目标函数的斜率大小 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ≤180，x ＋y ≤45，x ≥0，y ≥0，求z ＝x ＋2y 的最大值．易错分析由⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋2y ＝180x ＋y ＝45，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30y ＝15，即B (30,15)．不比较z ＝x ＋2y ，x ＋y －45＝0,5x ＋2y －180＝0的斜率而认为过(30,15)为最优解． 自我纠正由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ≤180x ＋y ≤45x ≥0，y ≥0得可行域如图由于－12＞－1＞－52.∴z ＝x ＋2y 过点A (0,45)时z max ＝2×45＝90. 3．盲目代入边界点求最值 若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －y ＋1≤02x －y －2≤0求z ＝x ＋y 的最小值．易错分析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －y ＋1＝0得点A (1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12x －y －2＝0得B (1,0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝02x －y －2＝0得C (3,4)为区域的边界点． ∴z ＝x ＋y 过点(1,0)时最小，z min ＝1，此题易错在不分析具体可行域，盲目代入边界点． 自我纠正由不等式组得可行域．当z ＝x ＋y 过点A (1,2)时，z 最小．z min ＝1＋2＝3.。

课时训练18简单的线性规划问题一、求线性目标函数的最值1.(2015广东湛江高二期末,10)若实数x,y满足-若z=x+2y,则z的最大值为()A.1B.2C.3D.4答案:B解析:作出不等式组对应的平面区域,由z=x+2y,得y=-x+,平移直线y=-x+,由图象可知当直线经过点A(0,1)时,直线y=-x+的截距最大,此时z最大,代入目标函数得z=2.故选B.2.(2015河南郑州高二期末,7)设变量x,y满足约束条件---则目标函数z=2x+3y的最小值为() A.6 B.7C.8D.23答案:B解析:画出不等式---表示的可行域,如图,让目标函数表示直线y=-在可行域上平移,知在点B处目标函数取到最小值,解方程组-得(2,1).所以z min=4+3=7.故选B.3.设变量x,y满足约束条件-则z=x-3y的最小值为.答案:-8解析:作出可行域如图阴影部分所示.可知当x-3y=z经过点A(-2,2)时,z有最小值,此时z的最小值为-2-3×2=-8.二、求非线性目标函数的最值4.若实数x,y满足-则的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1]C.(1,+∞)D.[1,+∞)答案:C解析:实数x,y满足-的相关区域如图中的阴影部分所示.表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率,由图可知,的取值范围为(1,+∞).5.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组--所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是.答案:解析:由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示.由图可知OM的最小值即为点O到直线x+y-2=0的距离,即d min=.三、求线性规划中的参数6.x,y满足约束条件----若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一．．．,则实数a的值为()A.或1B.2或C.2或1D.2或-1答案:D解析:作出可行域,如图中阴影部分所示.由y=ax+z知z的几何意义是直线在y轴上的截距,故当a>0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=2,当a<0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=-1.7.(2015山东潍坊四县联考,15)已知a>0,x,y满足-若z=2x+y的最小值为1,则a=.答案:解析:因为a>0,作出不等式组-表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(1,2),B(1,-2a),C(3,0).由z=2x+y得y=-2x+z,将直线y=-2x进行平移,可得当经过点B时,目标函数z达到最小值,此时z=1,即2-2a=1,解得a=.8.当实数x,y满足---时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是.答案:解析:画出可行域,如图中阴影部分所示,设目标函数z=ax+y,则y=-ax+z,要使1≤z≤4恒成立,则a>0,数形结合知满足即可,解得1≤a≤,所以a的取值范围是.四、线性规划中的实际应用9.(2015河南南阳高二期中,20)某人上午7:00乘汽车以v1 km/h(30≤v1≤100)匀速从A地出发到相距300 km的B地,在B地不作停留,然后骑摩托车以v2 km/h(4≤v2≤20)匀速从B地出发到相距50 km 的C地,计划在当天16:00至21:00到达C地,设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x,y小时.如果已知所需的经费p=100+3(5-x)+2(8-y)元,那么v1,v2分别是多少时走的最经济,此时花费多少元?解:由题意得,x=,y=,∵30≤v1≤100,4≤v2≤20,∴3≤x≤10,≤y≤.由题设中的限制条件得9≤x+y≤14,于是得约束条件目标函数p=100+3(5-x)+2(8-y)=131-3x-2y,作出可行域(如图),设z=3x+2y,当y=-x+平移到过(10,4)点时在y轴上的截距最大,此时p最小.所以当x=10,y=4,即v1=30,v2=12.5时,p min=93元.(建议用时:30分钟)1.已知点(x,y)构成的平面区域如图所示,z=mx+y(m为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则m的值为()A.-B.C.D.或答案:B解析:观察平面区域可知直线y=-mx+z与直线AC重合,则--解得m=.2.设变量x,y满足约束条件----则目标函数z=y-2x的最小值为()A.-7B.-4C.1D.2 答案:A解析:作约束条件----所表示的可行域,如图所示,z=y-2x可化为y=2x+z,z表示直线在y轴上的截距,截距越大z越大,作直线l0:y=2x,平移l0,当l0过点A(5,3)时,z取最小值,且为-7,选A.3.若A为不等式组-表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为()A. B.1 C. D.2答案:C解析:如图所示,区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形,当a从-2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域.S四边形ODEC=S△OBC-S△BDE=2-.4.如果点P在平面区域---上,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为()A.-1B.-1C.2-1D.-1答案:A解析:由图可知不等式组确定的区域为阴影部分(包括边界),点P到点Q的最小距离为点(-1,0)到点(0,-2)的距离减去半径1,|PQ|min=-1=-1.5.已知x,y满足条件(k为常数),若目标函数z=x+3y的最大值为8,则k=()A.-16B.-6C.-D.6答案:B解析:由z=x+3y得y=-x+.先作出的图象,因为目标函数z=x+3y的最大值为8,所以x+3y=8与直线y=x的交点为C,解得C(2,2),代入直线2x+y+k=0,得k=-6,选B.则z=x-2y的最大值为.6.若变量x,y满足约束条件--答案:3解析:线性约束条件对应的平面区域如图所示,由z=x-2y,得y=,当直线y=在y轴上的截距最小时,z取得最大值.由图知,当直线通过点A时,在y轴上的截距最小,由--解得A(1,-1).所以z max=1-2×(-1)=3.7.记不等式组所表示的平面区域为D,若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是.答案:解析:作出如图所示的可行域,且A(0,4),B(1,1).又∵直线y=a(x+1)过点C(-1,0),而k BC=,k AC=4.从而直线y=a(x+1)与D有公共点时,a∈.8.已知变量x,y满足--则z=x+y-2的最大值为.答案:1解析:作出可行域,如图所示的阴影部分,由图知,目标函数z=x+y-2在点A处取最大值.又A(1,2),∴z max=1+2-2=1.9.设z=2y-2x+4,式中x,y满足-求z的最大值和最小值.解:作出满足条件-的可行域如图:作直线l:2y-2x=t,当l过点A(0,2)时,z max=2×2-2×0+4=8.当l过点B(1,1)时,z min=2×1-2×1+4=4.所以,z的最大值为8,最小值为4.10.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 min的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/min和200元/min,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别是0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?解:设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别是x min,y min,总收益为z万元,由题意得:目标函数为z=3 000x+2 000y.作出二元一次不等式组所表示的区域,即可行域,如图:作直线l,即3 000x+2 000y=0,即3x+2y=0.平移直线l,从图中可知,当直线l过点M时,目标函数取得最大值.由解得即M(100,200).则z max=3 000x+2 000y=700 000(元),即该公司在甲电视台做100 min广告,在乙电视台做200 min广告,公司收益最大,最大收益是70万元.高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。

[A 组 学业达标]1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2解析：可行域如图阴影部分(含边界)．令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知， 当直线l 过D 点时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0得D (5,3)．∴z min ＝3－2×5＝－7. 答案：A2．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1解析：如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D. 答案：D3．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则2y ＋2x ＋1的最大值是( ) A ．5 B ．6 C ．8D ．10 解析：画出可行域如图阴影部分(含边界)，z ＝2y ＋2x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义是点M (－1，－1)与可行域内的点P (x ，y )连线的斜率，当点P 移动到点N (0,4)时，斜率最大，最大值为4－(－1)0－(－1)＝5，∴z max ＝2×5＝10.故选D. 答案：D4．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥2，x ＋y ≤6，x －2y ≤0，则z ＝x 2＋y 2的最小值是( )A ．2B ． 5C ．4D ．5解析：作出约束条件满足的可行域(如图所示)，z ＝x 2＋y 2表示平面区域内点M (x ，y )到原点的距离的平方，由图象，得|OM |的最小值为|OA |，即z ＝x 2＋y 2的最小值为22＋12＝5.答案：D5．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥y ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝( )A ．9B ．3C ．－2D ．－32解析：作出不等式组对应的平面区域(阴影部分)，由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，平移直线y ＝－2x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋z 的截距最小，此时z 最小，即2x ＋y ＝－6，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，2x ＋y ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2，即A (－2，－2)．又点A 也在直线y ＝k 上，所以k ＝－2.答案：C6．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋2y 的取值范围是________．解析：如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]． 答案：[2,6]7．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元． 解析：设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N ，y ∈N.目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域(图略)，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300元．答案：2 3008．若实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≥0，x ≤1，则log 2(2x ＋y )的最大值为________．解析：作出不等式组满足的可行域，如图阴影部分所示，令Z ＝2x ＋y ，结合图形可知经过x ＝1，x －y ＋1＝0的交点A (1,2)时，Z 有最大值4，此时z ＝log 2(2x ＋y )的最大值为log 24＝2.答案：29．设x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，求x ＋y 的取值范围．解析：如图，z ＝x ＋y 表示直线过可行域时，在y 轴上的截距，当目标函数平移至过可行域A 点时，z 有最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x －2y ＝2，解得A (2,0)．z 最小值＝2，z 无最大值， ∴x ＋y ∈[2，＋∞)．10．已知变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围． 解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1表示的可行域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，225；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0得C (1,1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0得B (5,2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的最小值即为可行域中的点与原点O 连线的斜率的最小值， 观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域内的点到原点O 的距离的平方，结合图形可知，z min ＝|OC |2＝2，z max ＝|OB |2＝29，∴2≤z ≤29.[B 组 能力提升]11．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[0,2]D ．[－1,2]解析：作出可行域，如图所示，因为OA →·OM →＝－x ＋y .所以设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知过点P (1,1)时，z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点Q (0,2)时，z 有最大值， z max ＝0＋2＝2，所以OA →·OM →的取值范围是[0,2]． 答案：C12．已知实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，x ≤1，则z ＝y －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的最大值为( )A ．－32B ．0 C.12D ．1解析：作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分所示，由z ＝y －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋z ，由图可知y ＝(12)x ＋z 的图象过点A 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －y ＝0A (1,1)．∴z max ＝1－12＝12，故选C. 答案：C13．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．将区域⎩⎨⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝________.解析：如图，不等式组表示的平面区域为△PMQ 及其内部．因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行，又区域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成线段AB ，所以|AB |＝|PQ |. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0，解得P (－1,1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0，解得Q (2，－2)． ∴|AB |＝|PQ |＝(－1－2)2＋(1＋2)2＝3 2.答案：3 214．实数x ，y满足不等式组⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7,9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.答案：2115．实系数方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一根在(0,1)之间，另一根在(1,2)之间，求b －2a －1的取值范围．解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，则方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一根在(0,1)内，另一根在(1,2)内的问题转化为f (x )与x 轴的两交点分别位于(0,1)和(1,2)之间，由此可得： ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，1＋a ＋2b ＜0，2＋a ＋b ＞0.由平面区域可知(a ，b )所满足的条件是三角形区域(如图)内部，且A (－3,1)，B (－1,0)．又b －2a －1的几何意义是过点(a ，b )与D (1,2)的直线斜率，则有14＝k AD ＜b －2a －1＜k BD＝1，即b －2a －1的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.16．某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t救援物资的任务．该公司有8辆载重6 t的A型卡车与4辆载重为10 t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数：A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型为320元，B型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？解析：设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆．列表分析数据.A型车B型车限量车辆数x y 10运物吨数24x 30y 180费用320x 504y z由表可知x，y满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤10，24x＋30y≥180，0≤x≤8，0≤y≤4，x，y∈N，且目标函数z＝320x＋504y.作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示．可知当直线z＝320x ＋504y过A(7.5，0)时，z最小，但A(7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z＝320x ＋504y，可知点(8,0)是最优解．这时z min＝320×8＋504×0＝2 560(元)，即用8辆A型车，0辆B型车，成本费最低．所以公司每天调出A型卡车8辆时，花费成本最低.- 11 -。

高中数学新人教A 版必修 5 练习附答案3. 3. 2 简单的线性规划问题课后篇 巩固探究A 组1. 已知某线性规划问题中的目标函数为 z=3x-y , 若将其看成直线方程 , 则 z 的几何意义是()A . 该直线的截距B . 该直线的纵截距C . 该直线的纵截距的相反数D . 该直线的横截距解析 由 z=3x-y , 得 y=3x-z , 在该方程中 -z 表示直线的纵截距 , 因此 z 表示该直线的纵截距的相反数 . 答案 C2. 目标函数 z=x-y 在 的线性约束条件下 , 取得最大值的可行解为 ( )A (0,1)B ( - 1, - 1)C (1,0) D. ... 解析 可以验证这四个点均是可行解 , 当 x=0, y=1 时 , z=-1; 当 x=- 1, y=- 1 时 , z=0; 当 x=1, y=0 时, z=1; 当 x=, y=时 , z=0. 排除选项 A,B,D, 故选 C .答案 C3. 若变量 x , y 满足约束条件 目标函数为 z=4x+2y , 则有 ()A. z 有最大值无最小值B. z 有最小值无最大值C.z 的最小值是 8D. z 的最大值是 10解析 由 z=4x+2y , 得 y=- 2x+.作出不等式组对应的平面区域 , 如图阴影部分所示 .平移直线 y=- 2x ,当直线 y=- 2x+经过点 B (0,1) 时 , 直线 y=- 2x+在 y 轴上的截距最小 , 此时 z 最小 , 且 z min =2.当直线 y=- 2x+经过点 C(2,1)时,直线 y=- 2x+在 y 轴上的截距最大, 此时z最大 , 且z max=4×2+2×1=10. 故选D.答案 D4.若直线y=2x上存在点 ( x, y) 满足约束条件则实数m的最大值为()A.- 1B.1C. D.2解析满足约束条件的平面区域如图中的阴影部分所示, 由得交点P(1,2).当直线 x=m经过点 P 时, m取到最大值1.答案 B5.已知实数x, y 满足约束条件则z=2x+y的最小值为.解析因为 z=2x+y,所以 y=- 2x+z. 不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示. 平移直线2x+y=0, 由图形可求得z=2x+y 的最小值是 - 2.答案 -26.已知变量x, y 满足则z=x+y-2的最大值为.解析作出可行域 , 如图阴影部分所示.由图知 , 目标函数z=x+y- 2在点 A 处取得最大值 .易知 (1,2), 故max 1 2 2 1A z = + - = .答案 17.铁矿石 A 和 B 的含铁率a、冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格 c 如下表 :b/c/ 百a 万万元吨A 50%1 3B 70%0. 5 6某冶炼厂至少要生产1. 9 万吨的铁 , 若要求 CO2的排放量不超过 2 万吨 , 则购买铁矿石的最少费用为百万元 .解析设需购买铁矿石 A x万吨 , 铁矿石 B y万吨 , 购买费用为z,则根据题意得到的约束条件为目标函数为z=3x+6y. 画出约束条件表示的可行域, 如图阴影部分所示.当直线3 6 经过点 (1,2) 时 ,z 取最小值 , 且z最小值 3 16 215x+ y=z = ×+×= .答案 158.导学号04994076已知S为平面上以A(3, - 1), B( - 1,1),C(1,3)为顶点的三角形区域 ( 含三角形内部及边界) .若点 ( x, y) 在区域S上移动.(1)求 z=3x- 2y 的最值;(2)求 z=y-x 的最大值,并指出其最优解 .解 (1) z=3x- 2y可化为y=x-x+b,故求 z 的最大值、最小值, 相当于求直线y=x+b 在 y 轴上的截距 b 的最小值、最大值, 即b取最大值 , z取最小值 ; 反之亦然.①如图 ①, 平移直线 y=x , 当 y=x+b 经过点 B 时 , b max =, 此时 z min =-2b=- 5; 当 y=x+b 经过点 A时, b min =- , 此时 z max =- 2b=11. 故 z=3x- 2y 的最大值为 11, 最小值为 - 5.(2) z=y-x 可化为 y=x+z , 故求 z 的最大值 , 相当于求直线y=x+z 在 y 轴上的截距 z 的最大值 .如图② , 平行移动直线y=x , 当直线y=x+z 与直线 重合时 ,max2, 此时线段 上任一点的坐BCz = BC标都是最优解 .②9. 甜柚和脐橙是赣州地区的两大水果特产 , 一农民有山地 20 亩 , 根据往年经验 , 若种脐橙 , 则每年每亩平均产量为1 000 千克 ; 若种甜柚 , 则每年每亩平均产量为1 500 千克 . 已知脐橙成本每年每亩 4 000 元, 甜柚成本较高 , 每年每亩 12 000 元 , 且脐橙每千克卖 6 元 , 甜柚每千克卖 10 元 . 现该农民有 120 000 元 , 那么两种水果的种植面积分别为多少 , 才能获得最大收益 ?解设该农民种 x 亩脐橙 , y 亩甜柚时 , 能获得利润 z 元.则 z=(1 000 ×6- 4 000) x+(1 500 ×10- 12 000) y=2 000 x+3 000 y ,其中 x , y 满足条件作出可行域 , 如图中阴影部分所示 .当直线 y=-x+经过点 A (15,5), 即种 15 亩脐橙 ,5 亩甜柚时 , 每年收益最大 , 为 45 000 元 .B 组1 . 若变量 , y 满足约束条件且 5的最大值为 , 最小值为 b , 则 a-b 的值是x z= y-x a( )A.48B.30C.24D.16解析 画出可行域 , 如图阴影部分所示 .由图可知 , 当直线 y=经过点 A 时 , z 有最大值 ; 经过点 B 时, z 有最小值 . 联立方程组解得即 A (4,4) .对 x+y=8, 令 y=0, 则 x=8, 即 B (8,0), 所以 a=5×4- 4=16, b=5× 0- 8=-8, 则 a-b=16- ( - 8) =24, 故选 C . 答案 C2. 已知正数 x , y 满足则 z=22x+y 的最大值为 ()A . 8B . 16C . 32D . 64解析 设 t= 2x+y , 可求得当直线 t= 2x+y 经过 2x-y= 0 与 x- 3y+5=0 的交点 (1,2) 时 , t 取最大值4, 故22x+y的最大值为 16 . z=答案 B3. 已知 x , y 满足约束条件若 z=x- 3y+m 的最小值为 4, 则 m=( )A .6B .8C .10D .12解析 作出满足约束条件的可行域, 如图中的阴影部分所示 . 由 z=x- 3y+m , 得 y=x- , 则由图可知 z=x- 3y+m 在点 A ( - 2,2) 处取得最小值 , 则有 z=- 2- 3×2+m=4, 所以 m=12, 故选 D .答案 D4. 已知变量 x , y 满足约束条件 则 z=3|x|+y 的取值范围为 ()A . [ - 1,5]B . [1,11]C . [5,11]D . [ - 7,11] 解析 画出可行域 , 由可行域可知 ,当 x ≥0时, 3 的取值范围是 [1,11];当0 时, 3的取值范围是 (1,5] . 综z= x+yx<z=- x+y上, z=3|x|+y 的取值范围为 [1,11] .答案 B5. 若变量 x , y 满足约束条件则 z=x+的取值范围为.解析 由题意知不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分( △ OAB 及其内部 ), 其中 (0,0), (1,2), (2, 1), 因此当直线经过点 A 时 , z 取得最大值 , 即 z max 12; 当直线 OAB -z=x+= +=z=x+经过点 O 时 , z 取得最小值 , 即 z min =0. 所以 z=x+的取值范围为 [0,2] .答案 [0,2]6. 某公司生产甲、 乙两种桶装产品 , 已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克 ;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克 . 每桶甲产品的利润是 300 元 , 每桶乙产品的利润是 400 元 . 公司在生产这两种产品的计划中 , 要求每天消耗 A,B 原料都不超过 12 千克 . 通过合理安排生产计划 , 从每天生产的甲、乙两种产品中 , 公司共可获得的最大利润是元.解析 设生产甲产品 x 桶 , 乙产品 y 桶 , 每天利润为 z 元, 则z=300x+400y.作出可行域 , 如图中的阴影部分所示. 作直线300x+400y=0,向右上平移,当直线经过点 A时, z=300x+400y取最大值.由所以A(4,4),故z max=300×4+400×4=2 800.答案 2 8007.已知z=2y- 2x+4, 其中x, y满足条件求z的最大值和最小值.解作出不等式组表示的平面区域,如图中的阴影部分所示. 令2y- 2x=t ,则当直线2y- 2x=t 经过点 A(0,2)时, z max=2×2- 2×0+4=8;当直线 2y- 2x=t经过点B(1,1) 时 , z min=2×1- 2×1+4=4.故z 的最大值为 8, 最小值为 4.8. 导学号 04994077 某公司有 60 万元资金 , 计划投资甲、乙两个项目 , 按要求对甲项目的投资不小于对乙项目投资的, 且对每个项目的投资不能低于 5 万元.对甲项目每投资 1 万元可获得0. 4 万元的利润 , 对乙项目每投资 1 万元可获得 0. 6 万元的利润 , 该公司正确规划投资后 , 在这两个项目上一共可获得的最大利润是多少?解设投资甲项目x 万元,投资乙项目 y 万元,可获得利润为z 万元,则目标函数为z=0. 4x+0. 6y.作出满足题意的可行域如图阴影部分所示.由 z=0. 4x+0. 6y,得 y=-x+z.由得 A(24,36) .由图知 , 当直线y=-x+z经过点A时 , z取得最大值 , 即z取得最大值. 故 z max=0. 4×24+0. 6×36=31. 2(万元),即一共可获得的最大利润为31.2 万元.。

第三章 不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.2 简单的线性规划问题 第1课时 简单的线性规划问题A 级 基础巩固一、选择题1．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．2 解析：画出可行域，如图所示， 解得A (－2，2)，设z ＝2x －y ，把z ＝2x －y 变形为y ＝2x －z ， 则直线经过点A 时z 取得最小值， 所以z min ＝2×(－2)－2＝－6，故选A. 答案：A2．(2016·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17解析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (0，2)，B (3，0)，C (1，3)，直线z ＝2x ＋5y 过点B 时取最小值6，选B.答案：B3．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y≥－22，2x ＋3y≥9，2x≤11，x∈N*，y∈N*，则z ＝10x ＋10y 的最大值是( )A ．80B ．85C ．90D ．95解析：该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝ ⎛⎭⎪⎫112，92最近的点为(5，4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.答案：C4．(2016·浙江卷)在平面上，过点P 作直线l 的垂直所得的垂足称为点P 在直线l 的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( ) A ．22 B ．4 C ．32 D ．6解析：如图，△PQR 为线性区域，区域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成了线段R ′Q ′，即AB ，而R ′Q ′＝PQ ，由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得Q (－1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得R (2，－2)，|AB |＝|QR |＝（－1－2）2＋（1＋2）2＝32.故选C.答案：C5．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y≤4，x ＋by ＋c≤0，目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c 的值分别为( )A ．－1，4B ．－1，－3C ．－2，－1D ．－1，－2解析：由题意知，直线x ＋bx ＋c ＝0经过直线2x ＋y ＝7与直线x ＋y ＝4的交点，且经过直线2x ＋y ＝1和直线x ＝1的交点，即经过点(3，1)和点(1，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.答案：D 二、填空题6．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y≥0，x≤0，则z ＝3x ＋2y的最小值是________．解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，设t ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋t 2，当x ＝0，y ＝0时，t min ＝0，z ＝3x ＋2y的最小值为1.答案：17．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0.则x 2＋y 2的最小值是________．解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据 x2＋y2表示可行域内一点到原点的距离，可知x 2＋y 2的最小值是|AO |2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －y ＋1＝0，得A (1， 2)，所以|AO |2＝5.答案：58．若点P (m ，n )在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －2y ＋5≤0，2x －y ＋1≥0所确定的区域内，则n －m 的最大值为________．解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为(1，3)，(2，5)，(3，4)，设目标函数为z ＝y －x .则y ＝x ＋z ，其纵截距为z ，由图易知点P 的坐标为(2，5)时，n －m 的最大值为3.答案：3 三、解答题9．已知f (x )＝(3a －1)x ＋b －a ，x ∈，若f (x )≤1恒成立，求a ＋b 的最大值．解：因为f (x )≤1在上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （0）≤1，f （1）≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧b －a －1≤0，2a ＋b －2≤0，将a ，b 对应为平面aOb 上的点(a ，b )，则其表示的平面区域如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，求a ＋b 的最大值转化为在约束条件下，目标函数z ＝a ＋b 的最值的线性的规划问题，作直线a ＋b ＝0，并且平移使它通过可行域内的A 点，此时z ＝a ＋b 取得的最大值为53.10．预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能地多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？解：设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y≤2 000，y≥x，y≤1.5x，x≥0，x∈N*，y≥0，y∈N*.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2007，2007. 由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫25，752. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎪⎫2007，2007，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，752，O (0，0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为x ＝25，y ＝37.所以买桌子25张，椅子37把才行．B 级 能力提升1．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C.5 D ．2解析：法一：线性约束条件所表示的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2，1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4.法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2，1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝25.又因为a 2＋b 2是原点(0，0)到点(a ，b )的距离的平方，故当a2＋b2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小，所以a2＋b2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4，故选B.答案：B2．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是____________．解析：画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a ＞0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a＋1≤4，1≤a≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值范围是1≤a ≤32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，323．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －y≥－1，2x －y≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图所示，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)，平移初始直线y ＝12x ，过A (3，4)时z 取得最小值－2，过C (1，0)时，z 取得最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)由ax ＋2y ＝z ，得y ＝－a 2x ＋z 2，因为直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a 2＜2，解得－4＜a ＜2.故所求a 的取值范围为(－4，2)．。

最新人教版数学精品教学资料3．3.2 简单的线性规划问题[学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一 线性规划中的基本概念知识点二 线性规划问题 1．目标函数的最值线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是zb ，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A 、B 、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一 求线性目标函数的最值例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1答案 B解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.反思与感悟 图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移目标函数对应的直线ax ＋by ＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取最大值还是最小值． 跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.题型二 非线性目标函数的最值问题例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，求(1)x 2＋y 2的最小值； (2)yx的最大值． 解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝⎛⎭⎫45，85， 又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，得C ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝1＋⎝⎛⎭⎫322＝132， 所以，x 2＋y 2的最小值为134.(2)令v ＝yx ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v＝y －0x －0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大， 由(1)知C ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以v max ＝32，所以y x 的最大值为32.反思与感悟 非线性目标函数的最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)．点到直线的距离，过已知两点的直线的斜率等． 常见代数式的几何意义主要有： (1)(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离．(2)y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率；y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键． 跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．答案 10解析 画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3,0)与可行域内点(x ，y )之间距离的平方．显然AC 长度最小，∴AC 2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x ＋3)2＋y 2的最小值为10. 题型三 线性规划的实际应用例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元．反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ， 把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎪⎨⎪⎧ 50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2007，2007.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫25，752. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎫2007，2007，B ⎝⎛⎫25，752， O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎫25，752， 但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32 D ．2答案 B 解析 如图，当y ＝2x 经过且只经过x ＋y －3＝0和x ＝m 的交点时，m 取到最大值，此时，即(m,2m )在直线x ＋y －3＝0上，则m ＝1.2．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z＝10x ＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．95答案 C解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方， 故z min ＝⎝⎛⎭⎫122＝12.1.用图解法解决线性或非线性规划问题的基本步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解． 3．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．4．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．一、选择题1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．2答案 A解析 画出可行域，如图所示，解得A (－2,2)，设z ＝2x －y ，把z ＝2x －y 变形为y ＝2x －z ， 则直线经过点A 时z 取得最小值； 所以z min ＝2×(－2)－2＝－6，故选A.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43 D ．4答案 D解析 作出可行域，如图所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)答案 D解析 作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)． 4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．0答案 C 解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C.5．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c的值分别为( ) A ．－1,4 B ．－1，－3 C ．－2，－1 D ．－1，－2答案 D解析 由题意知，直线x ＋by ＋c ＝0经过直线2x ＋y ＝7与直线x ＋y ＝4的交点，且经过直线2x ＋y ＝1和直线x ＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.6．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－1 D ．1答案 D解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋2y 的取值范围是________．答案 [2,6]解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)． 答案 [3,8]解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3； 当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]．9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．答案 4解析 由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个． 答案 13解析 |x |＋|y |≤2可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个．11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．答案 21解析 作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C (3,1)方法一 ∵可行域内的点都在直线x ＋2y －4＝0上方， ∴x ＋2y －4＞0，则目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，易得当直线z ＝x ＋2y －4在点B (7,9)处，目标函数取得最大值z max ＝21. 方法二 z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5， 令P (x ，y )为可行域内一动点，定直线x ＋2y －4＝0， 则z ＝5d ，其中d 为P (x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离． 由图可知，区域内的点B 与直线的距离最大， 故d 的最大值为|7＋2×9－4|5＝215.故目标函数z max ＝215·5＝21. 三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．解 z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l 0：2x －y ＝0平行的直线系l ，经上下平移，可得：当l 移动到l 1，即经过点A (5,2)时，z max ＝2×5－2＝8.当l 移动到l 2，即过点C (1,4.4)时，z min ＝2×1－4.4＝－2.4. 13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．解 先画出可行域，如图所示，y ＝a x 必须过图中阴影部分或其边界．∵A (2,9)，∴9＝a 2，∴a ＝3. ∵a ＞1，∴1＜a ≤3.14．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元． (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？ 解 由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x 张，可获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900，x ≤300，x ≥0⇒0≤x ≤300.所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450，y ≤600，y ≥0⇒0≤y ≤450.所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元． (3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600， 解得，点M 的坐标为(100,400)． 所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。

[ 课时作业 ][A组基础稳固 ]1．在△ ABC 中，三极点分别为A(2,4)， B(－ 1,2)， C(1,0)，点 P(x， y)在△ABC 内部及其边界上运动，则 m＝y－ x 的取值范围为 ()A ． [1,3]B ． [－3,1]C． [－ 1,3] D ．[－3，－ 1]分析：直线 m＝ y－ x 的斜率 k ＝ 1≥k ＝2，且 k ＝ 1＜kAC＝ 4，∴直线经过点C(1,0)时 m 最1AB31小，为－ 1，经过点 B(－1,2)时 m 最大，为 3.答案：Cx＋ y≥12．若变量 x、 y 知足拘束条件y－ x≤1，则 z＝ 2x－ y 的最小值为 ()x≤1A．－ 1 B ． 0C． 1 D ．2分析：由拘束条件作出可行域如下图，由图可知，目标函数在点 A 处获得最小值．联立x＋ y＝ 1 y－ x＝ 1，解得x＝ 0y＝ 1，∴ A(0,1)，因此z＝ 2x－ y 在点 A 处获得最小值为2×0－ 1＝－ 1.答案： Ax－y＋ 5≥0，3．已知 x，y 知足 x≤3，且 z＝ 2x＋ 4y 的最小值为－ 6，则常数 k＝ ()x＋y＋ k≥ 0.A ． 2B ． 9C．3 10 D ．0分析：由题意知，当直线z＝ 2x＋ 4y 经过直线 x＝ 3 与 x＋ y＋ k＝0 的交点 (3，－ 3－ k)时， z 最小，因此－ 6＝ 2×3＋ 4×(－ 3－ k)，解得 k＝ 0.答案： Dx－ 2y＋ 4≤0，4．已知变量 x， y 知足 x≥2，则 x2＋ y2的取值范围是 ()x＋ y－ 8≤0，A ． [13,40]B ． [13,40)C． (13,40) D ．(13,40]分析：作出可行域如图暗影部分所示．x2＋ y2能够当作点 (0,0)与点 (x，y)距离的平方，联合图形可知，点 (0,0)与可行域内的点 A(2,3) 连线的距离最小，即 x2＋y2最小，最小值为 13；点 (0,0) 与可行域内的点 B(2,6)连线的距离最大，即 x2＋ y2最大，最大值为40.因此 x2＋ y2的取值范围为[13,40] ．答案：A5．已知 ?ABCD 的三个极点为A(－ 1,2)， B(3,4) ，C(4，－ 2)，点 (x， y)在 ?ABCD 的内部，则z＝2x－ 5y 的取值范围是()A ． (－ 14,16)B ． (－14,20)C． (－ 12,18) D ．(－12,20)分析：如图，由 ?ABCD 的三个极点A(－ 1,2)， B(3,4)，C(4，－ 2)可知 D 点坐标为 (0，－ 4)，由 z＝ 2x－ 5y 知2z，y＝5x－52z∴当直线y＝5x－5过点 B(3,4)时，z min＝－ 14.2z当直线 y＝5x－5过点 D (0，－ 4)时， z max＝ 20.∵点 (x， y)在 ?ABCD 的内部不包含界限，∴z的取值范围为 (－ 14,20)．答案：B6．某公司生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、 B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨．销售每吨甲产品可获取收益 5 万元、每吨乙产品可获取收益 3 万元，该公司在一个生产周期内耗费 A 原料不超出13 吨、 B 原料不超出18吨，那么该公司可获取的最大收益是________万元．分析：设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，则获取的收益为z＝ 5x＋3y.由题意得x≥0，y≥0，3x＋ y≤13，2x＋ 3y≤18，可行域如图暗影所示．由图可知当x、 y 在 A 点取值时， z 获得最大值，此时 x＝ 3，y＝ 4， z＝ 5×3＋ 3×4＝ 27(万元 )．答案：27x＋ y－2≤07．若 x， y 知足拘束条件x－ 2y＋1≤0，则 z＝ 3x＋ y 的最大值为 ________．2x－ y＋2≥0分析：作出可行域如图中暗影部分所示，作出直线l 0： 3x＋y＝ 0，平移直线l0，当直线l ： z＝ 3x＋ y 过点A 时， z 取最大值，由x＋ y－ 2＝0解得 A(1,1)，∴ z＝3x＋ y 的最大值为 4.x－ 2y＋1＝ 0答案： 4x≥1，8．已知 x，y 知足拘束条件x－ y＋1≤0，则 x2＋y2的最小值是 ________．2x－ y－ 2≤0，分析：画出知足条件的可行域如图中暗影部分所示，依据x2＋ y2表示可行域内一点到原点的距离，可知x2＋ y2的最小值是 |AO|2. 由x＝ 1，得 A(1,2)，因此 |AO |2＝ 5.x－ y＋ 1＝ 0，答案：5y≤2x9．已知实数x， y 知足y≥－ 2x.x≤3(1)求不等式组表示的平面地区的面积；(2)若目标函数为 z＝x－ 2y，求 z 的最小值．分析：画出知足不等式组的可行域如下图：(1)易求点 A、 B 的坐标为：A(3,6)， B(3，－ 6)，因此三角形OAB 的面积为：1S△OAB＝2×12×3＝ 18.1 1(2)目标函数化为： y＝2x－2z，作图知直线过 A 时 z 最小，可得 A(3,6)，∴z min＝－ 9.10．某工厂制造 A 种仪器 45 台， B 种仪器 55 台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积 2 m2，每张可作 A 种仪器外壳 3 个和 B 种仪器外壳 5 个，乙种钢板每张面积 3 m2，每张可作 A 种仪器外壳 6 个和B 种仪器外壳 6 个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？( “用料最省”是指所用钢板的总面积最小)分析：设用甲种钢板x 张，乙种钢板y 张，x， y∈N *依题意3x＋ 6y≥45，5x＋ 6y≥55钢板总面积z＝ 2x＋ 3y.作出可行域如下图．由图可知当直线z＝ 2x＋3y 过点 P 时，最小．3x＋ 6y＝ 45，x＝ 5由方程组得.5x＋ 6y＝ 55，y＝ 5因此，甲、乙两种钢板各用 5 张．[B 组能力提高]x2＋ y2－ 2x－ 2y＋ 1≥0，→→1．设 O 为坐标原点，A(1,1)，若点B(x， y)知足1≤x≤2，则OA·OB获得最1≤y≤2，小值时，点 B 的个数是 ()A ． 1B ． 2C． 3 D ．无数个分析：如图，暗影部分为点B(x， y)所在的地区．→ →∵OA·OB＝ x＋y，令 z＝ x＋ y，则 y＝－ x＋ z.由图可知，当点 B 在 C 点或 D 点时， z 取最小值，故点 B 的个数为 2.答案： B2．已知 a， b 是正数，且知足2<a＋ 2b<4.那么 a2＋ b2的取值范围是 ()416B ． (4，16)A．( ，5)55 C． (1,16)16， 4) D．( 52<a＋ 2b分析：原不等式组等价为，做出不等式组对应的平面地区如图暗影部分，a＋ 2b<4a2＋ b2表示地区内的动点P(a， b)到原点距离的平方，由图象可知当P 在 D 点时， a2＋ b2最大，此时 a2＋b2＝ 42＝ 16，原点到直线 a＋ 2b－ 2＝ 0 的距离最小，即d＝ |－ 2|2＝2，因此1＋25 222422422a＋ b＝d ＝，即 a＋ b的取值范围是 <a ＋ b <16，选 B.55答案： B3．已知实数x， y 知足不等式组x－ y＋ 2≥0，x＋ y－ 4≥0，目标函数z＝ y－ ax(a∈ R)．若取最大值时的独一最优解是(1,3)，则实数a 2x－ y－ 5≤0，的取值范围是 ________．分析：如下图，依题意直线x＋ y－ 4＝0 与x－ y＋2＝ 0 交于A(1,3)，此时取最大值，故a＞1.答案： (1，＋∞)x＋ 4y≥4，4．给定地区 D ： x＋ y≤4，令点集 T＝ {( x0， y0 )∈D |x0， y0∈ Z ，(x0， y0)是 z＝ x＋ y 在 D x≥0，上获得最大值或最小值的点} ，则 T 中的点共确立 ________条不一样的直线．分析：画出平面地区 D ，如图中暗影部分所示．作出 z ＝ x ＋ y 的基本直线l 0： x ＋ y ＝ 0.经平移可知目标函数z ＝ x ＋ y 在点A(0,1) 处获得最小值，在线段BC处获得最大值．而会合T 表示z ＝ x ＋y 获得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段 BC 上共有5 个整点，分别为 (0,4)， (1,3)， (2,2) ， (3,1)， (4,0)，故 T 中的点共确立 6 条不一样的直线．答案：6x － y ＋ 2≥0，5．已知 x ＋ y － 4≥0，求：2x － y － 5≤0，(1) z ＝ x 2＋ y 2－ 10y ＋25 的最小值；y ＋ 1(2) z ＝ 的范围．分析 ：作出可行域如图，并求出极点的坐标 A(1,3)、 B(3,1)、 C(7,9)．(1) z ＝ x 2＋ (y － 5)2 表示可行域内任一点 (x ， y)到定点 M(0,5)的距离的平方，过 M 作直线 AC的垂线，易知垂足N 在线段 AC 上，故 z 的最小值是 |MN|2＝ 9.2(2) z ＝y －－表示可行域内任一点 ( x ， y)与定点 Q(－1，－ 1)连线的斜率，由于k QA ＝ 2，x － －1k QB ＝ ，故 z 的范围为 12， 2 .6．已知－ 1＜ x ＋ y ＜ 3，且 2＜ x －y ＜ 4，求 2x ＋ 3y 的范围．分析：在直角坐标系中作出直线x＋ y＝ 3， x＋ y＝－ 1， x－ y＝ 4，x－ y＝ 2，则不等式组－1＜ x＋y＜ 3表示的平面地区是矩形ABCD 地区内的部分．2＜ x－ y＜4设 2x＋ 3y＝ z，变形为平行直线系l ：2zy＝－3x＋3.由图可知，当 l 趋近于 A、C 两点时，截距z趋近于最大值与最小值，即z 趋近于最大值与最3小值．x－ y＝ 2，51由求得点 A( ， )．x＋ y＝ 3，22因此 z＜5113 2×＋3×＝2.22x－ y＝ 4，35由求得点 C(，－)．x＋ y＝－ 1，22因此 z＞35)＝－9. 2×＋3×(－2 22因此－9＜ 2x＋ 3y＜13 2 2.。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．在△ABC 中，三顶点分别为A (2,4)，B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 内部及其边界上运动，则m ＝y －x 的取值范围为( ) A ．[1,3] B ．[－3,1] C ．[－1,3]D ．[－3，－1]解析：直线m ＝y －x 的斜率k 1＝1≥k AB ＝23，且k 1＝1＜k AC ＝4，∴直线经过点C (1,0)时m 最小，为－1，经过点B (－1,2)时m 最大，为3. 答案：C2．若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1y －x ≤1x ≤1，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：由约束条件作出可行域如图所示，由图可知，目标函数在点A 处取得最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1y －x ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1，∴A (0,1)，所以z ＝2x －y 在点A 处取得最小值为2×0－1＝－1.答案：A3．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ＋k ≥0.且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k ＝( )A ．2B ．9C ．310D ．0解析：由题意知，当直线z ＝2x ＋4y 经过直线x ＝3与x ＋y ＋k ＝0的交点(3，－3－k )时，z 最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k )，解得k ＝0. 答案：D4．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≤0，x ≥2，x ＋y －8≤0，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ． [13,40]B ．[13,40)C ．(13,40)D ．(13,40]解析：作出可行域如图阴影部分所示．x 2＋y 2可以看成点(0,0)与点(x ，y )距离的平方，结合图形可知，点(0,0)与可行域内的点A (2,3)连线的距离最小，即x 2＋y 2最小，最小值为13；点(0,0)与可行域内的点B (2,6)连线的距离最大，即x 2＋y 2最大，最大值为40. 所以x 2＋y 2的取值范围为[13,40]． 答案：A5．已知▱ABCD 的三个顶点为A (－1,2)，B (3,4)，C (4，－2)，点(x ，y )在▱ABCD 的内部，则z ＝2x －5y 的取值范围是( ) A ．(－14,16) B ．(－14,20) C ．(－12,18) D ．(－12,20)解析：如图，由▱ABCD 的三个顶点A (－1,2)，B (3,4)， C (4，－2)可知D 点坐标为(0，－4)， 由z ＝2x －5y 知y ＝25x －z 5， ∴当直线y ＝25x －z5过点B (3,4)时，z min ＝－14.当直线y ＝25x －z5过点D (0，－4)时，z max ＝20.∵点(x ，y )在▱ABCD 的内部不包括边界， ∴z 的取值范围为(－14,20)． 答案：B6．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．解析：设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，则获得的利润为z ＝5x ＋3y . 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值， 此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)． 答案：277．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －2y ＋1≤02x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：3x ＋y ＝0，平移直线l 0，当直线l ：z ＝3x ＋y 过点A 时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0x －2y ＋1＝0解得A (1,1)，∴z ＝3x ＋y 的最大值为4. 答案：48．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示，根据x 2＋y 2表示可行域内一点到原点的距离，可知x 2＋y 2的最小值是|AO |2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －y ＋1＝0，得A (1,2)，所以|AO |2＝5. 答案：59．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x y ≥－2x .x ≤3(1)求不等式组表示的平面区域的面积； (2)若目标函数为z ＝x －2y ，求z 的最小值． 解析：画出满足不等式组的可行域如图所示：(1)易求点A 、B 的坐标为： A (3,6)，B (3，－6)， 所以三角形OAB 的面积为： S △OAB ＝12×12×3＝18.(2)目标函数化为：y ＝12x －12z ，作图知直线过A 时z 最小，可得A (3,6)，∴z min ＝－9.10．某工厂制造A 种仪器45台，B 种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m 2，每张可作A 种仪器外壳3个和B 种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m 2，每张可作A 种仪器外壳6个和B 种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)解析：设用甲种钢板x 张，乙种钢板y 张， 依题意⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ∈N *3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55钢板总面积z ＝2x ＋3y . 作出可行域如图所示．由图可知当直线z ＝2x ＋3y 过点P 时，最小．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋6y ＝45，5x ＋6y ＝55，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝5.所以，甲、乙两种钢板各用5张．[B 组 能力提升]1．设O 为坐标原点，A (1,1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，则OA →·OB →取得最小值时，点B 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．无数个解析：如图，阴影部分为点B (x ，y )所在的区域． ∵OA →·OB →＝x ＋y ， 令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z .由图可知，当点B 在C 点或D 点时，z 取最小值，故点B 的个数为2. 答案：B2．已知a ，b 是正数，且满足2<a ＋2b <4.那么a 2＋b 2的取值范围是( ) A ．(45，165)B ．(45，16)C ．(1,16)D ．(165，4)解析：原不等式组等价为⎩⎪⎨⎪⎧2<a ＋2ba ＋2b <4，做出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，a 2＋b 2表示区域内的动点P (a ，b )到原点距离的平方，由图象可知当P 在D 点时，a 2＋b 2最大，此时a 2＋b 2＝42＝16，原点到直线a ＋2b －2＝0的距离最小，即d ＝|－2|1＋22＝25，所以a 2＋b 2＝d 2＝45，即a 2＋b 2的取值范围是45<a 2＋b 2<16，选B.答案：B3．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，目标函数z ＝y －ax (a ∈R)．若取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是________．解析：如图所示，依题意直线x ＋y －4＝0与x －y ＋2＝0交于A (1,3)，此时取最大值，故a ＞1. 答案：(1，＋∞)4．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线． 解析：画出平面区域D ，如图中阴影部分所示．作出z ＝x ＋y 的基本直线l 0：x ＋y ＝0.经平移可知目标函数z ＝x ＋y 在点A (0,1)处取得最小值，在线段BC 处取得最大值．而集合T 表示z ＝x ＋y 取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段BC 上共有5个整点，分别为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故T 中的点共确定6条不同的直线． 答案：65．已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，求：2x －y －5≤0，(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝y ＋1x ＋1的范围． 解析：作出可行域如图，并求出顶点的坐标A (1,3)、B (3,1)、C (7,9)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z 的最小值是|MN |2＝92.(2)z ＝y －(－1)x －(－1)表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q (－1，－1)连线的斜率，因为k QA ＝2，k QB＝12， 故z 的范围为⎣⎡⎦⎤12，2.6．已知－1＜x ＋y ＜3，且2＜x －y ＜4，求2x ＋3y 的范围．解析：在直角坐标系中作出直线x ＋y ＝3，x ＋y ＝－1，x －y ＝4，x －y ＝2，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＋y ＜32＜x －y ＜4表示的平面区域是矩形ABCD 区域内的部分． 设2x ＋3y ＝z ，变形为平行直线系l ： y ＝－23x ＋z 3.由图可知，当l 趋近于A 、C 两点时，截距z3趋近于最大值与最小值，即z 趋近于最大值与最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x ＋y ＝3，求得点A (52，12)．所以z ＜2×52＋3×12＝132.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，x ＋y ＝－1，求得点C (32，－52)．所以z ＞2×32＋3×(－52)＝－92.所以－92＜2x ＋3y ＜132.。